BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN 8

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Các mệnh đề “ A > B ” “ A < B ” gọi bất đẳng thức (BĐT) - Các mệnh đề: “ A �B ” “ A �B “ gọi bất đẳng thức suy rộng Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương: - Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi thành C > D ta nói BĐT C > D BĐT hệ BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D - Nếu BĐT A > B hệ BĐT C > D C > D BĐT hệ BĐT A > B ta nói hai BĐT tương đương với nhau, Kí hiệu A > B C > D Tính chất: - A  B  A  C  B  C ( Cộng hai vế BĐT với số) � A  B  AC  B.C, C  0 � A  B  AC  B.C, C  0 � - � (Nhân hai vế BĐT với số) A  B , C  D  A  C  B  D ( Cộng hai BĐT chiều) - A  B,C  D  AC  BD, A,C  0 2n1 2n1 (Nhân hai BĐT chiều) - A  B  A  B A  B Với A > 0, (Nâng hai vế BĐT lên lũy thừa) A  B  A  B, A  0 (Khai hai vế BĐT) a  b �a  b �a  b (Tính chất giá trị tuyệt đối) 2n 2n B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT A �0 2 Bài 1: CMR : với x, y, z x  y  z �xy  yz  zx HD: 2 2 x  y  z  xy  yz  zx �0   x  y    y  z    z  x  �0 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x = y = z 2 Bài 2: CMR : với x, y, z x  y  z �2 xy  yz  zx   HD: x  y  z  xy  yz  zx �0   x  y  z  �0 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x + z = y x  y  z  �2  x  y  z  Bài 3: CMR : với x, y, z HD: 2 x  1   y  1   z  1 �0  Xét hiệu ta có: , Dấu x = y = z = 2 a  b �a  b � �� � �2 � Bài 4: CMR : với a, b ta có : HD : a  b a  2ab  b  �0 2a  2b   a  2ab  b  �0 Xét hiệu ta có : 2  a  2ab  b �0   a  b  �0 , Dấu a = - b 2 a  b  c �a  b  c � �� � � � Bài 5: CMR : với a, b, c ta có : HD: a  b2  c a  b2  c  2ab  2bc  2ac � Ta có:  3a  3b  3c   a  b  c  2ab  2bc  2ac  �0  2a  2b2  2c  2ab  2bc  2ac �0 2   a  b    b  c    c  a  �0 , Dấu a = b = c a b c Bài 6: CMR : HD: 2  a  b  c � 2 2 2 Ta có: 3a  3b  3c �a  b  c  2ab  2bc  2ca  2a  2b2  2c  ab  2bc  ac �0 2   a  b    b  c    c  a  �0 , Dấu a = b = c  a  b  �2ab a  b2 � Bài 7: CMR : HD: a  b  2 a b �  2a  2b2 �a  2ab  b 2 Ta chứng minh:  a  b  2ab �0   a  b  �0 , Dấu a = b  a  b  �2ab  a  2ab  b �4ab   a  b  �0 Ta chứng minh , Dấu a = b b a  �ab Bài 8: Cho a, b, c số thực CMR: HD: 4a  b  4ab   2a  b  �0 Ta có: Dấu b = 2a 2 Bài 9: Cho a, b, c số thực CMR : a  b  �ab  a  b HD: a  b   ab  a  b �0  2a  2b   2ab  2a  2b �0 Ta có: 2   a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1 �0   a  b    a  1   b  1 �0 Dấu a = b = a  b  c  d  e2 �a  b  c  d  e  Bài 10: Cho a, b, c, d số thực CMR : HD: 2 2 Ta có: a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ae �0  4a  4b2  4c  4d  4e  4ab  4ac  4ad  4ae �0 a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d    a  4ae  4e  �0     a  2b    a  2c    a  2d    a  2e  �0 Dấu xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e 2 2 � 1� � 1� 1 �  ��9 � � a b� � � � Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > CMR: HD: � a b � � ab� � b � � a� �a b � � 1 1  �  �  � � � � �2  � � � b � � a� � b� �b a � Ta có: VT � a � �a b � a b   �  ��5  2.2    a  b  a  b  b a � � Dấu b a �x  y � x, y �0, CMR : � ��xy �2 � Bài 12: Cho HD: x  y  xy �4 xy  x  xy  y �0   x  y  �0 Ta có: , Dấu x = y 3 2 Bài 13: Cho a > 0, b > CMR: a  b �a b  ab HD:  a3  a 2b    b3  ab2  �0  a  a  b   b2  a  b  �0 Ta có: a  b  a  b �0   a  b   a  b  �0   Dấu a = b 1  � 2 a � b � 1, Bài 14: Cho CMR:  a  b  ab HD: a  b  a b  a  b �� 1 �  �1  �0    � 2 � �� �  a  ab  b  ab          a  ab  b  ab �� � Xét hiệu: �    b  a   ab  1  ab   a  1  b  a    �0 , Dấu a = b a.b = x  y  z  t �x  y  z  t  Bài 15: CMR : với số thực x, y, z, t ta có : HD: 2 2 2 2 Ta có: x  y  z  t  xy  xz  xt �0  x  y  z  4t  xy  xz  xt �0       x  xy  y  x  xz  z  x  xt  4t  x �0  Dấu x = 2y = 2z = 2t = a2  b  c2 �ab  ac  2bc Bài 17: CMR : HD: 2  a  4a  b  c   b  c  2bc �0 Ta có: a  4b  4c  4ab  4ac  8bc �0    a  4a  b  c    b  c  �0   a  2a  2c  �0 2 Bài 19: CMR : x  y  z �2 xy  zx  yz HD: 2 2  x  x  y  z   y  yz  z �0 Ta có: x  y  z  xy  yz  zx �0 2 x  x  y  z    y  z  �0   x  y  z  �0 Bài 20: CMR : HD: x  y  z  �2 x  xy  x  z  1 4 4 2 Ta có: x  y  z   x y  x  xz  x �0  x  y  x y    x  xz  z    x  x  1 �0 x  y    x  z    x  1 �0 2 , Dấu x = z = 1, y = �1 Bài 21: CMR : a  b  c �ab  bc  ca HD: 2 2 2 Ta có : a  b  c  ab  bc  ca �0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca �0 2   a  b    b  c    c  a  �0 2 2 Bài 22: CMR : a  b �ab HD: 2 b b 3b � b � 3b  a  a   �  a   �0 � � 2 4 � � a  b  ab � Ta có: 2 Bài 23: CMR : x  xy  y �0 HD: 2 y y2 y2 � y � 3y x  x   �0  �x  � �0 4 � 2� Ta có: a  a  b   a  c   a  b  c   b 2c �0 Bài 24: CMR : HD:  a  a  b  c   a  b   a  c   b 2c �0 a  ab  ac   a  ab  ac  bc   b 2c �0   � a  ab  ac  x � x  x  y   y �0  x  xy  y �0 bc  y Đặt � , Khi ta có: a Bài 25: CMR :  b   a  b  � a  b3  HD: 4 6 3 Ta có: a  a b  a b  b �a  2a b  b a 4b  a 3b    a 2b  a 3b3  �0   2  a b  a  b   a b  b  a  �0 a  b  a 3b  a 2b �0  a 2b  a  b  �0    a  b   a3  b3  �2  a  b  Bài 26: CMR : HD: 3 4 4 Ta có: a  ab  a b  b �2a  2b  a  ab  b  a b �0     3 a  b3  a  b  �0   a  b   a  a  b   b  b  a  �0   a  b  � a  b   a  b  Bài 27: Cho a, b > 0, CMR : HD: 3 2 Ta có: 2a  2b �a  ab  a b  b a  ab  b  �0 3  a  a b  b  ab �0 2  a  a  b   b  b  a  �0   a  b   a  b  �0 Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:  a  b3  � a  b  HD: 3 2 Ta có: 4a  4b �a  3a b  3ab  b 3  3a  3a b  3b  3ab �0 3a  a  b   3b  b  a  �0   a  b   a  b  �0    a  b   a  b  �0 a  b3  abc �ab  a  b  c  Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR: HD: 3 2 Ta có: a  b  abc �a b  ab  abc 2 3  a  a b  b  ab �0  a  a  b   b  b  a  �0   a  b  a Bài 30: CMR: HD: b  2 �ab  a  b   a  b  �0 a  2a 2b  b �ab  a  2ab  b   a 3b  2a 2b  ab Ta có: a  a 3b    b  ab3  �0  a  a  b   b3  b  a  �0    a Bài 31: CMR: HD:  b3   a  b  �0   a  b  a  b  c �a  b  c  a  ab  b  �0 2 2 2 Ta có: a  b  c  ab  ac �0  4a  4b  4c  4ab  4ac �0 2 a  4ab  4b    a  4ac  4c   2a �0   a  2b    a  2c   2a �0   a  b  c  d �a  b  c  d  Bài 32: CMR: HD: 2 2 2 2 Ta có: a  b  c  d  ab  ac  ad �0  4a  4b  4c  4d  4ab  4ac  4ad �0 a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d   a �0     a  2b    a  2c    a  2d   a �0 a  b  c  � a  b  c  Bài 33: CMR: HD: � �2 � �2 1� �2 a  a  � � b  b  � � c  c  ��0 a  a  b  b  c  c  �0 � 4�� 4�� 4�  � Ta có:      2  � 1� � 1� � 1� a  � � b  � � c  ��0 �  � � � � � � 4 Bài 34: CMR: a  b  �4ab HD: 4 4 2 2 Ta có: a  b  4ab  �0  a  b  2a b  2a b  4ab  �0 a    b    a 2b  2ab  1 �0   a  b    ab  1 �0 Bài 35: CMR: x  x   HD: 2 x Ta có:  x     x  x  1  x   2     x  1  2 Không xảy dấu x4  x   Bài 36: CMR: HD: 2 � �2 1� �4 �2 � � � �x  x  � �x  x  ��0 �x  � �x  ��0 4�� �  � � � � Ta có: � Bài 37: CMR: x  x   x ( x  0) HD: x  x  x    x    x  x    x   x  x  x    Ta có: , Vì x >  x  1  x    x  3  x   �1 Bài 39: CMR: HD:  x  1  x    x    x  3  �0   x  x    x  x    �0  t  1  t  1  �0  t �0 , Dấu t = Đặt x  x   t , Khi ta có: Bài 40: CMR: x  x  x  x   HD: x3  x  1   x  1  x    x  1  x  1  x  Ta có : x  x2  x   x2     ( ĐPCM) 2 Bài 41: CMR : a  4b  4c �4ab  8bc  4ac HD: 2 2 a   2b    2c   2.a.2b  2.2b.2c  2.a.2c �0 Ta có: a  4b  4c  4ab  8bc  4ac �0    a  b  c  �0    a  b3  c  � a  b    b  c    c  a  3 Bài 42: CMR : với a, b, c >0 HD: 3 3 3 2 2 2 Ta có: 8a  8b  8c �2a  2b  2c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac 3 2 2 2  6a  6b  6c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac �0 3a  3a 2b    3a  3a c    3b3  3b 2a    3b3  3b 2c    3c  3bc    3c  3ac  �0   2 2 2  3a  a  b   3a  a  c   3b  b  a   3b  b  c   3c  c  b   3c  c  a  �0   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  �0   a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  �0 a  b  c  �a  b3  c  24abc  Bài 43: CMR: với a,b,c>0 HD: 2 a  b3  c3   a  b   b  c   c  a  �a  b3  c  24abc Ta có:   a  b   b  c   c  a  �24abc �a  b �2 ab � � b  c �2 bc � � c  a �2 ca Vì � , Nhân theo vế ta ĐPCM �x y � x2 y   �3 �  � x �y x � Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: y HD: x  y  x y �3xy  x  y    x  y   xy  x  y   x y  xy  x  y  �0 Ta có: x  y   x  y  xy   xy  xy  x  y  �0 x  y  xy   x  y  xy  �0     x  y  x  xy  y �0   a3  b3 � Bài 45: CMR : Nếu a  b �1 , HD:   � 1� 1 a  b � a  a   a  � � � 3 2� 4 � b �  a  b �  a  a  a  Ta có: 3 2 Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR : ab  bc  ca �a  b  c HD: 2 2 2 a  b    b  c    c  a  �0  a  b  c  ab  bc  ca �  Ta có: a2  a  0 Bài 47: CMR : a  a  HD: 1� 1� �2 �2 a2  a 1  � a  a  �  0, a a2  a   � a  a  �  0, a 4� 4� � � Ta có: 4a  a  b   a  1  a  b  1  b �0 Bài 48: CMR : HD: 2 4a  a  b  1  a  1  a  b   b �0   a  ab  a   a  ab  a  b   b �0 Ta có: a  ab  a  x x  x  y   y �0  x  xy  y �0   x  y  �0 Đặt b  y Khi đó:  , 2a  a  1 x   y  a  ab  a  b  b   2a  Dấu  x  y � x y �2 xy Bài 49: CMR : HD: �2 x  y  2 x y �  x  y �x  y  xy   x  y  �0 � � �  x  y  �2 xy  x  y  xy �4 xy  x  y �0 �   Ta có: � 1  � Bài 50: CMR : a b a  b , Với a,b > HD:  a  b � 2 a  b   a  b  �4ab   a  b  �0 Ta có: ab 2 a  b �ab  a  b  Bài 51: CMR : HD: 4 3 a  a  b   b3  a  b  �0   a  b  Ta có: a  b  a b  ab �0  a  ab  b  �0 a  b4 �a  b � �� � �2 � Bài 52: CMR : HD: 4 4 2 2 3 Ta có: 8a  8b �a  b  4a b  2a b  4a b  4ab 4 2 2 3  a  7b  4a b  2a b  4a b  4ab �0 a  b  2a 2b    6a  6b   4ab  a  b   8a 2b �0   a   a    b   4ab  a  b   4a 2b   a  b   12a 2b �0  b  2ab    a  b4  2a 2b  �0   a  b    a  b  �0 Bài 53: Cho a + b + c = 0, CMR : ab  bc  ca �0 HD: 2 10 2 Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x  y  xy �x  y  HD: x2  y2  xy �x  y  1 x2  y2  xy �2 x  y  1 Ta có: 2 2  2x2  2y2  2xy �2x  2y   x  2xy  y  x  2x   y  2y  �0         3 5 2 Bài 91: Cho a, b số dương thỏa mãn: a  b  a  b , Chứng minh rằng: a  b �1 ab HD: a2  b2 �1 ab  a2  b2  ab �1  a  b a2  b2  ab �a  b Ta có:  a3  b3 �a  b  a3  b3 a3  b3 � a  b a5  b5  2a3b3 �ab5  a5b     ab a  2a b  b  �0  ab a  b  2 2     �0,a,b  �� 0;1� Bài 92: Cho số a, b, c � �, chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca �1 HD: �� 0;1� Do a, b,c � �, nên:  1 a  1 b  1 c �0  1 a  b  c  ab  bc  ca  abc �0  a  b  c  ab  bc  ca �1 abc �1 a,b,c �� 0;1� � � b �b,c �c , từ ta có: Do a  b2  c3  ab  bc  ca �a  b  c  ab  bc  ca �1 20 Dạng : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : a  b  2 a b � Bài 1: Cho a + b > 1, CMR : HD:  a  b Ta có:  x  y  �4 xy a  b4  x y  �2 y x a  b  2ab  1 �   �  a  b  2 a  b  2ab �0 � �4 a  b  2a 2b  1 �  2a  2b   a  b    � a4  b4  2 � a  b  a b � � => , Vậy a  b2 � Bài 2: Cho a + b = 1, CMR : HD: � a  2ab  b  1  2a  2b �1  a  b �  a  b    � �2 2 a  2ab  b �0 � Ta có: 2 Bài 3: Cho a + b > 2, CMR : a  b  HD: �a  2ab  b   2a  2b   a  b   a  b    � 2 �a  2ab  b �0 Ta có: 2 Bài 4: Cho a  b �2 , CMR: a  b �2 HD: � a  b �2 �2 a  b �2ab  2ab �a  b  Ta có: � 2 a  b  2ab �4   a  b  �4  a  b �2 Cộng theo vế ta được: a  b  c   ab  bc  ca  Bài 5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD: Ta có: Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: � a  ab  ac a bc � �2 � b  a  c  � b  ab  bc  a  b  c   ab  bc  ac  � � � c  ab c  ac  bc � � a3  b3 � Bài 6: Cho a, b hai số thực có tổng 1, CMR: HD: 3 3 a  b   b   a  b3    a  Ta có: => a  b  a   3a  3a  a  3a  3a  3� � 1� 1 �2  3� a  a   � � a  � � 4� � 2� 4 � 21 1 1  3  � 3 Bài 8: Cho a, b, c > 0, CMR : a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc HD: 2 a  b3   a  b  a  ab  b � a  b  ab Ta có: , Do a  ab  b �ab b3  abc � a  b  ab  abc  ab  a  b  c  Khi Chứng minh tương tự ta có: b3  c3  abc �bc  a  b  c  c  a  abc �ac  a  b  c  1 � abc �1 VT �  �   � a  b  c �ab bc ca � a  b  c abc abc Khi ta có:   a b c   � Bài 10: Cho a, b, c > 0, CMR : b  c c  a a  b HD: �x  a  b � �1 1 � �y  b  c  x  y  z  �   ��9 � �x y z � , Đặt �z  c  a Từ 1 � �1 2 a  b  c �   ��9 �a  b b  c c  a � => abc abc a bc c a b   �   � 3 bc ca => a  b b  c c  a 2 a  b a b   � Bài 11: Cho a, b > 0, CMR : b  a  a  b HD: 1 � �a � �b ��1 � �1  1� �  1�   a  b  1 �   �  1� � � �   2 �a  b a  b  � Ta có: �b  � �a  � �a  b � a  b2  c  � a  b  c Bài 15: CMR : HD: � �2 � �2 1� �2 a  a  � � b  b  � � c  c  ��0 � 4�� 4�� 4� Ta có: � 1   �9 Bài 16: Cho a, b, c dương có tổng 1, CMR : a b c HD: 1 1�  a  b  c     a  b  c  � �   ��9 �a b c � Vì x4 y x2 y x y      �2 x y x y x Bài 18: Cho x, y, z > 0, CMR : y HD: �x y � x y x4 y  �  ��2  �2  �2 y x � y x y x Ta có: , Tương tự � Cộng theo vế ta có: VT �2    Bài 19: Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b < ab, CMR : a + b > HD: 22 Ta có:  a  b �4ab  ab a  b ab � a  b  ab       a  b  ab a  b Do ab ab ab 23 2 Bài 21: Cho a, b, c thỏa mãn: a  b  c  , CMR: ab  bc  ca  a  b  c �6 HD: � a  b �2ab �2 b  c �2bc   a  b  c  �2  ab  bc  ca   2.3 �2  ab  bc  ca  � � c  a �2ac Ta có: � => ab  bc  ca �3 � a  �2a �2 b  �2b   �2  a  b  c   a  b  c �3 � � c  �2c Mặt khác: � (2) Cộng (1) (2) theo vế ta ĐPCM x2 y2  � 4 , với x, y số thực Bài 22: CMR:  16 x  16 y (1) HD: Ta có:  16 x �2 16 x  2.4 x  x  x2 �  16 x (1) y y �  8y Tương tự:  16 y (2) VT � Cộng theo vế ta : a  b a2  b2  2 Bài 24: CMR: với a,b > a > b > a  b a  b HD: a  b  a  b   a  b  a  b2   2 ab a  b   a  b  , Mà a  2ab  b �a  b Ta có: a  b2 VT  2 a b Khi Bài 25: Cho số a,b,c dương thoă mãn: a + b + c = 4, CMR : a  b �abc HD: Ta có:  a  b �4ab  �  a  b  c� � ��4  a  b  c  16 �4  a  b  c    � a  b  c   a  b  � a  b  c   a  b  � ab c  4abc => a  b �abc 3 2 Bài 26: Cho số x, y > thỏa mãn: x  y  x  y , CMR : x  y  HD: x3  y   x  y   x  y    x  y  x  y  x  y Ta có: 2 2  x  xy  x y  y  x  y  y  x y  xy   y y  x  xy      a  b2 � Bài 27: Cho a + b = 1, CMR: HD: �a  2ab  b  1 2 2 a  b    a  b �  a  b �   �2 2 �a  2ab  b �0 Ta có: 24 25 a  b4 � Bài 28: Cho a + b = 1, CMR: HD: 2 �a  2ab  b   2a  2b2 �1  a  b � �2 2 a  2ab  b �0 Ta có: � �4 a  b  2a b � 1 �  2a  2b �  a  b4 � � � a  b  2a 2b �0 Mặt khác: � 2 abc    a  b  c  ab  bc  ca  �0 Bài 30: Cho a, b, c thỏa mãn: a  b  c  1, CMR: HD: a  b  c   a , b , c �1  1 �x, y , z �1 Vì Khi đó:  a  1  b  1  c  1 �0  abc  ab  bc  ca  a  b  c  �0 (1)  a  b  c  1 Mà   a  b  c    a  b  c   �0  a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c   �0  ab  bc  ca  a  b  c  �0 (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: abc   ab  bc  ca  a  b  c  1 �0 26 Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: a b c   2 Bài 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: b  c c  a a  b HD : a a 2a    bc abc Ta có : b  c b b 2b c 2c 2( a  b  c )    ,  VT  2 c  a a  b  c a  b a  b  c , cộng theo vế abc Tương tự ta có: c  a a b c 1   2 ab bc ca Bài 2: Cho a, b, c > 0, CMR: HD : a a ac b b ba c c cb       Ta có : a  b  c a  b a  b  c a  b  c b  c a  b  c a  b  c c  a a  b  c Cộng theo vế ta : a b c a b bc ca   M    abc abc abc abc abc abc 2 a  b  c abc M    M  abc abc a b c d 1    2 abc bcd cd a d ab Bài 3: Cho a, b, c, d > 0, CMR: HD : a a ad b b ab     Ta có : a  b  c  d a  b  c a  b  c  d a  b  c  d b  c  d a  b  c  d c c cb d d d c     a  b  c  d c  d  a a  b  c  d a  b  c  d d  a  b a  b  c  d Cộng theo vế ta có : 2 a  b  c  d  abcd M    M  abcd abcd ab bc cd d a 2    3 abc bcd c d a d ab Bài 4: Cho a, b, c, d > 0, CMR: HD : ab ab a bd   Ta có : a  b  c  d a  b  c a  b  c  d Chứng minh tương tự : bc bc bca cd cd cd b     abc d bc d abc d , abcd cd a a bcd d a d a d ac   Và a  b  c  d d  a  b a  b  c  d Cộng theo vế ta có : 2 a  b  c  d  3 a  b  c  d  M  abcd abcd a b c 1   2 bc ca ab Bài 5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : a a aa b b bb c c cc       Ta có : a  b  c b  c a  b  c a  b  c c  a a  b  c a  b  c a  b a  b  c 27 2 a  b  c a bc M  a bc Cộng theo vế ta : a  b  c a b c   � Bài 6: CMR a, b, c > b  c c  a a  b HD : bc  x � � c  a  y  x  y  z   a  b  c  �1 1 � �  x  y  z  �   ��9 � ab  z �x y z � , Đặt � Áp dung BĐT : 1 � a bc a bc a bc �1 2 a  b  c �     � ��9  ab bc ca �a  b b  c c  a � Khi ta có : => ĐPCM a b c   �3 Bài 7: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: b  c  a a  c  b a  b  c HD : bca  x � �x  y  2c � � a  c  b  y  �y  z  2a � yz xz x y 2A    � �z  a  2b a  b  c  z x y z � Đặt : � , Khi : �x y � �z x � �z y �  �  � �  � �  ��6  A �3 �y x � �x z � �y z � Bài 8: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, 1 1 1   �   CMR: a  b  c b  c  a c  a  b a b c HD : 1  �  Áp dụng BĐT Schawzr : a  b  c b  c  a 2b b Tương tự ta có : 1 1  �  � b  c  a c  a  b c c  a  b a  b  c a , Cộng theo vế ta : ĐPCM Bài 9: CMR với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác thì: 1 �1 1 �   �2 �   � pa pb pc �a b c � HD : 1 4  �  Ta có : p  a p  b p  a  b c 1 1  �  � Tương tự ta có : p  b p  c a p  c p  a b Cộng theo vế ta điều phải chứng minh abc � p  a   p  b   p  c  Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c chu vi 2p, CMR: HD : Ta có :  p  a    p  b  �2  p  a   p  b  Chứng minh tương tự ta có : a �2  c �2  p  b  p  c  p  a   p  b b �2  p  a  p  c 28 Nhân theo vế ta : abc �8  p  a   p  b   p  c  29 Bài 11: CMR: Nếu a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác thì: ab  bc  ca �a  b  c �2  ab  bc  ca  HD : 2 Ta chứng minh : a  b  c �ab  bc  ca 2 a  b  c  ab  bc  ca �0   a  b    b  c    c  a  �0 Chuyển vế ta : a  b  c �2  ab  bc  ca  Ta chứng minh : � a  ab  ac a bc � �2 � b  a  c  � b  bc  ba � � � c  a b c  ac  bc a  b  c �2  ab  bc  ca  � � Ta có : , Cộng theo vế ta : abc � a  b  c   b  c  a   c  a  b  Bài 12: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD :  a  b  c    b  c  a  �2  a  b  c   b  c  a   2b �2  a  b  c   b  c  a  Ta có : 2c �2  b  c  a   c  a  b  2a �2  a  b  c   c  a  b  Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM a  b  c  a 2b  b c  c a Bài 13: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : 4 2 2 2 4 2 2 2 2 Ta có : a  b  c  2a b  2b c  2c a   a  b  c  2a b  2b c  2c a  4a b     a   b  c    2ab     a  b  c  2ab   a  b  c  2ab   2   a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c   (Luôn ) b c a a b c   �   Bài 14: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, CMR: a b c b c a với a �b �c HD : 2 2 2 Nhân vế với a, b, c ta có : b c  c a  a b �a c  ab  bc  c  b  a   a  c  b   b  a  c  �0   c  a   b  c   b  a  �0 Đúng 4a 2b   a  b  c  Bài 15: CMR với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: HD : 4a 2b  a  b  c   2ab  a  b  c 2ab  a  b  c  Xét hiệu :   a  b  c   a  b  c   c  a  b   c  a  b   2 a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b3  c Bài 16: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : 2 a  b  c   a3  a �  a b  c  a  b  c  a   b  c   a2 � � �  Ta xét : Chứng minh tương tự ta có : Tổng số âm số âm a  b  c  1, CMR : a  b  c � Bài 17: Cho HD :      30 � �2 a  x a  x  x  � � 3 � � � �2 b  y   � b  y  y  � 3 � � � �2 c z c  z  z  � � 3 � � Đặt Cộng theo vế ta : a  b2  c   x2  y  z    x  y  z   3 (1) Mà : a  b  c  x  y  z   x  y  z  , Thay vào (1) 1 a  b2  c  x2  y  z  � 3 => a  b  c   ab  bc  ca  Bài 18: Cho a, b, c dộ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : � a  ab  ac a bc � �2 � b  c  a  � b  ab  bc � � � c  a b c  ac  bc � � Ta có : , Cộng theo vế ta ĐPCM 1 , , Bài 19: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a  b b  c c  a , độ dài cạnh tam giác HD : 1 1 2       a  b b  c a  b  c a  b  c a  b  c  a  c   a  c a  c Ta cần chứng minh : 1 1 1     Tương tự ta có : b  c c  a a  b c  a a  b b  c Bài 20: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, so sánh a,b,c với 1, 2 CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a �b �c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  1  a    b    c    ab  bc  ca   abc Khi :  lại có :  a  b  c   a  b2  c   ab  bc  ca   a  b2  c    abc  2 2 2   a  b  c   2abc  a  b  c  2abc  Bài 21: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  Ta có :  a  b  c    b  c  a  �2  a  b  c   b  c  a   2b �2  a  b  c  b  c  a 2c �2  b  c  a   c  a  b  2a �2  a  b  c   c  a  b  Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  Bài 22: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR : HD : 2 Ta chứng minh : a  b  c �ab  bc  ca 31 a  b  c  ab  bc  ca �0   a  b    b  c    c  a  �0 2 Chuyển vế ta : a  b  c �2  ab  bc  ca  Ta chứng minh : Ta có : � a  ab  ac a bc � �2 � b  a  c  � b  bc  ba � � � c  ab c  ac  bc a  b  c �2  ab  bc  ca  � � , Cộng theo vế ta : 32 2 Bài 23: Cho a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a �b �c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  Khi :   a    b    c    ab  bc  ca   abc  a  b  c Lại có :  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c    abc  2 2 2   a  b  c   2abc  a  b  c  2abc  3a  b 3b  c 3c  a   �4 Bài 24: Cho a, b, c ba cạnh tam giác: CMR: 2a  c 2b  a 2c  b HD : �3a  b � �3b  c � �3c  a � VT  �  1� �  1� �  1��1 a  c b  a c  b � � � � � � Ta có : abc bca c ab    �1 2a  c 2b  a 2c  b , Lại có :  a  b  c  b  c  a  c  a  b   �1   2a  c   a  b  c   2b  a   b  c  a   2c  b   c  a  b   a  b  c 1   2a  c   a  b  c    2b  a   b  c  a    2c  b   c  a  b  2 Bài 25: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác: a 2016 b 2016 c 2016   �a 2015  b 2015  c 2015 CMR : b  c  a c  a  b a  b  c HD : � a  b    a  c  � � a 2016 � � a �  a 2015 � a 2015 �  1� a 2015 � � � bca �b  c  a � � � bca � Xét hiệu ta có : � Tương tự ta có : � b  a    b  c  �  c  a   c  b � 2015 � b 2015 � � c � � � c  a b �và � abc � Khi � a 2015 � b2015 � a 2015 b2015 � c 2015 � c 2015 � VT   a  b  �   b  c   a  c  � � � � � �b  c  a c  a  b � �c  a  b a  b  c � �b  c  a a  b  c � Giả sử : a �b �c  Ngoặc 2, �0 Ta có ngoặc 1= c a a 2015 b 2015    b  c  a  c  a  b 2015  b 2015    a  b   a 2015  b2015   b  c  a  c  a  b �0 , ĐPCM a  b  c  1, CMR : a  b  c � Bài 26: Cho HD : � �2 a x a  x2  x  � � 3 � � � �2 b  y   � b  y2  y  � 3 � � � �2 c z c  z  z  � � 3 Cộng theo vế ta : � Đặt � 33 a  b2  c   x2  y  z    x  y  z  3 (1) 1 a  b2  c  x2  y  z  � a  b  c  x  y  z   x  y  z  3 Mà : , Thay vào (1) => a b c   �3 Bài 27: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: b  c  a a  c  b a  b  c HD : bca  x � �x  y  2c � � a  c  b  y  �y  z  2a � yz xz x y 2A    � � abc  z z  a  2b x y z � � Đặt : , Khi : �x y � �z x � �z y �  �  � �  � �  ��6  A �3 �y x � �x z � �y z � Bài 28: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích chu vi HD: Gọi cạnh tam giác vng x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) 2 xy  2 x  y  z Ta có: (1) x  y  z (2)  z2   x  y  2xy Từ (2) , thay vào (1) ta có: z   x  y  4 x  y  z  z2  4z   x  y  4 x  y 2 z2  4z    x  y  4 x  y    z  2   x  y  2 2  z   x  y   z  x  y  , thay vào (1) ta : xy  2 x  y  x  y  4  xy  4x  4y  8   x  4  y  4   1.8  2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z :  5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 34 ... Cộng theo vế ta được:  a8  b8  c8  � a8  b8  c8   a  a  b5  c5   b3  a  b5  c5   c3  a  b5  c    a  b8  c8  � a  b3  c   a  b5  c  8 7 Bài 70: Cho a + b =... b => ĐPCM 13 14  a8  b8  c8  � a3  b3  c   a  b5  c  Bài 79: CMR : HD:  a8  b8  � a3  b3   a5  b5   b8  c8  � b3  c3   b5  c  Ta có:   c8  a  � a  c ...  a  b    a  b   a  b  ab   a  b  ab  Bài 68: CMR : HD:  a8  b8  � a  b3   a5  b5  8 5  a8  a5b3    b8  a3b5  �0 Ta có: 2a  2b �a  a b  a b  b  a a  b3