Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp quan trọng và hiệu quả để phân tích kết cấu. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp PTHH để tính toán các hệ kết cấu siêu tĩnh bậc cao luôn gặp khó khăn về mặt toán học. Việc đưa các phần mềm toán giải quyết các khó khăn trên khi tính nội lực, chuyển vị hệ kết cấu trong phương pháp PTHH là rất cần thiết. Bài viết trình bày cách áp dụng phần mềm MATLAB vào phương pháp PTHH để tính toán nội lực, chuyển vị hệ kết cấu phẳng.
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC nNgày nhận bài: 17/9/2021 nNgày sửa bài: 12/10/2021 nNgày chấp nhận đăng: 02/11/2021 Phân tích hệ kết cấu phẳng phương pháp phân tử hữu hạn ứng dụng Matlab Fem analysis of plane structures with matlab > TS TRỊNH TỰ LỰC Khoa Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Email: tuluc72@yahoo.com TÓM TẮT Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phương pháp quan trọng hiệu để phân tích kết cấu Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp PTHH để tính tốn hệ kết cấu siêu tĩnh bậc cao ln gặp khó khăn mặt tốn học Việc đưa phần mềm tốn giải khó khăn tính nội lực, chuyển vị hệ kết cấu phương pháp PTHH cần thiết Bài báo trình bày cách áp dụng phần mềm MATLAB vào phương pháp PTHH để tính tốn nội lực, chuyển vị hệ kết cấu phẳng Từ khóa: phương pháp PTHH; nội lực phần tử; chuyển vị phần tử; phần mềm MATLAB ABSTRACT: Finite element method (FEM) is an important and indispensable method for structural analysis However, using FEM to the calculation of large structural systems is always difficult in mathematics The introduction of mathematical software to solve mathematical problems when calculating the element force, element displacement in FEM is very necessary This paper presents application of MATLAB software to FEM for calculating the element force, element displacement of the plane truss, beam and the plane frame Keywords: Finite element method (FEM); element force; element displacement; MATLAB software ĐẶT VẤN ĐỀ Với cơng trình xây dựng dân dụng cơng nghiệp, việc tính tốn nội lực chuyển vị nhiệm vụ quan trọng Việc tính tốn thực nhiều phương pháp, nhìn chung, đưa nhóm chính: nhóm phương pháp giải tích nhóm phương pháp số Các phương pháp giải tích cho kết xác, nhiên với hệ phức tạp có nhiều phần tử, có độ cứng phần tử thay đổi, khối lượng tính tốn lớn, khó khăn mặt tốn học Cùng với việc phát triển máy tính điện tử, nhóm phương pháp số đời, phải kể đến phương 62 11.2021 ISSN 2734-9888 pháp phần tử hữu hạn - mơ hình chuyển vị (trong phạm vi báo viết tắt PTHH) Đây phương pháp hiệu sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, có việc tính tốn nội lực, chuyển vị hệ kết cấu Trong phương pháp PTHH liệu đầu vào sơ đồ tính, sơ đồ tải trọng số hóa nên việc nhập liệu đầu vào dễ dàng Toàn sơ đồ tính đưa ma trận độ cứng, sơ đồ tải trọng đưa véc tơ tải trọng nút Việc tính chuyển vị nút cịn lại giải phương trình cân dạng ma trận Vấn đề đặt gặp hệ kết cấu lớn có nhiều phần tử thanh, nhiều bậc tự thành phần chuyển vị nút gặp khó mặt tính tốn Điều dẫn đến việc phải kết hợp phần mềm toán vào phương pháp PTHH để phân tích hệ kết cấu đơn giản Các phần mềm tốn học chia nhánh: ngơn ngữ lập trình chun nghiệp phù hợp với trình độ chuyên sâu kỹ thuật lập trình phần mềm tốn học phù hợp với việc học tập nghiên cứu sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh với trình độ khơng chun kỹ thuật lập trình Trên sở phân tích tính phần mềm tốn học thơng dụng, với kinh nghiệm ứng dụng phần mềm toán vào giảng dạy trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, tác giả nhận thấy việc áp dụng MATLAB vào phương pháp PTHH để phân tích hệ kết cấu hiệu việc học tập nghiên cứu sinh viên học viên cao học Phần mềm MATLAB có ưu điểm vượt trội với toán ma trận, toán cần số hóa, cần lập trình tự động hóa cao Phần mềm MATLAB trợ giúp cho việc tính tốn hiển thị ưu việt Các lệnh MATLAB mạnh hiệu quả, cho phép giải loại hình tốn khác nhau, đặc biệt hữu dụng cho hệ phương trình tuyến tính hay tốn ma trận gặp nhiều phương pháp PTHH 2.THIẾT LẬP TRÌNH TỰ TÍNH NỘI LỰC, CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATLAB 2.1 Phương pháp PTHH tính nội lực, chuyển vị hệ phẳng Trong phương pháp PTHH - mơ hình chuyển vị, thành phần chuyển vị xem đại lượng cần tìm Chuyển vị lấy xấp xỉ dạng hàm đơn giản gọi hàm xấp xỉ (hay gọi hàm chuyển vị) Áp dụng phương pháp PTHH - mơ hình chuyển vị để phân tích nội lực, chuyển vị triển khai theo bước sau: Rời rạc hoá miền khảo sát V thành miền Ve (với hệ phần tử thanh) Đặt ký hiệu cho phần tử, nút bậc tự tương ứng với số chuyển vị nút Thiết lập phương trình cân tồn hệ kết cấu: [K].{U}= {F} (2.1) đó: {U} - vectơ chuyển vị nút toàn hệ kết cấu hệ tọa độ chung; [K] - ma trận độ cứng toàn hệ kết cấu hệ tọa độ chung; {F}- vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu hệ tọa độ chung; Để giải hệ phương trình (2.1), định thức ma trận [K] cần phải khác (det [K] khác 0), tức phương trình khơng suy biến Với tốn kết cấu, điều đạt điều kiện biên thoả mãn (kết cấu phải bất biến hình) Đó điều kiện cho trước số chuyển vị nút hay giá trị xác định Ngoài phải thỏa mãn điều kiện liên tục nút hệ kết cấu Sau đưa vào điều kiện biên, điều kiện liên tục, phương trình cân biểu diễn sau: [k]{u} ={f} (2.2) đó: {u} - xây dựng từ {U} sau loại bỏ thành phần chuyển vị 0; [k] - xây dựng từ [K] sau loại bỏ hàng cột tương ứng với thành phần chuyển vị 0; {f} - xây dựng từ {F} sau loại bỏ hàng tương ứng với thành phần chuyển vị Giải hệ phương trình cân bằng: {u} = [k]-1{f} (2.3) Xác định nội lực: từ kết thu được, kết hợp với điều kiện biên xác định vectơ chuyển vị nút phần tử hệ tọa độ riêng Từ xác định nội lực, biến dạng, ứng suất điểm phần tử nhờ quan hệ có Cơ học kết cấu Lý thuyết đàn hồi 2.2 Xây dựng hàm MATLAB tính chuyển vị nội lực hệ phẳng [3,4,5] 2.2.1 Phần tử dàn Xét phần tử dàn i-j tốn phẳng, có độ cứng EA, chiều dài L, chịu biến dạng dọc trục Tại nút có bậc tự do: chuyển vị theo phương dọc trục chuyển vị theo phương vuông góc trục Hệ toạ độ riêng phần tử xy Hệ toạ độ chung kết cấu XY có phương lập với hệ toạ độ riêng góc (Hình 1) Hình Phần tử dàn Các hàm MATLAB tốn tính chuyển vị nội lực hệ dàn phẳng: PT_ThanhDan_DoDai(X1,Y1,X2,Y2): hàm xác định chiều dài phần tử PT_ThanhDan_DoCung(E,A,L,theta): hàm xác định ma trận độ cứng phần tử PT_ThanhDan_GhepDoCung(K,k,i,j): hàm ghép nối ma trận độ cứng phần tử vào thành ma trận độ cứng tổng thể toàn hệ kết cấu [K] PT_ThanhDan_NoiLuc(E,A,L,theta,u): hàm xác định nội lực phần tử 2.2.2 Phần tử dầm Xét phần tử chịu uốn i-j tốn phẳng, có độ cứng EI, chiều dài L Tại nút có bậc tự do: chuyển vị theo phương vng góc trục chuyển vị xoay Hệ toạ độ riêng phần tử xy trùng với hệ toạ độ chung XY (Hình 2) Hình Phần tử dầm Các hàm MATLAB tốn tính chuyển vị nội lực hệ dầm: PT_ThanhDam_DoCung(E,I,L): hàm xác định ma trận độ cứng phần tử PT_ThanhDam_GhepDoCung(K,k,i,j): hàm ghép nối ma trận độ cứng phần tử vào thành ma trận độ cứng tổng thể toàn hệ kết cấu [K] PT_ThanhDam_Tai_q(L,q): hàm xác định vectơ tải trọng nút tải lực phân bố đặt vng góc trục PT_ThanhDam_Tai_T_M(b,c,L,T,M): hàm xác định vectơ tải trọng nút tải lực tập trung vng góc trục T mô men M PT_ThanhDam_GhepTai(P,p,i,j): hàm ghép nối vectơ tải trọng nút {p} phần tử vào vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu {P} PT_ThanhDam_NoiLuc(k,u): hàm xác định nội lực phần tử nguyên nhân chuyển vị đầu nút Muốn xác định nội lực biến dạng, cần thêm nguyên nhân tải trọng tác dụng gây 2.2.3 Phần tử hệ khung Xét phần tử khung i-j tốn phẳng, có độ cứng EA, EI, chiều dài L Tại nút có bậc tự do: chuyển vị theo phương dọc trục, chuyển vị theo phương vng góc trục chuyển vị xoay Hệ toạ độ riêng phần tử xy Hệ toạ độ chung kết cấu XY có phương lập với hệ toạ độ riêng góc (Hình 3) Hình Phần tử hệ khung Các hàm MATLAB tốn tính chuyển vị nội lực hệ khung phẳng: PT_ThanhUKN_DoDai(X1,Y1,X2,Y2): hàm xác định chiều dài phần tử PT_ThanhUKN_DoCung(E,A,I,L,theta): hàm xác định ma trận độ cứng phần tử PT_ThanhUKN_GhepDoCung(K,k,i,j): hàm ghép nối ma trận độ cứng phần tử [k] vào thành ma trận độ cứng tổng thể toàn hệ kết cấu [K] PT_ThanhUKN_Tai_r_q(L,r,q): hàm xác định vectơ tải trọng nút tải lực phân bố r đặt dọc trục lực phân bố q đặt vng góc trục PT_ThanhUKN_Tai_N_T_M(b,c,L,T,M): hàm xác định vectơ tải trọng nút tải lực tập trung đặt dọc trục N, lực vng góc trục T mơ men M PT_ThanhUKN_Tai_HTDChung(theta,p): hàm chuyển vectơ tải trọng nút {p} phần tử thứ e từ hệ toạ độ riêng hệ toạ độ chung ISSN 2734-9888 11.2021 63 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC PT_ThanhUKN_GhepTai(P,p,i,j): hàm ghép nối vectơ tải trọng nút {p} phần tử vào vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu {P} PT_ThanhUKN_NoiLuc(E,A,I,L,theta,u): hàm xác định nội lực phần tử nguyên nhân chuyển vị đầu nút Muốn xác định nội lực nguyên nhân, cần thêm nguyên nhân tải trọng tác dụng gây 2.3 Thiết lập trình tự giải tốn hệ phẳng phương pháp PTHH [1,2] Bài toán phân tích hệ phẳng phương pháp PTHH tác giả viết chương trình tính tốn ứng dụng phần mềm MATLAB Sơ đồ khối thuật toán giải bao gồm bước sau: Bước 1: Khai báo thông số đầu vào hình học vật liệu cho hệ như: chiều dài phần tử; diện tích, mơ men qn tính mặt cắt tiết diện; giá trị mơ đun đàn hồi E; Bước 2: Rời rạc hóa hệ kết cấu; đánh thứ tự phần tử; thứ tự nút; bậc tự nút; lập hệ tọa độ chung XY Bước 3: Thiết lập ma trận độ cứng toàn hệ kết cấu hệ tọa độ chung Xử lý điều kiện biên Bước 4: Thiết lập vec tơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu hệ tọa độ chung Xử lý điều kiện biên Bước 5: Giải phương trình cân thu chuyển vị nút Bước 6: Xác định nội lực vị trí nút phần tử Rời rác hóa hệ kết cấu thành phần tử với nút bậc tự hình Sử dụng code MATLAB tác giả viết với hàm MATLAB hệ dầm, thu nội lực phần tử (được thể bảng biểu đồ nội lực hình 7, hình 8) Kết thu được: Bảng Giá trị nội lực phần tử Nội lực Phần tử Phần tử Qi 9.500 -4.667 Mi 10.000 2.000 Qj 6.500 4.667 Mj -4.000 0.000 Hình Biểu đồ (M) Bắt đầu Nhập thơng số đầu vào: chiều dài, kích thước tiết diện, vật liệu Rời rạc hóa kết cấu, thứ tự phần tử, nút, bậc tự Thiết lập [K] hệ kết cấu Xử lý điều kiện biên Thiết lập {F} hệ kết cấu Xử lý điều kiện biên Hình Biểu đồ (Q) Thiết lập giải phương trình cân tồn hệ Xác định nội lực phần tử Kết Hình Sơ đồ khối chương trình VÍ DỤ TÍNH TỐN Sử dụng chương trình viết MATLAB tính tốn hệ kết cấu hình phương pháp PTHH Biết E = 24.105 kN/m2; I = 0,03 m4 Hình Hệ kết cấu 64 11.2021 Hình Sơ đồ rời rạc hóa ISSN 2734-9888 KẾT LUẬN Sử dụng MATLAB phương pháp PTHH cho phép áp dụng với hệ kết cấu phẳng có bậc siêu tĩnh tùy ý mà khơng gặp trở ngại mặt tốn học Trên sở lý thuyết phương pháp PTHH với phần mềm MATLAB, tác giả xây dựng hàm MATLAB cho tốn hệ phẳng, thiết lập trình tự, viết chương trình để giải số ví dụ cụ thể, cho kết tin cậy Việc ứng dụng phần mềm tốn nói chung MATLAB nói riêng vào phục vụ việc học tập, giảng dạy với sinh viên, học viên cao học ngành kỹ thuật xây dựng cần thiết hữu ích TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Văn Đạt, Tính tốn kết cấu hệ theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng, 2017 Nguyễn Thời Trung, Nguyễn Xuân Hùng, Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng MATLAB, Nhà xuất Xây dựng, 2015 P.I Kattan, MATLAB Guide to Finite Elements, Springer, 2007 A.J.M Ferreira, MATLAB Codes for Finite Element Analysis, Springer, 2009 B Herbert, Development and Application of The Finite Element Method Based on MATLAB, Springer, 2010 ... thiết hữu ích TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Văn Đạt, Tính tốn kết cấu hệ theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng, 2017 Nguyễn Thời Trung, Nguyễn Xuân Hùng, Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng. .. 2734-9888 KẾT LUẬN Sử dụng MATLAB phương pháp PTHH cho phép áp dụng với hệ kết cấu phẳng có bậc siêu tĩnh tùy ý mà không gặp trở ngại mặt toán học Trên sở lý thuyết phương pháp PTHH với phần mềm MATLAB, ... 2.3 Thiết lập trình tự giải toán hệ phẳng phương pháp PTHH [1,2] Bài tốn phân tích hệ phẳng phương pháp PTHH tác giả viết chương trình tính tốn ứng dụng phần mềm MATLAB Sơ đồ khối thuật toán giải