Đại số tuyến tính chương tập hợp, quan hệ, ánh xạ

CHƢƠNG TẬP HỢP- QUAN HỆ - ÁNH XẠ 1.1 TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm chung Chúng ta trình bày lý thuyết tập hợp theo quan điểm "ngây thơ" nhà toán học B Bolzano, G Cantor R Dedekind đưa vào cuối kỷ XIX Cụ thể, tập hợp khái niệm toán học xem khái niệm gốc xuất phát (nguyên thuỷ), không định nghĩa mà mô tả ví dụ cụ thể Chẳng hạn, tập hợp điểm; tập hợp đường thẳng; tập hợp số; tập hợp bốn mùa xuân, hạ, thu, đông năm Trong thực tế, ta thường dùng từ đồng nghĩa với từ tập: lớp, họ, bộ, toàn thể Tập hợp thường gọi ngắn gọn tập: tập A, tập đóng, tập số Để biểu thị tập hợp ta dùng chữ viết in hoa A, B, C, , X, Y, Z Các đối tượng hợp thành tập hợp gọi phần tử Nếu x phần tử A ta viết x  A nói x thuộc A Nếu phần tử y khơng phần tử A ta viết y  A nói y khơng thuộc A Các phần tử tập hợp đối tượng cụ thể trừu tượng người, vật thể hàm số, số tự nhiên, Một tập hợp coi hoàn toàn xác định ta phân biệt đối tượng thuộc đối tượng khơng thuộc Thơng thường đưa tập hợp hai cách sau: a) Liệt kê phần tử tập, ví dụ A  a1, a2 , a3 , a4  b) Chỉ số tính chất chung cho phần tử thuộc tập, ví dụ [  ; 1]   x   x  1;  1; 1 x     x  1 Tập X phần tử x có tính chất P(x) ký hiệu là: X   x P( x) Một tập gồm số hữu hạn phần tử gồm vô hạn phần tử, tương ứng gọi tập hữu hạn tập vơ hạn Nếu X tập hợp hữu hạn số phần tử X thường ký hiệu # X Ví dụ: #a1, a2 , a3 , a4   Tập hợp rỗng, ký hiệu  , tập hợp không chứa phần tử Tập có phần tử gọi tập đơn tử Ví dụ:  tập đơn tử 1.1.2 Tập con, tập, họ tập Ta nói tập A tập tập B phần tử A phần tử B nghĩa x  A x  B , ký hiệu A  B B  A Ta gọi A  B bao hàm thức Ta quy ước tập rỗng tập tập:   A Với quy ước này, ta có tập hợp rỗng (bạn đọc tự giải thích) Nếu đồng thời A  B B  A , ta nói A B ký hiệu: A  B Như vậy, ta có: A  B   x  A  x  B  Ta nói tập A tập thực tập B A tập B A  B , ký hiệu A  B Chẳng hạn: x, y  x, y, z; , ,   , , ,  Tập hợp mà phần tử tập tập hợp A gọi họ tập hợp A, ký hiệu bởi A hay A Ta ký hiệu  xi iI họ phần tử xi tập A đánh số tập số I Nếu phần tử xi A tập tập X ta gọi  xi iI họ tập tập X đánh số tập số I Nhận xét Nếu tập A gồm n phần tử tập A gồm 2n phần tử (chứng minh nhận xét dành cho bạn đọc tập) 1.1.3 Sơ đồ Ven (Venn schema) Để thể tập hợp A cách trực quan, người ta vẽ đường cong phẳng đơn kín (có thể đường trịn hay elip) coi tập A miền phẳng giới hạn đường cong Các điểm bên ngồi biểu diễn cho phần tử không thuộc tập A Tập B A biểu thị miền A B A 1.1.4 Các tập hợp số Tập hợp  số tự nhiên:   0,1,2,  Tập hợp  số tự nhiên khác 0:   1,2,  Tập hợp  số nguyên:   0, 1,  2,  Tập hợp  số nguyên khác 0:   1,  2,  a Tập hợp  số hữu tỉ:    b  a , b  , b    a Tập hợp  số hữu tỉ dương:    b  a, b  , ab  0  Tập hợp  số thực Tập hợp  số thực khác Tập hợp  số phức:   a  bi a, b  , i  1   Tập hợp  số phức khác :   a  bi a, b  ; a  b2  , i  1 1.1.5 Các phép toán liên kết tập hợp Từ tập hợp cho trước tạo nên tập hợp nhờ phép toán sau: 1.1.5.1 Phép hợp Hợp tập A B, ký hiệu A  B , tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B, tức là: A  B  {x x  A x  B} Từ định nghĩa ta suy tính chất sau phép hợp: a) A  A  A, A    A; b) A  B  B  A; c)  A  B   C  A   B  C  ; d ) A  B  A  B  B Phép chứng minh xem tập Chú ý rằng, tính chất c) ta bỏ dấu ngoặc viết hợp ba hay nhiều tập Tổng quát hơn, cho họ tập  Ai , i  I  Khi đó, hợp A i iI phần tử thuộc tập Ai , nghĩa là: A  x i iI i  I : x  Ai  tập hợp gồm 1.1.5.2 Phép giao Giao hai tập A, B ký hiệu A  B , tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B, tức là: A  B  x x  A; x  B Từ định nghĩa phép toán hợp giao ta thu tính chất sau: 1) A  A  A; A    2) A  B  B  A 3)  A  B   C  A   B  C  4) A  B  A  B  A 5) 6)  A  B   C   A  C    B  C   A  B   C   A  C    B  C  Do 3) ta không cần viết dấu ngoặc biểu thị giao ba hay nhiều tập Các tính chất 5) 6) nói phép toán hợp giao liên hệ với tính chất phân phối Ta chứng minh tính chất, chẳng hạn tính chất 5): • x   A  B   C  x   A  B ; x  C  x  A; x  C x  B; x  C  x   A  C  x   B  C   x   A  C    B  C  • x   A  C    B  C   x  A  C x  B  C  x  A; x  C x  B; x  C  x  A  B ; x C  x   A  B   C ■ Có thể mở rộng định nghĩa phép giao từ hai sang họ tập tuỳ ý Giao họ tập  Ai , i  I  tập hợp gồm phần tử chung họ Ai , tức là:  A  x i iI x  Ai , i  I  Nếu A  B   ta nói tập A, B rời không giao Họ tập  Ai , i  I  gọi rời đôi hai tập chúng rời 1.1.5.3 Phép trừ Ta gọi hiệu tập A tập B (theo thứ tự đó), ký hiệu A \ B , tập gồm phần tử thuộc A không thuộc B: A \ B   x x  A, x  B Nhận thấy, phép trừ khơng có tính chất giao hốn, nghĩa nói chung B \ A  A \ B Nếu B  A hiệu A \ B gọi phần bù B A, ký hiệu C A  B  Đặc biệt, tập xét tập tập cố định X ta viết C  B  thay cho C X  B  Ngồi ký hiệu C  B  ta cịn dùng ký hiệu B để phần bù tập B tập X 1.1.5.4 Hiệu đối xứng Hiệu đối xứng tập A tập B, ký hiệu A  B , định nghĩa bởi: A  B   A \ B    B \ A Ta có B  A  A  B lý để phép tốn có tên "hiệu đối xứng" Ngồi ra, hiệu đối xứng có tính chất kết hợp: ( A  B)  C  A  ( B  C ) 1.1.6 Cơng thức De Morgan Giữa phép tốn hợp, giao lấy phần bù có mối liên hệ sau đây, gọi công thức De Morgan Với tập nêu tập tập hợp cố định X cho trước, ta có: a) A  A; i iI b) i iI A  A i iI i iI Nói riêng A1  A2  A1  A2 hay X   A1  A2    X  A1    X  A2  ; A1  A2  A1  A2 hay X   A1  A2    X  A1    X  A2  Phép chứng minh công thức xem tập dành cho bạn đọc 1.1.7 Tích Đềcac (Descartes) tập hợp Tích Đềcac (tích) tập A B, ký hiệu A  B , tập hợp cặp có thứ tự  a, b  , a  A, b  B : A  B   a, b  a  A, b  B Tương tự tích n tập A1, A2 , , An tập hợp n phần tử có thứ tự n  a1, a2 , , an  ,  Ai , i 1,2, , n ký hiệu  Ai i 1 Tích dãy tập A1, A2 , , An , tập dãy phần tử có thứ tự  a1, a2 , , an ,  ,  Ai , i  Nếu A1  A2   An  A n A i 1 i ký hiệu An gọi lũy thừa bậc n A Nói riêng, A2  A  A bình phương tập A Nhận xét Nếu A, B tập hữu hạn có số phần tử tương ứng m n tích A  B gồm mn phần tử Nhận xét thường gọi Nguyên lý nhân lý thuyết tập hợp Ví dụ Cho A  a, b, c B   x, y , ta có: A  B   a, x  ,  a, y  ,  b, x  ,  b, y  ,  c, x  ,  c, y  2     tập hợp cặp có thứ tự  x, y  với x,y số thực Như vậy,  biểu thị tập điểm mặt phẳng toạ độ; 3       tập ba có thứ tự số thực, tức điểm không gian chiều thông thường; 4         tập bốn có thứ tự số thực, tức điểm khơng gian vật lý chiều, chiều không gian chiều thời gian Nếu A   a, b, B  c, d  đoạn thẳng, tích A  B biểu thị tập điểm hình chữ nhật Cho A tập điểm hình trịn tâm O thuộc mặt phẳng Oxy, B tập điểm đoạn thẳng O, h trục Oz hệ toạ độ vng góc Oxyz A  B biểu thị tập hợp điểm hình trụ có chiều cao h, đáy hình trịn A 1.3 QUAN HỆ 2-NGƠI 1.2.1 Quan hệ hai ngơi tập hợp Cho tập X khác rỗng Ta gọi quan hệ - tập X tập S tập X  X Nếu cặp phần tử (a, b) thuộc S ta nói a có quan hệ S với b viết aSb Ví dụ Trên tập  , quan hệ " a  b " quan hệ " a  b " quan hệ 2- Trên tập đường thẳng mặt phẳng cho, quan hệ vng góc quan hệ song song hai đường thẳng quan hệ 2- Trên tập hợp  , quan hệ chia hết quan hệ 2- Trên tập X ( A) tất tập tập A, quan hệ bao hàm  quan hệ 2- 1.2.2 Đồ thị quan hệ 2-ngôi Cho S quan hệ 2-ngôi tập X Nếu a b hai phần tử X cho aSb có cặp thứ tự  a, b  phần tử tập tích X  X Ta ký hiệu G  X  X tập hợp cặp  a, b  thỏa mãn quan hệ S gọi G đồ thị quan hệ 2-ngôi S : G   a, b  a, b  X ; a S b Ví dụ Đồ thị quan hệ " a  b " tập  số thực đường phân giác góc phần tư thứ I III mặt phẳng tọa độ Đồ thị quan hệ " a  b " tập  nửa mặt phẳng kể biên nằm đường thẳng phân giác góc phần tư thứ I mặt phẳng tọa độ Đồ thị quan hệ " a  b2  1" đường tròn bán kính 1, tâm gốc O mặt phẳng tọa độ 1.2.3 Các tính chất có quan hệ 2-ngôi tập hợp Một quan hệ 2- ngơi S tập X có tính chất sau: - Tính phản xạ: aSa, với a  X - Tính đối xứng: Với a, b  X , aSb bSa - Tính phản đối xứng: Với a, b  X , aSb bSa a  b - Tính bắc cầu: Với a, b, c  X , aSb bSc aSc Ví dụ 1) Trên tập hợp ( A) tập tập hợp A quan hệ bao hàm  có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu khơng có tính đối xứng 2) Trên tập hợp [x] đa thức hệ số thực biến x, quan hệ có tính chất nêu Chú ý Đối với quan hệ 2-ngôi S tập X, tính chất nói khơng thiết thỏa mãn cặp phần tử X Các quan hệ định nghĩa mục có vai trị đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực toán học 1.2.4 Quan hệ tƣơng đƣơng Quan hệ 2-ngôi S tập X gọi quan hệ tương đương có đủ ba tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a  b thay cho cách viết a S b Ví dụ 1) Quan hệ song song đường thẳng tập đường thẳng không gian (quy ước coi hai đường thẳng trùng song song); quan hệ đồng dạng tam giác; quan hệ đồng hương tỉnh tập hợp dân cư sinh sống thành phố ví dụ trực quan quan hệ tương đương 2) Cho p số nguyên lớn Ta xác định quan hệ  tập  số nguyên bởi: a  b hiệu a  b chia hết cho p, tức a b có số dư với phép chia cho p ký hiệu: a  b  mod p  Nghiệm thấy rằng, quan hệ có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên quan hệ tương đương  gọi quan hệ đồng dư theo môđun p Ta gọi a  b  mod p  đồng dư thức 1.2.5 Phân hoạch tập Để nghiên cứu sâu quan hệ tương đương ta cần khái niệm phân hoạch tập hợp định nghĩa sau: Cho tập X khác rỗng Ta gọi phân hoạch X họ tập khác rỗng X, đôi không giao cho hợp tập họ X Số phần tử (tập X) thuộc họ hữu hạn hay vơ hạn miễn khơng giao cặp tồn hệ phải “lát kín‟‟ tập hợp X Như thấy mục đây, quan hệ tương đương tập X định phân hoạch X 1.2.6 Các lớp tƣơng đƣơng, tập thƣơng 10 Giả sử  quan hệ tương đương tập X Với phần tử a  X , ta ký hiệu C  a  a tập hợp phần tử thuộc X mà tương đương với a Ta gọi C  a  lớp tương đương chứa phần tử a: C  a   x  X x  a Do tính phản xạ nên a  a , tập C  a  khác rỗng Ta có tính chất sau lớp tương đương: a, b  X , a  b  C (a)  C (b) Hơn nữa, C  a   C  b    C  a   C  b  Thật vậy, giả sử c  C  a   C  b  , thì: c  C  a  c  C  b  Tức c  a, c  b hay b  c  a Từ đó, tính chất bắc cầu suy b  a, b  C  a  Lập luận tương tự có a  C  b  , tức C  a   C  b  Mặt khác, ta cịn có: X   C (a) , nghĩa lớp aX tương đương C  a  „„lát kín‟‟ tập X Họ lớp tương đương gọi tập thương tập X theo quan hệ tương đương  cho, ký hiệu X /  Ta gọi phần tử a  X phần tử đại diện lớp tương đương C  a   X /  Nói khác đi, ta thu định lý sau: 1.2.7 Định lý Một quan hệ tương đương tập hợp X xác định phân hoạch X, phần tử phân hoạch lớp tương đương Để hình dung rõ tập thương, ta xét ví dụ tập thương gồm lớp đồng dư tập  số nguyên theo quan hệ đồng dư modp Ví dụ 1) Ta xét quan hệ đồng dư môđun p tập  số nguyên: a  b  mod p  Theo quan hệ này, cho p lớp tương đương sau đây: C  0 , C 1 , C   , , C  p  1 C  r  ,0  r  p  1, lớp tương đương gồm số nguyên mà chia cho p có số dư r Các lớp tương đương gọi lớp đồng dư theo modp Trong trường hợp này, tập thương  p   /  tập hữu hạn có p phần tử Chẳng hạn, tập  tập có phần tử, phần tử thứ lớp C   hay gồm số nguyên chẵn phần tử thứ lớp C 1 hay gồm số nguyên lẻ 11 2) Đối với quan hệ song song, lớp tương đương tập hợp đường thẳng phương, đường thẳng thuộc lớp đại diện cho phương lớp Như vậy, khái niệm phương thực chất lớp tương đương đường thẳng song song với Trong ví dụ tập thương X /  tập vô hạn 1.2.8 Quan hệ thứ tự Quan hệ 2-  tập X gọi quan hệ thứ tự có đủ ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu Nếu với phần tử x  X , y  X có x  y y  x quan hệ thứ tự  gọi quan hệ thứ tự tồn phần (hay thứ tự tuyến tính) Ngược lại, ta gọi  quan hệ thứ tự phận Nếu x  y ta nói " x bé y" Khi đó, ta viết y  x nói „„y lớn x‟‟ Nếu x  y x  y ta viết x  y (hay y  x ) Tập X xác định quan hệ thứ tự  gọi tập thứ tự thường ký hiệu  X ,   Ví dụ 1) Quan hệ  thơng thường tập hợp số thực quan hệ thứ tự toàn phần  ,  tập thứ tự 2) Quan hệ bao hàm  tập ( A) tập tập A quan hệ thứ tự phận Tuy nhiên khơng quan hệ thứ tự toàn phần 3) Quan hệ chia hết quan hệ thứ tự phận tập  1.2.9 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, phần tử cực đại, phần tử cực tiểu Giả sử  X ,   tập thứ tự   A  X Ta gọi phần tử a  A phần tử lớn tập A x  a, x  A Ta gọi phần tử b  A phần tử nhỏ tập A b  x, x  A Tập thứ tự  X ,   gọi tập thứ tự tốt tập khác rỗng X có phần tử nhỏ Ta gọi phần tử c  A phần tử cực đại tập A với x  A từ c  x suy x  c Ta gọi phần tử d  A phần tử cực tiểu tập A với x  A từ x  d suy x  d 12 1.3 ÁNH XẠ 1.3.1 Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp tuỳ ý khác rỗng Ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y, ký hiệu f : X  Y , quy tắc đặt tương ứng phần tử x  X với phần tử xác định y  Y Phần tử y gọi ảnh phần tử x, ký hiệu y  f ( x) x  y Tập hợp X gọi tập xác định hay tập nguồn, tập hợp Y gọi tập giá trị hay tập đích ánh xạ f Nói riêng, X Y tập hợp số khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số biết Ví dụ Mỗi tương ứng sau tập hợp xác định ánh xạ: 1) Tương ứng f : 1,2  a, b, c cho f (1)  a, f (2)  c 2) Tương ứng f : 1,2,3  a, b cho f (1)  f (2)  a, f (3)  c 3) Tương ứng f :    cho n  f  n   2n 4) Tương ứng f :    cho x  f  x   sin x 5) Tương ứng f :    cho x  f  x   e x 6) Tương ứng f :    cho x  f  x   x  7) Tương ứng f :  a, b  c, d  cho x  f  x   cd ad  bc x a b a b 1.3.2 Ảnh nghịch ảnh tập Cho f : X  Y ánh xạ từ X vào Y; A  X tập X; B  Y tập Y Ta gọi ảnh A f tập Y xác định f  A   f  x  x  A Đặc biệt f ( X ) , ảnh tập xác định X , gọi miền giá trị ảnh ánh xạ f ký hiệu Im( f ) Như vậy: Im( f )   y  Y x  X : y  f ( x)  Y Nghịch ảnh tập B  Y ánh xạ f tập X xác định bởi:   f 1  B   x  X f  x   B Nói riêng, f 1 Y   X tập xác định ánh xạ f 13 Khi A   x ta viết f  x  thay cho f Khi B   y ta viết f 1  y  thay cho x gọi ảnh x f  y gọi nghịch ảnh y 1 Chú ý rằng, f 1  B  , B   tập rỗng 1.3.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh, ánh xạ đồng Cho f : X  Y ánh xạ Ta nói: a) f đơn ánh hai phần tử khác thuộc tập xác định có ảnh khác qua f Nói cách khác, f đơn ánh khi: x1, x2  X : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) x1, x2  X : f  x1   f  x2   x1  x2 hay b) f toàn ánh phần tử thuộc tập giá trị có tạo ảnh thuộc tập xác định f Nói cách khác, f toàn ánh khi: y Y , x  X : f ( x)  y hay f  X   Y c) f song ánh f vừa đơn ánh vừa tồn ánh Nói cách khác, phần tử thuộc tập giá trị có tạo ảnh thuộc tập xác định f: y Y , !x  X : f ( x)  y Ánh xạ f : X  X cho f  x   x, x  X gọi ánh xạ đồng tập X, ký hiệu id X Ta có id X song ánh Trường hợp X   tập số thực id  hàm số bậc thơng thường: y = x Giả sử X  Y , ánh xạ f : X  Y cho f  x   x, x  X gọi ánh xạ nhúng tập X vào tập Y Ví dụ 1) Ánh xạ f :    cho x  sin x không đơn ánh, không toàn ánh 2) Ánh xạ f :    cho x  e x đơn ánh khơng tồn ánh 3) Ánh xạ f : 1,2  a, b, c cho f (1)  a, f (2)  c đơn ánh khơng tồn ánh 4) Ánh xạ f :    cho x  x  song ánh 5) Ánh xạ f :    cho n  n  song ánh Một số hình ảnh minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh: 14 1.3.4 Tích ánh xạ Cho ánh xạ f : X  Y ; g : Y  Z Ánh xạ h : X  Z xác định x  X , h  x   g  f  x   gọi hợp thành hay tích ánh xạ f g , ký hiệu h  g  f Ví dụ Giả sử f g ánh xạ từ  vào  cho bởi: f  x   sin x; g  x   x  g  f  x   g  f ( x)   g sin x   sin x   sin x  f  g  x   f  g ( x)   f  x2   sin  x2   sin x2 Khi Cịn Từ định nghĩa tích ánh xạ, ta suy tính chất sau: a) Nếu f : X  Y ; g : Y  Z ; k : Z  S ánh xạ k   g  f   k  g   f Nói khác đi, phép nhân ánh xạ có tính chất kết hợp phép nhân thực Do tính chất này, mở rộng phép tốn hợp ánh xạ từ hai sang số hữu hạn ánh xạ cho trước ký hiệu k  g  f có ý nghĩa hồn tồn xác định b) Giả sử f : X  Y g : Y  Z ánh xạ, ta có: - Nếu f g đơn ánh g  f đơn ánh - Nếu f g tồn ánh g  f tồn ánh - Nếu f g song ánh g  f song ánh c) Nếu f : X  Y ánh xạ f : X  Im( f ) toàn ánh f : X  Y đơn ánh f : X  Im( f ) song ánh Phép chứng minh ba tính chất xem tập 15 1.3.5 Ánh xạ ngƣợc Giả sử f : X  Y ánh xạ Nếu tồn ánh xạ g : Y  X cho g  f  id X ; f  g  idY ta gọi g ánh xạ ngược f Nhận xét Ánh xạ ngược ánh xạ có Thật vậy, giả sử ánh xạ f có ánh xạ ngược g k Khi đó, ta có g  id X  g  (k  f )  g  k  ( f  g )  k  idY  k Từ nhận xét trên, f có ánh xạ ngược g : Y  X ta ký hiệu g  f 1 ta có: f 1  f  id X ; f  f 1  idY Nhận xét Ánh xạ f 1 ánh xạ ngược f hay f  1 1 f Vậy f f 1 cặp ánh xạ ngược Nói riêng, Y  X f 1  f nghĩa f 1  x   f  x  , x  X f gọi ánh xạ đối hợp 1.3.6 Định lý Ánh xạ f : X  Y có ánh xạ ngược f song ánh Chứng minh Giả sử f : X  Y song ánh Thế với y  Y , tồn phần tử x  X cho f  x   y Do đó, ánh xạ g : Y  X xác định bởi: g  y   x ánh xạ ngược ánh xạ f Thật vậy, với x  X ; y  Y , ta có:  g  f  ( x)  g  f ( x)   x;  f  g  ( y)  f  g ( y)   y Ngược lại, giả sử f : X  Y có ánh xạ ngược g : Y  X , ta chứng minh f : X  Y song ánh Thật vậy, với x1, x2  X : f  x1   f  x2   g  f  x1    g  f  x2    id X ( x1 )  id X ( x2 )  x1  x2 Do f đơn ánh Bây giả sử y  Y , tồn phần tử x  g ( y)  X cho f ( x)  f ( g ( y))  ( f  g )( y)  idY ( y)  y hay f toàn ánh Vậy f : X  Y song ánh định lý chứng minh Ví dụ 1) Ánh xạ f :    xác định f  x    ánh xạ đối hợp tức f  f 1 x 2) Ánh xạ f :    cho f  x   x3 có ánh xạ ngược f 1 :    cho f 1  x   x 16    3) Ánh xạ f :   ;    1;1 cho f  x   sin x có ánh xạ ngược  2    f 1 :  1;1    ;  cho f 1  x   arcsin x  2 Nhận xét 1) Nếu f : X  Y song ánh ánh xạ f 1  f ánh xạ đồng X, tức f 1  f  id X Tương tự f  f 1  idY ánh xạ đồng Y 2) Nếu f : X  Y , g : Y  Z song ánh g  f song ánh ta có cơng thức tính nghịch đảo song ánh tích:  g  f  1  f 1  g 1 Phép chứng minh chúng xem tập dành cho bạn đọc 1.3.7 Thu hẹp mở rộng ánh xạ Giả sử f : X  Y ánh xạ, A  X tập thực X Ánh xạ g : A  Y cho g  x   f  x  ; x  A gọi thu hẹp ánh xạ f : X  Y vào tập A X, ký hiệu g  f A Nếu X '  X , X '  X ánh xạ h : X '  Y cho h  x   f  x  ; x  X gọi mở rộng ánh xạ f : X  Y lên tập X ' Chú ý rằng, với ánh xạ f : X  Y cho trước tồn nhiều mở rộng tập X ' hồn toàn xác định 1.3.8 Lực lƣợng tập hợp Cho tập hợp A B khác rỗng Nếu tồn song ánh f : A  B ta nói tập A B có lực lượng hay có số Lực lượng (hay số) tập tập A ký hiệu A card(A) Bản số tập rỗng ký hiệu Bản số tập đơn tử ký hiệu Nếu A B có lực lượng, ta nói A tương đương với B ký hiệu: A  B Như vậy: A  B  A ~ B Ta có: A  A ; A  B B  A A  B  C A  C Như vậy, quan hệ  thỏa mãn điều kiện quan hệ tương đương 1.3.9 Định nghĩa Mỗi tập A tương đương với tập  số tự nhiên gọi tập có lực lượng đếm hay tập đếm 17 Lực lượng tập đếm ký hiệu o (đọc Alep không) Mọi phần tử tập đếm liệt kê thành dãy vô hạn: a0 , a1, , an , ngược lại Ví dụ tập đếm đƣợc 1) Tập hợp số tự nhiên  khác tập đếm nhờ song ánh f   xác định n  n  2) Tập hợp số tự nhiên chẵn tập đếm nhờ song ánh f  tập xác định n  2n 3) Tập hợp số nguyên dương lẻ tập đếm nhờ song ánh f  tập xác định n  2n  Ta nhận thấy qua ví dụ tập hợp vơ hạn tương đương với tập thực Tính chất đặc trưng tập vơ hạn 1.3.10 Lực lƣợng continuum, Giả thiết continuum Trong phần ta gặp tập đếm đuợc nghĩa tập lực lượng với tập số tự nhiên Phát sinh câu hỏi: Tồn hay không tập vơ hạn có lực lượng khơng đếm được? Định lý Cantor sau cho câu trả lời khẳng định: Tập hợp điểm đoạn  0; 1 có lực lượng khơng đếm Có thể chứng minh định lý nhờ nguyên lý “dãy đoạn thắt” Borel Lực lượng tập đoạn  0; 1 tập lực lượng với gọi lực lượng continuum, ký hiệu c hoặc 20 Bằng phương pháp thiết lập song ánh thích hợp chứng minh tập hợp điểm đoạn  a; b  , khoảng  a, b  , toàn đường thẳng thực  ,   có lực lượng c Định lý sau cho thấy tồn tập có lực lượng cao lực lượng c Cho X tập hợp tuỳ ý, ( X ) gồm tất tập X, có lực lưọng lớn lực lượng X Nói riêng, X tập hữu hạn gồm n phần tử nhờ cơng thức Newton ta có số phần tử ( X ) 2n 18 Định lý cho thấy với tập có lực lượng cho trước, ln tồn tập có lực lượng lớn Nói cách khác “thang đo lực lượng" vô tận Chúng ta thừa nhận không chứng minh định lý dẫn phần Có thể thấy lực lượng continuum mạnh lực lượng đếm được, có tồn lực lượng a trung gian cho 0  a  20 nằm lực lượng đếm lực lương continuum không (Giả thiết continuum)? Vấn đề đến năm 1963, Paul Cohen giải được: Không thể chứng minh tồn lực lượng khơng thể bác bỏ điều 1.4 PHÉP THẾ 1.4.1 Định nghĩa Cho X  0,1,2, , n tập hợp có n phần tử Một song ánh f : X  X gọi phép bậc n (trên X) Ký hiệu Sn tập hợp tất phép bậc n Một phép f : X  X bậc n viết dạng:  f   f (1) n  f (2) f (n)   f (1), , f (n)  hoán vị 1,2, ,n  Ngược lại,  f (1), , f (n)  hoán vị 1,2, ,n  ánh xạ f : X  X cho  f   f (1) n  f (2) f (n)  song ánh, phép bậc n Phép đồng bậc n ký hiệu e ta có: 1 n  e  n   Như vậy, số phép bậc n số hoán vị n phần tử Vì số hốn vị n phần tử n! nên ta có 1.4.2 Định lý Số phép bậc n n! 19 1.4.3 Định nghĩa Cho f : X  X phép bậc n Khi đó, f song ánh tồn song ánh ngược f 1 : X  X phép bậc n Ta gọi phép f 1 : X  X phép ngược phép f : X  X Nói rõ hơn,  f   f (1) n   Sn f (2) f (n)   f 1    f (1) f (2) f ( n)   Sn n  1.4.4 Phép nhân phép bậc n Giả sử f g phép bậc n Khi đó, f g song ánh tập X, tích g  f song ánh X hay g  f phép bậc n Ta định nghĩa phép nhân phép bậc n phép nhân song ánh tập X     1  g f      S5     1  1.4.5 Định nghĩa Cho f phép bậc n Cặp Ví dụ  f (i), f ( j)  ,1  i  j  n gọi nghịch f f (i)  f ( j ) Số nghịch f ký hiệu N ( f ) Dấu sign( f ) f định nghĩa công thức sign( f )  (1) N ( f ) , N ( f ) số nghịch phép f Phép f gọi phép chẵn sign( f )  trường hợp ngược lại sign( f )  1 ta nói f phép lẻ Ví dụ Phép đồng bậc n X phép chẵn số nghịch 0: sign(e)  Sử dụng định nghĩa dấu phép thế, ta thu 1.4.6 Mệnh đề Cho f , g  Sn phép bậc n, ta có 1) sign( f 1 )  sign( f ); 2) sign( g  f )  sign( f )sign( g ) 20 1 10    10  Ví dụ 1) Tìm f 150 f   Tính tốn cho ta 1 10  f  f  f  , 10   1 10  f  f  f  f    e 1 10  Do đó: f 150  ( f )30  e30  e 1 10    10  2) Xác định dấu phép f   Mỗi cặp số 18 cặp số sau đây: (3,1), (3,2), (5,4), (5,1), (5,2), (4,1), (4,2), (6,1), (6,2), (9,7), (9,8), (9,1), (9,2), (7,1), (7,2), (10,8), (10,2), (8,2) tạo nghịch Do đó, số nghịch f N ( f )  18 hay sign( f )  (1)18  3) Xác định tính chẵn, lẻ phép sau: 1 f   n n  n 1 n   Sn  a) Trường hợp n số lẻ: Số nghịch f N ( f )  (n  1)  (n  3)    (n  (n  2))  (n  n)  (n  1)  (n  3)     tổng n 1 số chẵn, số chẵn Vậy, f phép chẵn với sign( f )  b) Trường hợp n số chẵn: Số nghịch f tổng n số lẻ sau n 1 N ( f )  (n  1)  (n  3)    (n  (n  1))   (n  (2k  1)) k 0 n 1 n 1 n 1 k 0 k 0 k 0  n1  2 k  1  n n(n  2) n n    4 - Nếu n  4k , k   N ( f )  4k số chẵn, hay f phép chẵn - Nếu n  4k  2, k   N ( f )  4k  4k  số lẻ, hay f phép lẻ 21 HƢỚNG DẪN TỰ HỌC CHƢƠNG A Các kiến thức trọng tâm cần nắm vững: Tập hợp, tập hợp con, họ tập hợp tập hợp Các phép toán tập hợp Tích Descartes tập hợp Ánh xạ; Ánh xạ nhau; Phép nhân ánh xạ; Đơn ánh, toàn ánh, song ánh; Ánh xạ ngược; Thu hẹp mở rộng ánh xạ Quan hệ tương đương, lớp tương đương tập hợp thương Quan hệ thứ tự phần tử đặc biệt tập thứ tự Phép bậc n Dấu phép Phép chẵn, phép thể lẻ B Các kỹ cần rèn luyện: Xác định tập hợp, tập con; xác định tính chất đặc trưng tập hợp Thực hành phép toán tập hợp Biểu diễn tập hợp sơ đồ Ven Chứng minh đẳng thức tập hợp với hai phương pháp chứng minh chủ yếu sau đây: a) Dùng tính chất tập hợp phép toán tập hợp biến đổi hai vế đẳng thức cần chứng minh; b) Chứng minh trực định nghĩa tập hợp: Mỗi phần tử thuộc tập vế trái thuộc tập vế phải ngược lại) Xây dựng quan hệ 2–ngôi tập hợp; kiểm tra tính chất có quan hệ 2-ngôi (phản xạ, phản xứng, đối xứng, bắc cầu, tồn phần) Xây dựng ánh xạ; Tìm ảnh tập con, xác định Im( f ) ; Tìm miền giá trị hàm số; Tìm tạo ảnh tồn phần tập con; Giải phương trình ánh xạ; Thực hành nhân ánh xạ; Kiểm tra tính đơn ánh, tồn ánh, song ánh ánh xạ; Tìm ánh xạ ngược song ánh; Tìm miền giá trị hàm số 22 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 a) Cho X  a, b, c;Y  a, b, c, x chữ khác biểu thị phần tử khác nhau; chữ trùng biểu thị phần tử Các mệnh đề sau hay sai? a) X = Y, b) X  Y c) X  Y  X Hãy liệt kê phần tử tập hợp sau: a) Tập hợp số tự nhiên có chữ số với tổng hai chữ số 15 b) Tâp hợp số chẵn từ tập hợp A  0,1,2,4,5,7,9,10,15,14 c) Tập hợp số nguyên tố chẵn không vượt 50 Cho tâp hợp sau: X  1,2,4,5 Hãy liệt kê phần tử tập hợp : a) Các số viết chữ số thuộc X b) Các số tập hợp X thoả mãn:  x  c) Các số tập hợp X thoả mãn:  x  Hãy tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp sau : A = {1, 2, 4, 8, 16, 32 }; B ={ 1, 3, 5, 7, 9}; C = {1, 4, 9, 16, 25}; D = {2, 3, 5, 7} Cho tập A  a, b, c, B  a, b, c, d , C  a, b,, , D  a, b Xác định quan hệ bao hàm tập A, B, C, D Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm phân biệt C D không trùng với hai đầu mút A, B Hãy liệt kê đoạn thẳng tạo điểm A, B, C, D Hướng dẫn: Có đoạn thẳng AC, AD, AB, CD, CB, DB Trên cạnh BC tam giác ABC lấy hai điểm phân biệt D E không trùng với hai đỉnh B, C Hãy liệt kê tam giác tạo điểm A, B, C, D, E Cho hàm số y  x Tìm giá trị y với x 1, 1, 2,  2,3,  3, 4, 4 Chứng minh rằng: Trong tập hợp X ( A) tập tập hợp A, quan hệ bao hàm  có tính phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu khơng có tính đối xứng 10 Chứng minh rằng: Quan hệ tính chẵn lẻ tập hợp số tự nhiên  quan hệ có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu khơng có tính phản xứng 23 11 Trên mặt phẳng (P) lấy điểm O cố định Định nghĩa quan hệ hai S sau: Với điểm M, N thuộc P; M S N điểm O, M, N thẳng hàng Hãy kiểm tra tính chất có quan hệ S 12 Chứng minh tính chất sau tập tập cố định X   a) A  A; b) A \ B  B  A; c) A  B  B  A; A B  X d)   B  A A B   13 Chứng minh với tập A, B, C tuỳ ý: a) A \  A \ B   A  B; b) A   B \ C    A  B  \  A  C  ; c)  A \ B    A \ C   A \  B  C  ; d )  A \ B    B \ A   A  B  \  A  B  ; e) A   B \ A    14 Chứng minh tính chất sau hiệu đối xứng a) A    A; b)  A  B   C  A   B  C  ; c) A   B  C    A  B    A  C  ; d ) A  B  ( A  B)   A  B  15 Chứng minh  n   n  n a)   Ai     Bi     Ai  Bi   i 1   i 1  i 1  n   n  n b)   Ai     Bi     Ai  Bi   i 1   i 1  i 1 16 Tìm tập X thỏa mãn a) A  X  B  A  X  B, b)   A  X  C với A,B,C cho thỏa mãn B  A  C 24  A \ X  B, c)   X \ A  C với A,B,C cho thỏa mãn B  A; A  C    1  3     mút a, b Biểu diễn hình học tập A  B 17 Cho A   0;1   2;3 ; B  0;   1;   a, b  ký hiệu đoạn có 2 18 Chứng minh tính chất: a)  A  B    C  D    A  C    B  D  b)  A   B    A  B  i iI i iI i i iI c)  A  B    C  D    A  C    B  D  d )  A \ B   C   A  C  \  B  C  e) A   B \ C    A  B  \  A  C  19 Trên tập  , ta định nghĩa hai quan hệ sau: aSb  a  b , aSb  cos a  cos b, ký hiệu   hiểu theo nghĩa thông thường Các quan hệ có quan hệ tương đương khơng? có quan hệ thứ tự khơng? 20 Trên tập  , quan hệ S xác định aSb  a3  b3  a  b có quan hệ tương đương không? Nếu phải, lớp tương đương chứa a   21 Trên tập  quan hệ S xác định  a, b  S  c, d   a  d  b  c có quan hệ tương đương không? 22 Trên tập A gồm tam thức bậc hai A   f  x   ax  bx  c, a  0, x  cho quan hệ S xác định f  x  S g  x    f 1  g 1   g    f    Chứng minh rằng, S quan hệ tương đương A 23 Cho E tập khác rỗng, S quan hệ E có tính phản xạ bắc cầu Chứng tỏ rằng, quan hệ R E xác định xRy   xSy    ySx  quan hệ tương đương 24 Trong số ánh xạ từ X vào Y đây, ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Trường hợp tồn ánh xạ ngược 25 a) X   4;9;Y   21;96 ; f ( x)  x  x  b) X  Y  ; f  x   3x  x x2  1 c) X  ;Y  0;  , f  x    x  x   1 x  d ) X   1;1 , Y  , f  x   ln   1 x  25 Cho ánh xạ f :    Hãy xác định Im( f ) trường hợp sau kiểm tra tính tồn ánh, đơn ánh, song ánh ánh xạ f : a) f ( x)  x  3x  2; b) f ( x)  x5  2; c) f ( x)  x3  3x  x  5; d) f ( x)  sin x 27 Chỉ cặp ánh xạ f g cho: a) g  f tồn f  g không tồn b) g  f f  g tồn khác 28 Chứng minh tính chất sau ảnh nghịch ảnh: a) f  A  B   f  A   f  B  b) f  A  B   f  A  f  B  c) c) f  A  B   f  A  f  B  d ) f 1  A  B   f 1  A   f 1  B  e) f 1  A  B   f 1  A   f 1  B  g ) f 1  A \ B   f 1  A  \ f 1  B  29 Cho ánh xạ f :    xác định f  x   x  3x  a) Xác định f    b) Cho A   1;2 Xác định f 1  A 30 Cho  tập hợp số nguyên a, b, c, d  cho ad  bc  Xét ánh xạ f : 2  2 xác định f  x, y    ax  by, cx  dy  26 Ký hiệu X tập hợp tất ánh xạ Chứng minh rằng: a) f song ánh b) X đóng kín luật hợp thành ánh xạ, nghĩa f , g  X g f X 31 Cho hai ánh xạ f : A  C; g : B  D Ta định nghĩa ánh xạ: h : A  B  C  D h  a, b    f  a  , g  b   ,  a, b   A  B Chứng minh rằng: a) Nếu f, g đơn ánh h đơn ánh b) Nếu f, g tồn ánh h tồn ánh c) Các mệnh đề đảo a) b) có hay khơng? 32 Giả sử  n [ x] tập đa thức có hệ số thực với bậc  n  ,  số thực cho trước cho    Xét ánh xạ f :  3[ x]   3[ x] xác định bởi: f  p  x    p  x     p( x   ); p  x    3[ x] Kiểm tra tính tồn ánh, đơn ánh, song ánh ánh xạ f 33 Xét ánh xạ f :  3[ x]   4[ x] xác định bởi: f : p  x    x  1 p  x   1  x  p '  x  , p '  x  đạo hàm p(x) Chứng minh rằng, f đơn ánh 34 Cho X tập hợp có n phẩn tử ( n  , n  1) f : X  X ánh xạ Chứng minh phát biểu sau tương đương: 1) f đơn ánh 2) f toàn ánh 3) f song ánh 35 Ký hiệu X Y tập hợp tất ánh xạ từ tập hợp Y tới tập hợp X Chứng minh rằng, A, B, C, D tập hợp cho A  B, C  D AC  B D , ký hiệu  quan hệ tương đương tập hợp 27 ... tốn tập hợp Tích Descartes tập hợp Ánh xạ; Ánh xạ nhau; Phép nhân ánh xạ; Đơn ánh, toàn ánh, song ánh; Ánh xạ ngược; Thu hẹp mở rộng ánh xạ Quan hệ tương đương, lớp tương đương tập hợp thương Quan. .. số; Tìm tạo ảnh tồn phần tập con; Giải phương trình ánh xạ; Thực hành nhân ánh xạ; Kiểm tra tính đơn ánh, tồn ánh, song ánh ánh xạ; Tìm ánh xạ ngược song ánh; Tìm miền giá trị hàm số 22 BÀI TẬP... ký hiệu  xi iI họ phần tử xi tập A ? ?ánh số tập số I Nếu phần tử xi A tập tập X ta gọi  xi iI họ tập tập X ? ?ánh số tập số I Nhận xét Nếu tập A gồm n phần tử tập? ?? A gồm 2n phần tử (chứng