Đề cương giữa kì 1 môn toán lớp 9

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 ĐỀ CƯƠNG GIỮA KÌ MƠN TỐN LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 09 tháng 10 năm 2021 Website: tailieumontoan.com ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KỲ I Mơn: TỐN Năm học: 2021 – 2022 Phạm vi ôn tập *Đại số: Tồn chương I *Hình học: Tồn chương I I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM A Đại số:  Với số a khơng âm, ta có x  a  x   x  a   Với a, b  a  b  a  b A có nghĩa A   Với số thực a, b a  b  a  b  Các công thức biến đổi thức (1) A2  A ; (3) A  B A B (với A  0; B  ); (5) A B  A2B (với A  0; B  ); A (7) B  A B (với B  ); B C (9) A B  (2) AB  A  B (với A  0; B  ); (4) A2B | A |  B (với B  ); (6) A AB (với AB  B  );  B |B | (8) C A B  C ( A  B) (với A A  B ); AB C( A  B) (với A  0; B  0; A  B ) AB B Hình học: Từ hình vẽ bên, ta có  Cạnh góc vng: AB, AC  Cạnh huyền: BC  Đường cao: AH  HA hình chiếu AB cạnh BC HC hình chiếu AC cạnh BC   Định lý Py-ta-go: BC = AB + AC Hệ thức liên hệ cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com  Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh huyền BA = BH ⋅ BC hay c 2= c '⋅ a ; = CA CH ⋅ CB hay b 2= b '⋅ a Hệ thức liên quan đến đường cao Trong tam giác vng  Bình phương độ dài đường cao tích hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền AH= HB ⋅ HC hay h 2= b '⋅ c '  Tích độ dài đường cao với cạnh huyền tích độ dài hai cạnh góc vng AH ⋅ BC = AB ⋅ AC hay a ⋅ h = b ⋅ c  Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vng 1 1 1 + = + hay = 2 2 h a b2 AH AB AC Tỉ số lượng giác gióc  Với α góc nhọn tam giác vng ta có  sin α = canh doi ; canh huyen  cos α = canh ke ; canh huyen  tan α = canh doi ; canh ke canh ke canh doi Một số hệ thức tính chất  Với hai góc nhọn α , β α + β = 90°  cot α = = sin α cos = β ; cos α sin = β ; tan α tan = β ; cot α cot β Với góc nhọn α ( 0° < α < 90° ) , ta có  < sin α < 1;0 < cos α <  Nếu α tăng sin α tan α tăng; cịn cos α cot α giảm  tan α = sin α ; cos α  tan α ⋅ cot α = 1;  cot α = cos α ; sin α  sin α + cos α = Liên hệ cạnh góc tam giác vuông Trong tam giác vuông, cạnh góc vng Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  Tích cạnh huyền với sin góc đối cơ-sin góc kề  Tích cạnh góc vng với tang góc đối cơ-tang góc kề Trong hình bên, ta có b= a ⋅ sin B = a ⋅ cos C ; c= c ⋅ sin C = a ⋅ cos B; b= c ⋅ tan B = c ⋅ cot C ; c= b ⋅ tan C = b ⋅ cot B Giải tam giác vng  Giải tam giác vng tìm tất cạnh góc cịn lại tam giác vng biết trước hai cạnh cạnh góc nhọn II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI A Đại số Dạng 1: Tìm điều kiện để thức xác định (hay có nghĩa) Với A, B biểu thức, ta có  A có nghĩa A  A có nghĩa B  B  A B có nghĩa B  Ví dụ Tìm điều kiện x để thức sau xác định a) 3x  ; b)  2x ; c) x 2 Ví dụ Tìm điều kiện x để biểu thức sau xác định a) 2x   x 1 ; b) x 3 2x  Dạng 2: Rút gọn biểu thức Tính giá trị biểu thức    Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu cần) Áp dụng công thức biến đổi thức, quy tắc thực phép tính phân thức đại số để rút gọn biểu thức Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn thực phép tính Ví dụ Rút gọn biểu thức sau a) 25 49 :  : ; 16 36 8 b) 45, 82  44,22  (  1)2  (  1)2    Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Ví dụ Rút gọn biểu thức sau a) b) 1652  1242 32 ; 4 34 164 176  1122 5(  1) 1  2 2 Ví dụ Rút gọn biểu thức P  Ví dụ Cho biểu thức P  x 9 x 5 x 6 x x 3   x 1 x 3  x 3 x 2  x 1 3 x  11 x 9x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với x  74    : Ví dụ Cho biểu thức P      x  x   x  x  a) Rút gọn P b) Tính giá trị ngun x để P có giá trị nguyên Dạng 3: Chứng minh biểu thức có tính chất   Trước tiên tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Rút gọn biểu thức kết luận x   x  :  Ví dụ Cho biểu thức P    x  x   x  a) Rút gọn P b) Chứng minh P  Ví dụ Cho biểu thức P  x 1  x  x 1  x  x x x x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh biểu thức P luôn không âm với giá trị x làm P xác định  x   Ví dụ 10 Cho biểu thức P  :   x  x  x x  1 x Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P Dạng 4: Giải phương trình    Tìm điều kiện để hai vế phương trình có nghĩa (nếu cần) Áp dụng cơng thức biến đổi thức để đưa phương trình dạng đơn giản Nếu hai vế không âm ta bình phương hai vế để khử dấu Ví dụ 11 Giải phương trình a) 25(3x  1)2  10 ; b) x 3 x 3  x 5 x 2 Ví dụ 12 Giải phương trình a) 5x  (2x  1)2  ; b) x  x 1  x C BÀI TẬP VẬN DỤNG I PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Điều kiện xác định biểu thức A x  15 C x  15 B x  15 Câu Tìm x để biểu thức A x  (x  2)2 C x  2 B x  A a Câu Cho D x  x 1  x 2 B x  Câu Cho a  , rút gọn biểu thức D x  15 có nghĩa Câu Tìm nghiệm phương trình A x  x  15 C x  a3 a D x  ta kết C a B a D a 13   a  b với a , b số nguyên Tính giá trị biểu thức T  a  b3 A T  C T  9 B T  Câu Kết phép tính  2  D T  7  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com B 2 A  Câu Điều kiện để biểu thức A x  D  C  2x xác định C x  B x  D x  Câu Cho biểu thức P  (  1)2  (1  3)2 Khẳng định sau A P  B P   Câu Tìm điều kiện x để biểu thức C P   D P  x  5x  có nghĩa A x  B x  x  C  x  D x  Câu 10 Tìm điều kiện x để đẳng thức x 2  x 3 B x  2 A x  Câu 11 Giá trị x thỏa mãn A x   x 2 x 3 C x  3 D x   4x  B x  C x  1 D x  Câu 12 Cho K  a  a  4a  với a  Khẳng định sau đúng? B K  A K  2 Câu 13 Tìm tất giá trị x thỏa mãn C K  2a  D K  2a  (2x  1)2  A x  5 , x  B x  , x  C x  5 , x  4 D x  , x  4 Câu 14 Chọn khẳng định \textbf{đúng} khẳng định sau         4 A  B  C  2019 2019 2018   4    4    74 7 7 7 2018 2018 2019 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  D   4 2018 7  2019  7 Câu 15 Kết rút gọn biểu thức A 13  17 B  13  15 17  13 C 15  17 17  13 D 17  13 Câu 16 Cho A  9a  6a , với a  Khẳng định sau đúng? A A  3a C A  3a B A  Câu 17 Tìm giá trị a cho a 1 a B  a  A a  D A  15a  C a  D  a  Câu 18 Cho Q  4a  a  4a  , với a  Khẳng định sau đây? A Q  5a  B Q  3a  Câu 19 Kết rút gọn biểu thức A  x m x n C Q  3a  D Q  5a  1 x   với x  , x  có dạng x 4 x 2 x 2 Tính giá trị m  n A m  n  2 B m  n  4 C m  n  D m  n  Câu 20 Rút gọn biểu thức Q  4(1  6x  9x ) với x   A Q  2(1  3x ) B Q  2(1  3x ) C Q  2(1  3x ) D Q  2(1  3x )      a Câu 21 Kết rút gọn biểu thức K      :   (với a  ,  a  a  a   a  a  1 a  ) có dạng ma  n A m  n  10 a Tính giá trị m  n B m  n  Câu 22 Giá trị biểu thức 49  C m  n  D m  n  225 16 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com A  13 B 13 C  43 D 43 Câu 23 Đẳng thức đúng?    A x   (x  7)(x  7) B x   C x   (7  x )(7  x ) D x   x  x  x  x   Câu 24 Tính M   16 A M  B M  C M  Câu 25 Điều kiện x để  x có nghĩa A x  B x  C x  Câu 26 Tìm tất giá trị x để biểu thức A x  B x  D M  20 D x  x  có nghĩa C x  D x  Câu 27 Đẳng thức sau với x  ? A 9x  3x B 9x  3x C 9x  9x D 9x  9x Câu 28 Cho P  4a  6a Khẳng định A P  4a Câu 29 Tính M  A M  B P  4 | a | 12 C P  2a  | a | D P  | a | 6a C M  D M  B M  Câu 30 Cho biểu thức P  a với a  Khi biểu thức P A 2a B  2a C 2a D  2a Câu 31 Tính M  A M  B M  C M  13 D M  36 Câu 32 Cho M  (a  1)3  (a  1)3 Khẳng định sau đúng? A M  2a B M   a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C M  a D M  a  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com II PHẦN TỰ LUẬN Bài Rút gọn biểu thức sau b) B  x  10x  25  x với x  a) A     ; Bài Tính a) (  18  5)( 50  5) ; Bài Giải phương trình x 2 x 2 1  2 1   b)   x 1   x   Bài Cho biểu thức P      :   x x  1  2 x   a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x   2 c) Tìm x để P  Bài Cho biểu thức P   x x 1  x       x  x  x x x  1 x  x  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  10 c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Bài Rút gọn biểu thức P  75  Bài a) So sánh  27 74  1  x    b) Chứng minh đẳng thức    , với x  x   x  x   Bài Tính giá trị biểu thức A    20   Bài Rút gọn biểu thức 75  48  27 Bài 10 So sánh Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 15 Ta có Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 50° = 40° Mặt khác AC =AB ⋅ tan B = 3, ⋅ tan 50° ≈ 4, Tương tự= BC AB 3, = ≈ 5,8 cos B cos 50° Ví dụ Giải tam giác ABC vuông A , biết Bˆ = 57° BC = 4,5 Lời giải Ta có Cˆ = 90° − 57° = 33° Mặt khác AB = BC ⋅ cos B = 4,5 ⋅ cos 57° ≈ 2,5 AC =BC ⋅ sin B =4,5 ⋅ sin 57° ≈ 3,8 Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB = 2,5 , BH = 1,5 Tính Bˆ , Cˆ AC Lời giải Xét tam giác ABH vng H , ta có cos= B BH 1,5 = ≈ cos 53°8′ suy Bˆ ≈ 53°8′ AB 2,5 90° nên Cˆ =90° − 53°8′ =36°52′ Mà Bˆ + Cˆ = Xét ABC vng A , ta có AC =AB ⋅ tan B = 2,5 ⋅ tan 53°8′ ≈ 3,3 Dạng 2: Giải tam giác nhọn  Bước 1: Vẽ đường cao để vận dụng hệ thức lượng tam giác vng  Bước 2: Tính đường cao tính độ dài cạnh hay góc tam giác cho Lưu ý: Dùng đường cao làm trung gian để tính độ dài cạnh số đo góc  Nếu tam giác cho trước cạnh (hoặc góc) vẽ đường cao khơng thể chia đơi cạnh (hoặc góc đó) khó khăn cho việc tính tốn Ví dụ Cho tam giác ABC có Bˆ = 65° , Cˆ = 45° AB = 2,8cm Tính góc cạnh cịn lại tam giác (gọi giải tam giác ABC ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 16 Lời giải ° 70° Ta có Aˆ= 180° − Bˆ − Cˆ= 180° − 65° − 45= Kẻ đường cao AH Xét ABH vuông H , ta có AH =AB ⋅ sin B =2,8 ⋅ sin 65° ≈ 2,54( cm ) Tương tự BH = 2,8 ⋅ cos 65° ≈ 1,18( cm ) AB ⋅ cos B = Mặt khác, giả thiết suy tam giác HAC vuông cân H nên HA = HC 3, 7( cm ) BC ≈ 2,54 + 1,18 = Do Xét AHC vng H , ta có HA 2,54 ≈ ≈ 3, 6( cm ) AC = sin C sin 45° Ví dụ Giải tam giác ABC biết Bˆ = 65° , Cˆ = 40° BC = 4, 2cm Lời giải ° 75° Ta có Aˆ= 180° − Bˆ − Cˆ= 180° − 65° − 40= Kẻ đường cao BH Xét BCH vng H , ta có BH =BC ⋅ sin C =4, ⋅ sin 40° ≈ 2, 70( cm ) Tương tự, xét ABH vng H , ta có = AB BH 2, 70 = ≈ 2,8( cm ) sin A sin 75° Mặt khác, ta có AC = AH + CH = BH ⋅ ( cot A + cot C ) ( ) ≈ 2, 70 ⋅ cot 75° + cot 40° ≈ 3,9( cm ) Ví dụ Giải tam giác nhọn ABC biết AB = 2,1 , AC = 3,8 Bˆ = 70° Lời giải Vẽ AH ⊥ BC Xét ABH vuông H , ta có AH = AB ⋅ sin B = 2,1 ⋅ sin 70° ≈ 1,97 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 17 Tương tự, xét BH = AB ⋅ cos B = 2,1 ⋅ cos 70° ≈ 0, 72 Mặt khác, xét AHC vng H , ta có sin C = ( AH 1,97 ° ° ′ ′ Cˆ ≈ 3114 ≈ ≈ sin 3114 AC 3,8 ) ° ′ = 78° 46′ Mà Aˆ = 180° − 70° + 3114 ° ′ ≈ 3, 25 Ta có HC =AC ⋅ cos C ≈ 3,80 ⋅ cos 3114 Mà BC = BH + HC = 0, 72 + 3, 25 = 3,97 Dạng 3: Tính diện tích tam giác, tứ giác  Tính yếu tố cần thiết thay vào công thức tính diện tích thực phép tính Ví dụ Cho tam giác ABC hình vẽ bên Chứng minh diện tích tam giác ABC có diện tích S = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α Lời giải Vẽ đường cao BH tam giác ABC AB ⋅ sin A = c ⋅ sin α Xét ABH vuông H , ta có BH = Do diện tích S tam giác ABC S = 1 ⋅ AC ⋅ BH = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α 2 Nhận xét: Qua ví dụ ta có thêm cách tính diện tích tam giác Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn xen hai đường thẳng chứa hai cạnh Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 18 Ví dụ 10 Tứ giác ABCD hình vẽ phía Biết AC = 3,8 , BD = 5, α = 65° Tính diện tích tứ giác Lời giải = OA ⋅ sin α Vẽ AH ⊥ BD CK ⊥ BD Xét OAH ta có AH = OC ⋅ sin α Tương tự, xét OCK ta có CK 1 Mà S ABD = ⋅ BD ⋅ AH = ⋅ BD ⋅ OA ⋅ sin α 2 1 Tương tự SBCD = ⋅ BD ⋅ CK = ⋅ BD ⋅ OC ⋅ sin α 2 Gọi S diện tích tứ giác ABCD ta có = S S=  ABD + S BCD 1 ⋅ BD ⋅ OA ⋅ sin α + ⋅ BD ⋅ OC ⋅ sin α 2 = ⋅ BD ⋅ sin α ⋅ ( OA + OC ) 1 = ⋅ BD ⋅ AC ⋅ sin α = ⋅ 5, ⋅ 3,8 ⋅ sin 65° ≈ 8, 2 Ví dụ 11 Tam giác ABC có Bˆ + Cˆ = 60° , AB = , AC = Tính độ dài đường phân giác AD Lời giải  = 180° − 60° = 120° 60° nên BAC Do giả thiết Bˆ + Cˆ =   Mà AD đường phân giác nên BAD = CAD = 60° Mà S ABC =  = ⋅ ⋅ ⋅ sin120° = 18 ⋅ sin 60° ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin BAC 2 Mặt khác  =1 ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin 60° S ABD = ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin BAD 2  =1 ⋅ AC ⋅ AD ⋅ sin 60° S ACD = ⋅ AC ⋅ AD ⋅ sin DAC 2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 19 Ví dụ 12 Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD AD = 3,5 , Dˆ = 50° Tính diện tích hình bình hành Lời giải Xét ADC vng A , ta có AC = AD ⋅ tan  ADC = 3,5 ⋅ tan 50° Khi gọi S diện tích hình bình hành ABCD , ta có S = AD ⋅ AC = 3,5 ⋅ 3,5 ⋅ tan 50° ≈ 14, Dạng 4: Ứng dụng thực tế hệ thức lượng tam giác vuông   Vẽ lại hình vẽ theo u cầu tốn (chú ý tạo tam giác vuông) Xác định yếu tố cần thiết tính theo hệ thức cạnh góc tam giác sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tìm góc Ví dụ 13 Tính khoảng cách hai điểm A B bờ hồ nước sâu, biết Cˆ = 58° , CB = 13m , CH = 44m hình bên Lời giải Xét HAC vng H , ta có AC = HC 44 = ≈ 83( m ) cos C cos 58° Mà AB = AC − BC ≈ 83 − 13 = 70( m ) Ví dụ 14 Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng AB sông, biết OC = 47m ,  AOC = 74° ,  = 23° BOC Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 20 Xét AOC vng C , ta có AC = OC ⋅ tan 74° BC = OC ⋅ tan 23° Do AB = AC − BC = OC ⋅ tan 74° − OC ⋅ tan 23° ( =OC ⋅ tan 74° − tan 23° ) ) ( =47 ⋅ tan 74° − tan 23° ≈ 144, 0( m ) Vậy AB 144, 0m Ví dụ 15 Khoảng cách hai chân tháp AB MN a hình vẽ bên Từ đỉnh A tháp AB nhìn lên đỉnh M tháp MN ta góc α Từ đỉnh A nhìn xuống chân N tháp MN ta góc β (so với phương nằm ngang AH ) Hãy tìm chiều cao MN a = 120m , α = 30° , β = 20° Lời giải = AH ⋅ tan α Xét MAH vng H , ta có HM Tương tự, xét MAH vng H , ta có HN = AH ⋅ tan β Mà MN = HM + HN = AH ⋅ tan α + AH ⋅ tan β = AH ⋅ ( tan α + tan β ) ( ) =120 ⋅ tan 30° + tan 20° ≈ 113, 0( m ) Vậy chiều cao MN 113, 0m C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Giải tam giác ABC vuông A , biết a) AB = 2, AC = 4,5 ; b) AC = 4, BC = 4,8 Lời giải a) Xét ABC vuông A , ta có tan= B AC 4,5 = ≈ tan 59°04′ AB 2, 90° nên Suy Bˆ ≈ 59°04′ mà Bˆ + Cˆ = Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 59°04′ = 30°56′ Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 21 Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có BC = AB + AC = 2, + 4,52 ≈ 5, 25 b) Xét ABC vng A , ta có sin= B AC 4, = ≈ sin 56° 44′ BC 4,8 90° nên Suy Bˆ ≈ 56° 44′ mà Bˆ + Cˆ = Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 56° 44′ = 33°16′ Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có AB = BC − AC = 4,82 − 4, 02 ≈ 2, 65 Bài Giải tam giác ABC vuông A , biết b) AB = 3,1 Bˆ = 65° a) BC = 4,5 Cˆ = 35° ; Lời giải a) Xét ABC vng A , ta có AB =BC ⋅ sin C =4,5 ⋅ sin 35° ≈ 2,58 Tương tự, AC = ≈ 3, 69 BC ⋅ cos C = 4,5 ⋅ cos 35° = Do Bˆ + Cˆ = 90° nên Bˆ = 90° − Cˆ = 90° − 35° = 55° b) Xét ABC vuông A , ta có BC = AB 3,1 = ≈ 7,34 cos B cos 65° Tương tự, AC = AB ⋅ tan B = 3,1 ⋅ tan 65° = ≈ 6, 65 90° nên Do Bˆ + Cˆ = Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 65° = 25° Bài Cho tam giác ABC cân A , đường cao BH Biết Aˆ = 50° , BH = 2,3 Tính chu vi ∆ABC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 22 Lời giải Do giả thiết suy Bˆ = Cˆ nên ( ) ( ) 1 ° Cˆ 180° − = Aˆ 180° − 50= 65° Xét AHB vuông H , ta = 2 có = AH = BH ⋅ cot HAB 2,3 ⋅ cot 50° ≈ 1,92 Tương tự, xét CHB vng H , ta có = CH = BH ⋅ cot HCB 2,3 ⋅ cot 65° ≈ 1, 07 BC = BH 2,3 = ≈ 2,54 °  sin HCB sin 65 Mà AC = AH + HC ≈ 1,92 + 1, 07 = 2,99 Do chu vi tam giác ABC AB + BC + CA ≈ ⋅ 2,99 + 2,54 = 8,52 ˆ Dˆ= 90° Biết AB = 2, , CD = 4, Cˆ = 35° Tính diện tích Bài Hình thang ABCD có A= hình thang Lời giải Vẽ BH ⊥ CD , giả thiết suy ABHD hình chữ nhật nên = AB DH = 2, Mà CD = DH + HC ⇔ HC = DC − DH = 4, − 2, = 2,1 Xét BHC vng H , ta có  =⋅ BH = HC ⋅ tan BCH 2,1 tan 35° ≈ 1,5 Gọi S diện tích hình thang ABCD Ta có S = + CD ) ⋅ BH ( 2, + 4, ) ⋅1,5 ( AB = ≈ 5,5 2 Bài Cho tam giác nhọn ABC , AB > AC , đường cao AH đường trung tuyến AM Gọi α  số đo góc HAM HM ; a) Chứng minh HB − HC = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 23 b) Chứng minh tan α = cot B − cot C Lời giải a) Do giả thiết AM trung tuyến nên BM = MC Mà HB − HC = MH ( HM + BM ) − ( MC − MH ) =⋅ b) Đặt AH = h , xét AHB , ta có HB = AH ⋅ cot  ABH = h ⋅ cot  ABH Tương tự, xét AHC , ta có HC = AH ⋅ cot  ACH = h ⋅ cot  ACH ( ) h cot  ABH − cot  ACH hay HM = Suy HB − HC =⋅ h ⋅ ( cot B − cot C ) (1) = Mặt khác, xét AMH vng H , ta có HM = h ⋅ tan MAH h ⋅ tan α hay HM= 2h ⋅ tan α (2) cot B − cot C Từ (1) (2) suy 2h ⋅ tan α = h ⋅ ( cot B − cot C ) ⇔ tan α = Bài Giải tam giác nhọn ABC biết Bˆ = 60° , AB = 3, BC = 4,5 Lời giải Kẻ đường cao AH ⊥ BC Xét ABH vng H , ta có AH =AB ⋅ sin B = 3, ⋅ sin 60° ≈ 2, Tương tự, xét BH = AB ⋅ cos B = 3, ⋅ cos 60° = 1,5 Mà HC = BC − BH = 4,5 − 1,5 = 3, Theo định lí Py-ta-go ta có AB = BH + AH = 3, 02 + 2, 62 = 15, 76 suy = AB Xét AHC vng H ta có tan  ACH = ( 15, 76 ≈ 4, AH 2, ≈ ≈ tan 40°55′ HC 3, ) Do Aˆ= 180° − Bˆ − Cˆ ≈ 180° − 60° + 40°55′= 79°5′ Bài Hình thang ABCD ( AB  CD ) có Dˆ = 90° , Cˆ = 38° , AB = 3,5 , AD = 3,1 Tính diện tích hình thang Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 24 Lời giải Vẽ BH ⊥ CD , giả thiết suy ABHD hình chữ nhật Do BH = 3,1 , DH = 3,5 Xét BHC vng H , ta có HC = BH ⋅ cot C = 3,1 ⋅ cot 38° ≈ 4, Mà CD = DH + HC = 3,5 + 4, = 7,5 Gọi S diện tích hình thang ABCD = S + CD ) ⋅ BH ( 3,5 + 7,5 ) ⋅ 3,1 ( AB = = 2 17,1 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Các cạnh tam giác vng có độ dài 4cm; 6cm 6cm Hãy tính góc nhỏ tam giác Bài Tam giác ABC vng A có AB = 21 cm, Cˆ = 40° Hãy tính độ dài a) AC ; b) BC ; c) Phân giác BD = AC = cm, CD = cm, Bài 10 Cho hình bên, biết: AB  = 34° CAD  = 42° Hãy tính BAC a) Độ dài cạnh BC ; b)  ADC ; c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD Bài 11 Trong tam giác ABC có AB = 11 cm,  ABC = 38° ,  ACB = 30° , N chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Hãy tính AN , AC Bài 12 Tìm x y hình sau Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 25  = 40° Hãy tính Bài 13 Cho tam giác BCD cạnh cm DAB a) AD ; b) AB II BÀI TẬP PHÂN LOẠI Tìm Bài 1: Cho biểu thức P = a + b − ab với a, b số thực thỏa mãn a + b + ab = giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x   x  x Bài 3: Cho x , y số thực dương thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + 1 +y+ x y Bài 4: Với số thực 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 thỏa mãn x  x   y   y tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Bài 5: Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = ab a+b+2 Bài 6: Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab Bài 7: Giải phương trình : 1) x(3 − x −= Bài 8: Giải phương trình: Bài Giải phương trình: x2 + x2 + x + ( Bài 10 Giải phương trình: ) x + x − − x x + + 1 1 (2 x + x + x + 1) −= 4 2 x + − = x − x + + 11 4x2 − 2x + = 4x3 − x2 + 8x − Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 26 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1: Ta có a + b + ab =3 ⇔ a + b =3 − ab thay vào P ta P = a + b − ab = ( a + b ) − 2a 2b − ab = 6ab + a 2b − 2a 2b − ab ( − ab ) − 2a 2b − ab =− 2  85 49  49   =− 7ab − a b = −  ab +  + − ( ab ) + 2.ab +  + +9 = 2 4   2 Vì a + b =3 − ab , mà ( a + b ) ≥ ⇔ a + b ≥ −2ab ⇒ − ab ≥ −2ab ⇔ ab ≥ −3 (1) Và ( a − b ) ≥ ⇔ a + b ≥ 2ab ⇒ − ab ≥ 2ab ⇔ ab ≤ ( ) Từ (1) ( ) suy −3 ≤ ab ≤ ⇔ −3 + 2 ⇔ 7 7 ≤ ab + ≤ + ⇔ ≤ ab + ≤ 2 2 2 81 7 81 85  85 85   81   ⇔ − ≤ −  ab +  ≤ − ⇔ − + ≤ −  ab +  + ≤ − + ≤  ab +  ≤ 2 4 2 4 4  2    85  ⇔ ≤ −  ab +  + ≤ 21 2  a = b ab = −3 =   Vậy Max P = 21 Dấu = xảy  v ⇔ 3 b a = − = − a + b =     ab = a = −1 a = ⇔ Min P = Dấu = xảy  2  b = −1 b = a + b = Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x   x  x Điều kiện:  x  Dùng: a  b  a  b , a, b     1x  x  1x  x  Ta có   P   MinP   x    1x  x 10 1    Bài 3: Vì vai trị x , y xt tốn bình đẳng nên dự đoán P đạt GTNN x= y=     11 1 Từ đó, để giải tốn, ta biến đổi P =  x +  +  y +  +  +  sau 2x   2y   x y   sử dụng bất đẳng thức Cô-si Đáp số: Pmin = ⇔ x = y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 27 Bài 4: Điều kiện: x ≥ –6, y ≥ –6 Từ điều kiện đề ta có x + y ≥ x + y = x + + y + ( x + y ) = x + y + 12 + ( x + 6)( y + 6) (*) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm, ta có ( x + 6)( y + 6) ≤ ( x + 6) + ( y + 6) = x + y + 12 = > ( x + y ) =+ x y + 12 + ( x + 6)( y + 6) ≤ 2( x + y ) + 24 ( x + y ) − 2( x + y ) − 24 ≤ −4 ≤ x + y ≤ Khi x = y = x + y = Ta có ( x + 6)( y + 6) ≥ nên từ (*) suy ( x + y ) ≥ x + y + 12 ( x + y − 4)( x + y + 3) ≥ x + y ≥ 4( Do x + y + > 0) Khi x = 10, y = –6 x = –6, y = 10 x + y = Vậy GTLN P x = y = GTNN P x = 10, y = –6 x = –6, y = 10 Bài 5: ab (a + b) − (a + b ) (a + b) − (a + b + 2)(a + b − 2) = M = = = a+b+2 2(a + b + 2) 2(a + b + 2) 2(a + b + 2) a+b−2 = 2 2 > a + b ≤ 2(a + b ) Ta có: (a + b) ≤ 2(a + b ) 0; a, b > ) + 2ab ⇔ a + b = + 2ab Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 = M Khi đó, biểu thức M viết lại thành: ab = a+b+2 ab (1) + 2ab + Mặc khác: + 2ab > ⇔ + 2ab > = ⇒ 2ab = ( + 2ab + )( ) + 2ab − (2) ab + 2ab − = 2ab + 2ab − Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm a, b ta được: a + b2 = = ab ≤ 2 2 2 −2 ⇒ + 2ab − ≤ + 2.2 − = Từ (1) (2) ta có: M = ⇒M ≤ 2 −2 = 2 −1 a= b ≥ ⇔ a =b = Dấu “=” xảy khi:  2 a + b = Vậy GTLN biểu thức M − a= b= Bài 53: Ta có Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab (a + b + c)a + bc (Do a + b +c = 2) (a + b) + (a + c) (Áp dụng bất đẳng thức với số dương = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) ≤ u=a+b v=a+c) (a + b) + (a + c) Vậy ta có 2a + bc ≤ (1) Tương tự ta có : (a + b) + (b + c) (2) 2b + ca ≤ (a + c) + (b + c) (3) 2c + ab ≤ Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ⇒ Q ≤ 2(a + b + c) = Khi a = b = c = Q = giá trị lớn Q 2a + bc= Bài 7: Phương trình ⇔ ( x + − 3x − )( ) 3x − − x =  x + 1= x − ⇔  x − = x  ±  Giải ta được: S = 1;    Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 29 Bài 8: Phương trình ⇔ x + x + 1 x + 1) x + −= ( ( Ta có VT ≥ ⇒ VP ≥ ⇒ x ≥ ) 1 ⇒ x+ = x+ 2   1 x + 1) x + ⇔ x ∈  − ;  Từ phương trình x += ( 2   ( ) Bài ĐK: x ≥ −2 Biến đổi PT dạng x + − x + = Cách Đặt x + = t ( t ≥ ) đưa PT bậc hai ẩn t Cách Đưa PT dạng B ≥  A= B ⇔   A = B A = B sử dụng công thức biến đổi tương đương: Đáp số: Tập nghiệm PT cho S = {−1; 2} 1  Bài 10 Biến đổi phương trình thành :  x −  =( x − 1) x + 2   B ≥ Cách Sử dụng công thức A= B ⇔  , ta có: = A B   ( ) ( x − 1) x + ≥  PT ⇔  1  x −  = ( x − 1) x + 2  ( ) ( )  x ≥  ⇔ 4x − = ⇔ x =    = x +2   2  1 Cách Từ VP ⇒ x ≥ ⇒  x −  = x − 2   1 Từ PT ⇔  x −  − x − = ⇔ x = 2  ( ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 2 018 2 018 2 0 19 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 0 39. 373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  D   4 2 018 7  2 0 19  7 Câu 15 Kết rút gọn biểu thức A 13  17 B  13  15 ... a) b) 16 52  12 42 32 ; 4 34 16 4 17 6  11 22 5(  1) ? ?1  2 2 Ví dụ Rút gọn biểu thức P  Ví dụ Cho biểu thức P  x ? ?9 x 5 x 6 x x 3   x ? ?1 x 3  x 3 x 2  x ? ?1 3 x  11 x 9? ??x a)... 13  15 17  13 C 15  17 17  13 D 17  13 Câu 16 Cho A  9a  6a , với a  Khẳng định sau đúng? A A  3a C A  3a B A  Câu 17 Tìm giá trị a cho a ? ?1 a B  a  A a  D A  ? ?15 a 