1 Tr-ờng đại học vinh Khoa toán - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Tô thị nga Định lý hilbert không điểm Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành s- phạm toán Ng-ời h-ớng dẫn khoa học : ts Nguyễn thị hồng loan Sinh viên thực : tô thị nga Lớp 45a toán Vinh 2008 Mục lục Trang Mở đầu Ch-ơng 1.tập đại số iđêan định nghĩa Đ1 Tập đại số § Iđêan định nghĩa 15 Ch-ơng ĐịNH Lý HILBerT Về KHÔNG ĐIểM Đ1 Định lý Hilbert không điểm 15 Đ2 Một số hệ Định lý Hilbert không điểm 21 §3 Mét sè vÝ dơ 23 KÕt luËn 27 Tài liệu tham khảo 28 Mở đầu Không gian afinn chiều tr-ờng K tập hợp AnK gồm điểm (a1,, an) Kn Mỗi đa thức f K[x1,, xn] vành đa thức n biến hệ tử K xác định hàm từ AnK vào K biến điểm (a1,, an) AnK thành phần tử f(a1,, an) K Thông th-êng xÐt kh«ng gian afin – n chiỊu ta hay xét với vành đa thức n biến K[x1,, xn] Với tập S K[x1,, xn], kí hiệu V(S) tập nghiệm chung đa thức f S kh«ng gian AnK : V(S) = {(a1,…, an) AnK /f(a1,…, an) = 0, f S} AnK Mỗi phần tử tập đ-ợc gọi không điểm tập đa thức S Tập V(S) đ-ợc gọi tập đại số AnK Ta nói hai hệ ph-ơng trình: f(x1,, xn) = 0, f S vµ f(x1,…, xn) = 0, f T S T hai tập đa thức vành đa thức K[x1,, xn] t-ơng đ-ơng V(S) = V(T) Gọi I = (S) iđêan sinh S Ta có V(S )= V(I) = V( I ) Do ®ã nÕu I = J , J=(T) iđêan sinh T V(I)=V(J) V(S) = V(T) hai hệ ph-ơng trình t-ơng đ-ơng Một câu hỏi tự nhiên đặt Câu hỏi Phải V(I) = V(J) I = J? Mét c¸ch tiÕp cËn khác với tập V AnK, ký hiệu IV iđêan định nghĩa V, tức IV tập tất đa thức vành đa thøc K[x1,…, xn] triƯt tiªu trªn V: IV := {f K[x1,…, xn]/f(a) = 0, a V} Khi IV iđêan căn, tức IV = I V Hơn với iđêan J tuỳ ý ta cã V(IV(J)) = V(J) vµ J IV(J) Từ ng-ời ta đặt câu hỏi: Câu hỏi Phải J = IV(J)? Chú ý với tr-ờng K cố định Câu hỏi với iđêan suy Câu hỏi Tuy nhiên K tr-ờng tùy ý, chẳng hạn tr-ờng số thực R, ta dễ dàng phản ví dụ cho hai câu hỏi Vì tr-ờng K câu hỏi đúng? Định lý Hilbert không điểm trả lời tr-ờng hợp tr-ờng K đóng đại số hai câu hỏi Nh- Định lý Hilbert không điểm đà giải vấn đề hệ ph-ơng trình đa thức có nghiệm Mục đích luận văn trình bày Định lý Hilbert không điểm số hệ định lý Nội dung luận văn đ-ợc chia làm hai ch-ơng Ch-ơng trình bày kết tập đại số iđêan định nghĩa Ch-ơng trình bày phát biểu chứng minh Định lý Hilbert không điểm, số hệ định lý số ví dụ Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn nhiệt tình cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tổ Đại Số, gia đình bạn bè đà động viên em hoàn thành luận văn Ch-ơng tập đại số iđêan định nghĩa Đ1 Tập đại số Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm đ-ợc điều ng-ời ta dùng đồ thị ph-ơng trình để mô tả hình hình học Để tìm hiểu định nghĩa tập đại số tr-ớc tiªn ta xÐt mét sè vÝ dơ sau 1.1.1 Mét số ví dụ Ví dụ 1) Trong mặt phẳng hình hình học đ-ờng cong th-ờng đ-ợc xác định đồ thị ph-ơng trình hai ẩn số f(x,y) = Hàm f(x,y) th-ờng đa thức hai biến, ví dụ nh- ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng có dạng ax + by + c = 0, số a, b không đồng thời không Còn ph-ơng trình tổng quát đ-ờng cong bậc hai có d¹ng ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, số a, b, c không đồng thời không 2) Trong không gian, mặt cong th-ờng đ-ợc xác định đồ thị ph-ơng trình ba ẩn số f(x,y,z) = Ví dụ nh- mặt phẳng không gian đ-ợc xác định đồ thị ph-ơng trình tuyến tÝnh ax + by + cz+d = 0, ®ã số a, b, c không đồng thời không Tuy nhiên hình hình học không gian mô tả ph-ơng trình Khác với đ-ờng thẳng mặt phẳng, đ-ờng thẳng không gian đ-ợc xác định hệ hai ph-ơng trình tuyến tính a1 x b1 y c1 z d a x b2 y c z d Điều ứng với việc đ-ờng thẳng giao hai mặt phẳng hai ph-ơng trình tuyến tính Có thể coi hình hình học không gian n-chiều tập nghiệm hệ ph-ơng trình n ẩn số Quan niệm (tuy không xác) có thuận lợi lớn việc xét mối quan hệ hình hình học quy việc xét tập nghiệm hệ ph-ơng trình Lúc ta dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình hình học Ví dụ Ta hÃy xét mệnh đề hình học nói đ-ờng thẳng cắt đ-ờng cong bậc hai nhiều hai điểm Tập giao điểm đ-ờng thẳng ®-êng cong bËc hai cho tr-íc chÝnh lµ tËp nghiƯm hệ ph-ơng trình bậc hai có dạng ax by c 2 dx exy fy gx hy i Giả sử a (a, b không đồng thời không ) Từ ph-ơng trình thứ ta cã x= 1 (by + c) Dïng biÓu thøc x ph-ơng trình thứ hai ta nhận a đ-ợc ph-ơng trình bậc hai y Ph-ơng trình có nhiều hai nghiệm ứng với nghiệm ta có nghiệm x Do hệ ph-ơng trình ban đầu có nhiều hai nghiệm Thông th-ờng ng-ời ta xét đa thức có hệ số số hữu tỷ, số thực hay số phức nghiệm số số hữu tỷ, số thực số phức Tổng quát ng-ời ta xét hệ ph-ơng trình đa thức với hệ số nằm tr-ờng đó, với nghiệm số nằm tr-ờng 1.1.2 Định nghĩa tập đại số 1.1.2.1 Định nghĩa Cho K tr-ờng tuỳ ý có vô hạn phần tử Ng-ời ta gọi không gian Đêcac Kn không gian afin n chiều K, ký hiệu AnK Tập nghiệm hệ ph-ơng trình ®a thøc n Èn sè víi c¸c hƯ tư K đ-ợc gọi tập đại số AnK 1.1.2.2 Mét sè vÝ dơ VÝ dơ Kh«ng gian AnK tập đại số AnK , tập nghiệm ph-ơng trình = Ví dụ Mỗi điểm = (a1, a2,, an) AnK tập đại số AnK, tập nghiệm hệ ph-ơng tr×nh x1 a1 x a n n Ví dụ Tập rỗng tập đại số, tập nghiệm ph-ơng trình = Chó ý Trong kh«ng gian afine – chiều A1K tập đại số A1K, tập hữu hạn A1K tập rỗng Điều dễ dàng suy ®-ỵc tõ viƯc tËp nghiƯm cđa mét ®a thøc f mét biÕn chØ cã thĨ lµ A1K (nÕu f lµ đa thức không), tập hữu hạn A1K (nếu f có bậc d-ơng) tập rỗng (nếu f số khác không A1K) Từ ta ký hiệu K[x] vành đa thức n biến K[x1, , xn] tr-ờng K 1.1.2.3 Định nghĩa Cho S tập đa thức K[x] Ta gọi hệ ph-ơng trình {f(x) = / f S} hệ ph-ơng trình S Tập V(S) = { Kn / f( ) = 0, f S } đ-ợc gọi tập nghiệm S AnK tập đại số đ-ợc xác ®Þnh bëi S NÕu S chØ gåm mét ®a thøc f ta dùng ký hiệu V(f) V(f) đ-ợc gọi siêu mặt 1.1.2.4 Một số ví dụ VÝ dô V(0) = AnK VÝ dô NÕu f = a0 + a1x1 + … + anxn V(f) siêu phẳng AnK, sau phép biến đổi toạ độ ta giả sư f = xn Khi ®ã V(f) = {(a1, …, an) AnK / an = 0} cã thĨ ®ång nhÊt víi kh«ng gian An-1K VÝ dơ NÕu S = {x1 – a1, …, xn – an} th× V(S) chØ gåm mét ®iĨm = (a1, …, an) VÝ dụ V(K[x]) = , điểm Kn nghiệm ph-ơng trình = 1.1.3 Các tính chất tập đại số 1.1.3.1 Bổ đề Cho S1 S2 hai tËp hỵp t ý AnK NÕu S1 S2 th× V(S1) V(S2) Chøng minh Do S1 S2 nên nghiệm S1 nghiệm S2 Điều có nghĩa V(S1) V(S2) 1.1.3.2 Bổ đề Hợp hệ hữu hạn tập đại số tập đại số Chứng minh Ta cần chứng minh hợp hai tập đại số tập đại số Cho S1 S2 hai tập hợp tuỳ ý K[x] Gọi T tập đa thức có dạng fg, f S1 vµ g S2 Ta sÏ chøng minh r»ng V(S1) V(S2) = V(T) Do mäi nghiƯm cđa S1 hay S2 nghiệm T nên V(S1) V(S2) V(T) (1) Đảo lại, giả sử nghiệm T Nếu không nghiệm S1 ta có đa thức f S1 cho f( ) Do f( )g( ) = (fg)( ) = víi g S2 nªn g( ) = 0, suy nghiệm S2 Vì vậy, V(S1) V(S2) V(T) (2) Tõ (1) vµ (2) suy điều phải chứng minh Chú ý Hợp tập vô hạn tập đại số không thiết tập đại số Chẳng hạn số a K tập đại số nh-ng tập thực K có vô hạn phần tử tập đại số 1.1.3.3 Bổ đề Giao họ tuỳ ý tập đại số tập đại số Chứng minh Cho {Si}i I họ tuỳ ý tập đa thức K[x] Đặt S = iI Si Ta sÏ chøng minh r»ng: V(Si) = V(S) iI Do V(Si) V(S) víi mäi i I nªn iI V(Si) V(S) (1) Đảo lại, nghiệm tập Si nghiệm S Do ®ã V(Si) V(S) iI (2) Tõ (1) (2) suy điều phải chứng minh 1.1.3.4 Hệ Cho V AnK W AmK tập đại số tùy ý Tích Đềcác V x W Am+nK tập đại số Chøng minh Tr-íc tiªn ta thÊy r»ng V x W = (V x AmK) (AnK x W) B©y giê ta cần V x AmK AnK x W tập đại số Am+nK Giả sử V = V(S) với S tập đa thức vành đa thức n biến K[x] Nếu ta coi S tập đa thức vành đa thức m + n biến K[x,y] ta cã thĨ xÐt tËp nghiƯm cđa S Am+nK Gäi tËp nghiƯm nµy lµ U, ta thÊy lµ V x AmK = U Nh- vËy V x AmK tập đại số Am+nK T-ơng tự ta chứng minh đ-ợc AnK x W tập đại số Am+nK Bổ đề 1.1.3.2 Bổ đề 1.1.3.3 cho ta thÊy cã thĨ trang bÞ mét cÊu trúc tôpô cho không gian afin AnK với tập đóng tập đại số AnK Tôpô cảm sinh tập đại số tôpô đ-ợc gọi Tôpô Zariski Chú ý tập đóng tập đại số V tập đại số V 1.1.3.5 Bổ đề Giả sử S tập đa thức K[x] Gọi I = (S) iđêan K[x] sinh S Khi ®ã V(I) = V(S) Chøng minh Do I S nên V(I) V(S) (1) Đảo lại, V(S) vµ f = h1f1 + … + hrfr lµ tổ hợp tuyến tính đa thức f1, …, fr S th× f( ) = h1( )f1( ) + …+ hr( )fr( ) = 0, f1( ) = …= fr( ) = Từ suy V(I) Do V(S) V(I) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Nh- tập đại số AnK đ-ợc xác định iđêan K[x] Ta thấy mối quan hệ tập đại số phản ánh phép toán với iđêan xác định chúng Giả sử I J hai iđêan tuỳ ý K[x] Từ I J ta tạo iđêan nh- sau Tr-ớc tiên ta thấy I J iđêan K[x] Có liên quan chặt chẽ đến I J iđêan tích IJ đ-ợc sinh phần tử có dạng fg với f I, g J Ngoµi ra, cã thĨ dƠ dµng kiĨm tra thÊy r»ng I + J := {f + g/ f I, g J} iđêan K[x] iđêan đ-ợc gọi iđêan tổng I J Ví dụ Giả sử I = (x) J = (y) hai iđêan K[x,y] Ta cã I J = IJ = (xy), I + J = (x,y) 1.1.3.6 Bỉ ®Ị Cho I J hai iđêan tuỳ ý K[x] Ta cã (i) V(I) V(J) = V(I J) = V(IJ) (ii) V(I) V(J) = V(I+J) Chøng minh (i) Gọi T tập đa thức fg với f I, g J Do I, J I J IJ T nªn V(I) V(J) V(I J) V(IJ) V(T) Theo chøng minh Bổ đề 1.1.3.2 V(I) V(J) = V(T) nªn V(I) V(J) = V(I J) = V(IJ) = V(T) (ii) Theo chøng minh cđa Bỉ ®Ị 1.1.3.3 th× V(I) V(J) = V(I J) Do iđêan I + J đ-ợc sinh I J nªn V(I J) = V(I+J) 1.1.4 NhËn xÐt T-ơng ứng I V(I) iđêan tập nghiệm chúng t-ơng ứng - 1, hai iđêan khác xác định tập đại số Chẳng hạn, cho f đa thức bậc d-ơng K[x] Ta xét iđêan (f) ( 2) Nếu f ( 2) f = h với h đa thức K[x] Giản -ớc f ta nhận đ-ợc =hf Điều vô lý bậc đa thức hf lớn bậc Vậy f ( 2) (f) (ƒ 2) Nh-ng V(f) = V(ƒ 2) mäi nghiÖm nghiệm f ng-ợc lại 10 Đ2 Iđêan định nghĩa Đ1 ta đà xét tập nghiệm hệ ph-ơng trình đa thức cho tr-ớc Bây ta xét tập ®a thøc cã nghiƯm lµ mét tËp ®iĨm cho tr-íc 1.2.1.Định nghĩa Cho V tập điểm tùy ý AnK Ta ký hiệu IV tập hợp đa thức triệt tiêu V, có nghĩa IV: = {f K[x]/ f( ) = 0, V} Cã thĨ thÊy IV lµ mét iđêan K[x] đ-ợc gọi iđêan định nghĩa V Việc xác định iđêan IV cho tập điểm V cho tr-ớc dễ dàng toán hình học tìm siêu mặt qua V 1.2.2 Một số ví dụ Ví dụ I = K[x] Vì tập rỗng nằm tËp nghiƯm cđa mäi ®a thøc cđa K[x] VÝ dơ I = (x1 – a1, …, xn - an) víi mäi ®iĨm = (a1, …, an) AnK ThËt vËy, b»ng phÐp biÕn ®ỉi täa ®é y1 = x1 – a1, …, yn = xn - an ta cã thĨ gi¶ thiÕt = (0, …, 0) Ta ph¶i chøng minh I = (y1, …, yn) Tr-ớc tiên ta viết đa thức f K[y1, …, yn] d-íi d¹ng f = f1y1 + +fnyn + a, với f1, , fn đa thức vành đa thức K[y1, ,yn] a K Ta cã f( ) =a NÕu f( )= a=0 f = f1y1 + +fnyn (y1, , yn) Đảo lại, f (y1, …, yn) th× f cã thĨ viÕt d-íi d¹ng f = f1y1 + …+fnyn Suy f( ) = VÝ dô IA nK = 0, có ph-ơng trình = có tập nghiệm AnK Để thấy điều ta chØ r»ng nÕu f th× V(f) AnK NÕu deg(f) = th× f K Khi ®ã V(f) = nÕu f Gi¶ sư deg(f) > NÕu n = th× f chØ có hữu hạn nghiệm Do K tr-ờng vô hạn nên V(f) K Nếu n > ta giả thiết d bậc f theo xn Khi f đ-ợc viết d-ới dạng: f = g0 + g1xn + …+ gdxdn, víi g0, …,gd K[x1, …,xn], gd 15 Do ®ã I1I2 IV Theo Bỉ ®Ị 1.2.3.2 (ii) suy fg IV Điều vô lý, IV iđêan nguyên tố 1.2.5.5 Ví dụ Không gian AnK tập bất khả quy, IA nK = iđêan nguyên tố 1.2.5.6 Nhận xét Mối t-ơng ứng tập đại số (hay tập bất khả quy) iđêan (hay iđêan nguyên tố) lúc t-ơng ứng 1-1 Thật vậy, iđêan nguyên tố iđêan định nghĩa IV tập đại số V AnK Ví dụ Ta xét iđêan I = (x2 + 1) R[x] Do x2 + kh«ng cã nghiệm R nên x2 + phân tích đ-ợc thành tích hai đa thức bậc Suy x2 + đa thức bất khả quy I iđêan nguyên tố NÕu I = IV víi mét tËp V Rn ta phải có V = V(I) = Điều vô lý, I = R[x] I Vậy I iđêan định nghĩa tập đại số Chú ý Nếu K tr-ờng hữu hạn ta tìm thấy đa thức khác không K[x] triệt tiêu toàn AnK Thật vậy, giả sử K = {a1, a2,, an} Đặt f = (x1- a1)( xn- an) Râ rµng lµ f vµ f cã tập nghiệm toàn AnK 16 Ch-ơng ĐịNH Lý HILBerT Về KHÔNG ĐIểM Đ1 Định lý Hilbert không điểm Trong tiết nghiên cứu cấu trúc iđêan tổng quát nhìn từ góc độ không điểm tập đa thức Nhắc lại không gian afin n- chiều tr-ờng K tập hợp AnK gồm điểm (a1,, an) Kn Khi K đà rõ, ta ký hiệu đơn giản An Mỗi đa thức f K[x] (K[x] vành đa thức n biến x1, x2, , xn với hệ tử K ) xác định hàm từ An vào K biến điểm (a1,, an) thành phần tư f(a1,…, an) Th«ng th-êng xÐt kh«ng gian afin n- chiều ta hay xét với vành đa thức n- biến K[x] Để nói rõ mối liên quan này, x1,, xn gọi toạ độ không gian An Với tập A K[x], kí hiệu V(A) tập nghiệm chung tất đa thức f A không gian An: V(A) = {(a1,…, an) An/ f(a1,…, an) = 0, f A} Mỗi phần tử tập đ-ợc gọi không điểm tập đa thức A Ta nói hai hệ ph-ơng trình f(x) = 0, f A vµ f(x) = 0, f B t-ơng đ-ơng V(A) = V(B) Theo Bổ đề 1.1.3.5 định nghĩa iđêan ta có V(A) = V(I) = V( I ), ®ã I iđêan sinh A Do I = J dẫn đến V(I) = V(J) Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Câu hỏi Phải V(I) = V(J) vµ chØ I = J ? Một cách tiếp cận khác là: với tập W An, kÝ hiÖu IW = {f K[x]/f(a) = 0, a W} Theo Bỉ ®Ị 1.2.4.2 tập lập thành iđêan Hơn với iđêan J, kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa là: V(IV(J)) =V(J) (1) Và J IV(J) (2) ThËt vËy, theo Bỉ ®Ị 1.2.3.2 (ii) ta suy (1) Giả sử f J m N: f m J f m (a) = a V(J) 17 f (a) = a V(J) f IV(J) J IV(J) (2) Từ ng-ời ta đặt câu hỏi: Câu hỏi Phải J = IV(J) với iđêan J ? Nếu K tr-ờng tuỳ ý phản ví dụ cho hai câu hỏi Chẳng hạn tr-ờng số thực R, ph-ơng trình biến f1(x) = + x2 = t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình f2(x) = + 12x4 + 3x6 = 0, v× tËp nghiƯm chúng rỗng: V(f1) = V(f2) = Do ®ã IV(f ) = IV(f ) = K[x] Đối với iđêan sinh đa thøc nµy ta cã ( f1 ) = (f1), ( f ) = (f2) Vậy tr-ờng K câu hỏi đúng? Chú ý K cố định, Câu hỏi (với iđêan) suy Câu hỏi ®óng Mét tr-êng K tháa m·n ®iỊu kiƯn mäi ®a thức biến bậc d-ơng K có nghiệm K đ-ợc gọi tr-ờng đóng đại số, chẳng hạn tr-ờng số phức C tr-ờng đóng đại số, tr-ờng số thực R không đóng đại số Cho K tr-ờng Khi tr-ờng đóng đại số bé chứa K đ-ợc gọi bao đóng đại sè cđa K, kÝ hiƯu lµ K NÕu K tr-ờng đóng đại số K = K Nếu K tr-ờng đóng đại số có câu trả lời trọn vẹn cho hai câu hỏi Đó định lý tiếng Hilbert không điểm Có nhiều cách chứng minh Định lý Hilbert không điểm Sau trình bày cách chứng minh định lý Để chứng minh Định lý Hilbert không điểm, ta cần chứng minh Định lý Hilbert yếu không điểm Tr-ớc hết ta có bổ đề sau 2.1.1.Bổ đề Cho a1,, at sè K, t n Mäi ®a thøc f K[x] viết d-ới dạng f = f1(x1-a1) + …+ ft(xt-at) + r, víi r K[xt +1,…, xn] Chøng minh Thay x1 b»ng y1+ a1,…,xt b»ng yt+ at ta nhận đ-ợc từ f đa thøc g K[y1, , yt , xt+1,…, xn] §iỊu nµy cã nghÜa lµ ta cã thĨ viÕt g d-íi d¹ng g = g1y1+…+ gt yt + r víi r K[xt+1, …, xn] 18 Thay y1 = x1- a1, , yt = xt- at ta nhận đ-ợc từ g đa thức f từ g1, , gt đa thức f1, , ft K[x] Vì f = f1(x1- a1) + …ft(xt - at) + r Sau trình bày chứng minh Định lý Hilbert yếu không điểm 2.1.2 Định lý ( Định lý Hilbert yếu không điểm) Cho K tr-ờng đóng đại số I iđêan vành đa thức n biến K[x] cho I K[x] Khi ®ã I cã nghiƯm AnK , nghÜa lµ V(I) Chøng minh Ta dùng quy nạp theo n Nếu n=1 I ®-ỵc sinh bëi mét ®a thøc f Do I K[x] nên f = deg(f) > Theo định nghĩa tr-ờng đóng đại số f cã nghiƯm K Do ®ã I cã nghiƯm K Giả sử n > Ta xét iđêan I1 = I K[x1] K[x1] Do I K[x] nên I1 I1 K[x] Ta phân biệt hai tr-ờng hợp : Tr-ờng hợp I1 Khi ®ã I1 sinh bëi mét ®a thøc f cña K[x1] Do I1 K[x] nªn deg(f) > 0.Suy f cã nghiƯm K Giả sử a1 nghiệm f Ta cã thĨ viÕt f = h(x1- a1),víi h Theo bổ đề Định lý Hilbert sở f đa thức khác bậc nhỏ nhÊt I1 Do deg(h) = deg(f) – nªn h I1.Theo Bổ đề 2.1.1 đa thức g K[x] viết d-ới dạng g= g1(x1- a1) + r, víi r K[x2, …, xn] Nếu cho g chạy I đa thức r lập nên iđêan J K[x2, , xn] Ta cã (I, x1- a1) = (J, x1- a1) NÕu J = K[x2, …, xn] th× J (I, x1- a1) Do ®ã ta cã thĨ viÕt = p + q(x1-a1),víi p I Nh©n hai vÕ ph-ơng trình với h ta nhận đ-ợc h = ph + qf I, điều vô lý Vì J K[x2, , xn] Dùng quy nạp theo n ta giả thiết J có nghiƯm An-1K Gi¶ sư = (a2 …, an) An-1K lµ mét nghiƯm cđa J Ta cã J I =(x2 – a2,…,xn - an) Do ®ã I (J, x1 - a1) (x1 - a1, …, xn - an) Suy (a1, …, an) nghiệm I AnK Tr-ờng hợp I1 = 0.Khi ta tìm thấy c¸c biÕn sè x1, …, xt cho I K[x1, …, xt] = 19 I K[x1, …, xt, xj] 0, j = t +1, …, n Sau phép hoán vị biến số x2 , , xn Với số j = t + 1, …, n ta chän mét ®a thøc gj I K[x1, …, xt, xj] Gi¶ sư gj = hjx mj + rj , víi hi, rj K[x1, …, xt] vµ rj cã bËc theo xj nhá mj j Đặt h =ht+1hn m = max mj Thay gj bëi mét tÝch cđa gj víi ®a thức thích hợp ta giả thiết ®a thøc gj cã cïng bËc m vµ cã cïng hƯ sè cao nhÊt h theo xj cã nghÜa lµ gj = hxmj +rj Chän a1, …, at K cho h(a1, …, at) Theo Bỉ ®Ị 2.1.1 đa thức f K[x] có thĨ viÕt d-íi d¹ng f = f1(x1 – a1) + …+ft(xt- at) + r, víi r K[xt + 1, , xn ] Cho f chạy I đa thức r lập nên iđêan J K[xt + 1, …, xn ] Ta cã (I, x1- a1, …, xt- at ) = (J, x1- a1, …, xt- at ) Ta sÏ chøng minh r»ng J K[xt + 1, …, xn] NÕu J =K[xt + 1, …, xn] th× J (I, x1- a1, …, xt- at ) Do ®ã (I, x1- a1, …, xt- at ) = K[x] Gọi tập hợp tất đơn thức K[xt + 1, , xn] cã bËc theo tõng biÕn sè xt + 1, …, xn nhá h¬n m Víi mäi M ta cã thÓ viÕt M = pM + qM , víi pM I vµ qM (x1- a1, …, xt- at).Gi¶ sư qM = q1(x1 – a1) + …+qt(xt- at) Víi d ®đ lín ta cã thĨ coi hdq1, …, hdqt vµ hm – 1gt + 1, …, hm 1gn nh- đa thức x1, , xt , yt + = hxt + 1, …, yn = hxn Do hm – 1gj cã d¹ng hm – 1gj = ymj+ {®a thøc cã bËc < m theo xj } nên ta dùng thuật toán Ơclit để viết hdqi d-ới dạng hdq i = ui + vi, víi ui ( hm– 1gt + 1, , hm 1gn) vi đa thức cã bËc < m theo tõng biÕn sè xt +1 , , xn Từ suy hdgM = uM + vM ,víi uM (gt + 1, …, gn) I vM đa thức (x1 - a1, …, xt - at) cã bËc < m theo tõng biÕn sè xt h dM – vM = hdpM + uM I +1 , …, xn V× vËy 20 Ta cã thĨ viÕt VM d-íi d¹ng mét tỉ hỵp tun tÝnh cđa VM = WMN N N víi c¸c hƯ sè WMN n»m (x1 - a1, …, xt - at) K[x1, …, xt] Khi ®ã hdM – VM = (hd – WMN)M - h MN N , N M N Ta coi nh- nghiệm ph-ơng tr×nh tuyÕn tÝnh (gd – WMN)zM - W N , N M MN z N = gdpM + UM, M , víi {zN/ N } tập ẩn số Ma trận hệ ph-ơng trình ma trận gdJd (wMN) Định thức ma trận đa thức có dạng hc g với g tổ hợp tuyến tính đa thức WMN K[x1, , xt] Từ công thức tính nghiệm hệ ph-ơng trình tuyến tính ta thÊy (gc - h)N I víi mäi N Do nªn hc – g I Suy hc – g I K[x1,…, xt] = 0, v× vËy hc = g Do g nằm iđêan sinh đa thức WMN WMN(a1,, at) = nên g(a1,, at) = Vì g(a1,, at) = Điều vô lý a1,, at đà đ-ợc chọn cho g(a1,, at) Nh- phải có J K[xt + 1,…, xn] Dïng quy n¹p theo n ta cã thĨ gi¶ thiÕt J cã nghiƯm An-tK Gi¶ sư (at+1,…, an ) lµ mét nghiƯm cđa J Ta cã J ( xt + - at+1,…, xn - an) Suy (a1,…, an) lµ mét nghiƯm cđa I Sau Định lý Hilbert không điểm 2.1.3 Định lý Cho K tr-ờng, K bao đóng đại số K đa thức f, f1,…, fm K[x] Khi ®ã víi mäi a AKn , f1(a) = …= fm(a) = kÐo theo f(a) =0 tồn số tù nhiªn s > cho f s (f1,, fm) Chứng minh Rõ ràng cần chứng minh ®iỊu kiƯn ®đ Cho f K[x] mµ f(z1,…, zn) = víi mäi (z1,…, zn) tháa m·n: f1(z1,…, zn) = = fm(z1,, zn) = Xét hai iđêan I = (f1,…, fm) K[x] vµ J = (I,1 - yf) K[x,y], y biến Đầu tiên ta cần phải chứng minh V(J)= ThËt vËy, víi (a1,,…, an, an+1) AKn Mét hai tr-ờng hợp xảy là: 21 - (a1,, an) lµ nghiƯm chung cđa f1,…, fm - (a1,…, an) không nghiệm chung f1,, fm Khi tr-ờng hợp xảy f(a1,, an) = 0, f triệt tiêu nghiệm chung f1,, fm Tại (a1,, an, an+1) đa thức 1-yf nhận giá trị 1- an+1f(a1,…, an)=1 Nh- vËy lµ tr-êng hợp (a1,, an+1) V(J) Ta xét tr-ờng hợp thø hai Khi ®ã i (1 i m) cho fi (a1,…, an) Cho fi hàm n+1 biến với biến không phơ thc vµo biÕn ci cïng, ta cã fi(a1,…, an, an+1) Trong tr-ờng hợp ta có kÕt luËn (a1,…, an, an+1) V(J) Nh- vËy, víi (a1,…, an, an+1) tïy ý thc AKn1 chóng ta lu«n có V(J) = Tức J không điểm AKn1 Theo Định lý Hilbert yếu không điểm phải có J = K[x,y] Vì theo Mệnh đề 1.2.4.2 ta nhận đ-ợc f I Định lý đ-ợc chứng minh hoàn toàn Chú ý Định lý Hilbert không điểm đ-ợc phát biểu d-ới dạng sau: 2.1.4 Định lý Cho K tr-ờng, K bao đóng đại số K f, f1, , fm K[x] Khi V(f1,…, fm) V(f) vµ chØ f ( f1 , , f m ) 22 § Một số hệ định lý hilbert không điểm Định lý Hilbert không điểm cho phép ta xác định cách t-ờng minh iđêan định nghĩa tập đại số Hệ sau cách phát biểu khác Định lý Hilbert không điểm câu trả lời cho Câu hỏi đà nói phần mở đầu ch-ơng 2.2.1 Hệ Giả sử K tr-ờng đóng đại số Cho I iđêan tùy ý K[x] vµ V = V(I) Ta cã IV = I Chứng minh Chỉ cần chứng tỏ bao hàm thức Cho f IV = IV(I) Khi ®ã V(I) V(f) Theo Định lý Hilbert không điểm suy f I 2.2.2 HƯ qu¶ Cho K tr-ờng đóng đại số Cho S T hai tập đa thức K[x] Ta có V(S) = V(T) vµ chØ ta cã thĨ tìm thấy số tự nhiên m cho f m (T) víi mäi f S vµ g m (S) víi mäi g T Chøng minh Theo Bổ đề 1.2.3.3 V(S) = V(T) IV(S) = IV(T) Theo Hệ 2.2.1 IV(S) = (S ) vµ IV(T) = (T ) DƠ thÊy (S ) = (T ) vµ chØ S (T ) vµ T cho f m (S ) Điều t-ơng đ-ơng với việc tồn số tự nhiên m (T) víi mäi f S vµ g m (S), với g T Do hệ đ-ợc chứng minh Hệ 2.2.2 phát biểu d-ới dạng sau 2.2.3 Hệ Hai hệ ph-ơng trình đa thức t-ơng đ-ơng K hai iđêan sinh đa thức hệ có Chứng minh Ta cần chứng minh điều kiện cần Gọi hai iđêan t-ơng ứng hai hệ ph-ơng trình I J Giả sử V(I) = V(J) ( xÐt trªn K ) Cho f I áp dụng Định lý Hilbert không điểm phải có f J Nh- vậy, chứng minh đ-ợc J I V× vËy I J T-ơng tự, ta I = J Hệ cách phát biểu khác Định lý Hilbert không điểm câu trả lời cho Câu hỏi đà nói phần mở đầu ch-ơng Hệ sau giúp ta đặc tr-ng lớp iđêan định nghĩa tập đại số tập bất khả quy 2.2.4 Hệ Cho K tr-ờng đóng đại số I iđêan K[x] 23 (i) I iđêan định nghĩa tập đại số I iđêan (ii) I iđêan định nghĩa tập bất khả quy I iđêan nguyên tố Chứng minh (i) Theo Bổ đề 1.2.4.2 iđêan định nghĩa tập đại số phải iđêan Đảo lại, I iđêan I = I = IV(I) (ii) Theo Định lý 1.2.5.4 iđêan định nghĩa tập bất khả quy phải iđêan nguyên tố Nếu I iđêan nguyên tố I iđêan Do I= IV(I) Theo Định lý 1.2.5.4 V(I) phải tập bất khả quy Với K tr-ờng t ý, dƠ dµng chøng tá r»ng víi mäi a1, , an K (x1 a1, , xn-an) iđêan cực đại vành đa thức K[x] Nếu K tr-ờng đóng đại số chiều ng-ợc lại 2.2.5 Hệ Cho K tr-ờng đóng đại số Giả sử M iđêan cực đại vành K[x] Khi M có dạng (x1 - a1,…, xn - an) víi a1,…, an K Chøng minh ThËt vËy, M K[x] nªn M cã Ýt nhÊt mét nghiÖm (a1,…, an) AnK NÕu xi - M với số i (xi - ai) + M = K[x], dÉn ®Õn mét điều vô lý K[x] có nghiệm (a1,, an) V× vËy (x1 - a1,…, xn - an) M NÕu (x1 - a1,…, xn an) M th× ta tìm thấy đa thức f M cho f (x1 - a1,…, xn - an) Theo Bổ đề 2.1.1 f viết d-ới dạng f = f1(x1-a1) +…+ ft(xt-at) + r víi r K Từ ta suy r = f - f1(x1 - a1) - … - ft(xt - at) M Do M K[x] nªn r = 0, dÉn đến mâu thuẫn f (x1 - a1,,xn - an) VËy M cã d¹ng (x1 - a1,…,xn - an) Kết hợp Mệnh đề 1.2.4.2 Định lý Hilbert không điểm cho phép kiểm tra hai hệ ph-ơng trình đa thức có t-ơng đ-ơng hay không mà không cần tính iđêan 2.2.6 Hệ Hai hệ ph-ơng trình f1(x) = = fr(x) = g1(x) ==gs(x) = t-ơng đ-ơng (tập không điểm xét AKn ) vµ chØ víi mäi i = 1, r vµ j = 1, s ta cã (f1,…, fr, - ygj) = (g1,…, gs, - yfi) = K[x,y], y biến 24 Đ3 Một số ví dụ Định lý tiếng Hilbert không điểm có ứng dụng quan trọng việc giải hệ ph-ơng trình đa thức Xét hệ ph-ơng trình đa thức fi(x) = 0, i =1, m (1) Trong ®ã nh- th-êng lƯ x = (x1, , xn) vµ fi K[x] víi K tr-ờng đóng đại số Gọi I iđêan sinh f1, , fm Rõ ràng theo Bổ đề 1.1.3.5 hệ ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với hệ f(x) = 0, f I (2) Mặt khác hệ (2) t-ơng đ-ơng với hệ f(x) = 0, f I (3) Nh- vậy, việc nghiên cứu iđêan gắn chặt với việc nghiên cứu nghiệm hệ ph-ơng trình đa thức Tuy nhiên toán tìm iđêan toán phức tạp, luận văn không đề cập đến vấn đề Trong tr-ờng hợp đặc biệt ta có kết sau 2.3.1 Mệnh đề Cho f K[x1,, xn] I = (f) iđêan sinh f Nếu f phân tích đ-ợc thành tích đa thức bÊt kh¶ quy, tøc f = f 1 f 2 … f r víi f1, ,fr lµ r đa thức bất khả quy I = Chứng minh Đặt h = f1fr Ta có nên h ( f ) , dÉn ®Õn (h) ( f ) = (f1f2…fr) ( f ) = (h) ThËt vËy, hm (f) víi m ®đ lín (f) (1) Đảo lại, gm (f) gm = pf 1m …f mr Suy g ph¶i chia hÕt cho f1,…, fr, cã nghÜa r r lµ g (h) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2.3.2.Ví dụ Trong vành đa thức n biến K[ x1,, xn ] với K tr-ờng đóng đại số m1,, mr số nguyên d-ơng cho f = g 1m g mr víi g1, , gr đa thức r bất khả quy Khi theo Hệ 2.2.1 Mệnh đề 2.3.1 ta cã IV(f) = ( f ) =(g1 gr) Nh- đà nói, việc tính iđêan phức tạp Tuy nhiên Hệ 2.2.6 cho phép ta kiểm tra hai hệ ph-ơng trình đa thức có t-ơng đ-ơng hay không mà 25 không cần tính iđêan Sau số ví dụ minh hoạ cho điều 2.3.3 Ví dụ Trong vành đa thức ba biến hệ số phức C[x1, x2, x3], cho hai iđêan I = (x 12 + 1, x 22 + 2, x 32 + 3) vµ J = (x 12 + x 22 + x 32 + 6, 2x 12 + 2, x 33 + 3x3, x 12 + x 22 + 3) Đặt f1 = x 12 + 1, f2 = x 22 + 2, f3 = x 32 + 3, g1 = x 12 + x 22 + x 32 + 6, g2 = 2x 12 + 2, g3 = x 33 + 3x3, g4 = x 12 + x 22 + Ta sÏ chøng minh r»ng ( f1, f2, f3,1 - ygj ) = (g1, g2, g3, g4, - yfi) = C [x1, x2, x3, y ] víi i = 1,3 , j = 1,4 , ®ã y biến Thật vậy, với j =1, đặt T = (f1, f2, f3, 1- yg1) Ta cã T v× 1= (x21+ 1) + y(x22 + 2) + y(x33 + 3) + 1[1- y(x21 + x22 + x23 + 6)] Tõ ®ã suy T = C [x1, x2, x3, y ] Đối với tr-ờng hợp khác chứng minh hoàn toàn t-ơng tự Theo Hệ 2.2.6 ta có hai hệ ph-ơng trình f1 = f2 = f = vµ g1 = g2 = g3 = g4 = t-ơng đ-ơng C, nghĩa V(I) = V(J) Ta kiểm chứng điều ph-ơng pháp phổ thông nh- sau Ta có hệ ph-ơng trình x12 x12 1 x1 i x2 x2 2 x i x 3.i x3 x3 Hơn nữa, hệ ph-ơng trình x12 x22 x32 2 x1 x3 x3 x x x1 i x i x 3.i 26 Nh- hai hệ ph-ơng trình f1 = f2 = f = vµ g1 = g2 = g3 = g4 = t-ơng đ-ơng C 2.3.4 Ví dụ Trong vành đa thức hai biến hệ số phức C[x1, x2] , cho hai iđêan I = (x 12 + x 22 - 2, 2x 12 + x 22 - 1) vµ J = (5x 12 + 3x 22 -4, x 14 + x 42 + x12x22 - 2) Đặt f1 = x 12 + x 22 - 2, f2 = 2x 12 + x 22 - 1, g1 = 5x 12 + 3x 22 - 4, g2 = x 14 + x 42 + x12x22 – Ta sÏ chøng minh r»ng (f1, f2, – ygj) = (g1, g2, - yfi) = C[x1, x2,y] víi i = 1,2 , j = 1,2 , y biến Thật vậy, với j = 1, đặt T = (f1, f2, 1- yg1 ) Ta cã T v× = y(x 12 + x 22 - 2) + 2y(2x 12 + x 22 - 1) + 1[1 – y(5 x 12 + 3x 22 - 4)] (f1, f2, – yg1) Tõ ®ã suy (f1, f2, 1-yg1) = C[x1, x2,y] Đối với tr-ờng hợp khác chứng minh hoàn toàn t-ơng tự Theo Hệ 2.2.6 ta có hai hệ ph-ơng trình f1 = f2 = vµ g1 = g2 = t-ơng đ-ơng C, nghĩa V(I) = V(J) T-¬ng tù VÝ dơ 2.3.3 ta cã thĨ kiĨm chøng điều ph-ơng pháp phổ thông 2.3.5 Ví dụ Trong vành đa thức ba biến hệ số phức C[x1, x2, x3] cho hai iđêan I = (x12 + 1, 2x12 + x22 +1, 3x22 + x32 + 5), vµ 27 J = (3x12 + x22 + 2, 10x12 + 8x22 + x32 + 10, x12 + 3x22 + x32 + 6) Đặt f1 = x12 + 1, f2 =2x12 + x22 +1, f3 = 3x22 + x32 + 5, g1 =3x12 + x22 + 2, g2 =10x12 + 8x22 + x32 + 10, g3 = x12 + 3x22 + x32 + Ta chøng minh r»ng (f1, f2, f3, - ygj ) = (g1, g2, g3, - yfi) = C [x1, x2, x3, y ] víi i = 1,3 , j = 1,3 , ®ã y lµ mét biÕn míi ThËt vËy, víi j = 1, đặt T = (f1, f2, f3, yg1) Ta cã T v× 1= y(x12 +1) + y(2x12 + x22+1) + 1[1- y(3x12 + x22+2)] Tõ ®ã suy T = C [x1, x2, x3, y ] Đối với tr-ờng hợp khác chứng minh hoàn toàn t-ơng tự Theo Hệ 2.2.6 ta có hai hệ ph-ơng trình f1 = f2 = f3 = vµ g1 = g2 = g3 = lµ t-ơng đ-ơng C, nghĩa V(I) = V(J) T-ơng tự ví dụ ta kiểm chứng điều ph-ơng pháp phổ thông 28 Kết luận Tóm lại, luận văn này, đà hoàn thành đ-ợc việc sau: Tìm hiểu khái niệm tập đại số iđêan định nghĩa Trình bày chứng minh Định lý Hilbert không điểm Trình bày chứng minh số hệ Định lý Hilbert không điểm Nêu số ví dụ có liên quan đến Định lý Hilbert không điểm 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Giang, Tập đại số iđêan định nghĩa, Luận văn tốt nghiệp đại học, Vinh (2007) [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số máy tính sở Grobner, NXB ĐHQG Hà Nội (2003) Tiếng Anh [1] Atiyah, M.F and Macdonal, I.G., Introdution to commutative algebra, Addison –Wesley, Reading, Mass(1969) [2] Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer – velag, New York Inc (1977) ... Đó định lý tiếng Hilbert không điểm Có nhiều cách chứng minh Định lý Hilbert không điểm Sau trình bày cách chứng minh định lý Để chứng minh Định lý Hilbert không điểm, ta cần chứng minh Định lý. .. định nghĩa Đ1 Tập đại số Đ Iđêan ®Þnh nghÜa 15 Ch-ơng ĐịNH Lý HILBerT Về KHÔNG ĐIểM Đ1 Định lý Hilbert không điểm 15 Đ2 Một số hệ Định lý Hilbert không điểm. .. đại số iđêan định nghĩa Trình bày chứng minh Định lý Hilbert không điểm Trình bày chứng minh số hệ Định lý Hilbert không điểm Nêu số ví dụ có liên quan đến Định lý Hilbert không điểm 29 Tài