Thiết lập hệ phương trình giải bài toán phân tích tĩnh thanh cong phẳng bằng phương pháp phần tử biên

Bài viết trình bày đường lối thiết lập hệ phương trình đại số giải bài toán xác định nội lực và chuyển vị của thanh cong phẳng bằng phương pháp phần tử biên. Phương pháp phần tử biên có mô hình toán học được thiết lập trên cơ sở lời giải của phương trình tích phân biên.

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC nNgày nhận bài: 08/4/2021 nNgày sửa bài: 19/5/2021 nNgày chấp nhận đăng: 10/6/2021 Thiết lập hệ phương trình giải tốn phân tích tĩnh cong phẳng phương pháp phần tử biên Establishment of equation system for static analysis of plane curve elements using Boundary element method > TS TRẦN THỊ THÚY VÂN, TS TRẦN TRUNG HIẾU Khoa Xây dựng, Đại học Kiến trúc Hà Nội Email: ttthvan.hau@gmail.com; Tel: 84.932238019 TĨM TẮT: Bài báo trình bày đường lối thiết lập hệ phương trình đại số giải toán xác định nội lực chuyển vị cong phẳng phương pháp phần tử biên Phương pháp phần tử biên có mơ hình tốn học thiết lập sở lời giải phương trình tích phân biên Các hàm nghiệm chuyển vị nội lực phần tử xây dựng sở lời giải Cơsi phương trình vi phân áp dụng phần tử cong Từ đó, thiết lập hệ phương trình đại số xác định thông số nội lực, chuyển vị điểm biên phần tử, xây dựng phương trình giải cho phần tử mẫu Từ khóa: Phương pháp phần tử biên, phân tích tĩnh, cong phẳng, phương trình tích phân biên ABSTRACT: The article presents how to establish a system of algebraic equations to solve the problem of determining the internal forces and displacements of plane curve elements using boundary element method The boundary element method has a mathematical model established on the basis of the solution of the boundary integral equations The root functions of internal forces and displacement of the element are found on the basis of the Cosi solutions of the basis differential equations applied for plane curve elements From there, it is established a system of algebraic equations to determine parameters of internal forces and displacements at boundary points of elements and it is established solving equations for model elements Key words: Structural mechanics, matrix algorithm, MathCad programming software 76 06.2021 ISSN 2734-9888 Đặt vấn đề Cấu kiện cong cấu kiện sử dụng tương đối phổ biến công trình xây dựng dân dụng cơng nghiệp cơng trình giao thơng thủy lợi Nghiên cứu mặt lý thuyết phương pháp giải tốn phân tích tĩnh kết cấu có trục cong nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Việc tìm nghiệm giải tích tường minh thực trường hợp đơn giản [1,3] Đối với kết cấu cong chịu tải trọng phức tạp có điều kiện biên việc sử dụng phương pháp giải tích gặp phải khó khăn định mặt tốn học Với phát triển công nghệ thông tin, khó khăn khắc phục cách áp dụng phương pháp số Một phương pháp số giải tốn phân tích tĩnh cong cách hiệu kể đến phương pháp phần tử biên, phương pháp phương pháp số dựa sở mô hình tốn học sử dụng hệ phương trình tích phân biên Tương tự phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên rời rạc hóa vật thể thành phần tử sau ghép nối biên Tuy nhiên, áp dụng với trường hợp cấu kiện cong, phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa tồn vật thể thành phần tử hữu hạn thẳng, chưa kể đến độ cong trục phần tử, phương pháp phần tử biên cần rời rạc biên đối tượng, nghiên cứu xét đến độ cong trục cấu kiện Tại biên phần tử, thông số cần thiết xác định từ hệ phương trình đại số tuyến tính cịn trạng thái bên tính theo phương trình tích phân biên tương ứng Do đó, việc phân tích tĩnh cấu kiện cong, phương pháp phần tử biên thể ưu định Bài báo trình bày việc thiết lập phương trình giải cho cấu kiện cong, từ áp dụng vào số toán cụ thể phương pháp phần tử biên Nội dung 2.1 Xây dựng hàm tải trọng xấp xỉ phần tử cong Trong phương pháp phần tử biên, tải trọng tác dụng lên biểu diễn thông qua hàm tổng quát Heaviside hàm delta Dirac, cách biểu diễn hàm trình bày cách tường minh [5,9,10] Đối với trường hợp phần tử cong tròn, tải trọng tác dụng lên phần tử tải trọng phân bố, xem gồm tập hợp tải trọng tập trung tác dụng lên đoạn có độ dài х (Hình 1) qy (α) x R Q M qx (α) dα N Q+dQ M+dM N+dN y Hình Sơ đồ tải trọng nội lực đoạn cong phẳng Phương trình cân tĩnh học cho đoạn cong phẳng chiều dài ds: Hình Tải trọng tác dụng lên cong qn  x  = F H S - SF  -H S - SF - ΔS  ΔS  dN  x =  dα = Q - q  α  R (1) x Trong đó, ΔS =RΔα ,  - góc quay, R – bán kính cong Tương tự mơmen tập trung, ta có cách chuyển đổi sau: M (2) qn  α  = δ  α - αM  R Do đó, trường hợp tổng biểu diễn tải trọng tác dụng theo phương pháp tuyến tiếp tuyến dạng sau (hình 2) Fx (3) qt  α  = δ  α - αF  + qx H  α - αH  - H  α - αK   R Fy M qn  α  = δ  α - αF  + δ  α - αM  + qy H  α - αH  -H  α - αK   R R dQ  y =  dα = -N - q  α R y dM  m  O  =  dα = QR (5) ; (6) ; (7) Với   tọa độ góc Quan hệ biến dạng chuyển vị ε= 1 1 U  α  - V  α   ; x =  U  α  + V  α   - γ  α   R R R (8) Với  - biến dạng dài kéo-nén; R – bán kính cong sau biến dạng; U  α ,V  α  - chuyển vị điểm trục theo phương tiếp tuyến (4) pháp tuyến (chuyển vị theo phương dọc vng góc); γ  α - biến dạng trượt φ  α  = -γ  α  + U  α  + V  α   R (9) Trong đó: φ(α)  góc xoay mặt cắt ngang Các phương trình quan hệ vật lý ứng suất biến dạng tương tự thẳng [3]: (10) ε =N / EA ; x = -M / EI ; γ =к1Q / GA Hình Tải trọng tác dụng theo phương tiếp tuyến pháp tuyến 2.2 Xây dựng hệ phương trình giải tốn phân tích tĩnh cong phẳng 2.2.1 Phương trình vi phân biến dạng đàn hồi cong phẳng Xét hệ cong phẳng chịu tải trọng hình Các phương trình phân tích tĩnh xây dựng sở giả thiết mặt cắt ngang phẳng Bernulli, bỏ qua biến dạng góc tiết diện Thay phương trình tĩnh học, hình học vào quan hệ vật lý nhận hệ phương trình vi phân [10]:  IV EAR EAR R4 V  α  + U  α  U  α  = qy  α  ; V α + EI EI EI   2  1+ EAR  U  α  + V   α  - EAR V   α  = - R q  α  , x  EI  EI EI (11) 2.2.2 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cong phẳng Các thơng số tĩnh học hình học trạng thái ứng suất biến dạng cong trịn biểu diễn qua thông số ban đầu Biểu diễn V    , U    qua thông số ban đầu tương ứng với hàm xác định trạng thái [2] Sau chuyển vị đạo hàm vào quan hệ (7), (8), (9), (10) Phương trình xác định thơng số cong trịn phương pháp phần tử biên có dạng sau (biểu diễn dạng ma trận) [10]: А11 EIV  α EIφ  α Mα А12 -А13 -А14 А22 -А23 А22 = Q α EAU α  Nα А51 А52 -А53 А16 EIV  о  В11 -А13 А26 EIφ  о В21 А12 -А36 M о  А11 -А46 Q о  А56 EAU о -В51 А11 N о  -В61 -А54 -А64 А15 А11  -В31 -В41 + (12) dξ , ISSN 2734-9888 06.2021 77 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Có thể viết (12) dạng rút gọn sau: Y(α)=A(α) X(0) +B(α) (13) Trong đó: Y(α) – ma trận cột hàm chuyển vị nội lực dọc theo trục cong (véc tơ trạng thái thanh); A(α) – ma trận vuông nghiệm phương trình vi phân nhất; X(0) – ma trận cột chuyển vị nội lực điểm có tọa độ biên ban đầu α=0 (véc tơ thông số ban đầu); B(α) – ma trận cột hàm chuyển vị nội lực tải trọng tác dụng lên cong (véc tơ tải trọng) Trong đó: A 11 = cosα ; A 12 = Rsinα ; A 13 = R 1- cosα  ; A 15 = -  EIR  sinα - αcosα А14 =  R3 + ; A 22 =1; A 23 = R×α ; A 46 = sinα ;  EA     EIR A16 = R3  1- αsinα - cosα  × αsinα ; A 26 = R2  α - sinα  ;   EA 2 А 36 = R 1- cosα  ; A 51 = EA sinα ; A 52 = EAR 1- cosα  ; A 53 = EAR  α - sinα  ; EI EI EI A 54 = EAR  1   1- cosα - αsinα  - R αsinα ; A 64 = -sinα ; EI   А 56 = R sinα + αcosα EAR3   +  α + αcosα - sinα  ; EI  2  (14) Các thành phần véc tơ tải trọng sau thay qx  α  , qy  α  tích phân có dạng [10]: EI sinα ; EA  EIR   Fy sin  α - αF + -  α - αF + ×cos  α - αF + B11 =  R + +  × EA   R  M  α - αM + ×sin  α - αM + 1   + + qy H  α - αH  - cos  α - αH + -  α - αH + × ×sin  α - αH + -H  α - αK  + cos  α - αK + +  α - αK + sin  α - αK +   + R 2     EIR   Fx  α - αF + sin  α - αF + qx  +  R4 + + × sin  α - αH + - -  α - αH + ×cos  α - αH + - sin  α - αK + +  α - αK + ×cos  α - αK +   EA R 2     F   - R  x × H  α - αF  - cos  α - αF +  + qx  α - αH + - sin  α - αH + -  α - αK + + sin  α - αK +  ;  R   B21 =FyR H α - αF  - cos  α - αF +  +MRsin  α - αM + + +qyR3  α - αH + - sin  α - αH + -  α - αK + + sin  α - αK +  -FxR2  α - αF + - sin  α - αF +  - q R3   α - αH + + cos  α - α  -  α - αK + - cos  α - α   ; x H + K +  2    B 31 = FyRsin  α - αF + + Mcos  α - αM + + q yR H  α - αH  - cos  α - αH + - H  α - αK  + cos  α - αK +  - -FxR H α- αF  - cos  α- αF +  - qxR2 ×  α- αH + - sin α- αH + -  α- αK + +sin  α - αK +  ; B 41 = Fycos  α - αF + + M  -sin  α - αM +  + qyR  sin  α - αH + - sin  α - αK +  -Fx sin  α - αF + - qxR H  α - αH  - cos  α - αH + -H α - αK  + cos  α - αK +  ; R  EAR   α - αF + ×sin  α - αF + EAR   EAR  sin α - αM + +  α - αM + × ×cos  α - αM + EAR  B51 = Fy  1+ H  α - αF  - -cos  α - αF +  +M  1+ EAR   sin  α - αM +  + qy  1+ R R × EI  EI  EI  2 EI EI      × sin  α - αH + -  α - αH + ×cos  α - αH + - sin  α - αK + +  α - αK + ×cos  α - αK + EAR   α - αH + - sin  α - αH + 2 EI    α - αF + ×cos  α - αF + + +sin  α - αF + EAR3   -  α - αK + sin  α - αK +   +Fx R +  α - αF + +  α - αF + ×cos  α - αF + 2 EI     R2   EAR   α - αH +   - sin  α - αF +   + qx   α - αH + ×sin  α - αH + -  α - αK + ×sin  α - αK +  + + 2cos  α - αH + EI    2   -2H α - αH  +  α - αK + 1  - 2cos  α - αK + + 2H α - αK  -  α - αK + ×sin  α - αK +   ;  α - αH  ×sin  α - αH + 2  B61 = Fy sin  α - αF + + M cos  α - αM + + qyR H  α - αH + - -cos  α - αH  -H  α - αK  +cos  α - αK +  +Fxcos  α - αF + + qxR sin  α - αH + - sin  α - αK +  R Trong trường hợp cong chịu tải trọng phân bố không hướng tâm, hàm tải trọng có dạng sau: α  α  (16) qy  ξ  = qcos  - ξ  ; qx  ξ  = -qsin  - ξ  2  2 q q  αH ξ α1 αК Hình Thanh cong chịu tải trọng phân bố không hướng tâm Nếu thay biểu thức (15) vào (14) thực phép tính tích phân, thành phần vec tơ tải B viết dạng:  EIR2    α1   α1   α1   α1   B11 = q  R +  sin  α -   α - αH  + cos  - α  - cos  + α - 2αH  -  α - αH  сos  α -  + EA   2   2  2     α EIR2    α1  3 α  α  α    +R q  cos  - α  - cos  - αH  -  α - αN  sin  - α  + cos  α + - 2αH   - q  R +  sin  α -   α - αK  + EA   2 4 2  2  2       78 06.2021 ISSN 2734-9888 (15) α  α   α  + cos  - α  - cos  + α - 2αk  -  α - αK  cos  α -  -R 4q  cos  α1 - α  - cos  α1 - αK  -  α - αK  sin  α1 - α  + cos  α + α1 - 2αK    2  2   2  2  2    4   α  α   α  α     α  B21 = R3q  -2sin  - α  +2sin  - αH  -  α - αH  cos  α -  +cos  - αH    - -2sin  - α  + 2 2  2   2     2     α   α  α      α  α  α   +2sin  - αK  -  α - αK  × cos  α -  +cos  - αK    - sin  α -   α - αK  +cos  - α  - cos  - αK   ; 2 2 2   2      2  2        α  α  α  B31 =R2q  sin  α -   α - αH  + cos  - α  - cos  - αH   2 2  2      α  α  α    - sin  α -   α - αK  +cos  - α  - cos  - αK   ; 2 2  2         α  B 41 = Rqcos  α -   α - αH  -  α - αK   ;    (17) EAR  17 α  α   α  B51 = q  sin  - α  - 2sin  - αH  +  α - αH  cos  α -  + EI 2 8 2  2   α 2 α  α     α  +  α - αH  ×cos  - αH  -  α - αH  sin  - α  - sin  α + - 2αH  +R2q -  α - αH  ×sin  - α  2  2      2  -  α α α  α - αH  cos  α -  - sin  - α  + sin  α + - αH  2  2    - EAR  17 α  α   α  α  α  ×q  sin  - α  - 2sin  - αK  +  α - αK  cos  α -  +  α - αK  cos  - αK  -  α - αK  sin  - α  EI 2 2  2   2  2  8 α  α   α  α     α  - sin  α + - 2αK   - qR -  α - αK  sin  - α  -  α - αK  × ×cos  α -  - sin  - α  + sin  α + - 2αK  2 8   Å 2   2      α  B61 = qRsin  α -   α - αH  -  α - αK   2  2.2.3 Thiết lập hệ phương trình đại số xác định thông số biên cong phẳng Từ phương trình (13) cho phép tìm hàm nghiệm giải tích nội lực chuyển vị cong phẳng Các ẩn số tìm thông số nội lực chuyện vị điểm biên phần tử Thay giá trị thông số biên phần tử x=0 x=α1 vào ma trận A, B, Y phương trình (13), hệ phương trình (18) trở thành hệ phương trình đại số (19) chứa thông số biên cong phẳng Y(α1)=A(α1) X(0)+B(α1)  A(α1) X(0) - Y(α1)= - B(α1) (18) Ẩn số ma trận X(0) Y(α) Gán điều kiện biên tĩnh học hình học vào để giải phương trình (16), điều kiện biên tĩnh học thiết lập dựa phương trình cân tĩnh học nút Các điều kiện biên hình học thiết lập dựa điều kiện chuyển vị biên phần tử Để giải hệ phương trình (18), thực việc di chuyển thông số điều kiện biên véc tơ Y(α) tới véc tơ X(0), thu hệ phương trình đại số giải tốn phân tích tĩnh cho phần tử cong (19) A*(α1) X*(0, α1)= -B(α1) Trong đó, ma trận A*(α) ma trận thu di chuyển thông số cuối véc tơ Y (Y(α1)) tới vị trí thơng số có giá trị véc tơ X (X(0)) Lúc véc tơ Y(α1) Như vậy, giải hệ phương trình đại số (19) thu giá trị nội lực chuyển vị vị trí tiết diện cong phẳng Kết luận Áp dụng phương pháp phần tử biên tốn phân tích tĩnh hệ cong phẳng cho phép xác định phương trình trạng thái phần tử hệ từ xác định nội lực chuyển vị điểm chia hệ Hệ phương trình đại số thiết lập cho phần tử cong sở cho việc áp dụng phần mềm lập trình để giải tốn chịu tải trọng phức tạp có điều kiện biên Nghiệm toán hàm nội lực chuyển vị xác định theo hệ phương trình đại số (19) hồn tồn trùng khớp với nghiệm giải tích Từ đó, thấy rõ ưu điểm phương pháp phần tử biên việc áp dụng toán xác định nội lực chuyển vị cong phẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lều Thọ Trình (CB), Cơ học kết cấu phần 1, NXB KH&KT, 2009 [2] Lều Thọ Trình (CB), Cơ học kết cấu phần 2, NXB KH&KT, 2009 [3] Nguyễn Văn Liên, Đinh Trọng Bằng, Nguyễn Phương Thành (2004), Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, Hà Nội [4] Chu Quốc Thắng, Phương pháp Phần Tử Hữu Hạn, NXB Khoa học & kĩ thuật, 1997 [5] Крауч С., Старфилд А (1987) Методы граничных элементов в механике твердого тела – М.: Мир (Krauch S., Starphild A (1987) Phương pháp phần tử biên học vật rắn – M.: Mir) [6] Vũ Thị Bích Quyên (2015) Phương pháp phần tử biên giải toán tĩnh hệ biến dạng đàn hồi Tập – Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 12, Đà Nẵng [7] P.K Banerjee and R Butterfield (1981), Boundary Element Methods in Engineering McGraw- Hill Book Company (UK) Limited [8] Nguyễn Mạnh Yên (2000) Phương pháp số học kết cấu NXB khoa học kỹ thuật, Hà nội [9] В.Н Иванов (2007) Основы численных методов расчета конструкций Москва «высшая школа» (V.N Ivanov (2007) Cơ sở phương pháp số tính tốn kết cấu cơng trình Moskva “Vuishaia Shkola”) [10] Баженов В.А., Оробей В.Ф , Дащенко А.Ф., Коломиец Л.В (2001) Применение метода граничных элементов Одесса «Астропринт» (Bazhenov V.A., Orobei V.F., Dashenko A.F., Kolomies L.V (2001) Ứng dụng phương pháp phần tử biên Odessa “Astroprint”) [11] An Introduction to the Boundary Element Method (BEM) and Its Applications in Engineering Yijun Liu, Professor of Mechanical Engineering, University of Cincinnati Cincinnati, Ohio 45221-0072, U.S.A [12] Boundary Element Methods in Engineering Science, P.K.Banerjee - State University of New York at Buffalo and R.Butterfield – Professor and head of Department of Civil Engineering University of Southampton, McGraw-Hill Book Company (UK) Limited, 1981 [13] Boundary Element Method Course Notes, Tara LaForce Stanford, CA 1st June 2006 [14] Principles of Boundary Element Methods, Martin Costabel, Technische Hochschule Darmstadt [15] P.K Banerjee and R Butterfield, Boundary Element Methods in Engineering Science, McGraw-Hill Book Company (UK) Limited, 1981 ISSN 2734-9888 06.2021 79 ... tốn phân tích tĩnh cong phẳng 2.2.1 Phương trình vi phân biến dạng đàn hồi cong phẳng Xét hệ cong phẳng chịu tải trọng hình Các phương trình phân tích tĩnh xây dựng sở giả thiết mặt cắt ngang phẳng. .. vậy, giải hệ phương trình đại số (19) thu giá trị nội lực chuyển vị vị trí tiết diện cong phẳng Kết luận Áp dụng phương pháp phần tử biên toán phân tích tĩnh hệ cong phẳng cho phép xác định phương. .. kiện biên tĩnh học hình học vào để giải phương trình (16), điều kiện biên tĩnh học thiết lập dựa phương trình cân tĩnh học nút Các điều kiện biên hình học thiết lập dựa điều kiện chuyển vị biên phần