Tài liệu Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ

tai lieu, document1 of 66 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A LÝ THUYẾT: Bình phương tổng:  A  B   A2  AB  B 2 Bình phương hiệu:  A  B   A2  AB  B 2 Hiệu hai bình phương: A2  B   A  B  A  B  Lập phương tổng:  A  B   A3  A2 B  AB  B 3 Lập phương hiệu:  A  B   A3  A2 B  AB  B 3 Tổng hai lập phương: A3  B   A  B   A2  AB  B  Hiệu hai lập phương: A3  B   A  B   A2  AB  B  Ngoài ra, ta có đẳng thức hệ đẳng thức Thường sử dụng biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,… Tổng hai bình phương: A2  B   A  B   AB 2 Tổng hai lập phương: A3  B   A  B   AB  A  B  3 Bình phương tổng số hạng:  A  B  C  A2  B  C   AB  BC  CA  Lập phương tổng số hạng:  A  B  C  A3  B  C   A  B  B  C  C  A  B CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN: Dạng 1: Biến đổi biểu thức Phương pháp: Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để thực biến đổi biểu thức Bài 1: Thực phép tính: a)  3 x  y  b)   x  xy  2 c) x  y Giải a) Áp dụng đẳng thức ta có:  3 x  y    3 x    3 x  y    y   x  12 xy  y 2 b) Áp dụng đẳng thức ta có: luan van, khoa luan of 66 d)  x  y     y  2 tai lieu, document2 of 66   x  xy     x     x  xy    xy   x  x y  x y 2 c) Áp dụng đẳng thức ta có: x  y  x   y    x  y  x  y  d) Áp dụng đẳng thức ta có:  x  y    y    x  y     y   x  y     y    x  y   x   Bài 2: Thực phép tính: a)  x  y   x  xy  y     x  y   x  xy  y  b) x  x  x  c) x3  x  12 x  d)  x  y    x  y  3 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:  x  y   x  xy  y     x  y   x  xy  y   x  y   x  y   x  xy  y   x  y  x  y  x3 b) Ta có: x  x  x    x3  x  x  1 Áp dụng bất đẳng thức ta được:  x  3x  x  1   x  1 c) Ta có: x3  x  12 x   x  3.2 x  3.22.x  23 Áp dụng bất đẳng thức ta được: x3  3.2.x  3.2 x  23   x   d) Áp dụng bất đẳng thức ta được:  x  y    x  y     x3  x y  xy  y   x  3.x 2 y  3.x  y    y   x  x y  xy  y  x  x y  12 xy  y  x y  xy  y Bài 3: Rút gọn biểu thức: a)  a  b  c  d  a  b  c  d  b)  x  y  z  x  y  3z  luan van, khoa luan of 66  tai lieu, document3 of 66 c)  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1 d)  x  y    x  y  3 e)  x  3x  1   3x  1   x  x  1  3x  1 2 Giải a)  a  b  c  d  a  b  c  d    a  b    c  d    a  b    c  d     a  b    c  d  2  a  2ab  b  c  2cd  d  a  b  c  d  2ab  2cd b)  x  y  3z  x  y  3z    x  z   y   x  3z   y    x  z    y   x  xz  z  y 2 c)  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1   x  1 x3  1  x  d)  x  y    x  y  3   x3  x y  xy  y    x  x y  xy  y   x  x y  xy  y  x3  x y  3xy  y  x y  y3  y  3x  y  e)  x  3x  1   3x  1   x  x  1  3x  1 2   x  x  1   x  1    x  x   x  1   x   2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp: Dạng tốn đa dạng ta giải theo phương pháp sau: - Biến đổi biểu thức cho trước thành biểu thức cần thiết cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị - Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để thực biến đổi biểu thức cần tính giá trị biểu thức có liên quan đến giá trị đề cho - Thay vào biểu thức cần tính tìm giá trị Bài 1: Cho x  y  Tính giá trị biểu thức sau: A  x3  3xy  y Giải Áp dụng đẳng thức bậc 3, ta được: A  x3  y  3xy   x  y   x  xy  y   xy luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document4 of 66     x  y   x  y   3xy  xy Theo x  y  , thay vào A ta được:   A   x  y   x  y   xy  3xy  1.12  3xy   xy   3xy  xy  Vậy A  Bài 2: Cho x  y  xy  Tính B  x3  y   x  y  Giải Áp dụng đẳng thức, ta được: B  x3  y   x  y    x  y   x  xy  y    x  y      x  y   x  y   3xy   x  y  2 Theo x  y  , xy  thay vào B ta được:   B   x  y   x  y   xy   x  y    42  3.5   16  140 2 Vậy B  140 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) x  48 x  64  x x  c) b) x3  x  27 x  27 x  4 x3  x  x2  d) Giải a) Ta có: x  48 x  64  x   x    x Thay x  vào ta được:  3.2    5.23  36 b) Ta có x3  x  27 x  27   x   Thay x  4 vào ta được:  x  3   4  3  73  343 3 x3   x  1  x  x  1 x  x  c) Ta có:   x 1 x 1  x  1 x  1 Thay x  vào ta được: d) Ta có: x  x  62   43   x 1 1 x2  x  x2 1  x3   x  1 luan van, khoa luan of 66 x2  x  x2  x   x3   x  1 tai lieu, document5 of 66  x  1  x  1 x  1  x   x    2 x2  x  x   x  1  x  x  1  x  1 Thay x  vào ta được: 1 1 28   2    13 13 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp: +) Giá trị lớn biểu thức A  x  Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi dạng: m  Q  x   m (với m số)  GTLN A  x   m +) Giá trị lớn biểu thức A  x  Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi dạng Q  x   n  n (với n số)  GTNN A  x   n Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức a) A   x  x  b) B  x  x  Giải a) Ta có: A   x  x    x  x      x  1  Vậy giá trị lớn biểu thức A x    x  1 b) Ta có: 43  43   27  B  x  3x      .x  x   4  3  x   4   2  Vậy giá trị lớn biểu thức B 43 3  x   x  2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A  x  x  14 b) B  x  x  Giải a) Ta có: A  x  x  14   x  x  1  12   x  1  12  12 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 12 x    x  2 1 1 7  b) Ta có: B  x  x   x  .x      x     4 2 4  2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức B luan van, khoa luan of 66 1 x    x   2 tai lieu, document6 of 66 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A   x  x  1 b) B  x  x  x  x  Giải 1  1 3 a) Ta có: x  x   x  .x     x     4  2 4 2 Do x  x  đạt giá trị nhỏ 1 3 Giá trị nhỏ A    x    x  2 4 b) Ta có: B  x  x  x  x   x  x  x  x  x   x  x  x  1   x  x  1  x  x  1   x  1  2  x2   x    Mặt khác: B     x      x   x   x   x 1  Vậy giá trị nhỏ biểu thức B  x  Bài 4: Chứng minh x  x  10 dương với x Giải Ta có: x  x  10  x  2.2.x     x    Ta thấy  x      x    dương với x 2 B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP Tìm hệ số x đa thức sau khai triển : a ) A   x     x     x  3   x  1 2 3 b) B   x  1   x     x  3   x  1 2 Giải a ) A  x  x   x  x   x  x  27 x  27  27 x  27 x  x   28 x3  38 x  36 x  36 Vậy hệ số x 38 b) B  x  x   x  x   x  x  27 x  27  27 x  27 x  x   28 x  31x  28 x  23 Vậy hệ số x -31 luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document7 of 66 Tính giá trị biểu thức a ) A  x  0, x  0, 01 x  0,9 b) B  x  x  x  x  19 c)C  x  x  x  x  x  x  Giải a ) Ta có : A  x  0, x  0, 01  x  0, x   0,1   x  0,1 2 Với x  0,9  A   0,9  0,1  b) Ta có: B  x3  3x  x   x  x  x     x  1  Với x  19 B  19  1   8000   8001 c) Ta có : C  x  x3  x  x   x  x3  x  x2  x    x  x    x  x      x  x  1  Với x  x   C    1   81   82 Tính hợp lý : a) A  356  144 2562  2442 c)C  1632  92.136  462 b) B  2532  94.253  47 d ) D  1002  982   22    99  97   12  Giải a) A   356  144  356  144  500.212 53 3562  1442    2 256  244  256  244  256  244  500.12 b) B  2532  94.253  47  2532  2.47.253  47   253  47   300  90000 luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document8 of 66 c)C  136  92.136  46  1362  2.46.136  46  136  46   90  8100 d ) D  1002  982   22    99  97   12   1002  992    982  97     2  12   100  99 100  99    98  97  98  97      1  1  100  99    98  97      1  100  99    100  1   99      51  50   101  101   101  101.50  5050 Tính giá trị biểu thức : 2 20212  2020  2019  2019  2020  2021 A 20203   2020  1  20203  1 Giải A   20212  2020  2019  2019  2020  2021 20203   20202  1 20203  1 20212  20202  2020  1 2019  2020  2020  1  2020  1 2020  1 2020  1  20202  2020  1  2020  1  2020  2020  1 2019  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a ) A  x  y  xy  y  x  2020 b) M  x  y  z  x  xy  z  Giải a) Ta có : A  x  xy  y  x  x   y  y   2018   x  y    x  1   y  1  2018  2018 2 Vậy giá trị nhỏ A  2018 x  1; y  1 c) M  x  xy  y  x  x   z  z  1 1 2    x  y    x  1   z     2 2  luan van, khoa luan of 66 1 2 4 tai lieu, document9 of 66  x  y    Dấu xảy 2 x    x  y  z     z   Vậy giá trị nhỏ M 2 1 x  y  z  4 Tìm x, biết : a )  x     x  3   x   x  3  19 2 b)  x    x  x    x  x    15 c)  x  1    x    x  x   x  x    17 Giải a )  x     x  3   x   x  3  19 2   x    x   x  3  12 x   x   x  3  19 2  20 x   x     x  3   19  20 x   19  20 x  18  x  10 b)  x    x  x    x  x    15  x3   x  x  15  x   15  x   x  c)  x  1    x    x  x   x  x    17   x  1   x3  3x  x  17  x  x  3x    x  x  17  x   17  x  10  x  10 Biết xy  11 x y  xy  x  y  2016 Hãy tính giá trị : x  y Giải luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document10 of 66 Ta có: x y  xy  x  y  2016 xy  x  y   x  y  2016 11 x  y    x  y   2016 12  x  y   2016  x  y  168 Mà x  y   x  y   xy  1682  2.11  28202 Cho a  b  Tính giá trị biểu thức : A  a  a  1  b  b  1  3ab  a  b  1  ab Giải Ta có : A  a  a  b3  b  3ab  a  b   3ab  ab  a  3ab  a  b   b3  a  b  2ab   a  b    a  b   73   392 Chứng minh với x ta có : a ) x  x    10  b)  x  3 x     c) x  x   Giải a ) x  x    10   x2  6x      x  3   (luôn ) b)  x  3 x      x  x  18   x  x  16     x     (luôn đúng) c) x  x   1   x  x      x     (luôn ) 4 2  10 Tìm x, y biết : a) x  x   y  y  b)4 x  y  20 x  y  26  Giải a) x  x   y  y    x  x  1   y  y    luan van, khoa luan 10 of 66 c)9 x  y  y  12 x   tai lieu, document11 of 66   x  1   y    2   x  1  0;  y    (vì  x  1 ,  y    ) 2 2  x  1; y  b)4 x  y  20 x  y  26    x  20 x  25   y  y  1    x     y  1  2   x     y  1  (vì  x   ,  y  1  ) 2 2  x  ; y 1 c)9 x  y  y  12 x     x  12 x     y  y  1    x     y  1  2   x     y  1  (vì  x   ,  y  1  ) 2 2  x  ;y  11 Chứng minh không tồn x; y thỏa mãn: a ) x  y  x  y  10  b)3x  y  10 x  xy  29  c)4 x  y  y  xy   Giải a ) x  y  x  y  10   x2  4x   y2  y      x     y  1   2 Mà  x     y  1    2 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề b)3x  y  10 x  xy  29   x  xy  y  x  10 x  29    x  y    x  2,5   16,5  2 Mà  x  y    x  2,5   16,5  16,5  2 luan van, khoa luan 11 of 66 tai lieu, document12 of 66 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề c)4 x  y  y  xy     x  xy  y    y  y  1     x  y    y  1   2 Mà  x  y    y  1    2 Suy khơng có x, y thỏa mãn đề 12 Tìm giá trị lớn biểu thức : a ) A  15  x  x b) B  x  x  c)C  x  y  x  y  Giải a) Ta có : A  15  x  x  31  16  x  x   31    x   31 Vậy giá trị lớn A 31 x  4 b) Ta có B     x  x      x   Vậy giá trị lớn B x  c) Ta có : C  10   x  x     y  y    10   x     y    10 2 Vậy giá trị lớn C 10 x  2; y  2 13 Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện x  y  3; x  y  17 Tính giá trị biểu thức x3  y Giải Ta có:  x  y  xy   x  y  xy  17  xy  9  17  4 x3  y   x  y   3xy  x  y   27   4   63 14 Cho x  y  a  b 1 x3  y  a  b3   Chứng minh : x  y  a  b Giải Ta có đẳng thức :  x  y   x  y  3xy  x  y   a  b  a3  b3  3ab  a  b  (2) Kết hợp với (1) (2) suy xy  ab luan van, khoa luan 12 of 66 (1) (3) tai lieu, document13 of 66 Mặt khác, từ (1) suy  x  y    a  b   x  y  xy  a  b  2ab 2 Kết hợp với (3) suy : x  y  a  b 15 Cho a  b  c  p Chứng minh rằng: a )2bc  b  c  a  p  p  a  b)  p  a    p  b    p  c   a  b  c  p 2 2 Giải a) Ta có: 2bc  b  c  a   b  c   a 2   b  c  a  b  c  a   p  p  a   p  p  a  Vế trái vế phải Điều phải chứng minh b) Ta có :  p  a    p  b    p  c  2  p  2ap  a  p  pb  b  p  pc  c  p2  p  a  b  c   a2  b2  c2  p  p.2 p  a  b  c  a  b  c  p Vế trái vế phải Điều phải chứng minh 16 Cho A  99  Hãy so sánh tổng chữ số A với tổng chữ số A 2020 ch÷ sè Giải Ta có : 2020 A  99  nên A2  102020  1   10 2020 ch÷ sè  10 4040  2.10 2020   99 9800 01   2019 2019 Tổng chữ số A2 :  2019    18180 Tổng chữ số A :  2020  18180 Vậy tổng chữ số A2 tổng chữ số A 17 Chứng minh rằng: Nếu  a  b    b  c    c  a    a  b  2c    b  c  2a    c  a  2b  a  b  c 2 2 2 Hướng dẫn giải – đáp số Giải  a  b  2c    a  b    b  c  2a    b  c    c  a  2b    c  a   0(*) 2 Áp dụng đẳng thức : x  y   x  y  x  y  ta có : luan van, khoa luan 13 of 66 2 tai lieu, document14 of 66  a  b  2c    a  b    2a  2c  2b  2c    a  c  b  c   b  c  2a    b  c   c  a  2b    2b  2a  2c  2a    b  a  c  a    c  a    2c  2b  2a  2b    c  b  a  b  Kết hợp với (*) ta có :  a  c  b  c    b  a  c  a    c  b  a  b     a  c  b  c    b  a  c  a    c  b  a  b    ab  ac  bc  c  bc  ba  ac  a  ac  bc  ab  b   a  b  c  ab  bc  ac   2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac   a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a    a  b   b  c   c  a   2 a  b   b  c   a  b  c c  a   18 Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n  4n hợp số (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) Giải - Với n số chẵn  n  2k  k  N   n  4n  16k  k  nên n  4n hợp số - Với n số lẻ Đặt n  2k  1 k  N * , k  1 ta có: n  4n  n  2.n 2n  4n  n 2 n1   n  2n   n 22 k   n  2n  2k n  n  2n  2k n  Ta có: n  2n  2k n  n  k n  22 k   2n  22 k    n  2k 1   22 k 1  22 k  2   n  2k 1   22 k   mà n  2n  k n  n  2n  2k n suy n  4n hợp số Vậy n  4n hợp số với n số tự nhiên lớn 19 a) Cho a  b  Tìm giá trị nhỏ A  a  b luan van, khoa luan 14 of 66 tai lieu, document15 of 66 b) Cho x  y  Tìm giá trị lớn B  xy Giải a) Ta có:  a  b    a  b    a  b2  2   a  b  A   2A  A  Vậy giá trị nhỏ A a  b  b) Từ x  y   x   y suy B  8  y  y  y  y    y  y B   2  y   Vậy giá trị lớn B y  2; x  20 Tìm giá trị nhỏ A   x  y  biết x  y  xy  12 (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015) Giải Từ giả thiết, ta có  x  y   xy  12  xy   x  y   24 2 Ta có : A   x  y    x  y   xy   x  y    x  y   24   x  y   24 2 2  x   x  2 Vậy giá trị nhỏ A 24 x  y    ;  y  2  y  21 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn:  a  b    b  c    c  a   2010 Tính giá trị 3 biểu thức A  a  b  b  c  c  a Giải Đặt a  b  x; b  c  y; c  a  z  x  y  z   z    x  y  Ta có : x3  y  z  210  x3  y   x  y   210  3 xy  x  y   210  xyz  70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz  70   2  5  nên x, y , z  2; 5;7  A  a  b  b  c  c  a  14 22 Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn x  y  2020 Giải luan van, khoa luan 15 of 66 tai lieu, document16 of 66 Từ x  y  2020 suy x; y chẵn lẻ TH1: Nếu x; y chẵn Đặt x  2m; y  2n 4m  4n  2018  2m  2n  1009 Vế trái chẵn, vế phải lẻ Vơ lí TH2: Xét x; y lẻ Đặt x  2k  1; y  2q  Ta có :  2m  1   2n  1  2018  4m  4m  4n  4n  2018 2 Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vơ lí Vậy khơng tồn số nguyên x; y thỏa mãn x  y  2020 D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CẦN NHỚ 1) A  B   A2  2AB  B 2) A  B   A2  2AB  B 3) A2  B  A  B A  B  4) A  B   A3  3A2B  3AB  B 5) A  B   A3  3A2B  3AB  B 6) A3  B  A  B  A2  AB  B  7) A3  B  A  B  A2  AB  B  BÀI TỰ LUYỆN Khai triển biểu thức sau: 1  a)  x  3 ;  2 b) 2x  3y  2.Tính giá trị biểu thức sau giá trị ra: a) x  12x  48x  64 x  ; b) x  6x  12x  x  22 Rút gọn biểu thức sau: a) b) x  3x     3x   54  x ; 2x  y 4x     2xy  y  2x  y  4x  2xy  y 4.Tính nhanh giá trị biểu thức sau: a) 342  662  68.66 ; b) 742  242  48.74 luan van, khoa luan 16 of 66 tai lieu, document17 of 66 So sánh cặp số sau: a) A  2008.2010 với B  20092 ; b) A  2  1 22  124  128  1216  1 với B  232 6.Tìm x, biết: a) 16x  (4x  5)2  15 b) (2x  3)2  4(x  1)(x  1)  49 c) (2x  1)(1  2x )  (1  2x )2  18 d) 2(x  1)2  (x  3)(x  3)  (x  4)2  e) (x  5)2  x (x  4)  f) (x  5)2  (x  4)(1  x )  Chứng minh đẳng thức a  b   a  b  – 4ab 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A  x – 2x  b) B  x – x  c) C  x – 1x  2x  3x  6 d) D  x  5y – 2xy  4y  Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A  –x – 4x – b) B  –2x – 3x  c) C  2 – x x   d) D  –8x  4xy – y  10 Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với giá trị biến b) B  9x – 6xy  2y  a) A  25x – 20x  c) E  x – 2x  y  4y  d) D  x – 2x  11 Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 1  1  1  1  27 a) Ta có:  x  3   x    x    x .32  33  x  x  x  27        2  2  2  3 b) Ta có: 2x  3y   2x   2x  3y  3.2x 3y   3y  3 2  8x  36x 4y  54x 2y  27y a) Ta có: x  12x  48x  64  x  3.x  3.x 42   x  4 Thay x  vào biểu thức cuối ta kết 1000 b) Ta có: x  6x  12x   x  3.x 2  3.x 22  23  x  2 Thay x  22 vào biểu thức cuối ta kết 8000 a) Ta có: x  3x  3x  9  54  x   x  33   54  x   x  27  54  x  27 luan van, khoa luan 17 of 66 tai lieu, document18 of 66 b) Ta có: 2x  y  4x  2xy  y   2x  y  4x  2xy  y  3 3    2x   y  2x   y   2x   y  2x   y  2y   a) Ta có: 342  662  68.66  342  2.34.66  662  34  66  1002  10000 b) Ta có: 742  242  48.74  742  2.24.74  242  74  24  502  2500 a) Ta có: A  2008.2010  2009  12009  1  20092  Vậy A  B b) Ta có: A  A 2  1  2  12  122  124  128  1216  1        22  22  24  28  216            24  24  28  216   28  28  216      216  216   232  Vậy A  B a) x  ; d) x  b) x  ; 12 e) x  c) x   ; f) x  21 Biến đổi VP = VT ngược lại  1 3 b) B  x      4  a) A  x  1   c) C  x  5x  6x  5x  6  x  5x   36  36 d) D  x  y   2y  1   2 a) A  – x  2   49 3 49 b) B   x      4  c) C   x  1 d) D   2x  y   4x  2 10.a) A  5x  2    c) E  x  1  y  2    2 b) B  3x  y   y    d) D  x  1    11 Gọi số tự nhiên liên tiếp x  2; x  ; x ; x  ( x  ; x  )   Ta có: A  x  2x  1 x x  1  x  2x  1 x x  1  x  x  x  x luan van, khoa luan 18 of 66  tai lieu, document19 of 66 đặt x  x  t A   t  2t   t  2t   t  1   A   x2  x 1 2 Vậy A  số phương ========== TỐN HỌC SƠ ĐỒ ========== luan van, khoa luan 19 of 66  ... thức Phương pháp: Dạng tốn đa dạng ta giải theo phương pháp sau: - Biến đổi biểu thức cho trước thành biểu thức cần thiết cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị - Áp dụng đẳng thức đáng nhớ. .. biểu thức cần tính giá trị biểu thức có liên quan đến giá trị đề cho - Thay vào biểu thức cần tính tìm giá trị Bài 1: Cho x  y  Tính giá trị biểu thức sau: A  x3  3xy  y Giải Áp dụng đẳng thức. .. +) Giá trị lớn biểu thức A  x  Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi dạng: m  Q  x   m (với m số)  GTLN A  x   m +) Giá trị lớn biểu thức A  x  Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi dạng