Bài giảng Lý thuyết tính toán: Bài 14 - Phạm Xuân Cường cung cấp cho học viên các kiến thức về quy dẫn; các bài toán không quyết định được, bài toán kiểm tra rỗng; quy dẫn thông qua lịch sử tính toán; bài toán PCP; quy dẫn ánh xạ;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
LÝ THUYẾT TÍNH TỐN BÀI 14: Quy dẫn Phạm Xn Cường Khoa Công nghệ thông tin cuongpx@tlu.edu.vn Nội dung giảng Giới thiệu Các tốn khơng định Quy dẫn thơng qua lịch sử tính toán Bài toán PCP Quy dẫn ánh xạ Giới thiệu Giới thiệu • Quy dẫn kỹ thuật chứng minh không định ngơn ngữ • Một quy dẫn cách chuyển tốn (khó) thành tốn khác (dễ hơn, giải được) • Có thể sử dụng lời giải toán dễ để áp dụng cho tốn khó • Quy dẫn thường hay xuất tốn tốn học • Ví dụ: - Bài tốn tìm đường thành phố đến (khó) → Bài tốn tìm đồ thành phố (từ đồ → đường đi) - Bài tốn tính diện tích hình chữ nhật → Bài tốn đo chiều dài, chiều rộng Logic ngược • Quy dẫn: đưa tốn khó tốn dễ • Nếu tốn khó khơng thể giải → Bài toán dễ phải chắn khơng giải • Ví dụ: - Bài tốn A: Sống mãi - Bài tốn B: Trẻ • Nếu ta tìm lời giải cho tốn B → Có thể giải tốn A • Nhưng tốn A khơng thể xảy → Bài tốn B khơng thể xảy • Tương tự LTTT, tốn A khơng định → tốn B khơng định Logic • Ta biết ATM khơng định • Xét tốn P, P có định hay không? Định lý P không định Chứng minh • Giả sử P định • Quy dẫn ATM (Bài tốn khó) P (Bài tốn dễ hơn) • Sử dụng thuật tốn định P để giải ATM • Nhưng ta biết không tồn định cho ATM → Mâu thuẫn → P không định Các tốn khơng định Các tốn khơng định • Bài tốn dừng: Kiểm tra xem máy Turing có dừng đầu vào w cho hay không HALTTM = { | M máy Turing M dừng với đầu vào w} • Vậy HALTTM định hay khơng? → Khơng Bài tốn dừng Định lý HALTTM không định Chứng minh Ý TƯỞNG: • Giả sử HALTTM định • Quy dẫn ATM HALTTM → ATM định • Mâu thuẫn với định lý trước → Điều giả sử sai → Vấn đề cốt lõi để quy dẫn ATM HALTTM Bài toán dừng (2) Chứng minh (Chi tiết) Giả sử TM R định HALTTM → Xây dựng TM S định ATM sau: S với đầu vào Chạy TM R đầu vào Nếu R bác bỏ bác bỏ Nếu R chấp thuận, mô M w đến dừng Nếu M chấp thuận w S chấp thuận, ngược lại S bác bỏ Rõ ràng, R định HALTTM → S phải định ATM ATM không định → HALTTM không định Bài toán PCP Bài toán PCP • Bài tốn PCP: Mơ tả dạng trị chơi Domino • Mỗi domino có dạng sau: a ab • Tập domino có dạng: b a ca abc , , , ca ab a c • Nhiệm vụ tạo danh sách domino (cho phép lặp lại) cho xâu hàng giống hệt xâu hàng → Danh sách đối xứng a b ca a abc , , , , ab ca a ab c • Tồn số tập domino khơng thể tìm đối xứng: abc ca acc , , ab a ba 17 Bài toán PCP • Bài toán PCP toán định xem tập domino có đối xứng khơng • Bài tốn khơng giải thuật tốn • Mơ tả tốn dạng ngơn ngữ - Một thể PCP tập P= t1 t2 tk , , , b1 b2 bk - Một đối xứng chuỗi i1 ,i2 , ,il ti1 ti2 til = bi1 bi2 bil Bài toán PCP PCP = {| P thể PCP có đối xứng} 18 Chứng minh Ý tưởng: Quy dẫn ATM thơng qua lịch sử tính tốn chấp thuận → Chứng minh ∀ TM M đầu vào w ta xây dựng thể P có đối xứng lịch sử tính tốn chấp thuận M w Để thuận tiện cho việc xây dựng P ta giả thiết: • M chạy w không di chuyển đầu đọc ô cuối bên trái băng • Nếu w = ε→ sử dụng xâu ∪ vị trí w mơ tả • Đảm bảo PCP đối xứng bắt đầu với domino PCP sửa đổi (MPCP-PCP) PCP = {
| P thể PCP có đối xứng bắt đầu domino đầu tiên} 19 Chứng minh Gọi R máy Turing định PCP xây dựng S định ATM Đầu tiên S xâu dựng thể P’ MPCP sau: • Phần 1: Đặt # #q0 w1 w2 wn # vào P’ domino • Phần 2: Điều chỉnh đầu đọc ghi sang bên phải ∀ a,B ∈ Γ ∀ q, R ∈ Q q = qreject Nếu δ(q,a) = (r,b,R) đặt qa br vào P’ • Phần 3: Điều chỉnh đầu đọc ghi sang bên trái ∀ a, b, C ∈ Γ ∀ q, R ∈ Q q = qreject Nếu δ(q,a) = (r,b,L) đặt cqa rcb vào P’ • Phần 4: Điều khiển không liền kề đầu đọc ghi ∀ a ∈ Γ đặt aa vào P’ 20 Ví dụ Cho Γ = {0, 1, 2, ␣}, w = 0100 trạng thái M q0 , δ(q0 ,0) = (q7 ,2,R) • P1: Đưa domino • P2: Đưa domino # t1 #q0 0100# = b1 q0 2q7 δ(q0 ,0) = vào P’ (q7 ,2,R) • P3: Bỏ qua q7 không đề cập tới dịch chuyển sang trái • P4: Đưa domino sau vào P’: 00 , 11 , 22 , ␣␣ • P5: Mở rộng match cách đưa domino sau vào P’: # # # ␣# Tiếp tục ta có δ(q7 ,1) = (q5 ,0,R) P’ có domino q7 # 0q5 , ␣# Tiếp tục ta có δ(q5 ,0) = (q9 ,2,L) P’ có domino 0q5 1q5 2q5 ␣q5 q9 02 , q9 12 , q9 22 , q9 ␣2 21 Ví dụ • P6: ∀ A ∈ Γ, đặt aqaccept qaccept • P7: Ta thêm domino qaccept ## # qaccept a qaccept vào P’ vào P’ để hoàn thiện đối xứng 22 Quy dẫn ánh xạ Quy dẫn ánh xạ • Hàm f: Σ* → Σ* hàm tính tốn tồn TM ∀ w, dừng với đầu f(w) băng • Định nghĩa hình thức quy dẫn ánh xạ Định nghĩa Ngôn ngữ A quy dẫn ánh xạ (mapping reducible) sang ngôn ngữ B, ký hiệu A ≤m B có hàm f: Σ* → Σ*, ∀ w, w ∈ A ⇔ f(w) ∈ B Hàm f gọi quy dẫn từ A sang B 23 Quy dẫn ánh xạ Định lý Nếu A ≤m B B định A định Chứng minh Gọi M định cho B, f quy dẫn từ A sang B Bộ định N cho A mô tả sau: N = Trên đầu vào w: Tính f(w) Chạy M đầu vào f(w) đầu đầu M Hệ Nếu A ≤m B A không định B khơng định 24 Quy dẫn ánh xạ Định lý 10 Nếu A ≤m B B nhận biết TM A nhận biết TM Chứng minh Tương tự Định lý Hệ Nếu A ≤m B A khơng nhận biết TM B không nhận biết TM 25 Quy dẫn ánh xạ Định lý 11 EQTM không Turing-recognizable không co-Turing-recognizable Chứng minh Đầu tiên chứng minh EQTM không Turing-recognizable cách quy dẫn ATM EQTM Hàm f thực sau: F = Trên đầu vào Xây dựng hai máy TM M1 M2 sau: • M1 đầu vào bất kỳ: Bác bỏ • M2 đầu vào - Chạy M w - Nếu chấp thuận w M2 chấp thuận Đưa 26 Quy dẫn ánh xạ Chứng minh Để chứng minh EQTM không nhận biết TM ta quy dẫn ATM EQTM Hàm G thực sau: G = Trên đầu vào Xây dựng hai máy TM M1 M2 sau: • M1 đầu vào bất kỳ: Chấp thuận • M2 đầu vào - Chạy M w - Nếu chấp thuận w M2 chấp thuận Đưa 27 Nội dung ơn thi cuối kỳ • Nội dung chương → • Cấu trúc đề thi câu • Hình thức thi viết, khơng dùng tài liệu • Thời gian thi: 90 phút • Tỷ lệ nội dung thi sau: - Chương + + 3: 90% - Chương + 5: 10% 28 Questions? 28 ... thường hay xuất tốn tốn học • Ví dụ: - Bài tốn tìm đường thành phố đến (khó) → Bài tốn tìm đồ thành phố (từ đồ → đường đi) - Bài tốn tính diện tích hình chữ nhật → Bài toán đo chiều dài, chiều rộng... khơng thể giải → Bài tốn dễ phải chắn khơng giải • Ví dụ: - Bài toán A: Sống mãi - Bài toán B: Trẻ • Nếu ta tìm lời giải cho tốn B → Có thể giải tốn A • Nhưng tốn A khơng thể xảy → Bài tốn B khơng... ab a ba 17 Bài tốn PCP • Bài tốn PCP tốn định xem tập domino có đối xứng khơng • Bài tốn khơng giải thuật tốn • Mơ tả tốn dạng ngơn ngữ - Một thể PCP tập P= t1 t2 tk , , , b1 b2 bk - Một đối xứng