Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT NHIỀU ẩn nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm phương trình bậc hai ẩn, hệ hai phương trình bậc hai ẩn ý nghĩa hình học chúng + Nắm phương pháp cộng đại số, phương pháp phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình + Nắm cơng thức tính định thức cấp hai để giải hệ phương trình  Kĩ + Biết cách giải phương trình bậc hai ẩn áp dụng cách linh hoạt phương pháp để giải hệ phương trình + Tính thành thạo định thức cấp hai để giải hệ phương trình bậc hai ẩn + Biết cách giải biện luận hệ hai phương trình bậc hai ẩn có chứa tham số Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn (x y) có dạng: Khi a  b  ta có phương trình 0x  0y  c Nếu c  phương trình vơ nghiệm; ax  by  c (1) a, b, c số cho, với c  phương trình vô số nghiệm ab  Khi b  phương trình ax  by  c trở thành Nếu có cặp số  x0 ; y0   x0 ; y0  cho ax0  bx0  c gọi nghiệm phương trình (1) Phương trình (1) ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm a c y   x  (2) b b Cặp số  x0 ; y0  nghiệm phương trình phương trình biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường (1) điểm M  x0 ; y0  thuộc đường thẳng ax  by  c Hệ hai phương trình bậc hai ẩn thẳng (2) Ta sử dụng định thức cấp hai để giải hệ Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát phương trình bậc hai ẩn: là: a1 x  b1 y  c1  a2 x  b2 y  c2 Phương pháp giải: Phương pháp phương pháp cộng đại số D a1 b1  a1.b2  a2 b1 ; a2 b2 Dx  c1 b1  c1.b2  c2 b1 ; c2 b2 Dy  a1 c1  a1.c2  a2 c1 a2 c2 Nếu D  hệ phương trình có nghiệm   x   y   Dx D Dy D Nếu D  0; Dx  0; Dy  , hệ có vơ số nghiệm Nếu D  0; Dx  Dy  hệ vơ nghiệm Hệ phương trình bậc ba ẩn Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát là: a1 x  b1 y  c1z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d2 a x  b y  c z  d 3  2x  3y  4z   Ví dụ:  y  3z   2z   hệ phương trình dạng tam giác Phương pháp giải: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp để khử dần ẩn đưa giải hệ phương trình dạng tam giác Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA D c1 a1 b1  a1.b2  a2 b1 ; Dx  c2 a2 b2 Dy  Hệ hai phương trình bậc hai ẩn a1 a2 b1  c1.b2  c2 b1 ; b2 c1  a1.c2  a2 c1 ; c2 Nếu D  hệ có nghiệm a1 x  b1 y  c1  a2 x  b2 y  c2  x    y    Dx D Dy D Nếu D  0; Dx  0; Dy  , hệ có vơ số nghiệm Nếu D  0; Dx  Dy  hệ vơ nghiệm Phương trình bậc hai ẩn ax  by  c a Phương pháp giải: - Phương pháp - Phương pháp cộng đại số  b  0 Tập nghiệm phương trình biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường thẳng ax  by  c Hệ ba phương trình bậc ba ẩn a1 x  b1 y  c1z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d2 a x  b y  c z  d 3  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Phương trình bậc hai ẩn ln ln có vơ số Ví dụ: Biểu diễn tập nghiệm phương trình nghiệm 3x  2y  trục số Bước Xác định hai nghiệm phương trình Hướng dẫn giải Tập nghiệm phương trình 3x  2y  đường thẳng Vì hai cặp số  x; y   0; 3  x; y   2;0 nghiệm phương trình nên tập nghiệm đường thẳng qua hai điểm  0; 3  2;0 Bước Biểu diễn hai nghiệm hệ trục tọa độ để vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình Ví dụ mẫu Ví dụ Cặp số sau khơng nghiệm phương trình x  y   ? A  2t  3; t  3  B  4t ; 2t   2  C  t ; t  3 D  4t  3;2t  Hướng dẫn giải Thay cặp số vào phương trình ban đầu, ta có Đáp án A 2t    t     0t  với t 3  Đáp án B 4t   2t      0t  với t 2  Đáp án C t   t  3    3t    t  3 (không với t) Đáp án D 4t    2t     0t  với t Trang Do cặp số đáp án A, B, D nghiệm phương trình cặp số đáp án C không nghiệm phương trình Chọn C x  y  Ví dụ Tập hợp nghiệm hệ phương trình  tập hợp sau đây? 3 x  y  15 A Một điểm B Một đường thẳng C Một mặt phẳng C  Hướng dẫn giải x  y  Ta có   x y5 3 x  y  15 Tập hợp nghiệm hệ đường thẳng Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình sau Hình Hình Hình Hình Trong hình trên, hình biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y   ? A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 2: Hình vẽ sau biểu diễn hình học tập nghiệm phương trình nào? Trang A x  y  B x  y  4 C  x  y  D x  y  Câu 3: Cặp số  x; y  sau không nghiệm phương trình x  y  ? A  t ; t  3 B  t  3; t  C  2t  1;2t   D  t  5; t   Câu 4: Cặp số  x, y  sau nghiệm phương trình x  y  4 ? A  3 x0  4;  x  B  x0  2; x0   C  x0  4;2 x0  D   x0 ;1  x0  2 x  y  Câu 5: Tập hợp nghiệm  x; y  hệ phương trình  tập hợp sau đây? 6 x  y  12 A Một đường thẳng B Toàn mặt phẳng Oxy C Nửa mặt phẳng D  x  3y  Câu 6: Tập hợp nghiệm  x; y  hệ phương trình  tập hợp sau đây?  x  y  6 A Một điểm B Một đường thẳng C Nửa mặt phẳng D  Dạng 2: Giải biện luận hệ phương trình Bài tốn Giải biện luận hệ hai phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải - Phương pháp phương pháp cộng đại số - Sử dụng định thức cấp hai: D a1 b1  a1.b2  a2 b1 ; a2 b2 Dx  c1 b1  c1.b2  c2 b1 ; c2 b2 Dy  a1 c1  a1.c2  a2 c1 a2 c2 Nếu D  hệ có nghiệm  x  y  (1) Ví dụ: Giải hệ phương trình  3 x  y  (2) Hướng dẫn giải Từ (1) ta có y   x   Thay vào (2) ta có x   x   x  2  y  32 Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y      2;3  2 Trang   x   y   Dx D Dy D Nếu D  0; Dx  0; Dy  hệ có vơ số nghiệm Nếu D  0; Dx  Dy  hệ vơ nghiệm Ví dụ mẫu x  y  Ví dụ Hệ phương trình  có nghiệm? 3 x  y  A B C Vô số nghiệm D Vô nghiệm Hướng dẫn giải Ta có   nên hệ phương trình có vơ số nghiệm Chọn C 6 x  y   Ví dụ Giải hệ phương trình:  10   1  x y Hướng dẫn giải Điều kiện: x  0; y  1 Đặt ẩn phụ: u  , v  x y  u   6u  5v  12u  10v  x     Hệ phương trình trở thành  y  9u  10v  9u  10v   v   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;5   x   y  Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x  y  Hướng dẫn giải Từ phương trình thứ hai, ta có y  x  Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: 5  x   x   x      x    x  x   y  1   x   5  x  Trang Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    2; 1 Bài toán Giải biện luận hệ phương trình bậc ba ẩn Phương pháp giải Bằng phương pháp cộng đại số phương x  y  z   Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x  y  z  3  x  y  z  5  pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa hệ phương trình tam giác Hướng dẫn giải Cộng hai vế phương trình thứ thứ hai ta x  y  z  x  y  z    được: 3 x  z   x  z   x  y  z  5  x  y  z  5   3 x  y  z    x  z   x  y  z  5  Cộng hai vế phương trình thứ thứ ba ta được: x  y  z  x  y  z     x  z  x  z  4 x  x    x  y  z  y      z  1   z  1 x  x    Vậy nghiệm hệ 1;3; 1 Ví dụ mẫu mx  y  (1)  Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ my  z  (2) có nghiệm nhất?  x  mz  (3)  A m  B m  C m  1 D m  1 Hướng dẫn giải mx  y  Từ (2) suy z   my Thay vào (3) ta có:  x  m y   m  Hệ có nghiệm m   m  1 m2 Chọn đáp án D Trang Bài tập tự luyện dạng 2 x  y  Câu 1: Hệ phương trình  có nghiệm? 4 x  y  10 A B C D Vô số  x  y  Câu 2: Nghiệm hệ phương trình  3 x  y    2;2  3 C   2;3  2    2;2 D   2;2 A B     3 3  1 x  y  1  Câu 3: Nghiệm hệ phương trình  2 x   y  2  1  A 1;   2    1  B  1;  2  C 1;2  D 1; 2  Câu 4: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng  d1  : x  y   d  : x  y  5 A 13;7  B 13; 7  C  13;7  D  13; 7    x  y  xy  Câu 5: Hệ phương trình  có nghiệm 2  x y  xy       A  x; y  3;2 ; 2;1 B  x; y    0;1 ; 1;0  C  x; y    0;2  ;  2;0  D  x; y    2; ; ;2      2 x  y   Câu 6: Hệ phương trình  có cặp nghiệm  x; y  ? 2 y  x   A B C D mx  y  Câu 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ phương trình  vơ số nghiệm  x   m   y  m A m  2 B m  C m  D m  1 3 x  my  Câu 8: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình  có nghiệm mx  y  m  A m  m  3 B m  C m  D m  m  3 mx   m   y  Câu 9: Cho hệ phương trình  m  x  y    y Tìm tất giá trị thực m để hệ phương trình vơ nghiệm? Trang A m  C m  1 hay m  B m  hay m  D m   hay m  Câu 10: Cho hai đường thẳng d1 : x   m   y  ; d : mx  y  m d1 cắt d nào? A m  1 B m  C m  1 D m  3 x  ay  Câu 11: Biết hệ phương trình  có vơ số nghiệm Tính giá trị biểu thức 2 x  y  b  T  2a  3b A T  B T  10 C T  10 D T  7 mx  y  Câu 12: Cho hệ phương trình   x  my  2m  Các giá trị thích hợp tham số m để hệ phương trình có nghiệm ngun A m  0, m  2 B m  1, m  2, m  C m  0, m  D m  1, m  3, m  mx   m   y  Câu 13: Cho hệ phương trình   x  my  2m  Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm tham số m A   m  1 C m   B  m  hay m  2 D m  hay m  3 x  y  z   Câu 14: Nghiệm hệ phương trình 4 x  y  z  15  x  y  z  5  A  10;7;9  B  5; 7;8  C  10; 7;9  D  5; 7; 8  Câu 15: Bộ số  x; y; z   1;0;1 nghiệm hệ phương trình sau đây? 2 x  y  z  10   A  x  y  z  5  y  z  17   x  y  z  2  B 5 x  y  z  x  y  2z   2 x  y  z   C  x  y  z   x  y  z  2   x  y  z  2  D  x  y  z   x  y  z   Trang 10 x  y   Câu 16: Hệ phương trình  y  z  có nghiệm z  2x    x0 ; y0 ; z0  giá trị biểu thức F  x0  y0  z0 A B C D x  3y 1   Câu 17: Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ 2 x  y  z  có nghiệm  m  x  z  2m    A m  B m  1 C m  3 D m  x  y  z   1 1 Câu 18: Nghiệm  x; y; z  hệ phương trình     x y z  xy  yz  zx  27 A 1;1;1 B 1;2;1 C  2;2;1 D  3;3;3 Dạng Giải tốn cách lập hệ phương trình Phương pháp giải Ví dụ Hai vật chuyển động đường trịn có đường kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động chiều gặp 20 giây lại gặp Nếu chúng chuyển động ngược chiều giây lại gặp Tính vận tốc mật Hướng dẫn giải Bước Gọi ẩn đặt điều kiện cho ẩn Gọi vận tốc vật I x  m/s  vận tốc vật II y  m/s  Bước Thiết lập hệ phương trình thể mối quan hệ ẩn  x, y  0; y  x  Sau 20s hai vật chuyển động quãng đường 20 x, 20 y  m  Vì chúng chuyển động chiều 20 giây lại gặp ta có phương trình 20 x  20 y  20 Sau s hai vật chuyển động quãng đường x, y  m  Vì chúng chuyển động ngược chiều giây lại gặp ta có phương trình Trang 11 x  y  20 Từ hai phương trình ta có hệ phương trình: 20 x  20 y  20  4 x  y  20  x  3 Giải hệ phương trình ta  thỏa mãn  y  2 Bước Giải hệ phương trình Bước So sánh nghiệm với điều kiện ẩn Vậy vận tốc hai vật 3  m/s  2  m/s  kết luận tốn Ví dụ mẫu Ví dụ Trong kỳ thi, hai trường A B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính trường A có 97% trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển Số học sinh dự thi trường A B bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi số thí sinh tham dự trường A trường B x, y  x, y  *; x, y  350   x  y  350  x  200   Theo đề ra, ta có hệ phương trình  97 96  y  150 100 x  100 y  338 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh dự thi trường A 200, trường B 150 học sinh Bài tập tự luyện dạng Câu Nhà trường phát thưởng cho học sinh khá, học sinh giỏi hai lớp 10A 10B Lớp 10A có học sinh giỏi học sinh khá, lớp 10B có học sinh giỏi học sinh Số phát thưởng cho hai lớp 10A, 10B 125 110 Hỏi học sinh giỏi thưởng vở? (Biết phần thưởng cho học sinh hai lớp học sinh giỏi thế) A Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh 10 B Học sinh giỏi 18 quyển, học sinh 12 C Học sinh giỏi 17 quyển, học sinh 11 D Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh Câu Hiện tuổi mẹ Nam gấp lần tuổi Nam, năm trước tuổi mẹ Nam gấp lần tuổi Nam Hỏi mẹ Nam sinh Nam lúc tuổi? A 30 tuổi B 25 tuổi C 35 tuổi D 28 tuổi Câu Tìm vận tốc chiều dài đồn tàu hỏa biết đoàn tàu chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối giây Cho biết sân ga dài 378m thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây A Vận tốc tàu 21 m/s chiều dài đoàn tàu 147m Trang 12 B Vận tốc tàu 23 m/s chiều dài đoàn tàu 145m C Vận tốc tàu 21 m/s chiều dài đoàn tàu 145m D Vận tốc tàu 23 m/s chiều dài đoàn tàu 147m Câu Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) dung dịch khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn thêm lít dung dịch loại loại để 100 lít dung dịch 50% axit nitơric? A 80 lít dung dịch loại 20 lít dung dịch loại B 20 lít dung dịch loại 80 lít dung dịch loại C 30 lít dung dịch loại 70 lít dung dịch loại D 70 lít dung dịch loại 30 lít dung dịch loại Câu Có hai loại quặng sắt: quặng sắt A chứa 60% sắt, quặng sắt B chứa 50% sắt Người ta trộn lượng quặng loại A với lượng quặng loại B hỗn hợp chứa sắt Nếu lấy tăng lúc đầu 15 17 10 quặng loại A lấy giảm lúc đầu 10 quặng loại B hỗn hợp quặng chứa 30 sắt A 10; 15 B 10; 20 C 10; 14 D 10; 12 Câu Hai vòi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau 55 phút đầy bể Nếu để chảy vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Thời gian vòi thứ vịi thứ hai chảy đầy bể A 30 phút 30 phút B C 30 phút 30 phút D Câu Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em tham gia lao động trồng Mỗi em lớp 10A trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10B trồng bạch đàn bàng Mỗi em học sinh lớp 10C trồng bạch đàn Cả ba lớp trồng 476 bạch đàn 375 bàng Hỏi lớp có học sinh? A 10A có 40 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em B 10A có 45 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em C 10A có 45 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em D 10A có 43 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em Trang 13 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Dạng Phương trình bậc hai ẩn 1-C 2-B 3-D 4-D 5-A 6-A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn A 2 x  y  Ta có   x  y  Suy tập nghiệm hệ đường thẳng 6 x  y  12 Câu Chọn A x  3y  Ta có   x  y  Nghiệm hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng Dễ thấy hai đường thẳng cắt nên tập nghiệm hệ điểm Dạng Giải biện luận hệ phương trình 1-D 2-C 3-D 4-C 5-D 6-B 7-D 8-D 11 - D 12 - A 13 - A 14 - D 15 - C 16 - B 17 - C 18 - D 9-A 10 - C HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn D Đặt S  x  y, P  xy  S  P     S  P  5  S , P nghiệm phương trình X  X    X  1; X  Ta có  2  SP   Khi S  1; P  (loại) 5 Khi S  ; P  x, y nghiệm phương trình X  X    X  2; X  2      Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;  ;  ;2        Câu Chọn B Điều kiện: x, y  2 x  y   Ta có   2x  y  y   x    2 x  y   y  x    yx y 1  x 1 Trang 14    x  y     0 y   x     x  x  Khi x  y x  x    x    x   (vô nghiệm)   x   1  x 2 4 x  x     Khi y 1  x 1  1 x  y    x  y  (vô nghiệm x, y  ) 2 Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Câu Chọn D  y  mx  mx  y   y  mx  Ta có    x m  m   m     x   m   y  m  x   m   mx  1  m   m  2m   Hệ có vơ số nghiệm   m  1  2m   Câu Chọn A  y   mx  m  y     4 y   y     m  x  y    y m  x  y    y mx  m   3 m    m  Hệ vô nghiệm   m   3 Câu 10 Chọn C Hai đường thẳng d1 : x   m   y  ; d : mx  y  m  x   m   y  m2  có nghiệm nhất, nghĩa hay m  1 d1 cắt d hệ  m 1 mx  y  m Câu 11 Chọn D  2a  3 y  10  3b 3 x  ay  6 x  2ay  Hệ phương trình    3 x  2ay  2 x  y  b  6 x  y  3b   a  a      Để hệ vơ số nghiệm  Vậy T   10  7 10 10  3b  b   Câu 12 Chọn A Ta có D  m  , Dx  m  , Dy  2m  m  Trang 15 Với m  , hệ phương trình có nghiệm x  Dy 2m  Dx   , y D m 1 D m 1 Hệ phương trình có nghiệm nguyên m  0; m  2 Câu 13 Chọn A Ta có D  m  m  2, Dx  2m  2m  6, Dy  2m  3m  Hệ phương trình có nghiệm D   m  1; m  Hệ có nghiệm x  2m  2m  2m  3m  y  , m2  m  m2  m    m  1  m  m    m2 Hệ phương trình có nghiệm âm       m  1 2m  3m      m   2 Câu 18 Chọn D Ta có 1     xy  yz  zx  xyz  xyz  27 x y z  x, y, z nghiệm phương trình X  X  27 X  27   X  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y; z    3;3;3 Dạng Giải toán cách lập hệ phương trình 1-A 2-A 3-A 4-B 5-B 6-D 7-A Trang 16 ... em, 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em Trang 13 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Dạng Phương trình bậc hai ẩn 1-C 2-B 3- D 4-D 5-A 6-A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM...  hệ phương trình có nghiệm   x   y   Dx D Dy D Nếu D  0; Dx  0; Dy  , hệ có vơ số nghiệm Nếu D  0; Dx  Dy  hệ vơ nghiệm Hệ phương trình bậc ba ẩn Hệ ba phương trình bậc ba ẩn. .. c Hệ ba phương trình bậc ba ẩn a1 x  b1 y  c1z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d2 a x  b y  c z  d 3  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Phương trình