Bài giảng Lý thuyết tính toán: Bài 13 - Phạm Xuân Cường cung cấp cho học viên các kiến thức về bài toán dừng; máy Turing vạn năng; phương pháp chéo hóa; ngôn ngữ đoán nhận được bởi Turing; ngôn ngữ vạn năng; ngôn ngữ không là Turing-recognizable;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
LÝ THUYẾT TÍNH TỐN BÀI 13: Bài tốn dừng Phạm Xuân Cường Khoa Công nghệ thông tin cuongpx@tlu.edu.vn Nội dung giảng Bài toán dừng Máy Turing vạn Phương pháp chéo hóa Ngơn ngữ đốn nhận Turing Bài toán dừng Bài toán dừng • Một số tốn giải thuật tốn, số khơng thể → Nghiên cứu giới hạn máy tính ATM = { | M máy Turing chấp thuận xâu vào w} Định lý ATM không định Bài tốn dừng • Trước tiên, ta nhận xét ATM đốn nhận Máy Turing U sau đoán nhận ATM U = " Trên đầu vào M TM w xâu Mô M xâu đầu vào w Nếu M gặp trạng thái chấp thuận → U chấp thuận, ngược lại bác bỏ → Nếu M lặp w U lặp → ATM gọi toán dừng Máy Turing vạn Máy Turing vạn • Ngơn ngữ vạn (Universal Language) U chữ Σ = {0,1} U = { | w ∈ L(M)} • U chứa tất ngơn ngữ Turing đoán nhận chữ Σ = {0,1} - Giả sử A ngơn ngữ Turing đốn nhận chữ Σ = {0,1}, M máy Turing đoán nhận A A = { w ∈ { 0, 1}* | ∈ U } • U ngơn ngữ Turing đốn nhận • Máy Turing đoán nhận U gọi máy Turing vạn → Có khả mơ máy Turing từ mơ tả máy Phương pháp chéo hóa Phương pháp chéo hóa • Để chứng minh khả không định toán dừng → Sử dụng kỹ thuật kiểm tra chéo (Georg Cantor, 1873) • Georg Cantor tập trung vào tốn đo kích thước tập vơ hạn • Nếu có hai tập vơ hạn, làm để biết hai tập có kích thước hay khơng? • Georg Cantor đề xuất giải pháp: Hai tập hữu hạn có kích thước ghép cặp phần tử thuôc tập với phần tử thuộc tập → Có thể so sánh mà không cần xếp đếm Phương pháp chéo hóa Từ ý tưởng ta mở rộng với tập vơ hạn Định nghĩa Giả sử có tập A, B hàm f ánh xạ A → B • Quan hệ 1-1: f(a) = f(b) a = b • Tồn ánh: ∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A cho f(a) = b • Tương đương: quan hệ 1-1 toàn ánh Vô hạn đếm không đếm Georg Cantor: “Hai tập có kích thước tồn quan hệ tương đương chúng” Định nghĩa Tập A đếm A hữu hạn A có kích thước tương đương với N Ví dụ: • Tập số tự nhiên lẻ = {1, 3, 5, } → Vơ hạn đếm • Tập phân số = { m n | m, n ∈ N} → Vô hạn đếm • Tập số thực → Vơ hạn khơng đếm Ví dụ vơ hạn đếm • Tập phân số Q = { • Tương đương: 17 43 m n 22 29 | m, n ∈ N} → Vô hạn đếm 17 • Chéo hóa Ví dụ vơ hạn khơng đếm Có số thực sau: π = 3.14159265 √ = 1.41412135 e = 2.718281828 x = 5.67932043 Định lý Tập số thực R → Vô hạn không đếm Chứng minh Ý TƯỞNG: Chứng minh phản chứng - Giả sử tồn quan hệ tương đương R N - Chỉ có phần tử X ∈ R mà không ghép cặp với phần tử N Ví dụ vơ hạn khơng đếm 10 Định lý Tập tất chuỗi nhị phân vô hạn vô hạn không đếm Chứng minh: Sử dụng phương pháp đường chéo 11 Ngôn ngữ không Turing-recognizable Định lý Tập tất máy Turing vô hạn đếm Hệ Tập tất ngơn ngữ Turing đốn nhận vô hạn đếm Định lý Tập tất ngôn ngữ vô hạn không đếm Hệ Tồn số ngôn ngữ không Turing-recognizable 12 Bài tốn dừng khơng định ATM = { | M máy Turing đoán nhận w} Định lý ATM không định Chứng minh • Giả sử ATM định • Gọi H thuật toán (hay máy Turing) định ATM Chấp thuận, M chấp thuận w H(< M, w >) = Bác bỏ, M bác bỏ w • Xây dựng máy Turing D mà H đóng vai trị thủ tục 13 Bài tốn dừng khơng định Chứng minh (tiếp) • Thuật toán máy Turing D sau: Chấp thuận, M bác bỏ D(< M >) = Bác bỏ, M chấp thuận → Mâu thuẫn → Không thể tồn D H 14 Ngôn ngữ đốn nhận Turing Ngơn ngữ đốn nhận Turing Thuật ngữ: co-Turing-recognizable bù ngôn ngữ Turing-recognizable Định lý Một ngôn ngữ định vừa Turing-recognizable co-Turing-recognizable Chứng minh Nếu A Turing-recognizable A Turing-recognizable Hệ ATM không Turing-recognizable 15 Questions? 15 ... Thuật ngữ: co-Turing-recognizable bù ngôn ngữ Turing-recognizable Định lý Một ngôn ngữ định vừa Turing-recognizable co-Turing-recognizable Chứng minh Nếu A Turing-recognizable A Turing-recognizable...Nội dung giảng Bài toán dừng Máy Turing vạn Phương pháp chéo hóa Ngơn ngữ đoán nhận Turing Bài toán dừng Bài tốn dừng • Một số tốn giải thuật tốn, số khơng thể → Nghiên cứu giới hạn máy tính ATM... nhận vô hạn đếm Định lý Tập tất ngôn ngữ vô hạn không đếm Hệ Tồn số ngôn ngữ không Turing-recognizable 12 Bài tốn dừng khơng định ATM = { | M máy Turing đoán nhận w} Định lý ATM không định