Cách giải các phương trình đại số bậc THCS

Để góp phần định hướng cho việc dạy học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn luyện kĩ năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục của tỉnh nhà nhằm nâng cao chất lượng các kì thi tuyển sinh, Mình phát hành Bộ tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên gồm 3 môn: Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh. Môn Ngữ văn được viết theo hình thức tài liệu ôn tập. Về cấu trúc: Hệ thống kiến thức cơ bản của những bài học trong chương trình Ngữ văn lớp 9 (riêng phân môn Tiếng Việt, kiến thức, kĩ năng chủ yếu được học từ lớp 6,7,8). Các văn bản văn học, văn bản nhật dụng, văn bản nghị luận được trình bày theo trình tự: tác giả, tác phẩm (hoặc đoạn trích), bài tập. Các đề thi tham khảo (18 đề) được biên soạn theo hướng: đề gồm nhiều câu và kèm theo gợi ý làm bài (mục đích để các em làm quen và có kĩ năng với dạng đề thi tuyển sinh vào lớp 10). Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu được biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ GDĐT, trong đó tập trung vào những kiến thức cơ bản, trọng tâm và kĩ năng vận dụng. Môn Tiếng Anh được viết theo hình thức tài liệu ôn tập, gồm hai phần: Hệ thống kiến thức cơ bản, trọng tâm trong chương trình THCS thể hiện qua các dạng bài tập cơ bản và một số đề thi tham khảo (có đáp án). Môn Toán được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm hai phần: một phần ôn thi vào lớp 10 THPT, một phần ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên dựa trên cấu trúc đề thi của Sở. Mỗi đề thi đều có lời giải tóm tắt và kèm theo một số lời bình. Bộ tài liệu ôn thi này do các thầy, cô giáo là lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học Sở GDĐT; cốt cán chuyên môn các bộ môn của Sở; các thầy, cô giáo là Giáo viên giỏi tỉnh biên soạn

PHƯƠNG TRÌNH A CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phần đề cập đến phương pháp giải phương trình có bậc nhỏ I Phương trình bậc Dạng tổng quát : ax + b = c Biện luận : • a ≠ : phương trình có nghiệm x = − • a = : phương trình có dạng 0x = −b b ≠ : phương trình vô nghiệm b = : phương trình có vô số nghiệm II Phương trình bậc hai Dạng tổng quát : ax + bx + c = b a ( a ≠ ) (1) Biện luận : Ta xét ∆ = b − 4ac • ∆ < : phương trình vô nghiệm • ∆ = : phương trình có nghiệm keùp : x1 = x2 = − b 2a −b + ∆ −b − ∆ , x2 = 2a 2a Ví dụ Chứng minh phương trình x + ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = vô nghiệm với • ∆ > : phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = a, b, c cạnh tam giác Giải Ta có ∆ = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = a + b + c − ( ab + bc + ca ) Maø ∆ < a, b, c ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học) Định lý Viet số ứng dụng Giả sử ∆ ≥ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) :   S = x1 + x =   P = x1.x =  −b a c a Bằng định lý Viet xét dấu nghiệm sau - Phương trình có hai nghiệm dương ⇔ ∆ ≥ P > S > - Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ ≥ P < - Phương trình có hai nghiệm aâm ⇔ ∆ ≥ vaø P > vaø S < Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Thí dụ Tìm m cho phương trình x − ( m + ) x + 6m + = (*) coù hai nghiệm không nhỏ Giải Đặt t = x − phương trình cho trở thành t − 2mt + 2m − = (**) Phương trình (*) có hai nghiệm lớn ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm không aâm  m − 2m + ≥  ∆'≥   ⇔  S ≥ ⇔  2m ≥ ⇔m≥  2m − ≥ P ≥   Vậy m ≥ phương trình (*) có hai nghiệm lớn 2 III Phương trình bậc ba Dạng tổûng quát : ax + bx + cx + d = ( a ≠ 0) Ta đưa dạng : x + ax + bx + c = (2) a Đặt x = y − phương trình (2) viết lại dạng y − py − q = (2’) 3 a −2a ab p = − b vaø q = + − c Công thức nghiệm phương trình (2’) : 27 3 q q p q q p gọi công thức Cardano , lấy tên nhà y= − + + + − − + 27 27 toán học Italia Cardan theo học trưòng đai học Pavie, đại học Padoue nhận tốt nghiệp Y khoa năm 1526 Cardan viết nhiều Toán, số ngành khác Ơng đặt vấn đề giải phương trình bậc ba cụ thể x + x = 20 Bây ta nói tổng quát x + px = q Phương pháp Cardan sau: thay x = u − v đặt u, v để tích uv = ( hệ số x phương trình bậc ba khảo sát ) Nghĩa = uv Từ phương trình x + x = 20 ta có (u − v)3 + 3uv ( u − v ) = u − v = 20 Khử v từ = uv từ u − v3 = 20 ta có u = 20u + ⇒ u = 108 + 10 Từ x = u − v u − v = 20 , ta có x = 108 + 10 − 108 − 10 Cardan cho công thức tương đương phương trình x + px = q là: 3 q q q p q p x = −3 − + + +3− − + 27 27 Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Các dạng phương trình bậc ba thường gặp phương pháp giải Giải phương trình biết nghiệm phương trình Giả sử ta biết nghiệm x0 phương trình (2) cách đoán nghiệm ( thường nghiệm nguyên đơn giản từ –3 đến +3 ) tức laø ax03 + bx02 + cx0 + d = Khi phương trình (2) ⇔ ax + bx + cx + d = ax03 + bx02 + cx0 + d ⇔ ( x − x0 ) ( ax + ( ax0 + b ) x + ax02 + bx0 + c ) =  x = x0 ⇔ 2  ax + ( ax0 + b ) x + ax0 + bx0 + c = Xeùt ∆ = ( ax0 + b ) − 4a ( ax02 + bx0 + c ) i) Nếu ∆ < phương trình (2) có nghiệm x = x0 ii) Nếu ∆ ≥ phương trình (2) có nghiệm  x = x0   x = −(ax0 + b) ± ∆  2a Thí dụ Giải phương trình x − x + x − 10 = Giải Nhận thấy x = nghiệm phương trình Phương trình ( x − ) ( x + x + ) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2 Phương trình bậc ba đối xứng Dạng tổng quát ax + bx + bx + a = ( a ≠ 0) Phương trình bậc ba đối xứng nhận x = −1 làm nghiệm Thật vậy, ta có phương trình ⇔ ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x + a ) =  x = −1 ⇔  ax + ( b − a ) x + a = Mở rộng Một số tính chất phương trình hệ số đối xứng (PT HSĐX) Dạng tổng quát PT HSÑX an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = Tính chất PT HSĐX có nghiệm x0 x0 ≠ vaø ( an = a0 , an −1 = a1 , ) nghiệm x0 Tính chất PT HSĐX bậc lẻ ( n = 2k + ) nhận x = −1 nghiệm Tính chất Nếu f ( x ) đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng f ( x ) = ( x + 1) g ( x ) , g ( x ) đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng Thật vậy, ta xét đa thứ c bậc làm thí dụ ax + bx + cx3 + cx + bx + a = ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x3 + ( c + a − b ) x + ( b − a ) x + a ) Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Vậy việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n lẻ tương ứng với việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n − chẵn Phương trình bậc ba hồi quy Dạng tổng quát ax + bx + cx + d = ( a, d ≠ 0, ac = db3 ) q Từ điều kiện ta thấy c = b = ⇒ phương trình (2b) có nghiệm x = q Nếu c ≠ b ≠ , điều kiện ⇔ −d a d c =  a b c = −t c = −bt vaø d = − at b phương trình trở thành ax + bx − btx − at = ⇔ ( x − t )  ax + ( at + b ) x + at  = Ñaët x = t ⇔ 2  ax + ( at + b ) x + at = c Vậy x = − nghiệm phương trình Nếu ∆ = ( at + b ) − 4a ≥ phương trình có b −(at + b) ± ∆ thêm nghiệm x = 2a Thí dụ Giải phương trình x − x − x + = Đáp số x = − IV Phương trình bậc bốn Dạng tổng quát at + bt + ct + dt + e = ( a ≠ 0) Ta đưa dạng t + at + bt + ct + d = (3) a Đặt t = x − phương trình (3) đưa dạng x = px + qx + r (3’)  3a p = −b   a q = − + ab − c   r = 256 ( 3a − 16a b + 64ac − 256d )  Phương trình (3’) x + 2α x + α = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) ⇔ ( x + α ) = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) (α ∈ R ) (3*) Ta tìm α thỏa hệ thức q = ( p + 2α ) ( r + α ) để viết vế phải thành   q ( p + 2α )  x + 2( p + 2α )   Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Khi ta (x +α )   q = ( p + 2α )  x +  ( p + 2α )   (3**) § Nếu p + 2α = phương trình (3*) ⇔ ( x + α ) = r + α (Baïn đọc tự biện luận tiếp) § Nếu p + 2α < phương trình (3**) vô nghiệm ( VT ≥ VP < 0) §   q Nếu p + 2α > phương trình (3**) ⇔ x = ± p + 2α  x +  −α 2 p + α ( )   Đây phương trình bậc theo x , bạn tự biện luận Thí dụ Giải phương trình x − x − x − = (*) Giải Phương trình (*) ⇔ x = x + x + Ta chọn α thỏa 64 = ( + 2α ) ( + α ) Dễ dàng nhận thấy α = thoả Phương trình (*) ⇔ x + x + = x + x + ( cộng vế lượng x + ) ⇔ ( x + 1) = ( x + 1) 2  x + = ( x + 1) ⇔  x + = −2 ( x + 1) Vậy nghiệm phương trình cho x = ± Các dạng phương trình bậc bốn thường gặp phương pháp giải Phương trình bậc bốn trùng phương: Dạng tổng quát ax + bx + c = ( a ≠ ) Phương pháp giải đơn giản cách đặt y = x ≥ phương trình bậc hai ay + by + c = biện luận Phương trình bậc bốn đối xứng Dạng tổng quát ax + bx + cx + bx + a = để đưa phương trình dạng ( a ≠ 0) Do a ≠ neân x = không nghiệm phương trình, ta chia vế phương b a trình cho x ≠ ax + bx + c + + = x x   1  ⇔ a  x +  + b  x +  + c = (*) x   x  1 Đặt y = x + ( điều kiện : y ≥ ) ⇒ y = x + + ⇒ x + = y − x x x Khi phương trình (*) trở thành ay + by + c − 2a = dễ dàng giải Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Lưu ý Ngoài kiểu phương tình bậc bốn đối xứng có phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch ax + bx + cx − bx + a = ( a ≠ ) Phương pháp giải tương tự trên, xin giành cho bạn đọc Thí dụ: Cho phương trình : 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + = a) Giải phương trình m = -16 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm + 281 − 281 , x4 = Đáp số: a) x1 = 1, x2 = -1, x3 = 16 16 − 487 b) m ≤ 32 3.Phương trình bậc bốn hồi quy : Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , (a ≠ 0) ad2 = eb2 (*) q Nếu b = d = phương trình trở thành phương trình trùng phương : ax4 + cx2 + e = ta giải theo phương pháp e d  =  q Nếu b ≠ d ≠ , điều kiện ó a b d = t e = at2 d = bt phương trình (*) trở thành: Đặt b ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = (**) Do x = không nghiệm phương trình (**) nên ta chia vế phương trình (**) cho a bt x2 ≠ ta ax2 + bx + c + + t2 = x x t (***) ó a(x2 + t ) + b(x + ) + c = x x 2 t Đặt x + = y (điều kiện : y2 ≥ 4t) ⇒ x2 + t + 2t = y2 ⇒ x2 + t = y2 – 2t x x x Phương trình (***) trở thành : ay2 + by + c – 2at = phương trình bậc hai theo y , ta tìm nghiệm y ⇒ tìm x Thí dụ : giải phương trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105 x + 50 = Hứơng dẫn: Đặt x = y ta thu phương trình : 2y2 –21y + 54 = có nghiệm x y1 = 6, y2 = o Với y1 = ta thu nghieäm : x1 = + 14 , x2 = − 14 + 161 − 161 o Với y2 = ta thu : x3 = , x4 = 4 Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf 4.Phương trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c , (c > 0) : (3d) a+b Phương pháp giải phương trình loại đặt x = y Khi phương trình (3d) trở thaønh: a −b   a−b  a−b  y+  + y−  = c Đặt α = để phương trình gọn :     4 ( y +α ) + ( y −α ) 4 2 2 = c ⇔ ( y + α ) + ( y − α )  − ( y + α ) ( y − α ) = c   ⇔ ( y + 2α ) − ( y − α ) = c 2 ⇔ y + 12 y 2α + 2α − c = (*) (*) phương trình trùng phương theo y Ta giải tiếp toán theo phương pháp Thí dụ : Giải phương trình (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = Đáp số: x = 2005 Phương pháp hệ phương trình đối xứng Khi ta gặp phương trình dạng a ( ax + bx + c ) + b ( ax + bx + c ) + c = x ( a ≠ 0) (4e) ta chuyển hệ phương trình cách đặt y = ax + bx + c Lúc ta có hệ đối xứng ax ² + bx + c = y Ta trừ vế theo vế hai phương trình hệ thu  ay ² + by + c = x a ( x − y )( x + y ) + b ( x − y ) = y − x ⇔ ( x − y )( ax + ay + b + 1) =  x = ax + bx + c  ax + ( b − 1) x + c = x = y ⇔ ⇔ ⇔  x + ax + bx + c = − ( b + 1)  ax + ( b + 1) x + b + ac + =  x + y = − ( b + 1)   a  a a  Giải phương trình bậc hai ta thu nghiệm phương trình Thí dụ Giải phương trình (x + x − 2) + x2 = Giải Phương trình ⇔ ( x + x − ) + ( x + x − ) − = x  x² + x - = y Đặt y = x + x − ta có hệ :   y² + y - = x Trừ vế theo vế ta ( x − y )( x + y + ) =  x = x2 + x − x = ± x = y ⇔ ⇔ ⇔  x + y + =  x = ∨ x = −2 x + x + x − + = { Vậy phương trình cho có nghiệm x ∈ −2, − 2, 0, Phương trình bậc bốn dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = m Phương trình ⇔ ( x + β x + ab )( x + β x + cd ) = m Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf } (a + b + c + d = β ) Đặt x + β x = y ta phương trình ( y + ab )( y + cd ) = m ⇔ y + ( ab + cd ) y + abcd − m = Giaûi ta tìm y thay vào phương trình ban đầu để tìm x Thí dụ Giải phương trình ( x − 1)( x − 3)( x + )( x + ) = 297 Giải Để ý thấy (-1) + = (-3) + tabiến đổi lại sau: Phương trình ⇔ ( x − 1)( x + )( x − 3)( x + ) = 297 ⇔ ( x + x − )( x + x − 21) = 297 ⇔ ( y − )( y − 21) = 297 (y = x + 4x ) ⇔ y − 26 y − 192 = ⇔ y1 = 32, y2 = −6 Phương trình bậc bốn dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = mx Phương trình ⇔ ( x + a )( x + d )( x + b )( x + c ) = mx ( ad = bc = β ) ⇔  x + ( a + d ) x + β   x + ( b + c ) x + β  = mx Ta quan tâm đến trường hợp β ≠ Khi x = không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x ≠ ta β β     x + + a + b x + + c + d  = m x x    β ta thu phương trình Đặt y = x + x ( y + a + b )( y + c + d ) = m ⇔ y + ( a + b + c + d ) y + ( a + b )( c + d ) − m = Giải phương trình ta thu y từ tìm x Thí dụ Giải phương trình ( x + 3x + )( x + x + 18 ) = 168 x Hướng dẫn 6    Phương trình ⇔  x + +   x + +  = 168 x x    6  ⇔ ( y + )( y + ) = 168 y = x+  x  y = ⇔ y + 12 y − 133 = ⇔   y = −19   x + x = ⇔ x1 = 1, x2 = ⇔ −19 ± 337   x + x = −19 ⇔ x =  −19 + 337 −19 − 337  Vậy nghiệm phương trình x ∈ 1, 6, ,  2   Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf B CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Trong phần xin giới thiệu bạn đọc số phương trình thường gặp kì thi : phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , phương trình vô tỷ, phương trình chứa ẩn mẫu I.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối :  A A ≥ Một số tính chất cuûa A : A =  ∀A ∈R - A neáu A < 1) A + B ≤ A + B Dấu “=” xảy ⇔ AB ≥ Chứng minh : Bình phương vế : A2 + 2AB + B2 ≤ A2 + AB + B2 ó AB ≤ AB : 2) A − B ≥ A − B Dấu “=” xảy ⇔ B(A – B) ≥ Chứng minh: Áp dụng tính chất ta có : A = (A - B) + B ≤ A − B + B ⇔ A − B ≥ A − B : ñpcm Lưu ý: A = A Thí dụ :giải phương trình Giải: phương trình ⇔ ⇔ 2 x − 2x + + x − 4x + = ( x − 1) + ( x − 2) =1 x − + − x = (Để ý x − = − x ) Áp dụng tính chất ta có x − + − x ≥ (x − 1) + (2 − x) ⇔ x − + − x ≥ Daáu “=” ⇔ (x – 1)(2 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ v Một số dạng thường gặp: 1.Phương trình dạng A = B (5a) A = B Phương trình (5a) ⇔   A = −B 2.Phương trình dạng A =B (5b)  B≥ Phương trình (5b) ⇔  hoaëc A = B hay A = - B A≥0 A thu : x - + x − = x + Bình phương vế không âm cho ta phương trình : 2x – + x - x − = x+3 ⇔ x - x − = 10 – x 10 − x ≥ 10 ≥ x − 10 (loaïi) ⇔ ⇔ ⇔ x1 = (thoaû), x2 =  2 − 8x − 60 = 4(x − 2)(x − 5) = (10 − x) 3x   Xeùt x ≤ -3 ⇒ -x > : phương trình (6a) ⇔ (6a1) Chia vế phương trình (6a1) cho (− x ) ta : (− x)(2 − x) + (− x)(5 − x) = (− x)(− x − 3) 2− x + 5− x = −3− x Roõ ràng VT > VP ⇒ vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm :x = 2.Phương pháp trị tuyệt đối hóa: Trong vài trường hợp ta có thểđưa biểu thức chứa ẩn thức dạng bình phương Khi ta biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nhờ tính chất : A = A Thí dụ : giải phương trình Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (6b) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 Giải Điều kiện x ∈ R \ {−4, −5, −6, −7} Phương trình tương đương   1   1   − − −  + + =  x + x +   x + x +   x + x +  18 1 ⇔ − = x + x + 18 x = ⇔ x + 11x − 26 = ⇔   x = −13 2 Phương pháp nhân tử hóa Phương pháp dùng để biến đổi phân thức phương trình cho phân thức có chứa nhân tử chung cách thêm bớt lượng thích hợp Thí dụ Giải phương trình x − 305 x − 307 x − 309 x − 401 + + + =4 1700 1698 1696 1694 Giải Phương trình tương đương  x − 305   x − 307   x − 309   x − 401  − 1 +  − 1 +  − 1 +  − 1 =   1700   1698   1696   1694  x − 2005 x − 2005 x − 2005 x − 2005 ⇔ + + + =0 1700 1698 1696 1694 ⇔ x = 2005 Thí dụ x + 18 − = + 2 x +7 x +2 x +4 x +6 Giải Phương trình tương đương  x + 18        − 3 =  − 1 +  − 1 +  − 1   x +7   x +2   x +4   x +6  ⇔ x2 − 3 − x2 − x2 − x2 = + + ⇔ x=± x2 + x2 + x2 + x2 + Phương pháp lượng liên hợp Phương pháp đề cập đến kĩ phần phương trình vơ tỉ Ở ứng dụng khác phương pháp lượng liên hợp phương trình chứa ẩn mẫu Thí dụ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x Giải Điều kiện x ≥ Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Phương trình tương đương x+3− x+2 ( + x+3 + x+2 ( ⇔ )( x+3 − x+2 x +1 − x x +1 − x ( )( x +1 + x ) ( x+3− x+2 + ) + ) ( x + − x +1 x + − x +1 )( x + + x +1 ) =1 ) ( x + − x +1 + ) x +1 − x = ⇔ x +3 − x =1 ⇔ x =1 Phương pháp chia xuống Ý tưởng phương pháp áp dụng tính chất việc chia tử mẫu cho lượng khác khơng khơng đổi Thí dụ: Giải phương trình: 2x x + = −1 x + x + 3x + x + Giải: Điều kiện  x + 3x + ≠ −3 ± ⇔x≠  2 3 x + x + ≠ Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Ta chia tử mẫu phân x 2x thức cho x ≠ phương trình trở thành : , x + 3x + x + x + + = −1 x +3+ 3x + + x x Đặt y = x + ( y ≥ 2) , ta thu được: x + = −1 y + 3y + ⇔ y + 19 y + 26 =  y = −2 ⇔  y = −13  Với y = −2 x = −1 −13 ± 133 13 x = Các nghiệm thoả điều kiện phương trình Với y = − 5.Phương pháp đánh giá Đây phương pháp hay thường đưa tới lời giải đẹp ngắn gọn Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cách đánh sau Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf  f ( x) = g ( x)  ⇒ f ( x) = g ( x) = a  f ( x) ≥ a  g ( x) ≤ a  Thí dụ: Gỉai phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x Giải: Phương trình tương đương với: 3( x + 1)2 + + 5( x + 1) + = − ( x + 1) Nhận xét :  3( x + 1) + + 5( x + 1) + ≥ + = ⇒ ( x + 1) = ⇔ x = −1  5 − ( x + 1) ≤ Ngồi ta cịn biến đổi phương trình thành dạng tổng bình phuơng: f12 ( x ) + f 22 ( x ) + + f n2 ( x ) = Khi f1 ( x) = f ( x ) = = f n ( x) = Nghiệm phương trình nghiệm chung f i ( x ) = 0, i = 1, n Thí dụ: Giải phương trình: x − x + 3x + − x + = Giải: Điều kiện x ≥ −2 Phương trình cho tương đương (x ( ) + x + 1) + ( x − x + 1) + x + − x + + = ⇔ ( x + 1)2 + ( x − 1) + ( ) x + −1 = ⇒ x = −1 Thật đẹp phải không bạn J Phương trình sử dụng phương pháp thường có nghiệm x0 nghiệm thường dễ đốn Cách đánh giá dựa việc xét x > x0 x < x0 để suy phương trình có nghiệm x = x0 Thí dụ: Giải phương trình − x − 3x − = Giải: Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình tương đương với − x = 3 x − + Ta dễ thấy phương trình có nghiệm x = , nghĩa x = ±1 Khi x >  − x < = Suy phương trình vô nghiệm 3  x − + > 1 + = Khi x > Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf  − x > = Suy phương trình vơ nghiệm 3  x − + < 1 + = Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 Một số tính chất thường dùng ≤ x ≤ ⇒ x n ≤ x, ∀n ∈ N ≤ x ⇒ x n ≥ x, ∀n ∈ N Thí dụ: Giải phương trình − x2 + x2 + x −1 + − x = Giải: Điều kiện đơn giản, bạn có thễ dễ dàng xác định Đặt a = − x , b = x + x − 1, c = − x ta có hệ: a ≤ a a + b + c =   a + b + c = ⇒ ≤ a, b, c ≤ ⇒ b ≤ b  a , b, c ≥ c ≤ c   a = a  ⇒ = a + b + c ≤ a + b + c = ⇒ b = b c = c  Giải ta nghiệm x = Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải phương trình: (x + )( ) x + x + x + 18 = 168 x Bài 2: Giải phương trình: 20 14 + = 3− 2 x + x + 16 x + 10 Bài 3: Giải phương trình: x + 3x5 + x + x3 + x + 3x + = Bài 4: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 5)( x − 3)( x − 7) = 20 Bài 5: Giải phương trình: x2 − 5x 20 + = x 2x − x −1 Bài 6: Giải phương trình: ( x − 1) + ( x − ) 10 =1 Bài 7: Giải phương trình: x −8 − = Bài 8: Giải phương trình: x + + x − + x + 15 − x − = Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Bài 9: Giải phương trình: x2 − x + = Bài 10: Giải phương trình: 8x3 − x2 − x + = Bài 11: Giải phương trình: x4 = 4x2 − Bài 12: Giải phương trình: 2x2 − x −1 = x + Bài 13: Giải phương trình: ( x + 3)4 + ( x + 5) = Bài 14: Giải phương trình: x +1 x+6 x+2 x+5 + = + 2 x + x x + 12 x + 35 x + x + x + 10 x + 24 Bài 15: Giải phương trình: x + 3x + = x + Bài 16: Giải phương trình: − 2x + 2x + = 5− x 5+ x I.Các hệ phương trình A Hệ phương trình đối xứng :  f ( x, y ) = Dạng  mà vai trò x, y  g ( x, y ) =  f ( x, y ) = f ( y , x ) Tức   g ( x, y ) = g ( y , x) Cách giải: • Thơng thường người ta đặt ẩn phụ: S = x + y hay S = x − y P = xy  f ( S , P ) = sau tìm S , P tìm nghiệm ( x, y ) ⇒  g ( S , P ) = Ví dụ: Giải hệ  x y + xy =   xy + x + y = Như nói trên, ta đặt S = x + y; P = xy hệ cho trở thành  SP = S = S=3 ⇒ hay   S + P =  P =  P=2 Từ ta dễ dàng tìm nghiệm ( x, y ) sau: ( x, y ) = (1, 2);(2,1) Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf • Nhưng để phương pháp áp dụng hữu hiệu ta nên biến đổi chút ẩn số để sau đặt ẩn phụ, ta phương trình nhẹ nhàng  xy + x + y = Ví dụ 1:  3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 Đặt S = ( x + 1) + ( y + 1) ; P = ( x + 1)( y + 1) ta có hệ phương trình sau  P = S = x =  x=2 hay  ⇒  ⇒   P = y =  y=3  S ( S − 3P ) = 35  x + y + x2 + y2 = Ví dụ 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S = x + y Ở theo thông lệ thử đặt  , ta thu hệ sau:  P = xy  S2 + S − P =   P ( P + S + 1) = 12 Rõ ràng chuyện không đơn giản chút Tuy nhiên có lẽ bạn nhận tinh tế tóan, bậc phương trình Phương trình bậc có lẽ chứa P Thể khơng dạng tích thuận tiện nào,trong phương trình thứ hai lại dạng tích bậc 4,gấp đơi bậc Nếu bạn nhìn biểu thức S P,bậc P gấp đôi bậc S,như phải phương trình thư S,thứ hai P Nếu giá trị x y P Quan sát phương trình thứ hai bạn dễ dàng nhận tinh tế này, x ( x + 1) y ( y + 1) Từ ý tưởng ta đặt: a = x ( x + 1) b = y ( y + 1) Hệ cho tương đương với: a = a + b =  a=2 ⇒  hay    ab = 12 b=6 b = Như ( x, y ) nghiệm phương trình sau: i) t + t = ⇒ t1 = ∨ t2 = −2 ii )t + t = ⇒ t3 = ∨ t3 = −3 Tóm lại nghiệm hệ cho là: ( x, y ) = (1, −2); (−2,1); (2, −3); (−3, 2) B Phương trình đối xứng lọai 2:  f ( x, y ) =   f ( y , x ) = Đối với dạng hệ phương trình này, ta đưa dạng hệ tương đương sau:  f ( x, y ) − f ( y , x ) =   f ( x, y ) + f ( y , x ) = Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Hệ phương trình mà bạn thu hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta  h ( x, y ) = f ( x, y ) − f ( y , x ) xét phần Thật đặt  Ta đưa hệ dạng:  g ( x, y ) = f ( x , y ) + f ( y , x )  h ( x, y ) =  h ( x, y ) = − h ( y , x ) Ở    g ( x, y ) =  g ( x, y ) = g ( y , x) Có thể bạn thấy h( x, y ) không đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng) Tuy nhiên chấp nhận lẽ hệ ta dạng h( x, y ) = (Nếu bạn thấy ray rứt điều bạn viết dạng h ( x, y ) = ,chẳng phải h ( x, y ) đối xứng Chú ý thêm tác giả muốn bạn nắm bắt mối quan hệ đối xứng nửa đối xứng cách rõ ràng hơn, lúc giải tập bạn bình phương lên J) C Phương trình đẳng cấp  f (tx, ty ) = t k f ( x, y )  f ( x, y ) = a(1) mà :   k  g ( x, y ) = b(2)  g (tx, ty ) = t g ( x, y ) Ở điều kiện thứ hai bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng Cách giải tổng quát đưa phương trình: bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = ,ở dó a, b khơng đồng thời Nếu a,b đồng thời Ta giải riêng phương trình f ( x, y ) = 0; g ( x, y ) = so sánh nghiệm Cách giải tương tự phương trình bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = nên bạn tham khảo bên Ta xét trường hợp i ) x = nghiệm hệ phương trình Điều bạn cần x = giải phương trình biến theo y Trường hợp ta thu nghiệm ( x, y ) = (0, y1 ) ii ) Trường hợp ta tìm nghiệm khác (0, y1 ) Chia hai vế cho x k k x bậc f Đặt t = Ta đưa phương trình theo ẩn t Giải phương trình ta tìm y x Sau thay x thành ty (1) Giải phương trình theo ẩn y, ta rút tỉ số y nghiệm toán (ty0 , yo ) Ví dụ: 3 x − xy + y =  2  x + xy − y = −8 Giải: Hệ cho tương đương với:  24 x − 16 xy + 16 y = 56  2 7 x + 42 xy − 21y = −56 Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf  24 x − 16 xy + 16 y = 56 ⇔ 2 31x + 26 xy − y = 0(*) Ta giải (*) 31x + 26 xy − y = ⇔ (31x − y )( x + y ) = 0(**) 31x − y = 0(1) ⇔  x + y = 0(2) Từ ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ số ẩn Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương :  x + y + z = 3  (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = + xyz Giải: ( ) ( VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx) + xyz ≥ + 3 xyz + 3 ( xyz ) + xyz = + xyz Suy dấu xảy x = y = z =1 ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x + + x + + x + = y − + y − + y −  2  x + y + x + y = 80 Giải: Đk: x ≥ −1; y ≥ Giả sử x > y − ⇒ VT > VP x < y − ⇒ VT < VP Suy x = y − Đến bạn đọc tự giải Ví dụ 3: Giải hệ : 4y 2z  3x  x +1 + y +1 + z +1 =   8 x y z = Giải: -Bài tóan có số ẩn nhiều số phương trình ta dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc x,y,z khác nên ta sử dụng Cauchy cho xuất bậc giống hệ 2x 4y 2z = + + Ta có: x + x + y + z + Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Áp dụng Cauchy số: x x y y y y z z x2 y z + + + + + + + ≥ 88 = x +1 x +1 x +1 y +1 y +1 y +1 y +1 z +1 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Hòan tòan tương tự : x3 y z ≥ 88 3 y +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) x y z1 ≥ 88 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Từ bất đẳng thức thu ta có: 1 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) ≥ 89 x 24 y 32 z16 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 24 32 16 ⇒ 89 x y z ≤ dấu xảy ⇔ x y z 1 = = = ⇔x= y=z= x +1 y +1 z +1 697  x + y = Ví dụ 4: giải hệ:  81  x + y + xy − 3x − y + =  Giải: -Ví dụ muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị x,y nhờ điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x: x + x ( y − 3) + y − y + = = ( y − 3) − ( y − ) ≤ ⇔ ( y − 1)( y − ) ≤ ⇔ ≤ y ≤ 2 Tương tự xét phương trình bậc hai theo y ta có ≤ x ≤ 697 4 7 Suy ra: x + y ≤   +   = 81 3 3 ⇒ x = y = Tuy nhiên vào hệ nghiệm khơng thỏa 3 Vì hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ: Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf  x5 − x + x y =  y − y + 2y z =  z5 − z + 2z x =  Ý tưởng tóan ta phải đóan nghiệm hệ x = y = z = ,sau chứng minh x > hay x < vô nghiệm Nếu x > ⇒ = z − z + z x > z − z + z ⇒ > ( z − 1) ( z + z + ) Do z + z + dương nên > z Tương tự ⇒ y > ⇒ x < ⇒ Vơ lí Tương tự x < ⇒ vơ lí.Vậy x = ⇒ y = ⇒ z = Bài tập luyện tập Giải hệ:  x = ( y − 1)( z + )  2)  y = ( z − 1)( x + )   z = ( x − 1)( y + ) 1) x + y + z =  2 xy − z =  x2 1 + x = y   y2 4)  =z y +   2z2 =x   z +1  y 21 x + y = 1988   z 3) 21 + z = 1988  y  x 21 + x = 1988  z  x2 + y2 + z2 =  5)  x y z  y + z + x =9  B.Đặt ẩn phụ: Đơi tóan phức tạp ta giải hệ với ẩn (x,y,z,…) sau phép đặt a = f ( x), b = f ( y ), c = f ( z ), Ví dụ 1:Giải hệ 12  xy x+ y =  18  yz =  y+z  xz 36 =   x + z 13 1 Hướng dẫn: Đặt a = , b = , c = x y z Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Ví dụ 2: Giải hệ:  x ( y + z ) = (3 x + x + 1) y z  2 2  y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z  z ( x + y ) = (5 z + z + 1) x y  Nếu x = dễ dàng suy được: y = z = Như ( x, y , z ) = (0, 0, 0) nghiệm hệ Ta tìm nghiệm khác ( 0,0,0 ) Chia hai vế cho x y z ta thu hệ tương đương:   y + z 2 1   = 3+ + x x  yz   1  x + z    = 4+ + y y  xz     x + y  = + +   xy  z z2  1 Ta lại đặt a = ; b = ; c = ta nhận được: x y z  (a + b) = c + c + 5(1)  2 (b + c ) = a + a + 3(2)  (a + c ) = b + b + 4(3)  (2) − (3) ⇒ (a − b) ( 2(a + b + c ) + 1) = Lấy (1) − (2) ⇒ (b − c)(2(a + b + c) + 1) = Từ suy a − b = b − c ⇒ a + c = 2b Thay vào (2) ta 3b − b + = Từ bạn dễ dàng giải tiếp tốn Ví dụ 3: Giải hệ  x (6 + 21y ) =   x ( y − 6) = 21 Nếu giải hệ với ẩn ( x, y ) ta thật khó để thấy đwocj hướng giải Nhưng chuyện rõ ràng ta đặt x = z  z = 21 y +   y = 21z + Đây hệ đối xứng mà ta dễ dàng tìm đước hướng giải J Sau tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ: 2 x2 + x + y + =   xy ( xy + x + y + 1) = Bài 2: Giải hệ: Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf ( x + y + z )3 = 12t  3 ( y + z + t ) = 12 x  3 ( z + t + x ) = 12 y (t + x + y )3 = 12 z C.Tính đại lượng chung Ý tưởng phương pháp tính đại lượng Ví dụ 1:Giải hệ:  xy + y + x + =   yz + z + y = (*)  xz + z + 3x =   ( x + 1)( y + 2) =  (*) ⇔ ( y + 2)( z + 3) = 12 ⇒ ( x + 1)( y + 2)( z + 3) = ±24  ( z + 3)( x + 1) =  Từ bạn có thể giải tiếp cách dễ dàng Ví dụ 2:Giải hệ:  u + v = 2(1)  ux + vy = 3(2)   2 ux + vy = 5(3) ux + vy = 9(4) Giải: Nhân x + y vào (3) ⇒ ux + vy + ux y + vxy = 5( x + y ) ⇒ + 3xy = 5( x + y ) Nhân x + y vào (2) ⇒ uy + vx = 2( x + y ) − Nhân x + y vào (2) 3( x + y ) = + xy (uy + vx) = + xy [ 2( x + y ) − 3] Đặt a = x + y; b = xy Đến bạn có thễ dễ dàng giải tiếp J Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ  x + y + z + t = 50  2 2  x − y + z − t = −24  xz = yt   x − y + z + t = Bài 2:Giải hệ  y − xz = b   z − xy = c ( a, b, c số)  x − yz = a  Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf Bài 3:Giải hệ ax + by = ( x − y )  ( a, b, c số)  by + cz = ( y − z )  cz + ax = ( z − x)  Bài 4:Giải hệ  x3 + x( y − z )2 =   y + y ( z − x ) = 30  z + z ( x − y ) = 16  D.Nhân liên hợp Phương pháp chủ yếu bỏ dâu thức đễ dễ tính tốn hay để xuất đại lượng đặt ẩn phụ Ví dụ 1:Giải hệ: x+ y =4  (1)   x + + y + = Giải: Ta có:  x + + x + y + + y = 13 (1) ⇔   x + − x + y + − y =  x + x + + y + y + = 13  ⇔ 5  x + x+5 + y +5 + y =  Đặt u = x + x+5 v = y + y+5 Ta suy ra:  u + v = 10  1  u + v = u + v = 10 ⇒  uv = 25 ⇒ u = v = ⇒ x = y = Ví dụ 2: Giải hệ:    −  2y = y + 42 x      3+  x =2   y + 42 x   Giải: Từ hệ ta suy điều kiện: x, y > Hệ cho tương đương với: Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf  + =6  x 2y    10 = −  y + 42 x x 2y 15 ⇒ = − y + 42 x x y ⇒ 15 xy = ( y − x )( y + 42 x ) ⇒ y + 25 xy − 84 x = ⇒ (3x − y )( y + 28 x ) =  3x = y ⇒  y + 28 x = Trường hợp thứ hai ta loại không thỏa điều kiện x, y > Thay vào hệ ban đầu ta thu nghiệm sau:  5+ 5+  ( x, y ) =  ,    27 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ  x + + y + =   x + + y + = Bài 2: Giải hệ − x + y + xy + = −  ( x − 1)( y − 1) =  Bài 3: Giải hệ x y  = y +1 + y −  x +1 + x − 2   y + x + ( x + 1)( y + 1) =  Kết thúc viết phần tập tổng hợp mục hệ phương trình mà ta xem xét: III)Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x y + xy = a)   xy + x + y =  x + x y + y = 21 b)  2  x − xy + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau: Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf  x + y + x2 + y =   x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau: 2  x + y + x + x y + xy + y =  x y = −2  Bài 4:Giải hệ phương trình sau:  x− y =6  3  x − y = 126 Bài 5:Giải hệ phương trình sau:  x + y = 2a   xy + = 2a Nguyễn Thanh Tùng- 0972535961 Hỗ trợ chỉnh sửa file Word;Pdf ... phương pháp giải Phương trình bậc bốn trùng phương: Dạng tổng quát ax + bx + c = ( a ≠ ) Phương pháp giải đơn giản cách đặt y = x ≥ phương trình bậc hai ay + by + c = biện luận Phương trình bậc. .. giải phương trình a dấu giá trị tuyệt đối theo y Thí dụ : giải phương trình Đáp số : x = x + − x − + x + − x − = 2x − 4 .Phương pháp hệ phương trình hóa: Trong phần xin trình bày cách chuyển phương. .. bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng Cách giải tổng quát đưa phương trình: