Phần 2 của ebook Chọn lọc các phương trình đại số hay và khó được biên soạn nhằm cung cấp cho các bạn những kiến thức về phương pháp bất đẳng thức và hệ phương trình nhiều ẩn. Đây là tài liệu được tổng hợp với những ai muốn tăng khả năng tư duy giải toán của mình. Mời các bạn tham khảo!
Tuyển tập phương trình đại số hay khó | Chương Phương pháp bất đẳng thức P hương trình – Hệ phương trình – Bất đẳng thức hai lĩnh vực có mối quan hệ chặt chẽ với Đây phần quan trọng chương trình tốn THPT nhiều học sinh đam mê tốn u thích Khơng vấn đề cịn thường xun xuất kì thi THPT Quốc gia hay kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh hay chí VMO Các tốn phương trình khơng tắc thường thiết kế sáng tạo ý tưởng bất đẳng thức đồng thời phối hợp nhiều luồng kiến thức khác yêu cầu người làm toán phải có tư linh hoạt, tìm tịi củng cố kiến thức, liên hệ kiến thức đồng thời tập cho nghiên cứu để khám phá vẻ đẹp sử dụng thành thạo phương pháp Các bất đẳng thức cần nhớ Bất đẳng thức AM – GM Cho n số thực dương a1,a2 , ,an ta có a1 + a2 + + an n a1 a2 an n2 n i =1 a1 n Bất đẳng thức AM – GM dạng cộng mẫu số cho n số thực dương a1,a2 , ,an i =1 Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz n n n Cho số (a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) Khi ta có ai2 bi2 aibi i =1 i =1 i =1 Ngoài cần phải ý đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu Engel n ai n i =n1 i =1 bi bi i =1 Bất đẳng thức cịn gọi bất đẳng thức Svacxơ a a a Dấu “=” xảy = = = n Riêng dạng cộng mẫu cần thêm điều kiến b1,b2 , ,bn b1 b2 bn Bất đẳng thức Minkowski Tổng quát Cho số thực r số dương a1,a2 , ,an ,b1,b2 , ,bn ta có 229 | Chinh phục olympic toán | Các toán chứa tham số 1 n n r r n r r r r a + b ( ) i i ai + bi i =1 i =1 i =1 Ở xét trường hợp cho số (a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) Khi ta có n n ai + bi i =1 Dấu “=” xảy i =1 n (a i =1 + bi ) i a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Bất đẳng thức Holder ( ) Cho số dương x i, j i = 1, m , j = 1, n j m m n Khi với số 1, 2 , , n thỏa mãn i = ta có x i, j x i, jj i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 n n Ở ta xét trường hợp đơn giản cho dãy số gồm (a,b,c ); (m, n, p ); (x , y, z ) Ta có (a )( )( ) + b + c x + y + z m + n + p (axm + byn + czp ) Dấu “=” xảy dãy tương ứng tỷ lệ Tạp chí tư liệu tốn học | 230 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | I Các tốn phương trình Đánh giá miền nghiệm Ý tưởng phương pháp đơn giản, chứng minh loại trừ, có nghĩa ngồi nghiệm khơng nghiệm khác, ta chứng minh trường hợp x a, x a phương trình vơ nghiệm, sau ta tìm hiểu tốn dạng này! Câu Giải phương trình x − + x + = −x + Giải Nhận xét x = thỏa phương trình cho x − + x + −1 + = Với x nên phương trình vô nghiệm −x + x − + x + −1 + = Với x nên phương trình vơ nghiệm −x + Vậy phương trình có nghiệm x = Câu Giải phương trình + 7x + 15 = x + 2x Giải Phân tích 3 = x Do x = , nghiệm phương trình Nên 7x + 15 = 2x Ta viết lại phương trình thành ( x − ) + ( ) 7x + 15 − 2x = (* ) Ta tìm nghiệm chung hệ bất phương trình x 3 − x ( x − )( 4x + ) x • 4 7x + 15 − 2x x • x 3 − x ( x − )( 4x + ) x 4 7x + 15 − 2x x + Nếu x ( − x ) + + Nếu x ( − x ) + ( ( ) 7x + 15 − 2x hay (*) vô nghiệm ) 7x + 15 − 2x hay (*) vô nghiệm Hay phương trình (*) có nghiệm x = Lời giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với ( x − ) + ( Nhận thấy x = nghiệm phương trình (*) Xét hệ bất phương trình x 3 − x ( x − )( 4x + ) x • 4 7x + 15 − 2x x 231 | Chinh phục olympic toán ) 7x + 15 − 2x = (* ) | Các tốn chứa tham số • x 3 − x ( x − )( 4x + ) x 4 7x + 15 − 2x x Suy + Nếu x ( − x ) + + Nếu x ( − x ) + ( ( ) 7x + 15 − 2x hay (*) khơng có nghiệm x 0;3 ) ) 7x + 15 − 2x hay (*) nghiệm x ( 3; + ) Vậy phương trình có nghiệm x = Câu Giải phương trình 7x + 11x + − 3x = x − Giải Điều kiện x Phương trình cho tương đương với ( ) 7x + 11x + − 3x + ( − x ) = (* ) Nhận thấy x = nghiệm phương trình ( * ) Xét hệ bất phương trình • x 6 − x ( x − )( 2x + 1) x 4 7x + 11x + − 3x x • x 6 − x ( x − )( 2x + 1) x 4 7x + 11x + − 3x x Suy + Nếu x + Nếu x ( ( ) 7x + 11x + − 3x + ( − x ) hay ( * ) khơng có nghiệm x 0;6 ) ) 7x + 11x + − 3x + ( − x ) hay ( * ) nghiệm x ( 6; + ) Vậy phương trình có nghiệm x = Câu Giải phương trình ( x − 1) + ( x + 1) + ( 2x + 1) = (* ) Giải Điều kiện x − Nhận thấy x = nghiệm phương trình ( * ) Xét hệ bất phương trình • ( x + 1) x 0 x +1 +1 x + 1) x + − ( ( 2x + 1) x ( x + 1) ( x + 1) 0 x 0 ( 2x + 1) 2x + − 2x + + ( 2x + 1) ( 2x + 1) x − 1 x − 2 ( ( ) ) Tạp chí tư liệu tốn học | 232 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | • ( x + 1) x + − ( x + 1) ( x + 1) ( 2x + 1) 2x + − ( 2x + 1) ( 2x + 1) x − ( ) ( ) ( x + 1) x 0 x +1 +1 ( 2x + 1) x 0 − x 0 2x + + x − Suy + Nếu x , ta có VT ( * ) = ( x − 1) + ( x + 1) ( 2x + 1) (x − 1) + (x + 1) + ( 2x + 1) = x + x + = VP ( * ) hay ( * ) khơng có nghiệm x ( 0; + ) 3 + + Nếu − x , ta có VT ( * ) = ( x − 1) + (x + 1) + ( 2x + 1) (x − 1) + (x + 1) + ( 2x + 1) = + x ( x + 1) = VP ( * ) hay ( * ) khơng có nghiệm x ( 0; + ) 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu Giải phương trình 2x − 11x + 21 − 3 4x − = Giải Phân tích Ta nhận định phương trình có nghiệm x = (có thể sử dụng hỗ trợ từ máy tính bỏ túi), từ nảy sinh ý tưởng đánh giá xoay quanh giá trị x = ( ) Lại có 2x − 11x + 21 − 3 4x − = ( x − ) + x + − 3 4x − chứng minh (x + − (x + − 3 ) 4x − ) x + 4x − toán giải quyết, mà 4x − ( x − ) ( x + 15 ) (* ) , lúc ( * ) với x −15 Từ ý tưởng xử lý vấn đề sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình để làm bé lại khoảng có nghiệm Thật phương trình 3 4x − = 2x − 11x + 21 3 4x − x Và x ( * ) hiển nhiên Lời giải ( ) Phương trình cho tương đương với ( x − ) + x + − 3 4x − = Từ phương trình ban đầu ta có 3 4x − = 2x − 11x + 21 3 4x − x ( ) Mà x + − 3 4x − x + 3 4x − ( x − ) ( x + 15 ) x ( ) Từ ( x − ) + x + − 3 4x − , dấu ‘=’ xảy x = Hay phương trình cho có nghiệm x = Chú ý Trong số tốn việc sử dụng điều kiện có nghĩa chưa đủ để sử dụng đánh giá phương trình, từ ta nghĩ đến phương án tìm điều kiện có nghiệm phương trình Bổ đề Xét phương trình f ( x ) = g ( x ), x D ( * ) Nếu f ( x ) m, x D, để phương trình ( * ) có nghiệm ta cần phải có g ( x ) m Nếu f ( x ) M , x D, để phương trình ( * ) có nghiệm ta cần phải có g ( x ) M Câu Giải phương trình + 2x + − 2x = + 3x + − 3x 233 | Chinh phục olympic toán | Các toán chứa tham số Giải Phân tích Bài tốn nhìn có dáng dấp hàm số, nhiên phương pháp sử dụng hàm số với tốn khơng đơn giản Ta liên tưởng đến việc sử dụng đánh giá để thay Xét bất phương trình + 2x + 3x (1 + 2x ) (1 + 3x ) x ( + 8x ) − 2x − 3x (1 − 2x ) (1 − 3x ) x ( − 8x ) 1 Với điều kiện xác định x − ; không làm bất phương trình nghiệm đúng, từ ta nảy 2 sinh ý tưởng làm hẹp khoảng đánh giá cách sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình Thật Đặt + 2x + − 2x = + 3x + − 3x = u, ta có u = + − 4x u (u ) u u = + 3x + − 3x − 9x = = + 3.u − 9x 1 u3 − 0 − x 3 3u 1 Rõ ràng x − ; bất phương trình nghiệm 3 Lời giải Đặt + 2x + − 2x = + 3x + − 3x = u, ta có u = + − 4x u (u ) u u = + 3x + − 3x = + 3.u − 9x 1 u3 − 0 − x 3 3u 1 Suy bất phương trình sau nghiệm x − ; 3 − 9x = + 2x + 3x (1 + 2x ) (1 + 3x ) x ( + 8x ) − 2x − 3x (1 − 2x ) (1 − 3x ) x ( − 8x ) 1 + 2x + − 2x + 3x + − 3x , x − ; 3 Dấu ‘=’ xảy x = Kết luận Phương trình có nghiệm x = Hay Câu Giải phương trình 4x − 6x − x + 10 = − x x (x + 1)(x − ) Giải 4x − 6x − x + 10 −1 x Điều kiện x x (x + 1)(x − ) Từ điều kiện ta có − x x (x + 1)(x − ) Dấu đẳng thức xảy x = −1 Mặt khác từ điều kiện ta ln có 4x − 6x − x + 10 Thật vậy, bình phương hai vế bất phương trình ta có ( ) 4x − 6x − x + ( x + 1) 4x − 10x + (ln đúng) Tạp chí tư liệu tốn học | 234 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | Dấu đẳng thức xảy x = −1 Từ đánh giá ta có 4x − 6x − x + 10 − x x (x + 1)(x − ) Đẳng thức xảy x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 Câu Giải phương trình x + 17 + (1 − x ) 2x + = (x − 1) x + Giải Nếu x = vơ lý Do x + 17 + (1 − x ) 2x + = (x − 1) x + 2x + + x + − Đặt f (x ) = 2x + + x + − x + 17 =0 2(x − 1) x + 17 f ' (x ) = + + 0 2 ( x − 1) x + ( x − 1) 3 ( 2x + ) Khi f ( x ) = có tối đa nghiệm khoảng −6;1) có tối đa nghiệm khoảng (1; + ) liên tục −6;1) (1; + ) Chỉ nghiệm x = x = −5 Xem thêm phần giải phương trình phương pháp hàm số ! Câu Giải phương trình ( 3x − 11) − x + (x − 1) 2x − = 2x + x − 11 Giải Ta có Đặt t = − x x = − t Khi 4 • ( 3x − 11) − x − 5x + 13 = ( −3t − )t + 5t + = ( 3t + 4t + ) (1 − t ) • ( x − 1) ( ) 2x − − = ( x − 1) 3 2x − + ( 3x − 11) − x − 5x + 13 vô lý Nếu x t suy 2x − − ( x − 1) ( ) ( 3x − 11) − x − 5x + 13 vô lý x t Nếu suy 2 x − x − − ( ) Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Kết luận Phương trình có nghiệm x = ( Câu 10 Giải phương trình ) 2x − − 3x + 3x + 20 = ( 2x − ) 3x + Giải Ta có 2x − − 3x + 3x + 20 = ( 2x − ) 3x + 2x − − x + − ( 2x − ) 3x + − 3x + 4x + 18 = ( ) ( 2x − − x + + Ta ln có 3x + + x + = 3x + + Nếu x Nếu 3x + − 3x + )( 3x + + 0 3 5+ 3x + − 3x + VT 2x − − x + 5− 5+ x 2 3x + − 3x + 2x − − x + 235 | Chinh phục olympic toán ) 3x + + x + = VT | Các toán chứa tham số Nếu x 5− ta có 3 2x − + Suy 2x − − 3x + 3x + 20 − ( 2x − ) 3x + −3x + 3x + 19 − ( 2x − ) 3x + ( − 3x + = ) ((3x + 8) ) 3x + + 15x − + 98 0 3x + − 3x + Nếu x VT 2x − − x + Bài toán giải Câu 11 Giải phương trình 3 x − + x − x − = ( 2x − ) x − Giải Điều kiện x Ta có 3 x − + x − x − = ( 2x − ) x − ( 3( 3 3 ) x − − 1) + ( x − − + x − x − − ( 2x − ) x − = )( ) x − −1 x x − − + = 1 Ta ln có x x − − x + = x − x − − + x − + 0; x 2 x −2 1 Nếu x VT x −2 1 x −2 1 Nếu x VT x −2 1 Câu 12 Giải phương trình ( ) 2x + + x + ( x + ) = 2x + 11x + 10 Giải Điều kiện x −2 Ta có ( ) 2x + + x + ( x + ) = 2x + 11x + 10 ( ( ) 2x + − x − 1) ( x + ) − ( x + − ( x + − 1) + x + x +2 = 2x + − x − ( x + ) + x + ( x + ) − x − 7x − = )( ) x −2 x +1− x + = Ta ln có x + − −1 + 2x + x + suy VT x + x + Nếu x −1 − −1 + 2x + x + Nếu suy VT x 2 x + x + Nếu −2 x −1 − 2x + + Vậy ta ( ) 2x + + x + ( x + ) − 2x − 11x − 10 ( ) x + − ( x + ) − 2x − 11x − 10 Tạp chí tư liệu tốn học | 236 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | (19 =− x +2 +3 )( ) ( x + − + ( x − 1) x + − ) 0 Câu 13 Giải phương trình x x − + 2x − + 2x − 9x + = Giải Điều kiện x Ta có x x − + 2x − + 2x − 9x + = x ( ) ( Ta ln có x + (x − ) 2x − = )( ) 2x − − x + (x − ) 2x − = x −1 −1 + ( )( ) 76 2x − + 2x − − + 0 27 27 x −1 Nếu x suy VT 2x − Nếu x −1 suy VT x 2 2x − Câu 14 Giải phương trình 3x + − 18 x + = x − x − 26 Giải Điều kiện x −2 Ta có 3x + − 18 x + = x − x − 26 ( 6( 2( 6 3 ) 3x + − x ) = ( x + − 1) ( x + − )( x + + ) 3x + + 1) ( 3x + − ) + ( x + − 1) ( x + − )( 3x + − x = x − 7x − 26 + 18 x + 2 2 ) x +2 +4 =0 3x + Nếu x suy VT x +2 1 3x + Nếu x suy VT Dấu " = " xảy x = −1 x + Câu 15 Giải phương trình 4x + 16 + 2x − = ( 2x − 2x + ) − 3x Giải Điều kiện x Ta có 4x + 16 + 2x − = ( 2x − 2x + ) − 3x 2 ( ) ( 2x − + 5x + = )( − 3x − 2x − 2x + − − 3x 2 3 2x − 2x + − − 3x = 2x + + − 3x − 3 2 Ta ln có 2x − + ( 5x + ) = ( x + 1) 125x + 177x + 63 ( Nếu −1 x 3x + + 5x + suy VT VP − x 237 | Chinh phục olympic toán ) ) | Các toán chứa tham số 3x + + 5x + Nếu x −1 suy VT VP − 3x Câu 16 Giải phương trình x − 2x − = 2x + 14x − 33 Giải Điều kiện x Ta có x − 2x − = 2x + 14x − 33 ( x −1( x −1 3 ) 2x − − 3x + ) + ( 2x − − 3x + + ( 3x − ) x − − 2x − 14x + 33 = )( ) x − − 7x − 24 − ( 2x + ) x − = 39 x − = −2 x − x − − − x − − 17 4 Ta có 7x − 24 − ( 2x + ) ( 2x − − ( 3x − ) = − ( x − ) 27x − 81x + 61 ) 2x − − 3x + Nếu x VT x −1 2x − − 3x + Nếu x VT x − Câu 17 Giải phương trình x − + 2x + = 4x − Giải Điều kiện x Ta có x − + 2x + = 4x − ( Xét hàm f (x ) = x − − 2x + f ' (x ) = Vậy f ' (x ) = x = ) ( x − − 2x + = 5 (x − ) 2x + − )( 2x + + ) − +3 100000 Lập Bảng biến thiên ta • Nếu x f ( x ) VT VP • Nếu x f ( x ) VT VP Xem thêm phần giải phương trình phương pháp hàm số Câu 18 Giải phương trình x − x − x − x −5 =5 Giải Điều kiện x Đặt x − x − = t ; (x t ) Phương trình cho thành x − x − t = • Nếu t x − t x − x − t x − x − x − t x − x − x − x − t x − x − t - Vơ lý • Nếu t x − t x − x − t x − x − x − t x − x − x − x − t x − x − t - Vơ lý Tạp chí tư liệu tốn học | 238 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | Thay vào phương trình thứ hai hệ ta x ( −1 − x ) = −1 x 12 + x − = x = −1 −1 Mặt khác, ta xét (x1 + x + + x k −1 )(x k + x k +1 + + x 2012 ) = (x + x + + x k )(x k +1 + x k +2 + + x 2012 ) , k 2011 Tương tự ta tìm x 2012 = x k ( x + x + + x k −1 ) − (x k +1 + x k +2 + + x 2012 ) = x k = x + x + + x k −1 = x k +1 + x k +2 + + x 2012 (* ) Đặt x + x + + x k −1 = a Thay (*) vào phương trình hệ ta 2a + x k = −1 a = Khi ( x + x + + x k −1 )( x k + x k +1 + + x 2012 ) = −1 a (x k + a ) = −1 −1 − x k −1 − x k −1 − x k xk + = −1 x k = với k = 2,3, ,2011 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x = x = −1 ;x k = x k = , k = 2,3, ,2011 thỏa mãn x + x + + x 2011 = x + y + y + x = Câu 97 Giải hệ phương trình y + x + z + y = ; x , y, z 2 z + x + x + z = Gzeta, Romania Giải −u e −e e u + e −u ,chu = ;u 2 Ta có ch 2u = + sh 2u sh (u + v ) = shu.chv + shv.chu Đặt x = sha, y = shb, z = shc ; shu = u sh (a + b ) = a + b = arcsh Hệ phương trình cho thành sh (b + c ) = b + c = arcsh , c + a = arcsh sh (c + a ) = Ở arcshu = ln u + u + , u Như ta suy a = ( arcsh + arcsh − arcsh ) ) ( ( )( + + 10 1 = ln + + ln + 10 − ln + = ln 2 2+ ( 1 Suy x = sha = ( ) (1 + )(3 + 2+ ) ( ( 10 ) )− ( )( ( + + 10 2+ )( )( 1 + + 10 + + + + 10 Tương tự ta tìm y z = 493 | Chinh phục olympic toán ) ) ) ) | Hệ phương trình nhiều ẩn Câu 98 Tìm tất số thực a,b,c,d,e −2; 2 a + b + c + d + e = thỏa hệ phương trình a + b + c + d + e = a + b + c + d + e = 10 Romania 2002, Titu Andreescu Giải Đặt a = 2cos x ,b = 2cos y,c = 2cos z ,d = 2cos t,e = 2cos u Ta có 2cos5x = ( 2cos x ) − ( 2cos sx ) + ( 2cos x ) = a − 5a + 5a Suy 2cos5x = a − 5a + 5a = 10 cos5x = Điều kéo theo cos5x = cos5y = cos5z = cos5t = cos5u = Rõ ràng cos α = α = k Từ cos 2π ,k + 1 2π −1 4π +1 −1 ;− = ,cos =− ,cos0 = ta suy a,b,c,d,e 2; 5 2 −1 +1 hai số lại − 2 Kiểm tra trường hợp ta thấy đẳng thức a = thỏa mãn Với a = rõ ràng phải có số 2, hai số khác a + b + c + d = Câu 99 Giải hệ phương trình a + b + c + d = 12 abc + abd + acd + bcd = + abcd Leonard Giugiuc and Diana Trailescu Giải – Ramanujan Srihari Từ phương trình đầu hệ,ta có ab + ac + ad + bc + bd + cd = 12 Đặt abcd = k đặt f (x ) = x − 6x + 12x − (k + 8)x + k đa thức với a,b,c,d nghiệm Khi f '(x ) = 4x − 18x + 24x − (k + 8) Giả sử f '(r ) = với r hệ số góc y = f (x ) x = r Biến đổi ta có f (r ) = f (r ) + (1 − r )f '(r ) ( ) = r − 6r + 12r − (6 + 8)r + k + (1 − r ) 4r − 18r + 24r − (k + 8) = −3r + 16r − 30r + 24r − ( )( = − r − 4r + 3r − 4r + ( = −(r − 2) 3r − 4r + 2 ) ) 2 2 Với 3r − 4r + = r − + ta thấy f (r ) f (r ) = r = Giả sử f '(2) Khi với t cho f '(t ) = f (t ) Điều chứng tỏ f có nghiệm điều mâu thuẫn với f ( x ) có nghiệm phân biệt a,b,c,d Khi với f '(2) = t = nghiệm f Từ ( ), f ' ( ) = k = Do từ (1) ta có f (x ) = x − 6x + 12x − 8x = x (x − 2)3 Khi (0,2,2,2),(2,0,2,2),(2,2,0,2),(2,2,2,0) nghiệm hệ Tạp chí tư liệu tốn học | 494 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | a + b + c + d = Câu 100 Giải hệ phương trình a + b + c + d = 15 abc + abd + acd + bcd − abcd = 16 Leonard Giugiuc and Sladjan Stankovik Giải Đầu tiên ta có 16 = (a + b + c + d )2 = a + b + c + d + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd ) = + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd ) Do ab + ac + ad + bc + bd + cd = Đặt w = a − 1, x = b − 1, y = c − 1, z = d − 1, w + x + y + z = wxyz = (a − 1)(b − 1)(c − 1)(d − 1) = (abcd ) − (abc + abd + acd + bcd ) + (ab + ac + ad + bc + bd + cd ) − (a + b + c + d ) + =− 15 9 + − +1 = 16 16 Ta có w + x + y + z = (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 + (d − 1)2 = a + b + c + d − 2(a + b + c + d ) + =7 −8+4 =3 Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có = w + x + y + z 4 w 2x 2y 2z = Đẳng thức xảy w = x = y = z = =3 16 Do đó, 3 3 (w, x, y, z ) = , , , 2 2 Với w + x + y + z = Ta thấy nghiệm hệ hoán vị 3 3 (a,b,c,d ) = + ,1 + ,1 − ,1 − 2 2 a + b + c + d = Câu 101 Giải hệ phương trình a + b + c + d = với a,b,c,d 0;2 94 a + b + c + d = Giải Digby Smith Chú ý ab + ac + ad + bc + bd + cd = Và 495 | Chinh phục olympic toán ( (a + b + c + d )2 − a + b + c + d 2 ( ) ) = 12 ( ) −6 =5 | Hệ phương trình nhiều ẩn (a + b + c + d )3 = a + b + c + d + 3a (b + c + d ) + 3b (c + d + a ) + 3c (d + a + b) + 3d (a + b + c) + 6(abc + abd + acd + bcd ) ( ) ( ) = 3(a + b + c + d ) a + b + c + d − a + b + c + d + 6(abc + abd + acd + bcd ) 94 + 6(abc + abd + acd + bcd ) 1 188 58 abc + abd + acd + bcd = 64 + − 72 = 6 27 64 = 3(4)(6) − Ta đặt k = abcd p(x ) = (x − a )(x − b)(x − c)(x − d ) Từ (1),(2) ta có p(x ) = x − (a + b + c + d )x + (ab + ac + ad + bc + bd + cd )x − (abc + bcd + cda + dab)x + abcd 58 = x − 4x + 5x − x + k 27 Suy 58 p '(x ) = 4x − 12x + 10x − = 108x − 324x + 270x − 58 = (3x − 1) 18x − 48x + 29 27 27 27 Giải phương trình p '(x ) = ta nghiệm x = , 3 Với p(x ) đa thức bậc có hệ số cao dương p '(x ) có nghiệm phân biệt khoảng (0,2), ( ) ( ) điều chứng tỏ a,b,c,d nghiệm đẳng thức, với a,b,c,d 2, ta có 4 4 6 6 1 p(0) 0, p 0, p − 0, p + 0, p(2) 3 3 3 8 1 Ta thấy p = p(2) = k − Suy ra, k = , từ ta có 27 27 3 58 1 x+ = 27x − 108x + 135x − 58x + = (3x − 1)2 (3x − 4)(x − 2) 27 27 27 27 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm 12 hoán vị , , ,2 3 3 ( p(x ) = x − 4x + 5x − ) x (x + y ) + y(y + z ) = Câu 102 Giải hệ phương trình x (x + 1) + y(2z + 1) = 2 (x + y )2 + (y + z )2 = (x + 1) + (2z + 1) 2004 (1) (2) (3) Giải + (2z + 1) 1001 z = 2004 1000 Xét y , nhân vế (3) cho y (1) (2) vào, ta Xét y = x = z = x + y = x = y = 2 2 x ( x + 1) + y ( x + 1) (x + y )2 y + x (x + y )2 = x + 1) ( 2004 (*) ( x + y ) = 2004 x +1 x + y = a Xét phương trình ( * ) , ta đặt a = 2004 , ( * ) x + y = −x − a Tạp chí tư liệu tốn học | 496 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | Ta có (1): x + xy + y + yz = 0,(2): x + x + 2yz + y = , lấy yz = −x − xy − y vào (2) ta ( ) x + x + −x − xy − y + y = x + x − 2x − 2xy − 2y + y = −x − 2xy − 2y + x + y = 0(**) 1 Với y = − x + ta lại vào phương trình trên, ta a a −x + (x + y )(1 − 2y ) = 2 x + −x + 1 − − x − = a a a 2 2 −x 2a + (x + 1) − x + − = a a 2 −x a + (x + 1)((2a − 2)x + a − 2) = −x 2a + (2a − 1)x + (a − 2)x + (2a − 2)x + a − = ( ) − ( 2a − − a )(a − 2) = 4a 2a − − a x + (3a − 4)x + a − = Xét biệt thức = (3a − 4)2 Từ ta giải x = − 3a 4a − 7a − 4a + ( 2a − − a ) − 7a − 4a + , từ suy nghiệm lại ) ) ( ( k x + x + x + = xy (1) Câu 103 Cho hệ phương trình k x + x + x + + (k − 1) x = 2y x (2) Xác định k để hệ phương trình có nghiệm Giải hệ phương trình với k = 16 Giải Đặt ( ( ) −a ) ) k a + a + a + = a 3y (1) x = a x = a , hệ phương trình trở thành 4 k a + a + a + + (k − 1)a = 2ya (2) Từ phương trình (2) ta suy k (a + a + a + + a 4 = 2ya a 3y = (1) Xét a = k = , vào phương trình trên, ta −a = 2ya (2) Hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề a , (2) tương đương 1 k a + a + + + − = 2y a a 1 Và phương trình (1) tương đương k a + a + + = y , vào (2) ta a a 1 1 k a + + a + + − = 2k a + + a + a a a a t Đặt t = a + (a 0) , ta có a t −2 497 | Chinh phục olympic tốn (*) | Hệ phương trình nhiều ẩn 2 1 a + = a + − = a + − − = t − − a a a ( ) 1 = t − 2,a + = a + a + − = t t − a a a a Phương trình (*) trở thành ( a2 + (( ) ) ( k t − + t − − = 2k t − 2t (( k ( (t ) ) ) ) k t − + t − − 2t + 4t = −t ) ( ) ) − t2 −t + = (**) Đặt b = t − t , xét f (t ) = t − t với điều kiện tìm được, ta suy b b − 4b + −1 k = b = Từ dễ dàng k Phương trình (**) k (b − 4b + 1) = , b − 4b + = vơ lý, b k = Đặt g(b) = −(2b − 4) , có g '(b) = b − 4b + b − 4b + ( ) 2 hệ phương trình cho có nghiệm 15 Với k = 16 16 = 16b − 64b + 15 = b = b = 4 b − 4b + Đến phần lại xin nhường cho bạn đọc Câu 104 Cho a,b,c,d số không đồng thời nhau, giải hệ phương trình x + y + z = b 2y c 2z ax + + =0 a − d b − d c − d ax by cz a − d + b − d + c − d = d (a − b)(b − c)(c − a ) (1) (2) (3) Giải Lấy phương trình (1) x = −y − z vào (2),(3) ta suy a (−y − z ) b 2y c 2z −a 2y a 2z b 2y c 2z + + =0 − + + =0 a −d b −d c −d a −d a −d b −d c −d b2 a2 c2 a2 y − − + z = (*) b −d a −d c −d a −d (2) Và đồng thời a(−y − z ) by cz + + = d (a − b)(b − c)(c − a ) a −d b −d c −d a a b c − y + − z = d (a − b )(b − c )(c − a ) b −d a −d c −d a −d d (a − b)y d (a − c )z + = d (a − b)(b − c)(c − a ) (b − d )(a − d ) (c − d )(a − d ) (3) (a − b)y (a − c)z + = (a − b)(b − c)(c − a ) (b − d )(a − d ) (c − d )(a − d ) (a − b)y (c − d )(a − d ) z = (a − b)(b − c)(c − a ) − (**) (b − d )(a − d ) (a − c) Tạp chí tư liệu tốn học | 498 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | c2 a2 Nhân vế (**) cho − , ta c −d a −d (a − b)y (a − d )c − a (c − d ) ( a − b )( b − c )( c − a ) − (b − d )(a − d ) a −c (a − b)y = (a − b)(b − c)(c − a ) − (ad + cd − ac ) (b − d )(a − d ) Khi b2 a2 (a − b)(ad + cd − ac ) (*) − − y + (ad + cd − ac)(a − b)(b − c )(c − a ) = (b − d )(a − d ) b − d a − d (a − d )b − a (b − d ) − (a − b )(ad + cd − ac ) y = −(ad + cd − ac)(a − b)(b − c )(c − a ) (b − d )(a − d ) (a − b)(d − a )(b − c) y = −(ad + cd − ac )(a − b )(b − c )(c − a ) (b − d )(a − d ) Thế y = (ad + cd − ac )(c − a )(b − d ) vào (**) ta (a − b)(ad + cd − ac)(c − a )(b − d ) (c − d )(a − d ) z = (a − b)(b − c)(c − a ) − (a − c) (b − d )(a − d ) (a − b)(ad + cd − ac)(c − a ) (c − d )(a − d ) = (a − b)(b − c)(c − a ) − a −d (a − c ) = −(a − b)(b − c)(c − d )(a − d ) + (a − b)(ad + cd − ac)(c − d ) = (a − b)(c − d )[ad + cd − ac − (b − c)(a − d )] = (a − b)(c − d )[ad + cd − ac − ab + bd + ac − dc ] = (a − b)(c − d )(ad + bd − ab) Lúc suy x = −(a − b)(c − d )(ad + bd − ab ) − (c − a )(b − d )(ad + cd − ac ) = (a − d )(b − c)(bd + cd − bc) Vậy ta kết luận nghiệm hệ phương trình ( ( ( ) ) ) 7 x + y + 9z (x + y ) + 13xy + 3z = 1(1) Câu 105 Giải hệ phương trình 7 y + z + 9x (y + z ) + 13yz + 3x = 4(2) 2 7 z + x + 9y(z + x ) + 13zx + 3y = 9(3) Giải 3a − b − c x = a = y + z + 2x , a +b +c 3b − a − c Đặt b = x + z + 2y, x + y + z = y = 4 c = x + y + 2z 3c − a − b z = Khi ta ( )= (3a − b − c)2 + (3b − a − c)2 ( 5a + 5b − 2ac − 2bc − 6ab + c • x +y • 9(3c − a − b)(a + b − c) −a − b + 4ac + 4bc − 2ab − 3c 9z (x + y ) = = 8 • 13 −3a − 3b − 2ac − 2bc + 10ab + c 13 13xy = (3a − b − c)(3b − a − c) = 16 16 2 16 499 | Chinh phục olympic toán ( ( = ) ) ) | Hệ phương trình nhiều ẩn • ( 2 3(3c − a − b)2 a + b − 6ac − 6bc + 2ab + 9c 3z = = 16 16 ) 2 (2) b + c + bc = Cộng tất điều lại (1) a + b + ab = , tương tự 2 (3) a + c + ac = a + ab + b = (1) Như ta hệ phương trình b + bc + c = (2) c + ca + a = (3) Lấy (1) − (2) (a − c)(a + b + c) = −3 Lấy (2) − (3) (b − a )(a + b + c) = −5 5c + 3b = 8a Từ điều ta suy a + b + c = (5c + 3b)(b − c) Lấy (1) − (3) b − c + = −8 , kết hợp với (2) ta 13c − 2bc − 11b = 64 (*) 2 (**) b + bc + c = Hệ cho ta 52c − 8bc − 44b = 64b + 64bc + 64c 12c + 72bc + 108b = (c + 3b)2 = c = −3b Thế vào (*) ta 117b + 6b − 11b = 64 b = 2 Phần lại xin nhường lại cho bạn đọc! y + z − (y + z )x = (1) Câu 106 Giải hệ phương trình z + x − (z + x )y = (2) x + y − (x + y )z = (3) Giải ( y + z )( y + z − x ) = + 2yz Hệ phương trình tương đương (z + x )(z + x − y ) = + 2xz (x + y )(x + y − z ) = + 2xy b +c x = , a = y + z − x , a +c Đặt b = x + z − y, x + y + z = a + b + c y = , vào hệ ta c = x + y − z a +b z = 2a + b + c (a + c)(a + b) =1+ a 2 2a + ab + ac = + a + ab + ac + bc, a = + bc (1) 2b + a + c (b + c)(a + b) =2+ 2b + ab + bc = + b + ab + bc + ac, b = + ac (2) b 2 2c + ac + bc = + c + ac + bc + ab c = + ab (3) 2c + a + b (b + c)(a + c) = + c 2 Từ phương trình (1) ta suy bc = a − , nhận thấy b = nghiệm hệ phương trình, ta suy c = a2 − , vào (2) (3) ta b Tạp chí tư liệu tốn học | 500 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | (2) b = + a − 2a b = 4b + a − 2a b − a = 4b − 2a b Và đồng thời (a (3) −2 b ) = + ab a − 4a + = 6b + ab ( ) a a − b = 6b + 4a − a(2a − 4b) = 6b + 4a − 6b + 4ab + 2a = Như ta hệ phương trình , từ hệ ta suy b − a = 4b − 2a ( ) ( ) (4b − 2a) 6b + 4ab + 2a = 4b − 4a (2b − a) 3b + 2ab + a = b − a b = −a 6a 4a 36a −5 − + 2a = = a = a = 25 25 3 Phần lại xin nhường cho bạn đọc Từ ta có phương trình y + z − (y + z )x = a Nhận xét Ta áp dụng cách làm để giải hệ phương trình z + x − (x + z )y = b x + y − (x + y )z = c Trong a,b,c số thực dương ac b, ab c, bc a Câu 107 Cho số thực x , y, z có tổng thỏa mãn điều kiện x y z x z y + + = + + +1 =a y z x z y x (*) Tìm tất giá trị có a Polish JMO 2020 Giải x y x 1 Đặt m = , n = mn = , từ (*) ta m + n + = mn + + + = a y z z mn m n = mn + n + = , vào (*) ta n (1) m + n + mn = a mn + m + n + = a (2) mn mn = −1 − n (3) m + n + = mn + m + n + (4) mn mn Từ giả thiết x + y + z = ta suy m + + Lấy (3) vào (4) ta −1 − n 1 n +n + = −1 − n + + +1 n −1 − n n −1 − n −1 1 n −1+ n − = −n + − n n +1 n 1+n (n − 1)(n + 1) + n − n = n + n n + n − n − = n n + n − = 2n Lấy (1) vào (2) ta 501 | Chinh phục olympic tốn (**) | Hệ phương trình nhiều ẩn a mn + a − = a − mn + − = a − (mn )3 + a(mn ) − = (a − 1)(mn )2 mn mn mn ( mn ) Lấy (3) vào phương trình ta ( ) (mn )3 + (mn )2 + a mn − (mn )2 = ( ) (−1 − n )3 + (−1 − n )2 − + a −1 − n − (1 − n )2 = ( ) ( ) − n + 2n + n + − a n + 3n + = Lấy (**) tiếp tục vào phương trình ta ( ) ( ) ( ) ( ) − 2n + − n + 2n + n + − a n + 3n + = − n + 3n + − a n + 3n + = Đến ta suy a = −1 giá trị có a Câu 108 Cho số thực a,b phân biệt, giải hệ phương trình sau theo ẩn 3x + z = 2y + (a + b) 2 3x + 3xz = y + 2y(a + b) + ab x + 3x 2z = y (a + b ) + 2yab (1) (2) (3) Giải Lấy a + b = 3x + z − 2y vào (2) ta 3x + 3xz = y + 2y(3x + z − 2y ) + ab 3x + 3xz = y + 6xy + 2yz − 4y + ab ab = 3x + 3y + 3xz − 6xy − 2yz Thế vào (3) ta ( + y z − 2y ) + ( 6x y + 6y x + 3x 2z = y (3x + z − 2y ) + 2y 3x + 3y + 3xz − 6xy − 2yz ( x + 3x 2z = 3xy 2 3 ) + 6xyz − 12xy − 4y 2z ) x + 3x z = −9xy − 3y z + 4y + 6x y + 6xyz 2 x + 3x 2z + 9xy + 3y 2z − 4y − 6x 2y − 6xyz = ( ) x − 4y + 9xy − 6x 2y + 3x 2z + 3y 2z − 6xyz = x − 4y + 3z = (x − y )2 (x − 4y ) + 3z (x − y )2 = x = y (1) x + z = a + b Với x = y vào (1) (2) ta hệ phương trình 2x + 3xz = 2x (a + b) + ab (2) Ta suy (a + b − x )x = ab −x + (a + b )x − ab = , xét biệt thức −a − b − a + b x= −2 = (a − b)2 x = −a − b + a − b −2 Với x = y = a z = b Với x = y = b z = a Với x = 4y − 3z , vào (1) (2) ta (1) 3(4y − 3z ) + z = 2y + a + b 2 3(4y − 3z ) + 3(4y − 3z )z − y = 2y(a + b) + ab (2) Từ phương trình (1) ta 10y − 8z = a + b , lúc phương trình (2) tương đương Tạp chí tư liệu tốn học | 502 Tuyển tập phương trình đại số hay khó | ( ) 16y − 24yz + 9z + 12yz − 9z − y = 2y(a + b) + ab 47y − 60yz + 18z = 2y(a + b) + ab 47y − 60yz + 18z = 2y(10y − 8z ) + ab 27y − 44yz + 18z = ab ( ) 27y − 44yz + 18z (a + b)2 = ab(10y − 8z )2 ( ) ( 27a + 27b − 46ab ) y − ( 44a + 44b − 72ab ) yz + (18a + 18b − 28ab ) z = ( 44a + 44b − 72ab ) − ( 27a + 27b − 46ab )(18a + 18b − 28ab ) = −8 (a − b ) 27(a + b)2 y − 44(a + b )2 yz + 18(a + b )2 z = ab 100y − 160yz + 64z 2 Xét 2 2 2 2 2 2 2 2 =0 Vậy phương trình vơ nghiệm, ta suy nghiệm hệ phương trình cho 503 | Chinh phục olympic toán Lời cảm ơn Vậy đến trang sách cuối rồi, thực với sách vượt qua dự định ban đầu nhiều nhờ giúp đỡ thầy cơ, bạn bè Vì cuối sách xin gửi lời cảm ơn đến người bạn, người thầy Thầy Huỳnh Kim Linh – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hịa Cơ Lưu Thị Thêm – THPT n Phong – Bắc Ninh Bạn Đinh Quốc Khánh – A4 K53NH – THPT Ngọc Hồi – Hà Nội Bạn Nguyễn Trường Phát – Khoa Toán Tin Ứng Dụng – Đại học Sài Gòn Bạn Nguyễn Mai Hoàng Anh – Lớp 12A1 – THPT Thực Hành Cao Nguyên – Đăk Lăk Bạn Đinh Phương Hằng – 12A trường THPT Bình Minh Bạn Trần Thị Thu Hiền – 12D trường THPT Bình Minh Thầy Lã Duy Tiến – THPT Bình Minh Anh Hồ Xuân Hùng – Đại học Bách Khoa Hà Nội 10.Cô Trần Thị Thu Thủy – THPT Chuyên Điện Biên 11.Bạn Võ Văn Thành – THPT Nguyễn Trãi – Khánh Hòa Niềm vui lớn người hoàn thiện sách bạn đọc tìm kiếm khám phá nhiều điều từ sách Lời cuối xin chúc bạn học sinh thầy cô cầm sách tay thành công công việc gặp nhiều điều may mắn sống! Tài liệu tham khảo 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Phương pháp hàm số chinh phục giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ – Nguyễn Đình Thành Cơng Bí chinh phục kỳ thi THPT Quốc Gia chủ đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình – Phạm Bình Nguyên, Nguyễn Ngọc Duyệt Luyện siêu tư casio chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vơ tỷ - Đồn Trí Dũng, Hà Hữu Hải, Nguyễn Tấn Siêng, Hồ Xuân Trọng Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trình – Mai Xuân Vinh Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình – Đặng Thành Nam Phương pháp đánh giá nhân tử giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình – Đồn Trí Dũng, Hà Hữu Hải Tuyển chọn 410 hệ phương trình hay đặc sắc – Nguyễn Minh Tuấn Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PT – BPT – HPT đại số vô tỷ – Lê Văn Đoàn Phương pháp U – V – T – W phân tích nhân tử phương trình vơ tỷ – Bùi Thế Việt Sáng Tạo Và Giải Phương Trình, Hệ Phương Trình, Bất Phương Trình – Nguyễn Tài Chung Phương trình hệ phương trình – Diễn đàn MathScope Tuyển chọn tốn phương trình vơ tỷ - Đồn Quốc Việt Tuyển chọn tốn phương trình đặc sắc – Diễn đàn K2pi 101 Problems in Algebra from the training of the USA IMO team- T Andreescu, Z Feng Mathematical Olympiad Treasures - Titu Andreescu, Bogdan Enescu Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses For Junior Section_ Vol 1,2 The IMO Compendium 1959 – 2009 Tuyển tập 40 năm olympic tốn học quốc tế TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC HẾT CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Thơn – Thạch Hịa – Thạch Thất – Hà Nội Điện thoại: 0343763310; Email: tuangenk@gmail.com Fanpage: https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/ CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG NGUYỄN MINH TUẤN NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT NGUYỄN HOÀNG MAI ANH ĐINH QUỐC KHÁNH BIÊN TẬP NGUYỄN MINH TUẤN THIẾT KẾ BÌA NGUYỄN MINH TUẤN TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ HAY VÀ KHĨ Đề nghị quý bạn đọc tôn trọng quyền tác giả, không chép phụ Mọi ý kiến thắc mắc đóng góp vui lịng gửi địa cung cấp Cuốn sách in xong ngày 27/10/2020 ... −x2 = −x2 =3− 4 Dấu đẳng thức xảy − x = x = ? ?2 ( ) x2 ? ?2 x2 ? ?2 x2 ? ?2 = + = − 2x 4 x 2x 2x x2 − = x = ? ?2 2x Với hai đánh giá từ phương trình cho ta có Dấu đẳng thức xảy 5− x2... −x2 =3− 4 ( Dấu đẳng thức xảy ( ) ) x2 − m x2 − m x2 − = + 2mx 2mx 2x Dấu đẳng thức xảy 25 1 | Chinh phục olympic toán m x2 − 2m 2x = x − = 2mx ( ) | Các toán chứa tham số x2 ? ?2 x2... x ? ?2 x +2 + −1 x −1 x +2 + x ? ?2 Dấu đẳng thức xảy x = Cách x ? ?2 x +2 + =1 x ? ?2 x ? ?2 +1 + x +2 x + Phương trình cho tương đương với Đặt t = x ? ?2 , (t ) ta phương trình x +2 2t