Bài 1 bất ĐẲNG THỨC nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI BẤT ĐẲNG THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm bất đẳng thức + Nắm tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối  Kĩ + Biết cách giải toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất định nghĩa + Biết cách chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức Cô-si + Vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức toán cực trị I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm bất đẳng thức - Ví dụ: Các mệnh đề dạng " a  b " " a  b " gọi bất đẳng  ;  a  1  ; a   thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương - Nếu mệnh đề " a  b  c  d " ta nói bất đẳng thức c  d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a  b viết a  b  c  d - Nếu bất đẳng thức a  b hệ bất đẳng thức c  d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a  b  c  d Ví dụ: Từ   2.3  2.6   12 Bất đẳng thức  12 bất đẳng thức hệ bất đẳng thức  Chứng minh tương tự, ta thu kết hai bất đẳng thức   12 tương đương với Tính chất bất đẳng thức Tính chất Điều Tên gọi Nội dung kiện a b  ac bc Cộng hai vế bất đẳng thức với số c0 a  b  ac  bc Nhân hai vế bất c0 a  b  ac  bc đẳng thức với số a  b  ac bd c  d Cộng hai bất đẳng thức chiều Trang a 0, a  b   ac  bd c  d Nhân hai bất đẳng n  * a  b  a n 1  b n 1 Nhân hai vế bất n  * , a  b  a 2n  b2n đẳng thức lên c0 thức chiều lũy thừa a0 a0 ab a  b Khai hai vế ab a  b bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô-si - Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ab  ab Ví dụ: - Dấu "  " xảy a  b - mãn xy  Khi đó, ta có Hệ quả: x  y  x y  xy  18 Tổng số dương nghịch đảo ln lớn Dấu "  " xảy a   , a  a  x2  y x  y     x  y  3  xy  Nếu x , y dương có tổng khơng đổi tích xy đạt giá trị lớn x  y  Chứng minh: a  b  a  b 1 Nếu x , y dương có tích khơng đổi tổng x  y đạt giá trị nhỏ x  y Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối - Cho hai số thực x , y thỏa - Nếu a  b 1 - Nếu a  b , bình phương hai vế, ta Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất sau Điều kiện Nội dung x  , x  x , x  x a0 x  a  a  x  a x  a x a  x  a a  b  ab  a  b a  ab  b  a  b  2ab  ab  ab (bất đẳng thức đúng) Suy điều phải chứng minh Dấu "  " xảy ab  Chứng minh tương tự với bất đẳng thức a  b  a  b II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa tính chất Trang Phương pháp giải Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức A  B  A  B a  b3  a 2b  ab với a  , b  Hướng dẫn giải Cách Xét hiệu dùng phép biến đổi tương đương để a  b3   a 2b  ab    a  a 2b    ab  b3  chứng minh A  B  A  B  tương đương Chứng minh A  B   A  B  0 với bất đẳng thức Xuất phát từ bất đẳng thức Biến đổi vế bất đẳng thức A  C Sử dụng tính chất bắc cầu   A  B C  B  a  a  b   b2  a  b    a  b   a  b2    a  b   a  b  Mà  a  b   với a , b a  , b  nên a  b a  b  Dấu "  " xảy a  b Vậy a  b3  a 2b  ab với a  , b  Cách Biến đổi tương đương a  b3    a 2b  ab    a  a 2b    ab  b3    a  a  b   b2  a  b     a  b   a  b2     a  b   a  b    * Lập luận tương tự Cách 1, ta suy bất đẳng thức * bất đẳng thức với a  , b  Vì ta có bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ mẫu Ví dụ Cho a , b hai số thực thỏa mãn ab  Chứng minh 1   2  a  b  ab Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1 1   0    0 2 2  a  b  ab  a  ab  b  ab Nhận xét: Khi chứng minh Trang    bất đẳng thức dạng A  B ab  a ab  b  0 1  a  1  ab  1  b2  1  ab  a b  a   b a  b 1  a  1  ab  1  b  1  ab  2 ta nên trường hợp dấu đẳng thức (dấu "  " ) 0 xảy ba  a b  b  a a  ab  b  a 2b    0    ab   a  b   ab 1  a 1  b   b  a   ab  1  b  a  a  b   ab  b  a      ab 1  a 1  b  1  ab  1  a 1  b2  Bất đẳng thức cuối ab  Dấu "  " xảy a  b ab  Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Ví dụ Cho a , b thỏa mãn a  b  Chứng minh a  b3  a  b   a  b        Hướng dẫn giải Ta có 2 a  b3  a  b   a  b   a  b   a  ab  b   a  b   a  b        2       a  b   a  b   a  2ab  b   a  b  2  a  ab  b               a  b  a  b   (ln a  b   a  b   ) Dấu "  " xảy a  b a  b Vậy a  b3  a  b   a  b    với a  b      Ví dụ Cho a , b , c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 35 33 1 1    a b c abc Hướng dẫn giải Ta có   a  b  c   a  b  c   ab  ac  bc    ac  bc  ab   a  b  c Trang  ac  bc  ab   a  b2  c2   ac  bc  ab  35  hay ac  bc  ab  66 Vì abc  nên chia hai vế cho abc , ta  ac  bc  ab  abc abc 1 1    (điều phải chứng minh) a b c abc Ví dụ Chứng minh với a , b , c  ta có  a b c    ab bc ca Hướng dẫn giải Ta có a  b  a  b  c  Tương tự ta có 1 a a    1 ab abc ab abc b b  bc abc  2 ; c c   3 ca abc Cộng theo vế bất đẳng thức 1 ,   ,  3 ta a b c     * ab bc ca Ta có a  a  b  c   a  ab  ac  a  ab  ac  bc   a  b  a  c   a ac  ab abc  4 Tương tự ta có b ba  bc abc  5 c cb  ca abc  6 Cộng theo vế bất đẳng thức   ,   ,   ta a b c    ab bc ca Từ * ** ta  ** a b c    (điều phải chứng minh) ab bc ca Ví dụ Cho a , b , c số thực không âm thỏa mãn điều kiện Chứng minh a b c     bc  ca  ab a b c     a  bc  b  ca  c  ab Hướng dẫn giải Ta có Trang a b c a b c 3      bc   ca   ab  a b c  a  bc  b  ca  c  ab 4 1 1 1  bc  ca  ab Đặt x  a b c ; y ; z  bc  ca  ab Suy x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Ta cần phải chứng minh Dễ thấy x y z    1 x 1 y 1 z x x y y z z    ; ; 1 x 1 x  y  z 1 y 1 y  x  z 1 z 1 z  x  y Cộng vế với vế bất đẳng thức, ta x y z x yz     (vì x  y  z  ) 1 x 1 y 1 z 1 x  y  z Do bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu "  " xảy số a , b , c có số hai số cịn lại Ví dụ Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x  y  z 1 1 1 1 Chứng minh y      x  z       x  z  x z y x z Hướng dẫn giải Bắt đẳng thức cho tương đương với  x  z xz   y  x  z x  z  xz y xz y    (vì x  z  ) xz xz y  xy  yz  y  xz   x y  z  y  y  z    x  y  y  z   Bất đẳng thức ln  x  y  z Vây bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu "  " xảy x  y y  z Ví dụ Cho abc  a  36 Chứng minh a2  b  c  ab  bc  ca Hướng dẫn giải Xét hiệu Trang  a2  a2 a2 2 2  b  c   ab  bc  ca     b  c  ab  ca  2bc    3bc   12 2 a  a  36bc  a  a  36abc   b c    b c  12 12a 2  2  a  a  36   b c  12a 2  a  36 0; Ta có a  36  a  36  a  36  nên 12a 3 a  Lại có   b  c   2  a  a  36 Do   b  c   0 12a 2  Vậy a2 a2  b  c   ab  bc  ca     b  c  ab  bc  ca (điều phải chứng minh) 3 Ví dụ Cho hai số thực dương a , b Bất đẳng thức sau đúng? A a2  a 1 B C a2  1  a2  2 D Tất ab  ab  Hướng dẫn giải a  1  a2 2a  a      , a   Do A sai, D sai a4  2  a  1  a  1  ab  ab   ab   ab  2  ab  1  ab  2  ab  1  0 2  a2  1 a 1 a 1  a     a2  2  a2  2  a2  2 ab  , a, b  Do B sai ab  2 0 a2  1  , a Do C a2  2 Chọn C Ví dụ Nếu  a  bất đẳng thức sau đúng? A  a a C a  a B a  a D a  a Hướng dẫn giải Trang    1 a 1 a  a 1 a a  a     a , a   0;1 Do A a a a a a a   a  1 a  1     a  , a   0;1 Do B sai a a a a a a  a   a    a  a , a   0;1 Do C sai a  a  a  a  1   a  a , a   0;1 Do D sai Chọn A Ví dụ 10 Cho a  b  x  1 a 1 b ; y Mệnh đề sau đúng? 1 a  a  b  b2 A x  y B x  y C x  y D Không so sánh Hướng dẫn giải Giả sử x  y  1 a 1 b   1  a  1  b  b   1  b  1  a  a   a  a  b  b2   b  b  a  ab  ab   a  a  b  ab  a 2b  b  ab  a  a 2b  a  b  ab  a  b     a  b  a  b  ab   với a  b  Do x  y Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập a  b2  a  b  Câu 1: Hai số a , b thỏa mãn bất đẳng thức     A a  b B a  b C a  b D a  b Câu 2: Với m , n  , bất đẳng thức mn  m  n   m3  n3 tương đương với bất đẳng thức A  m  n   m  n   B  m  n   m  n  mn   C  m  n  m  n   D  m  n   m  2n   Câu 3: Cho x , y  Bất đẳng thức sau sai? A  x  y   xy C  xy  x  y 2 B 1   x y x y D  x  y    x  y  Trang Câu 4: Với x  , biểu thức A x B x 1 2 x 1 x , , , , giá trị biểu thức nhỏ nhất? x x 1 x 1 2 C x 1 D x Câu 5: Cho mệnh đề sau (I): a  b  2ab , a, b (II): ab  a  b   a  b3 , a, b (III): ab   ab , a, b Mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C (I) (III) D (I), (II) (III) Câu 6: Cho mệnh đề (I): a2  a 1 (II): ab  ab  (III): a2  1  a2  2 (IV): ab 1 ab Số mệnh đề A B C D Câu 7: Giá trị lớn hàm số y   x  x  đoạn  2;3 A B Câu 8: Cho hàm số f  x   x2  C D Mệnh đề sau đúng? A f  x  có giá trị nhỏ 0, giá trị lớn B f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f  x  có giá trị nhỏ 1, giá trị lớn D f  x  khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 9: Cho a , b , c , d số dương Mệnh đề sau đúng? A Nếu a c ab cd   b d a c C a  b  c  ab  bc  ca B Nếu a c ab cd   b d b d D ab   a  b  2ab  a  b Câu 10: Cho a , b , c , d số thực a , c  Nghiệm phương trình ax  b  nhỏ nghiệm phương trình cx  d  A b c  a d B b c  a d C b a  d c D b d  a c Bài tập nâng cao x  y  Câu 11: Với giá trị a hệ phương trình  có nghiệm  x; y  với x y lớn nhất?  x  y  2a  Trang A a  B a  C a   D a  Câu 12: Cho a  b  c  Hãy chọn mệnh đề A ab  bc  ca  B ab  bc  ca   C ab  bc  ca  D ab  bc  ca  Câu 13: Bất đẳng thức a  b  c  d  e  a  b  c  d  e  , a, b, c, d , e tương đương với bất đẳng thức sau đây? 2 2 2 2 2 2 b  c  d  e  A  a     a     a     a    2  2  2  2  a  a  a  a  B  b     c     d     e    2  2  2  2  a  a  a  a  C  b     c     d     e    2  2  2  2  D  a  b    a  c    a  d    a  e   2 2 Câu 14: Cho số a, b, c bất đẳng thức sau đúng? A a  b  ab B  a  2b  3c   14  a  b  c  C ab  bc  ca  a  b  c D 1   a b ab Câu 15: Giá trị nhỏ biểu thức x  x với x   A  B  C D ĐÁP ÁN Dạng Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa tính chất 1-C 2-C 3-B 4-B 5-A 11 - A 12 - B 13 - B 14 - C 15 - C 6-D 7-B 8-B 9-A 10 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 11 Chọn B x  a Hệ phương trình có nghiệm   y  1 a 1 1 1 1   Ta có xy  a 1  a   a  a    a  2a       a     , a   4 2 4   Đẳng thức xảy a  Vậy xy lớn a  Trang 10 Câu 12 Chọn B Ta có a  b  2ab ; b  c  2bc ; c  a  2ac Cộng vế theo vế ta có  a  b  c    ab  bc  ca   ab  bc  ca  Ta có  a  b  c    a  b  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca   Câu 13 Chọn B a  b2  c  d  e2  a  b  c  d  e  2  a2  2 a 2 a 2 a    ab  b     ac  c     ad  d     ae  e           2 2 a  a  a  a   b    c    d    e    2  2  2  2  Câu 14 Chọn C Đáp án C ab  bc  ca  a  b  c   a  b    b  c    c  a   2 Câu 15 Chọn C Ta có x  ; x   x  x  , x   Vây giá trị nhỏ đạt x  Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si Phương pháp giải Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số Ví dụ Cho a, b, c  Chứng minh không âm: ab  ab Với a, b  , ta có Đẳng thức xảy a  b Các dạng tương đương bất đẳng thức a  b ab  a  b 2 a  b  2  a  b  b  c  c  a   8abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có a  b  ab ; b  c  bc ; c  a  ca Nhân vế với vế bất đẳng thức ta  a  b  b  c  c  a   a 2b c  8abc Đẳng thức xảy a  b  c Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số không âm: Với a, b, c  , ta ln có abc  abc Ví dụ Cho a, b, c  Chứng minh a b c    b c a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có Trang 11 Đẳng thức xảy a  b  c Dạng tương đương bất đẳng thức a  b  c abc  27 a b c a b c    33  b c a b c a Đẳng thức xảy a  b  c Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho n số không âm Với a1 , a2 , , an  , ta ln có a1  a2   an n  a1.a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh với số thực dương a, b ta có 1   a b ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có a  b  ab , 1   a b ab Nhân vế với vế bất đẳng thức ta  a  b   1 1  4   a b ab a b Đẳng thức xảy a  b Ví dụ Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  3 Chứng minh a  3b  b  3c  c  3a  Hướng dẫn giải Cách Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có 3  a  3b  1.1   a  3b   1   a  3b    a  3b   a  3b   1 Chứng minh tương tự ta có b  3c   b  3c   ,  2 c  3a   c  3a    3 Trang 12 Cộng vế bất đẳng thức 1 ,   ,  3 , ta a  3b  b  3c  c  3a    a  b  c    1   a  3b  b  3c  c  3a      3   a  b  c  Đẳng thức xảy  abc 4 a  3b  b  3c  c  3a  Cách Đặt x  a  3b , y  b  3c , z  c  3a ta có x3  y  z   a  b  c   Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x  y  z  Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương, ta có x3    3 x3 1.1  x Chứng minh tương tự, ta y    y , z    z Cộng vế bất đẳng thức tương tự, ta  3 x  y  z   x  y  z  Đẳng thức xảy x  y  z   a  b  c  Ví dụ (Đề thi đại học khối D – 2005) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz  Chứng minh  x3  y  y3  z3  z  x3   3 xy yz zx Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương, ta có  x3  y  3 1.x3 y  xy  x3  y   xy xy 1 Chứng minh tương tự ta  y3  z3  yz ; yz  2  z  x3  zx zx  3 Cộng vế bất đẳng thức 1 ,    3 , ta Trang 13  x3  y  y3  z3  z  x3    xy yz zx  xy 3  yz zx 3 3 xy yz zx  33 Đẳng thức xảy x  y  z  Ví dụ Cho a, b, c  Chứng minh a3 b3 c3 abc    b c  a  c  a  b a b  c  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta a3 b ca a3 b c  a 3a a3 5a b c    33      b c  a b c  a b c  a 4 Tương tự, ta chứng minh b3 5b c a c3 5c a b    ;    c  a  b 4 a b  c  4 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta a3 b3 c3 abc    b c  a  c  a  b a b  c  Đẳng thức xảy a  b  c Ví dụ Cho x, y, z số dương xyz  Chứng minh x2 y2 z2    1 y 1 z 1 x Hướng dẫn giải x 1 y x 1 y x2 y Ta có  2 x  x   1 1 y 1 y 1 y 4 Tương tự y2 z  y  1 z 4   z2 x  z  1 x 4  3 Mẹo ta cần quan tâm dấu "  " xảy để thêm bớt cho phù hợp Cộng theo vế bất đẳng thức 1 ,   ,  3 ta x2 y2 z2 x yz       x  y  z 1 y 1 z 1 x 4    3  x  y  z   3 xyz  4  3   1  Đẳng thức xảy x  y  z  Trang 14 Ví dụ (Đề thi đại học khối A – 2005) Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1    Chứng minh x y z 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z Hướng dẫn giải Trước hết với a, b  , ta có 4ab   a  b   ab 11 1       a  b 4ab ab 4 a b Đẳng thức xảy a  b Sử dụng kết trên, ta có 1 1   1  1   1                 x  y  z  x y  z   x  y z   x y z  Tương tự 1 1  11 1      ;      x  y  z  y 2z 2x  x  y  2z  z 2x y  Vậy 1 11 1         2x  y  z x  y  z x  y  2z  x y z  Đẳng thức xảy x  y  z   5 Ví dụ Giá trị lớn M hàm số f  x    x  3  x  , với x    ;   2 A M  B M  24 C M  27 D M  30 Hướng dẫn giải Áp dụng hệ bất đẳng thức Cô-si: f  x    x  1  x  a  b ab   2x 1  2x  4 2 , ta  27  f  x   27    x  Dấu "  " xảy  2  x  2 x    x Vậy M  27 Chọn C Ví dụ Giá trị lớn M hàm số f  x   x 1 với x  x Trang 15 A M  B M  C M  D M  Hướng dẫn giải Ta có f  x   x 1 x 1   x x 11 x 1  Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có  x 1 1    x 1 1   x  1  x  Dấu "  " xảy x  Do f  x   Vậy M  x 1  x  Chọn B Ví dụ Giá trị lớn M hàm số f  x    x  1 , với x  B M  A M  C M  x D M  Hướng dẫn giải Ta có f  x   x  x  1  x x  2x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có x   x  x Do x  x   x  f  x   x  4x Dấu "  " xảy x  Vậy M  Chọn B Ví dụ 10 Giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số f  x   x    x A m  ; M  B m  ; M  C m  ; M  D m  ; M  Hướng dẫn giải Hàm số xác định 3  x  Tập xác định D   3;6 Ta có f  x     x  3  x  Trang 16  x  3  x   , x   3;6 Vì nên f  x    f  x   Dấu "  " xảy x  3 x  Vậy m  Lại có  x  3  x    x   x   Dấu "  " xảy x    x  x  f  x   18  f  x   Vậy M  Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy  Giá trị nhỏ A  x  y A B C D a b a b c 1   (I);    (II);    (III) (với a, b, c  b a b c a a b c abc ) Bất đẳng thức bất đẳng thức đúng? Câu 2: Cho bất đẳng thức A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D (I), (II), (III) Câu 3: Cho x  y  Gọi S  x  y , ta có A S  B S  C   S  D 1  S  Câu 4: Cho x, y hai số thực thay đổi cho x  y  Gọi m  x  y , ta có 2 A Giá trị nhỏ m B Giá trị nhỏ m C Giá trị lớn m D Giá trị nhỏ lớn m Câu 5: Giá trị nhỏ hàm số f  x   A B x  với x  x 1 Câu 6: Giá trị nhỏ hàm số f  x   x  A B C 2 D với x  x C D 2 Câu 7: Cho a, b, c  Bất đẳng thức đúng?  a  b  c  A 1   1   1     b  c  a   a  b  c  B 1   1   1     c  a  b   b  c  a  C 1   1   1     c  a  b  D  a  b  b  c  c  a   6abc Câu 8: Cho x  Giá trị lớn hàm số f  x   A B C x 3 x D Bài tập nâng cao Trang 17 Câu 9: Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  Giá trị nhỏ biểu thức P  xy  A xy 17 B C Câu 10: Với a, b, c  Biểu thức P  A  P  a b c   Mệnh đề sau đúng? bc ca ab  P B D C  P D  P Câu 11: Cho a, b, c  Khẳng định sau sai? A 1  2a  2a  3b  3b  1  48ab C B 1  2b  2b  3a  3a  1  48ab 1 11 1        2 1 a 1 b 1 c 2a b c  a  b  c  D   1   1   1   b  c  a  Câu 12: Giá trị nhỏ m hàm số f  x   A m  x  với  x  x 1 x B m  C m  D m  ĐÁP ÁN Dạng Chứng minh bất đẳng thức sử dụng đẳng thức Cô-si 1-D 2-D 11 - C 12 - D 3-C 4-A 5-B 6-D 7-A 8-A 9-A 10 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn A  x y Ta có xy     xy    Đặt xy  t , điều kiện  t    15 15 15 17 Khi P  t    t   t      t  16t  16t 16t 16 4 Đẳng thức xảy t  Vậy giá trị nhỏ P 1 hay x  y  17 Câu 10 Chọn D 1     Ta có P    a  b  c    bc ca ab Trang 18 Áp dụng bất đẳng thức Do P   1 1       , suy b  c c  a a  b 2a  b  c x y z x yz P 2 Đẳng thức xảy a  b  c Câu 11 Chọn C Đáp án A áp dụng bất đẳng thức Cô-si  2a  2a ; 2a  3b  6ab ; 3b   3b Đáp án B áp dụng bất đẳng thức Cô-si  2b  2b ; 2b  3a  6ab ; 3a   3a Đáp án C sai với a  ; b  ; c  Đáp án D áp dụng bất đẳng thức Cô-si a a b b c c 1  ; 1  ; 1  b b c c a a Câu 12 Chọn D Ta có f  x    Vì x   0;1  f  x   1  x  x 4x x x  4     x 1 x x x 1 x x 1 x x  nên theo bất đẳng thức Cô-si, ta có 1 x 1  x  1  x  x x  2   f  x  x 1 x x 1 x 1  x   Dấu "  " xảy   1  x  x  x  Vậy m    1 x  x Trang 19 ... t  16 t  16 t 16 t 16 4 Đẳng thức xảy t  Vậy giá trị nhỏ P 1 hay x  y  17 Câu 10 Chọn D 1     Ta có P    a  b  c    bc ca ab Trang 18 Áp dụng bất đẳng thức Do P   1 1 ...   x ? ?1 với x  x Trang 15 A M  B M  C M  D M  Hướng dẫn giải Ta có f  x   x ? ?1 x ? ?1   x x ? ?1? ? ?1 x ? ?1  Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có  x ? ?1 ? ?1    x ? ?1 ? ?1   x  1  x ... dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có Trang 11 Đẳng thức xảy a  b  c Dạng tương đương bất đẳng thức a  b  c abc  27 a b c a b c    33  b c a b c a Đẳng thức xảy a  b  c Bất đẳng thức