THE MACHTRONICS TIẾNG VIỆT 24 PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

ệ thống của họ theo cách thuận tiện để hiểu và xác định ứng xử của hệ.Bất cứ sự mô tả nào hỗ trợ mối liên hệ đó đều có thể gọi là một mô hình. Trong lý thuyết hệthống, mô hình đóng vai trò cơ bản vì chúng cần thiết cho việc phân tích, tổng hợp và thiết kế tấtcả các loại hệ thống có thể tưởng tượng được.Không chỉ có một mô hình duy nhất cho một hệ thống cho trước. Thứ nhất, vì mô hình có thểtuân theo nhiều mục đích khác nhau. Thí dụ, khi xử lý với động cơ điện, chúng ta có thể quan tâmđến quá trình biến đổi năng lượng cơđiện, hoặc có thể mô hình hoá động cơ giống như một hệthống nhiệt hay hệ thống cơ để nghiên cứu sự rung động hoặc sức bền vật liệu vv… Thứ hai, vìtrên thực tế các mô hình đó thường không chính xác vì các hệ thống thực thường vô cùng phứctạp. Một trong những quyết định then chốt đối với các kỹ sư khi thực hiện mô hình hoá hệ thống làphải quyết định đặc tính thiết yếu nào mà mô hình phải thể hiện và quyết định đó cũng liên quanmật thiết với mục đích của mô hình.

24 Phân tích khơng gian trạng thái thuộc tính hệ thống 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 Mario E Salgado Universidad Técnica Federico Santa María Juan I Yuz Universidad Técnica Federico Santa María 24.6 24.7 24.8 24.9 Mơ hình: Những khái niệm 24-1 Biến trạng thái: Những khái niệm .24-2 Miêu tả không gian trạng thái cho hệ thống thời gian liên tục 24-5 Miêu tả không gian trạng thái cho hệ thống thời gian rời rạc liệu lấy mẫu 24-15 Các mơ hình khơng gian trạng thái cho hệ thống kết nối .24-25 Các thuộc tính hệ thống 24-27 Bộ quan sát trạng thái 24-42 Phản hồi trạng thái 24-47 Phản hồi trạng thái quan sát 24-49 24.1 Mơ hình: Những khái niệm Mối liên hệ thiết yếu kỹ sư/nhà khoa học hệ thống dựa vào khả mô tả hệ thống họ theo cách thuận tiện để hiểu xác định ứng xử hệ Bất mô tả hỗ trợ mối liên hệ gọi mơ hình Trong lý thuyết hệ thống, mơ hình đóng vai trị chúng cần thiết cho việc phân tích, tổng hợp thiết kế tất loại hệ thống tưởng tượng Khơng có mơ hình cho hệ thống cho trước Thứ nhất, mơ hình tn theo nhiều mục đích khác Thí dụ, xử lý với động điện, quan tâm đến trình biến đổi lượng cơ-điện, mơ hình hố động giống hệ thống nhiệt hay hệ thống để nghiên cứu rung động sức bền vật liệu vv… Thứ hai, thực tế mơ hình thường khơng xác hệ thống thực thường vơ phức tạp Một định then chốt kỹ sư thực mơ hình hố hệ thống phải định đặc tính thiết yếu mà mơ hình phải thể định liên quan mật thiết với mục đích mơ hình 24-1 Metechvn.com Sổ tay Cơ điện tử Lý thuyết hỗ trợ việc mơ hình hố thân lĩnh vực rộng lớn, ngun tắc đầu tiên, lý thuyết tín hiệu, tốn học cơng cụ số kết hợp theo nhiều cách khác để tạo phương pháp luận phong phú Một mơ hình xây dựng theo hướng, trình xây dựng mơ hình thường xun tương tác qua lại với tiến trình phụ thuộc vào chất lượng kết thu sử dụng mơ hình ứng dụng riêng rẽ Các tương tác bao gồm việc thay đổi phương pháp luận việc mơ hình hố Trong chương này, giải với lớp mơ hình đặc biệt để miêu tả hệ thống động Hệ thống động hệ thống mà biến hệ thống phụ thuộc lẫn không theo tốn học mà cịn theo cách mà quan sát can thiệp hiệu ứng tích luỹ tốc độ thay đổi Các mơ hình cho hệ thống động xây dựng miền thời gian liên tục, rời rạc cấu trúc thời gian liên tục-rời rạc(đối với hệ thống hỗn hợp, hệ thống lấy mẫu).Chúng ta đề cập đến ba trường hợp Ở nhấn mạnh vào khái niệm, thuộc tính bản, giải thích vật lý ví dụ Chúng ta khơng sâu vào việc chứng minh không phát triển lý thuyết phức tạp cho người đọc dễ hiểu Bạn đọc tìm hiểu sâu lý thuyết thơng qua tài liệu [6, 8, 10-14] 24.2 Biến trạng thái: Những khái niệm Giới thiệu Một lớp mơ hình sử dụng thường xun mơ hình xác định phương trình dựa nhóm biến nội hệ thống Những biến nội hiểu biến trạng thái Giá trị chúng khoảng thời gian tức thời định hiểu trạng thái hệ thống, thường diễn đạt biến hệ thống trạng thái hệ thống theo nghĩa giống Định nghĩa trở nên không rõ ràng đặt vào tập biến hệ thống cụ thể Đặc điểm bật tập biến trạng thái làm rõ định nghĩa sau: Một tập biến trạng thái hệ thống cho trước tập biến nội tại, biến hệ thống tính toán hàm trạng thái đầu vào tương lai hệ thống Trong định nghĩa này, muốn nhấn mạnh ý nghĩa vật lý biến trạng thái Tuy nhiên, có thêm định nghĩa trừu tượng khác Định nghĩa ngụ ý biết trạng thái thời gian t tính tốn lượng chứa hệ thống thời điểm Năng lượng chứa hệ thống phụ thuộc vào số biến hệ thống (tốc độ, điện áp, dịng điện, vị trí, nhiệt độ, áp suất…) tất chúng, theo định nghĩa, tính tốn từ trạng thái hệ thống Định nghĩa gợi ý nghĩ trạng thái theo cách tổng quát hơn: biến trạng thái chọn hàm (vd: tổ hợp tuyến tính) biến nội hệ thống Sự tổng quát hoá tạo nên số khoảng cách trạng thái giải thích vật lý Tuy nhiên, có thuận lợi tạo cấu trúc tổng quát Nó làm rõ thêm: lựa chọn biến trạng thái không Một quan sát quan trọng khác thời gian tiến triển trạng thái, thân biểu đồ trạng thái tính toán từ giá trị trạng thái đầu vào tương lai Vì mơ hình liên quan phương trình vi phân bậc (thời gian liên tục) phương trình sai phân bước (thời gian rời rạc) Các mô hình khơng gian trạng thái 24-2 Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Nếu biểu diễn x vector tương ứng với biến trạng thái riêng, dạng tổng quát mơ hình biến trạng thái sau: Đối với hệ thống thời gian liên tục: dx  F(x(t ), u(t ), t ) dt (24.1) y(t )  G (x(t ), u(t ), t ) (24.2) u(t) vector đầu vào y(t) vector đầu hệ thống Đối với hệ thống thời gian rời rạc: x[t + 1] = Fd (x[t ], u[t ], t ) (24.3) y[t ] = Gd (x[t ], u[t ], t ) (24.4) tương tự trường hợp thời gian liên tục, u[t] vector đầu vào y[t] vector đầu hệ thống Chú ý rằng, suốt chương sử dụng ký hiệu t để biểu diễn thời gian liên tục rời rạc sử dụng [ ] thời gian rời rạc Để có nhìn sơ ban đầu khái niệm khơng gian trạng thái, ta xem ví dụ sau: Ví dụ 24.1 Trong hình 24.1, ngoại lực f(t) đặt vào hệ khối lượng-lị xo Vị trí d(t) đo tương đương với vị trí khối lượng lị xo trạng thái tự khơng có ngoại lực tác động Sự dịch chuyển khối lượng bị cản lại lực ma sát trượt tỉ lệ với tốc độ vật nặng v(t) Chúng ta biết để tính tốn vị trí tốc độ vật nặng phải biết tốc độ ban đầu vật nặng lực kéo ban đầu lị xo Vì vectơ trạng thái phải có hai thành phần, ví dụ x(t) = [x1(t) x2(t)]T, lựa chọn trạng thái ban đầu là: x1 (t )  d (t ) (24.5) x2 (t )  v(t )  x1 (t ) (24.6) Với lựa chọn áp dụng định luật Newton để có được: f (t )  M dv(t )  Kd (t )  Dv (t )  M x (t )  Kx1 (t )  Dx2 (t ) dt (24.7) D số tỉ lệ ma sát nhớt Chúng ta có phương trình trạng thái sau: x1 (t )  x2 (t ) x (t )   K D x1 (t )  x2 (t )  f (t ) M M M (24.8) (24.9) 24-3 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 24.1 Hệ Ta thấy lượng w(t) lưu giữ hệ thống đưa bởi: 1 w(t)  K ( d (t ))2  M (v(t ))2  x (t )T Lx(t ) 2 (24.10) K M , 2 Cuối cùng, tính khơng vector trạng thái đánh giá thay lựa chọn tạo theo (24.8) ta chọn trạng thái x (t ) liên quan với x(t) ma trận khơng suy biến:  ma trận đường chéo:  =diag (24.11) x (t )   x (t ) Vấn đề đề cập chi tiết phần “Biến đổi trạng thái tương đương” Tín hiệu miêu tả khơng gian trạng thái Khơng gian trạng thái sử dụng để miêu tả nhiều loại tín hiệu cách sử dụng mơ hình có dạng: dx(t )  Ax(t ), dt y(t) = Cx(t ) x[t +1]= A q x  t  , tín hiệu thời gian liên tục y  t   Cq x  t  cho tín hiệu thời gian rời rạc (24.12) (24.13) Để minh hoạ ý tưởng này, xét tín hiệu thời gian liên tục có dạng: f(t) = + 4cos(5t) – sin(5t) (24.14) tín hiệu giải thích nghiệm phương trình vi phân nhất:  d f (t ) df (t )  25  , giả thiết: f(0) = 6, f (0)   f (0)   100 dt dt  (24.15) ta chọn biến trạng thái, x1 (t )  f (t ), x2 (t )  f (t ) x3 (t )  f (t ) , mơ hình khơng gian trạng thái cho tín hiệu là: 0 0 dx(t )     0   x(t ), y (t )  1 0 x(t) dy    25  24-4 (24.16) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Theo cách dùng mơ hình khơng gian trạng thái, biến trạng thái khơng có ý nghĩa vật lý cụ thể Tuy nhiên, miêu tả đặc biệt có ích lý thuyết khơi phục tín hiệu xử lý nhiễu tổng hợp hệ thống điều khiển 24.3 Miêu tả không gian trạng thái cho hệ thống thời gian liên tục Phần giới thiệu mô tả không gian trạng thái cho hệ thống thời gian liên tục Phân tích tập trung vào lớp hệ thống tuyến tính bất biến Trước tiên ta xem xét làm để xây dựng mơ hình tuyến tính từ phương trình phi tuyến (24.1) (24.2) Ở giai đoạn này, có giới hạn hệ thống nghiên cứu khơng có thời gian trễ túy Đặc tính sinh vectơ trạng thái vô hạn chiều Tuy nhiên thấy mục 24.4 lớp hệ thống xử lý thành cơng mơ hình liệu trích mẫu Tuyến tính hố Vì tập trung vào hệ thống thời gian bất biến, nên (24.1) (24.2) viết lại sau: dx  F( x (t ), u (t )) dt (24.17) y (t )  G( x(t ), u(t ) (24.17) Giả thiết mơ hình (24.17) (24.18) có điểm cân cho {xQ, uQ, yQ) Ba vectơ thoả mãn: = F(xQ, uQ) (24.19) yQ = G(xQ, uQ) (24.20) Chú ý điểm cân xác định đạo hàm trạng thái không Nếu ta xem xét vùng lân cận xung quanh điểm cân bằng, sau ta tính xấp xỉ mơ hình (24.17) (24.18) cách cắt số Taylor mơ sau: x  F(x Q , u Q )  F F (x(t )  x Q )  (u(t )  u Q ) x x=xQ u x=xQ u=u Q  t )  G(x Q , u Q )  y( G x x=xQ u=u Q (24.21) u=u Q (x(t )  x Q )  G u x=x Q u=u Q (u(t )  u Q ) (24.22) Phương trình (24.21) (24.22) viết sau: d x(t )  Ax (t )  Bu (t ) dt (24.23) y (t )  C x(t )  Du (t ) (24.24) đó: x (t )  x(t )  xQ u (t )  u (t )  uQ y (t )  y (t )  yQ (24.25) 24-5 Sổ tay Cơ điện tử A F x , B x  xQ u  uQ F u C , x  xQ u  uQ G x , D x  xQ u  uQ G u (24.26) x  xQ u  uQ Ví dụ sau minh hoạ cho việc tuyến tính hố Ví dụ 24.2 Xét hệ thống hình 24.2 Quả cầu sắt chịu tác động hai lực: sức nặng thân vật, mg, lực hút điện từ, f(t) Điện từ điều khiển nguồn điện áp, e(t) > 0, t Hình 24.2 Hệ thống hút từ tính Lực hấp dẫn tác động lên khối cầu, f(t), phụ thuộc vào khoảng cách h(t) dòng điện i(t) Mối quan hệ mơ tả gần sau: f (t )  K1 i(t ) h(t )  K (24.27) Ldi(t ) dt (24.28) K1 K2 số dương Sử dụng quy tắc thứ ta có: e(t )  Ri(t )  dh (t ) dt (24.29) K1 dv(t ) i (t )  mg  m h (t )  K dt (24.30) v(t )   f (t )  Tiếp theo ta chọn đại lượng sau biến trạng thái: dòng điện i(t), vị trí khối cầu h(t), tốc độ khối cầu v(t) x(t )   x1 (t ) x2 (t ) T x3 (t )   [ i(t) h(t) v(t)]T (24.31) sau từ (24.28) – (24.30) ta đặt miêu tả hệ thống (24.1) di (t ) dx1 (t ) R    x1 (t )  e(t ) dt dt L L 24-6 (24.32) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống dh(t ) dx2 (t )    x3 (t ) dt dt (24.33) K1 dv(t ) dx3 (t )   x1 (t )  g dt dt m( x2 (t )  K ) (24.34) Trước xây dựng mơ hình tuyến tính, điểm cân cần tính tốn Đầu vào điều khiển củahệ thống nguồn áp e(t) Điểm cân nhận e(t) = EQ, trạng thái cân tính nhờ (24.32) - (24.34), cách đặt tất đạo hàm khơng, có nghĩa là: EQ R x1Q  EQ   x1Q  L L R (24.35)  x3Q   x3Q  (24.36) K1 EQ K1 K x1Q  g   x2Q  x1Q  K   K2 m( x2Q  K ) mg mgR (24.37)  Các thiết lập đủ để xây dựng mơ hình tuyến tính theo gia tăng đầu vào ∆e(t) gia tăng trạng thái ∆x(t) = [∆x1(t) ∆x2(t) ∆x3(t)]T Kết là: d x1 (t ) R   x1 (t )  e(t ) dt L L (24.38) d x2 (t )   x3 (t ) dt (24.39) d x3 (t ) Rg Rmg  x1 (t )  x2 (t ) dt EQ K1 EQ (24.40) Nếu ta định nghĩa vị trí cầu h(t) đầu hệ thống, ta so sánh phương trình với (24.23) (24.24) để có:  R   L A   Rg   EQ 0  Rmg K1 EQ  0  1  ,   0  1 L   B  0  , 0       0 C  1  ,   D0 (24.41) Trong kết chúng tơi bỏ qua kí hiệu ∆ đằng trước, người đọc cần nhớ mơ hình tuyến tính theo gia tăng trạng thái, đầu vào đầu xung quanh điểm cân chọn Các mơ hình khơng gian trạng thái tuyến tính Điểm khởi đầu mô hình khơng gian trạng thái tuyến tính bất biến dx(t )  Ax(t ) + Bu (t ) dt (24.42) y(t) = Cx (t ) + Du(t ) (24.43) 24-7 Sổ tay Cơ điện tử Với giả thiết x(t0) = x0, nghiệm phương trình (24.42) là: t x(t) = e A(t-t ) x0   e A( t  ) Bu ( )d t  t0 (24.44) t0 ma trận chuyển tiếp eAt thỏa mãn:  k k At k 1 k ! e At  I   (24.45) Bạn đọc kiểm tra (24.44) thỏa mãn (24.43) cách dùng quy tắc Leibniz cho đạo hàm tích phân Với kết trên, lời giải cho (24.43) cho bởi: t y (t )  Ce A ( t  t0 ) x0  C  e A ( t  ) Bu ( )d  Du (t ) (24.46) t0 Động lực học hệ thống Trạng thái hệ thống gồm hai thành phần: thành phần không cưỡng bức, xu(t), thành phần cưỡng xℓ(t), đó: xu (t )  e A(t t0 ) x0 (24.47) t x f (t )   e A ( t  t0 ) Bu ( )d (24.48) t0 Để hiểu rõ mơ hình khơng gian trạng thái lời giải nó, ta xét trường hợp to = u(t) = t  , nghĩa trạng thái có thành phần khơng cưỡng x(t )  e At x0 (24.49) Giả thiết A n để đơn giản, có trị riêng 1 , 2 .n với n vector riêng (độc lập tuyến tính) v1, v2…vn Khi ln tồn tập số 1 ,  . n cho: n x0     v ,   (24.50)  1 kết biết từ đại số tuyến tính cho thấy trị riêng Ak 1k , 2k nk với vector riêng tương ứng v1, v2…vn Vì vậy: n x(t )  e At x0  I   n A v t    e   k !     1 k k t  k 1 k v  v (24.51)  1 Phương trình cho thấy thành phần không cưỡng trạng thái tổ hợp tuyến tính mode tự nhiên {e  t } , mà mode số chúng liên quan tới trị riêng A Vì vậy, ma trận A xác định: 24-8  cấu trúc đáp ứng không cưỡng  ổn định (hoặc mặt khác) hệ thống  tốc độ đáp ứng Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Khi ma trận A khơng có tập n vector riêng độc lập, dạng Jordan sử dụng (xem [9,10]) Cấu trúc đáp ứng không cưỡng Khi thiếu đầu vào, trạng thái tổ hợp mode tự nhiên phụ thuộc vào lớp hàm định nghĩa: tất điều khiển số mũ với phần thực phức Vì mơ hình bao gồm số, số mũ thực, sóng sin túy, sóng sin bị điều biến theo hàm mũ, số hàm đặc biệt khác xuất từ trị riêng lặp Để minh họa lập luận mối quan hệ vật lý chúng, xét hệ thống ví dụ 24.1 Với hệ thống đó:  A   K  M  D   M  (24.52) Vì vậy, trị riêng hệ thống nghiệm phương trình: det( I  A)    D K  0 M M (24.53) có nghĩa là: 1,2   D D2 K   2M 4M M (24.54) Do đó, suy giảm không (D = 0), trị riêng hệ thống cặp số phức liên hợp, tổ hợp hai mode tự nhiên (phức) sinh dao động trì với tần số góc 0  K / M Điều phù hợp với cảm nhận vật lý chúng ta, cho dao động trì hệ thống có điều kiện đầu khác khơng ngoại lực f(t) không Khi hệ thống bị suy giảm nhẹ (D2 < KM), trị riêng ma trận số phức liên hợp, tổ hợp mode phức tự nhiên sinh sóng sin suy giảm theo hàm mũ Điều phù hợp với cảm quan, lượng tích trữ ban đầu khối lượng lị xo chạy từ khối lượng tới lò xo theo chu kì ngược lại cuối bị hao tổn hoàn toàn, nhiệt, ma sát Cuối cùng, suy giảm lớn (D2 = 4KM), trị riêng ma trận cặp số thực âm mơ hình ban đầu hai hàm mũ suy giảm Suy giảm mạnh ngăn cản dao động lượng ban đầu suy giảm nhanh chóng Ba trường hợp khác biểu diễn hình 24.3 Để mô phỏng, sử dụng dụng ba giá trị khác số ma sát D và: M = kg, K = 0.1 N/m d(0) = 0.3 m, v(0) = 0.05 m/s (24.55) Lưu ý rằng, khối lượng tiệm cận dừng trừ khơng có ma sát (D = 0) 24-9 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 24.3 Đáp ứng khơng cưỡng hệ khối lượng - lò xo Cấu trúc đáp ứng cưỡng Khi trạng thái ban đầu không, trạng thái thể thành phần cưỡng Thành phần cưỡng trạng thái bao gồm mode tự nhiên số mode cưỡng đặc biệt thêm vào, mà mod phụ thuộc vào chất đầu vào u(t) hệ thống Nói chung mode cưỡng đầu vào xuất trạng thái Tuy nhiên, vài trường hợp đặc biệt xuất số mod cưỡng u(t) trùng với số mod tự nhiên hệ thống Tính ổn định hệ thống Ổn định hệ thống tuyến tính, bất biến phân tích cách sử dụng ma trận trạng thái A Tất biến hệ thống biểu diễn hàm tuyến tính trạng thái đầu vào hệ thống Khi đầu vào hệ thống u(t) vectơ hàm thời gian bị giới hạn, tính không giới hạn biến hệ thống phụ thuộc vào trạng thái bị giới hạn Vì ta có kết sau: Định lý 24.1 Xét hệ thống với miêu tả trạng thái (24.42) (24.43) B, C D có phần tử bị giới hạn Khi trạng thái hệ (và đầu hệ) bị giới hạn với tất đầu vào bị giới hạn trị riêng A có phần thực âm Để minh họa định lý này, xét lại hệ ví dụ 24.2 Ma trận A (trong mơ hình tuyến tính hố) cho bởi:  R   L  A    Rg  E Q  0  Rmg K1 EQ  0  1   0  (24.56) trị riêng định thức det(λI – A) = đó: R  Rmg   Rmg   det( I  A)            L   K1 EQ   K1 EQ   (24.57) Có thể thấy tập trị riêng ma trận bao gồm phần thực lớn không Điều cho thấy hệ thống không ổn định Kết phù hợp với suy luận vật lý Thật vậy, mặt lý thuyết, định vị cầu q trình cân (điều 24-10 Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Ma trận khả quan sát được cho bởi:   C  c [C , A]      1  CA  R C  R C  3  R1  R1  R2  R2 C1  (24.208) Để xác định khả quan sát hoàn tồn, nói cách khác, ta cần tính định thức ma trận det( c [C , A])  ( R1C1  R3C3 ) R3C3C1 (24.209) Từ ta kết luận rằng, hệ thống mơ hình quan sát hoàn toàn nếu, R1C1  R3C3 , giống với điều kiện ta thu ví dụ 24.13 Áp dụng biến đổi Laplace vào phương trình (24.204) – (24.203) ta có hàm truyền đạt từ Vi ( s) tới V0 ( s ) : V0 ( s ) V ( s) V0 ( s)   Vi ( s) Vi ( s) V ( s) 1 R1C1 R3C3  R  R2 s s R1 R2 C1 R3C3 s (24.210) Điều kiện R1C1  R3C3 tạo khả quan sát được, dẫn tới triệt tiêu điểm cực - khơng mơ hình hàm truyền đạt, có nghĩa là, điểm cực nửa trái mạch hình 24.14 bị triệt tiêu điểm khơng nửa phải Có chút khác biệt hàm truyền đạt (24.210) (24.169) Kết cuối giống nhau, thứ tự triệt tiêu khác với trường hợp Sự triệt tiêu điểm không - cực liên quan đến tính quan sát hồn tồn triệt tiêu điểm cực - không liên quan đến tính điều khiển hồn tồn Những vấn đề bàn cách chi tiết mục nhỏ “Khai triển tắc” Gramian tính quan sát Kiểm tra tính quan sát theo định lý 24.4 trả lời “có” hay “khơng” tính quan sát hồn tồn mơ hình Tuy nhiên, đơi ta quan tâm tới mức độ tính quan sát mơ hình cụ thể Từ ta ước lượng lượng tín hiệu đầu y (t ) , khơng có đầu vào ( u (t )  ) trạng thái x(0)  x0 t   T E ( x0 )   y (t ) dt   y (t )T y (t )dt (24.211) Có thể chứng minh lượng đầu là:  E ( x0 )   y (t ) dt  x0T Qx0 (24.212) Trong đó:  T Q   e A t C T Ce At dt (24.213) 24-37 Sổ tay Cơ điện tử Ma trận Q gọi gramian tính quan sát được, đo lường tính quan sát vectơ trạng thái x (0) Nếu ma trận nhỏ, có nghĩa có đóng góp yếu trạng thái đầu x0 đến lượng đầu y (t ) Thực vậy, ta đánh giá tác động biến trạng thái cách lấy, ví dụ x0  [0, ,0,1,0, ,0]T Chú ý rằng, tồn tích phân định nghĩa (24.213) đảm bảo hệ thống ổn định, có nghĩa là, trị riêng A có phần thực âm Ngồi ra, gramian tính quan sát Q đượcđịnh nghĩa (24.213) thỏa mãn phương trình Lyapunov: AT Q  QA  C T C  (24.214) Với hệ thống rời rạc ổn định, gramian tính điều khiển được định nghĩa bởi:  Qd   ( AdT )k CdT Cd Adk (24.215) AdT Qd Ad  Qd  CdT Cd  (24.216) k 0 Nó thỏa mãn: Ví dụ 24.19 Ta sử dụng mơ hình ví dụ 24.18, miêu tả mơ hình khơng gian trạng thái (24.206) (24.207), để đánh giá lợi ích gramian tính quan sát (24.213), đặc biệt mơ hình gần tính quan sát hồn tồn, có nghĩa là, R1C1  R3C3 Giả thiết R1 , R2 , R3 , C1 , C3 có giá trị ví dụ 24.14, có: v (t )   1  C3      10 3 i R1 (t )     vC (t )  1  20       vi (t )   iR1 (t )  0   vC (t )  v0 (t )  [1 103 ]   iR1 (t )  (24.217) (24.218) Nếu ta xét độ lớn tương đối thành phần ma trận C, đốn đầu v0 (t ) chủ yếu định trạng thái iR1 (t ) Để xác minh điều này, tính gramian tính quan sát được định nghĩa (24.172) cách giải:  AT Q  QA  C T C  1 0 0  103    q11 q12    q11 20       q21 q22  q21   1 q12   q22  10 3  (24.219) 20       1 10 3     10 3    (24.220) Chúng ta có: 69.83   0.57 Q  69.83 225000   24-38 (24.221) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Từ ta tính đóng góp trạng thái với lượng tổng đầu Bằng cách làm vậy, xác minh biến trạng thái iR1 (t ) có tác động đầu lớn tác động vC (t ) , định nghĩa phương trình (24.212) x0  [1, 0]T  E ( x0 )  0.57 (24.222) x0  [1, 0]T  E ( x0 )  225000 (24.223) s 1 Vo ( s) 9  20 s  Vi ( s ) s (24.224) Hàm truyền đạt là: Ta quan sát thấy có triệt tiêu điểm cực - khơng giả Nguyên tắc đối ngẫu Chúng ta thấy giống kết định lý 24.3 24.4, định nghĩa gramian (24.172) (24.213) Đó nguyên tắc đối ngẫu, nguyên tắc phát biểu sau: Định lý 24.5 (đối ngẫu) Xét mơ hình khơng gian trạng thái miêu tả hệ thống sở liệu (4-tuple (A, B, C, D)) Khi hệ thống điều khiển hoàn toàn hệ thống đối ngẫu (AT, BT,CT,DT) quan sát hồn tồn Khai triển tắc Tính xác định Định lý thường sử dụng để từ kết tính điều khiển sang kết tính quan sát ngược lại Đối ngẫu bổ đề 24.1 là: Bổ đề 24.4 Nếu hạng { [A, C]}= k < n , tồn biến đổi tương đương T mà x  T 1 x, A  T 1 AT , C  CT , từ C A có dạng:  A0 A  A21  , Ano  C  C 0  (24.225) Trong A0 có k chiều cặp ( C , A0 ) quan sát hoàn tồn Kết có tương đương thích hợp với thuộc tính điều khiển khai triển liên quan Để đánh giá điều này, ta sử dụng bổ đề 24.1 để biểu diễn phương trình trạng thái (đã biến đổi) phương trình đầu theo dạng phân chia sau:    x (t )    A0     x no (t )   A21 y ( y )  C 0   x (t )   B0       u (t ) Ano   x no (t )   B no   x (t )      Du (t )  x no (t )  (24.226) (24.227) Miêu tả nói lên gặp khó khăn cố điều khiển hệ thống đầu Đầu khơng có thơng tin trạng thái x no 24-39 Sổ tay Cơ điện tử Khơng gian quan sát mơ hình khơng gian bao gồm tất trạng thái sinh qua tổ hợp tuyến tính trạng thái x o Khả ổn định không gian định vị trí trị riêng Ao Không gian quan sát mơ hình khơng gian bao gồm tất trạng thái sinh qua tổ hợp tuyến tính trạng thái x no Khả ổn định khơng gian định vị trí trị riêng Ano Nếu không gian khơng thể quan sát ổn định nói hệ thống xác định Một đặc tính quan trọng mô tả (24.226) (24.227) xuất phát từ thực tế hàm truyền đạt cho bởi: H ( s)  C ( sI  A0 ) 1 B  D (24.228) Phương trình (24.228) nói trị riêng không gian quan sát không phụ thuộc vào tập điểm cực hàm truyền hệ thống Điều có triệt tiêu tất điểm cực tương ứng với nghiệm ( sI  Ano ) Dạng tắc tính quan sát Có cặp đối ngẫu dạng tắc đưa bổ đề 24.2 24.3 Ví dụ, cặp đối ngẫu bổ đề 24.3 là: Bổ đề 24.5 Xét hệ thống SISO quan sát hoàn tồn Khi tồn biến đổi tương đương biển đổi mơ hình dạng tắc quan sát:   n 1   x0 (t )        0  bn 1        x(t )   u (t )    1    0  b0  (24.229) y (t )  [1  0] x(t )  Du(t ) (24.230) Khai triển tắc Sự hiểu biết cấu trúc hệ thống tuyến tính động nhận cách xem xét hệ thống quan sát điều khiển phần Những hệ thống phân tách thành hệ thống quan sát hoàn toàn điều khiển hoàn toàn Hai kết bổ đề 24.1 24.4 kết hợp cho hệ thống mà quan sát hoàn toàn điều khiển hoàn tồn Chúng ta thấy sau: Định lý 24.6 (định lý khai triển tắc ) Xét hệ thống miêu tả dạng không gian trạng thái Khi ln tồn biến đổi tương đương T cho mơ hình biến đổi cho x  T 1 x có dạng:  Aco   A21 A    24-40 A13 A22 A23 A33 A34   A24  ,  A44   B1    B B   , 0      C   C C2  (24.231) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Trong đó: i Hệ thống [ Aco , B1 , C1 ] vừa điều khiển hồn tồn vừa quan sát hồn tồn có hàm truyền hệ thống ban đầu (xem bổ đề 24.6) ii Hệ thống con:  Aco   A21  , A23   B1    , C1  B   (24.232)  B1    , C C  0  (24.233) Là điều khiển hoàn toàn iii Hệ thống con:  Aco   A13  , A33  Là quan sát hồn tồn Khai triển tắc miêu tả định lý 24.6 dẫn hệ quan trọng cho hàm truyền đạt mơ hình có khơng gian phụ điều khiển hồn tồn quan sát hồn tồn Bổ đề 24.6 Xét ma trận hàm truyền H(s) cho bởi: Y (s )  H ( s)U ( s) (24.234) H  C ( sI  A) 1 B  D  C1 (sI  Aco ) 1 B1  D (24.235) Khi đó: Trong C , Aco , B1 giống phương trình (24.231) Miêu tả trạng thái thực tối thiểu hàm truyền đạt Nếu M ma trận vuông ký hiệu {M} tập trị riêng M thì: { A}  { Aco }  { A22 }  { A33 }  { A 44 } (24.236) Trong đó: { A} = trị riêng hệ thống, { Aco } = trị riêng hệ thống điều khiển quan sát được, { A22 } = trị riêng hệ thống điều khiển khơng thể quan sát được, { A33 } = trị riêng hệ thống quan sát khơng thể điều khiển được, { A44 } = trị riêng hệ thống quan sát điều khiển Ta thấy tính điều khiển hệ thống cho trước phụ thuộc vào cấu trúc cổng vào, có nghĩa là, chỗ mà đầu vào điều chỉnh được đặt vào Do đó, trạng thái hệ thống cho trước khơng điều khiển với đầu vào cho trước, điều khiển hoàn toàn với đầu vào khác Sự khác biệt quan trọng thiết kế hệ thống điều khiển khơng phải tất đầu vào đối tượng điều khiển điều 24-41 Sổ tay Cơ điện tử khiển (ví dụ nhiễu) vậy, khơng thể sử dụng để lái đối tượng điều khiển tới trạng thái định Tương tự vậy, tính quan sát phụ thuộc vào đầu xem xét Những trạng thái khơng quan sát từ đầu cho trước, hồn tồn quan sát từ số đầu khác Điều có tác động đáng kể đến hệ thống điều khiển phản hồi đầu ra, số trạng thái khơng xuất đầu đo phản hồi đối tượng điều khiển Tuy nhiên, chúng xuất biến nội cốt yếu quan trọng với vấn đề điều khiển Kiểm tra PBH Một cách kiểm tra khác cho tính điều khiển quan sát cung cấp bổ đề biết đến phép kiểm tra PBH sau: Bổ đề 24.7 Xét mơ hình khơng gian trạng thái (A, B, C) Khi đó: i Hệ thống khơng thể quan sát hoàn toàn tồn vectơ khác không x  n đại lượng vô hướng   n cho: Ax   x, Cx  (24.237) ii Hệ thống điều khiển hoàn toàn tồn vectơ khác không x  n đại lượng vô hướng   cho: xT A   xT , xT B  (24.238) 24.7 Bộ quan sát trạng thái Các khái niệm Khi biến trạng thái đo lường để giám sát, thực hệ thống điều khiển , cho mục đích khác mà phải đối mặt với vấn đề khó khăn cơng nghệ kinh tế Bộ quan sát cách để ước lượng biến trạng thái dựa mơ hình hệ thống, đo lường đầu y(t), đầu vào u(t) Đây khái quát hóa việc đo lường gián tiếp biến hệ thống cách sử dụng mô hình hệ thống đo vài biến khác dễ đo Động học quan sát Giả thiết hệ thống có mơ hình khơng gian trạng thái cho (24.42) (24.43) với D = (một hệ thống xác giả thiết) Khi đó, cấu trúc chung quan sát trạng thái hệ thống kinh điển hình 24.15, ma trận J hệ số khuyếch đại quan sát HÌNH 24.15 Bộ quan sát trạng thái kinh điển 24-42 Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Phương trình quan sát là: d x  Ax (t )  Bu (t )  J ( y(t )  C x (t )) dt (24.239) Một câu hỏi đặt là: biết mơ hình xác hệ thống đầu vào hệ thống, ta cần phải cung cấp đầu hệ thống? Câu trả lời cần phải đo đầu trạng thái ban đầu hệ thống Điều đánh giá phương trình sai số ước lượng trạng thái, x (t )  x(t )  xˆ (t ) Phương trình nhận cách trừ (24.42) cho (24.239) Từ ta có: d x(t )  ( A  JC ) x(t ) dt (24.240) Từ (24.240) ta thấy sai số ước lượng hội tụ không với sai số ban đầu khác không tất trị riêng ma trận A  JC có phần thực âm, có nghĩa đa thức E (s )  det( sI  A  JC ) quan sát Hurwitz hoàn tồn Nhận xét  Phương trình (24.240) hợp lệ mơ hình mơ tả hệ thống Các sai số việc mơ hình hóa tác động đến quan sát Điều thường dẫn đến sai số ước lượng trạng thái khác không  Nếu cặp (A, C) quan sát hồn tồn, trị riêng A-JC định vị tùy ý (trong miền ổn định) Vì vậy, tốc độ hội tụ ước lượng lựa chọn người thiết kế Các trị riêng điểm cực quan sát  Nếu cặp (A, C) xác định, quan sát dẫn cách tiệm cận sai số trạng thái tĩnh không, tất trị riêng A-JC đặt theo ý muốn  Nếu hệ thống quan sát hồn tồn, khơng gian khơng thể quan sát chứa mơ hình khơng ổn định, quan sát không hội tụ Để minh họa phương pháp quan sát, tham khảo ví dụ 24.5 Ví dụ 24.20 Giả thiết muốn cực quan sát với mơ hình trạng thái ví dụ 24.5 đặt s = -4, s = -6, s = -8 Ta tính hệ số khuyếch đại J quan sát, cách sử dụng phần mềm MATLAB chẳng hạn Khi đó, ta có được: T J   4.5247 7.5617 4.1543  (24.241) Để đánh giá động học quan sát, giả thiết trạng thái ban đầu hệ thống x(0) = [-1 1]T đầu vào hệ thống sóng vng biên độ tần số rad/s Bộ ˆ t ) , có dạng quan sát khởi tạo với xˆ (0)  Khi chuẩn sai số ước lượng, x( hình 24.16 24-43 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 24.16 Sai số ước lượng trạng thái HÌNH 24.17 Hệ thống quay Điều quan trọng ví dụ đối tượng điều khiển khơng ổn định Có nghĩa trạng thái ước lượng trạng thái tăng không giới hạn Tuy nhiên, với giả thiết mơ hình hồn tồn đúng, sai số ước lượng hội tụ khơng Ví dụ 24.21 Hình 24.17 biểu diễn sơ đồ hệ thống quay điều khiển mô men  (t ) Năng lượng hệ thống truyền qua hệ thống bánh với hai bánh xe có bán kính r1 r2 quán tính tương ứng I1 I2 Chuyển động hai trục quay bị giảm ma sát với hệ số D1 D2, đàn hồi xoắn đáng kể trục mơ hình hóa Tải hệ thống mơ hình hóa quán tính I3 Ta muốn ước lượng tốc độ tải 3 dựa việc đo tốc độ 1 trục Trước tiên ta cần xây dựng mơ hình khơng gian trạng thái Để làm việc đó, chọn tập tối thiểu biến hệ thống xác định lượng lưu giữ hệ thống Hệ thống có bốn thành phần chứa lượng: quán tính đàn hồi Năng lượng I1 I2 tính từ 1 2 , có nghĩa cần tốc độ đó, chúng thỏa mãn: 1 (t ) r2  and  (t )1 (t )   (t ) (t ) 2 (t ) r1 (24.242) Vì vậy, biến trạng thái chọn theo định hướng vật lý là: 24-44 x1 (t )  1 (t ) (24.243) x2 (t )  2 (t )  3 (t ) (24.244) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống x3 (t )  3 (t ) (24.245) Từ nguyên tắc ta có:  (t )  D11 (t )  I1  (t )  d 1 (t )  1 (t ) dt r2 d  (t )  (t )  D22 (t )  I 2  K ( (t )   (t ) ) r1 dt  K ( (t )   (t ) )  I d 3 (t ) dt (24.246) (24.247) (24.248) Vì chọn 1 (t ) biến hệ thống đo được, nên ta nhận  r12 D2  r22 D1  rr K 0  2 22   r22  2 r I r I r I r I     2 2  2  r1 I  r2 I1     r1 dx(t )   (t )  1 x (t )   dt r         K2    0     I3   B    (24.249) A 1 (t )  1  x(t ) (24.250)   C Để đánh giá thuộc tính quan sát hệ thống này, chọn thông số sau: r1 0.25m, r2  r3  0.50m, K  30 Nm / rad , D1  D2  10 Nms / rad I1  2.39 Nms / rad , (24.251) I1  I  38.29 Nms / rad (24.252) 0.084  B      (24.253) Với giá trị ta có:  1.045 1.254  A   0.5 1 ,  0.784  Ta tiếp tục sử dụng phép kiểm tra trình bày "tính quan sát được, tính khơi phục tính xác định được" Điều dẫn đến: C   1000 0       CA    1.0450 1.2540  CA2   0.4650 1.3104 1.2540    (24.254) Từ biểu diễn ta thấy  ma trận có hạng đầy đủ Do trạng thái hệ thống quan sát hoàn tồn từ 1 (t ) Trước có ước lượng trạng thái, xˆ (t ) , ước lượng 3 (t ) cho 3 nhận từ: 24-45 Sổ tay Cơ điện tử 3 (t )  0 1 xˆ (t )   (24.255) K3T Trong 3 (t ) nhận từ (24.239) đó: d 3 (t ) d x(t )  K3T  K3T ( A  JC ) x (t )  K 3T  (t )  K 3T J 1 (t )  dt dt (24.256) Bộ quan sát nhiễu đo lường Theo lý thuyết trên, ta giả thiết đầu vào u(t) hệ thống đầu y(t) khơng có sai số Giả thiết thường với u(t) thường dùng u(t) để ước tính trạng thái Tuy nhiên, giả thiết thường khơng hợp lệ với y(t) việc đo đo lường biến thường bị sai lệch nhiễu Để phân tích ảnh hưởng sai số này, ta ký hiệu ym(t) đại lượng đo có nhiễu, có nghĩa ym(t) = y(t) + v(t), v(t) nhiễu đo lường cộng thêm Vì vậy, sai số ước tính trạng thái thỏa mãn: d x (t )  ( A  JC ) x (t )  Jv(t ) dt (24.257) X ( s)  (sI  A  JC ) 1 x (0)  ( sI  A  JC )1 JV ( s) (24.258) Khi có: Vì vậy, sai số nhỏ hàm truyền đạt (sI  A  JC ) 1 J lọc nhiễu Xét ví dụ sau: Ví dụ 24.22 Một hệ thống có mơ hình khơng gian trạng thái cho bởi:  2 1 A ,  3 1  B   , 0.5  C  1 1 , D  (24.259) Giả thiết rằng, muốn ước tính biến hệ thống z (t )  yT x (t ) yT =[1 1] Ước lượng dựa sử quan sát phù hợp z (t ) cho bởi: z   T x (t ) (24.260) Khi đó, nhiễu ước tính z (t ) zv (t ) , có biến đổi Laplace thỏa mãn: Zv ( s)  H v (s )V ( s), t¹i H v ( s )   T ( sI  A  JC ) 1 J HÌNH 24.18 Đặc tuyến lọc quan sát 24-46 (24.261) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Tiếp theo ta xét hai lựa chọn khác cho đa thức E(s) quan sát Đó là: E1 (s )  (s  0.5)( s  0.75) E2 ( s)  (s  10)( s  20) (24.262) Người đọc thấy quan sát dẫn có tốc độ khác Bộ quan sát đầu chậm nhiều thứ hai Với lựa chọn tính hệ số khuếch đại J1 J , hàm lọc tương ứng quan sát: H1 ( s)   T ( sI  A  J1C )1 J1  1.875s  5.625 s  1.25s  0.375 (24.263) 144 s  432 s  30s  200 (24.264) H ( s)   T ( sI  A  J C )1 J  Để so sánh hai trường hợp, ta tính vẽ đáp ứng tần số lọc Kết hình (24.18) Từ hình 24.28 ta thấy rằng, với tần số cao, lọc chậm kháng nhiễu tốt lọc nhanh Ví dụ minh họa cân tốc độ quan sát tính kháng nhiễu Một cách hệ thống để giải vấn đề khó xử sử dụng lý thuyết lọc tối ưu, lọc Kalman_Bucy Người đọc quan tâm tham khảo [2] 24.8 Phản hồi trạng thái Các khái niệm Khi tất trạng thái hệ thống đo hệ thống đạt hồn tồn(theo nghĩa giải thích mục "Khả điều khiển, khả đạt khả ổn định"), điều khiển hệ thống cách sử dụng phản hồi trạng thái để đạt lệnh đầy đủ động học vịng kín Ý tưởng thể hình (24.19) Hình 24.19 biểu diễn dạng phản hồi trạng thái: đầu vào hệ thống thành phần tỉ lệ với trạng thái (thành phần lại tín hiệu ngồi r (t ) ) Phản hồi trạng thái ý tưởng đơn giản ngây thơ Suy xét kĩ cho thấy ý tưởng có số thiếu sót đặc tính tiềm ẩn mối nguy hiểm như:  Đòi hỏi nhiều biến biến trạng thái Điều không đắt mà số trường hợp, thực  Mỗi phép đo trạng thái nguồn gốc sai số độ xác hữu hạn  Mỗi phép đosẽ đưa vào nhiễu với tác động xấu đến việc thực hệ thống điều khiển  Thực toàn cách xác dựa hàm xác tập hợp phức tạp thiết bị Điều đặt số vấn đề liên quan đến thực khả tích hợp hệ thống 24-47 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 24.19 Phản hồi trạng thái Mặc dù có điểm yếu, phản hồi trạng thái tự thân khái niệm mạnh, nólà sởcho nhiều cấu trúc điều khiển mạnh tinh vi Lý chủ yếu cho điều điều khiển tuyến tính giải thích kết hợp quan sát trạng thái phản hồi trạng thái Động học phản hồi Giả thiết hệ thống điều khiển có hàm truyền đạt H(s) không gian trạng thái biểu diễn (24.42) (24.43) với D = Nếu đầu vào đối tượng điều khiển điều khiển theo: u (t )   Kx (t )  r (t ) (24.265) Khi biểu diễn khơng gian trạng thái cho tồn vịng điều khiển cho bởi: dx(t )  Ax(t )  B(  Kx(t )  r (t )) dt (24.266) Y (t )  Cx (t ) (24.267) Có thể thấy mối quan hệ R( s) Y(s) cho Y (s )  C (sI  A)1 B ( I  K (sI  A) 1 B)1 R( s )    (24.268) H (s ) Điều cho thấy vịng phản hồi trạng thái bảo tồn điểm không hệ thống dịch điểm cực tới nghiệm định thức (sI - A +BK) Phản hồi trạng thái tối ưu Điều khiển tối ưu Xét hệ thống tuyến tính bất biến có khơng gian trạng thái biểu diễn (24.42) (23.43) với D = 0, với giả thiết trạng thái ban đầu x(0) = xo Giả thiết mục đích điều khiển để lái hệ thống từ trạng thái ban đầu xo tới giá trị nhỏ sớm tốt khoảng [0, tf] Chúng ta cần yêu cầu thêm rằng, q trình lái khơng u cầu q nhiều nỗ lực điều khiển Khi vấn đề điều khiển tối ưu xác định vấn đề tìm điều khiển tối ưu u(t) khoảng thời gian [0, tf] cho hàm giá bậc hai tối thiểu Hàm giá chọn là: tf J u ( x0 )   [ x(t )T Qx(t )  u (t )T Ru (t )]dt  x(t f )T Q f x (t f ) 24-48 (24.269) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Trong Q  nn , Q f  n n ma trận xác định, đối xứng, không âm R  mm ma trận xác định, đối xứng, dương Các yêu cầu ma trận trọng đặt cho hàm giá có nghĩa Nếu Q phép âm, giá tối ưu chí âm trạng trạng thái tăng khơng giới hạn độ lớn Ngoài ra, ta cho phép R có trị riêng gốc (có nghĩa R phép ma trận xác định không âm, thay u cầu hồn tồn dương) tín hiệu điều khiển u(t) tăng khơng giới hạn (theo hướng vectơ trị riêng liên quan) Một luật điều khiển tuyến tính bất biến nhận cách tiệm cận t f   Với điều kiện này, luật điều khiển tối ưu cho bởi: u (t )   K x (t ) (24.270) K   R 1 BT P (24.271) Với P lời giải khơng âm phương trình đại số Riccacti:  Q  P BR 1 BT P  P A  AT P (24.272) Để lời giải tồn tại, cần thỏa mãn điều kiện kĩ thuật định (vấn đề bàn luận chi tiết, ví dụ [5]) Nhận xét Lời giải cho vấn đề LQR tối thiểu hóa hàm giá trị (24.269) và, t f   , hệ thống ổn định  Vấn đề quan trọng chọn ma trận trọng lượng Q R Lựa chọn thông thường cho Q Q  C T C Với lựa chọn này, đầu hệ thống đặt trực tiếp vào hàm giá  Với Q cho trước, kích thước R ảnh hưởng mạnh đến vị trí điểm cực vịng lặp kín R lớn vịng lặp điều khiển chậm Để biết thêm điều khiên tối ưu bậc hai, đọc tài liệu ví dụ [1, 3, 4, 8, 9]  24.9 Phản hồi trạng thái quan sát Phương pháp phân ly Do hạn chế việc đo trạng thái, nên phản hồi trạng thái ước tính sử dụng thay thể Kết hệ thống điều khiển tích hợp quan sát hệ phản hồi cho trạng thái quan sát Sự kết hợp quan sát trạng thái phản hồi trạng thái ước tính phù hợp với cấu trúc hình 24.20 Trong hình 24.20, hàm truyền đạt (ma trận) T1(s) T2(s) đạt từ hình (24.15) Đó là: T1 (s )  ( sI  A0  JC0 )1 B0 (24.273) T2 ( s)  (sI  A0  JC0 )1 J (24.274) 24-49 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 24.20 Phản hồi trạng thái ước tính HÌNH 24.21 Vịng điều khiển tương đương Giải thích hàm truyền đạt cho trường hợp “một đầu vào đầu ra” Xét hệ thống SISO có hàm truyền đạt: G0 (s )  C (sI  A0 ) 1 B  N0 (s) M ( s) (24.275) Trong Mo(s) No(s) đa thức s Trước tiên, hệ số khuyếch đại K phản hồi trạng thái chọn để nhận đa thức vịng kín F(s), F(s) = det (sI – Ao + BoK) Tiếp theo, hệ số khuếch đại J quan sát tính tốn để nhận đa thức quan sát E(s) = det(sI – Ao + JCo) Nếu quan sát phản hồi trạng thái quan sát được kết hợp, vịng điều khiển kết tạo tương đương (bằng lựa chọn r (t ) ) với vịng điều khiển cổ điển hình 24.21 Trong hình 24.21 đa thức P(s) L(s) thỏa mãn phương trình Diophantine: M ( s ) L ( s)  N ( s) P ( s )  E ( s ) F ( s) (24.276) Kết cho thấy điểm cực vòng kín kết hợp tập cực quan sát tập cực phản hồi trạng thái Tài liệu tham khảo [1] 24-50 Anderson, B.D.O and Moore, J., Linear optimal Control Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971 Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] Anderson, B.D.O and Moore, J., Optimal Filtering Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1979 Athans, M and Falb, P., Optimal Control McGraw HIll, 1966 Dennis Bernstein and Wassim Haddad LQG control with an H performance bound: A Riccati equation approach IEEE Transactions on Automatic Control, 34(3): L293–305, 1989 Bittanti, S., Laub, A.J., and Willems, J.C., The Riccati Equation Springer Verlag, Berlin, 1996 Dorf, R.C and Bishop, R., Modern Control Systems Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1997 Franklin, G.F and Powel, J.D., Digital Control of Dynamics Systems 2nd ed., AddisonWesley, 1990 Goodwin, G.C., Graebe, S., and Salgado, M.E., Control System Design Prentice-Hall, NJ, 2001 Kwakernaak, H and Sivan, R., Linear Optimal Control System Wiley–Interscience, New York, 1972 Ogata, K., State Space Analysis of Control Systems Prentice-Hall, Englewood Cliffis, NJ, 1967 Rosenbrock, H.H., State Space and Multivariable Theory John Wiley and Sons, New York, 1970 Schultz, D.G and Melsa, J.L., State Function and Linear Control Systems McGraw Hill, New York, 1967 Wiberg, D.W., Theory and Problems of State Space and Linear Systems McGraw Hill, New York, 1971 Zadeh, L.A and Desoer, C.A., Linear System Theory: The State Space Approach McGraw Hill, New York, 1963 Zhou, K., Essentials of Robust Control Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1998 Zhou, K., Salomon, G., and Wu, E., Balanced realization and model reduction for unstable systems International Journal of Robust and Nonlinear Control, 9:183–198, 1999 24-51 ... (t ) 2 (t ) r1 (24. 242) Vì vậy, biến trạng thái chọn theo định hướng vật lý là: 24- 44 x1 (t )  1 (t ) (24. 243) x2 (t )  2 (t )  3 (t ) (24. 244) Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc...  Du  x nc  (24. 187) (24. 188) Không gian điều khiển mơ hình không gian trạng thái bao gồm tất trạng thái tạo thông qua tổ hợp tuyến tính trạng thái x c Sự ổn định không gian xác định vị... hình khơng gian trạng thái 24- 2 Phân tích khơng gian trạng thái với thuộc tính hệ thống Nếu biểu diễn x vector tương ứng với biến trạng thái riêng, dạng tổng qt mơ hình biến trạng thái sau: Đối