TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN, CÔNG THỨC đạo hàm, NGUYÊN hàm

Tài liệu CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN gồm I. Bảng công thức đạo hàm. II. Bảng công thức nguyên hàm III. Tích phân: công thức tích phân, các phương pháp tính tích phân IV. Ứng dụng tích phân: tính diện tích, thể tích vật thể tròn xoay.

CƠNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I Bảng đạo hàm Đổi x thành u , nhớ nhân thêm u’ 1.(C)’=0 1.(C)’=0 (x)’=1 (u)’=u’  x   x '    u  1 ' x     u '  1 u'    1u u ' x u ' ' ' 1     x  x '  ln x   , x  ln x  '  1     u ' u u '  ln u   u ' , u x  ln u  '  u ' u ' ' 1 ' 1 '  ln u   ln x  u , < a   log a x    ,0 < a   log a u         ln a  ln a u  ln a  ln a x '   e  a   a ln a e x '    e u x x ' x e u ' u '  a   a ln a.u u ' , < a 1 u ' < a  sin x   cos x  sin u   cos u.u ' 10  cos x    sin x 10  cos u    sin u u ' ' ' ' ' 11  tgx    tg x  ' cos x 11  tgu   (1  tg 2u )u '  ' 12  cotgx   (1  cotg x)   ' u' cos u 1 ' 12  cot gu   (1  cotg 2u ).u '   u ' sin u sin x II Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (u = u(x))  dx  1dx  x  C  du  1du u  C  x dx  x 1 C  1   -1  u du  Trịnh Thị Kim Phượng u 1 C  1   -1 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  du  ln u  C u  eu du  eu  C  dx  ln x  C x  e x dx  e x  C ax C ln a  cos xdx  sin x  a x dx  au C ln a  cos udu  sin u  au du  < a 1 +C < a 1 +C  sin udu   cos u  C  sin xdx   cos x  C 1 du  tan u  C dx  tan x  C  (1  tan u )dx   cos x cos 2u 1  (1  cot x)dx   dx   cot x  C  (1  cot u )dx   du   cot u  C sin u sin x cos kx 10  sin kxdx   k  10  sin(kx  b)dx   cos(kx  b)  C , C k k k sin kx 11  cos kxdx  k  11  cos(kx  b)dx  sin(kx  b)  C , C k k k kx b ekx kx b kx k 12  e dx  k  12  e dx  e  C C k k 1  kx  b dx  k ln kx  b  C k   (1  tan x)dx   III Tích phân b Công thức NEWTON-LEIBNITZ:  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) a b Chú ý:  f ( x)dx phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu a biến số tích phân Vì ta viết b b b a a a F (b)  F (a)  F ( x)   f ( x)dx   f (t )dt   f (u )du  b a Các qui tắc tính tích phân a/ Đặt thừa số chung ngồi dấu tích phân , Đặt thừa số chung ngồi thay cận lấy tích phân Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b/ Tích phân tổng hàm số tổng tích phân, có cận, có xu hướng phân tích thành tổng tích phân a b d/  f ( x)dx 0 c/  cdx  c(b  a) a b a a b a a e/  f ( x)dx    f ( x)dx g/ Phân chia cận lấy tích phân : a  f/ f ( x)dx   f (u )du a b c a a a b  f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx c b h/ Nếu f(x)  g(x), với x thuộc [a; b],  a b f ( x)dx   g ( x)dx , tức a dấu  cịn bảo tồn sau lấy tích phân hàm số Các phương pháp tính tích phân III.1 Tra bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm F(x), sau thay cận vào (đối với tích phân dễ, đơn giản)  Ví dụ 1: Tính  ecos x sin xdx Do d  cos x    sin xdx  sin xdx   nên  e cos x  sin xdx =  ecos x d(cos x) 1 d (cos x)  cos x = -  e d (cos x) (tra bảng  eu du  eu  C ) 1  cos  cos0 = - ecos x = - ( e e ) Ví dụ 2: Tính  (1  x)3 dx d (1  3x) 2 12 3 d (1  x )    (1  3x)3 d (1  3x) nên  (1  3x) dx   (1  3x) 3 30 0 Ta có d (1  x)  3dx  dx   u 1 C) (tra bảng  u du   1   1  3x    3      3.2  (1  3.0)   52    3.4  0 Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III.3.2 Phương pháp đổi biến, nhờ sử dụng bảng vi phân, nhớ kèm đổi cận Ngoài cách đổi biến nhờ vào bảng vi phân, ý cách đổi biến sau đây:  b dx  dx   dx   , đặt x = tgt, với t  ( ; )   ,  2 2 a   ( x )2 a 1 x  a  x a   x đặt = tgt với t ( ; ) 2 a a a a 0 x     1 x dx , đặt x = sint, với t  [ ; ]   a  x dx  a   ( ) dx 2 a 0   x , đặt = sint, với t [ ; ] 2 a Ví dụ 1: Tính I    x  3 e  x 3 x  dx  Do d x  3x   (2x  3) dx Đặt t  x  3x   dt   2x   dx x  1 t  Khi  x   t  2   I   e dt    et dt tra baûng  e u du  e u  C t      e t   e2  e   e2 Ví dụ 2: Tính dx  (1  x 2 ) Đặt x  tgt  d(x)  dt  (1  tg t)dt cos t   x   t  Khi  x   t   Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN    (1  tg t)dt  dt   cos2 t dt  2 (1  tg t)  tg t Do I     4  1    (1+cos2t) dt    dt+  cos2t dt  20 0       4   tra baûng du  u  C,  1 d(2t)        dt+  cos2t   2 cos udu  sin u  C             2   4   t  sin 2t 04      sin  sin 2.0   2   4   1       4 2  III.3.3 Phương pháp tích phân phần: b  udv  uv b a a b b   vdu , với tích phân sau  vdu phải tính dễ tích phân trước a a b Chứng minh:  udv  uv b a a b   vdu a / Ta coù:  uv   u / v  uv / b b   b b    uv  dx   u v  uv dx   u vdx   uv / dx / a a b / b / / a a b   uv dx    uv  dx   u/ vdx a b / / a b a b   udv  uv a   vdu a a  điều phải chứng minh  Các dạng sử dụng tích phân phần: Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b  b b  p( x).cos mxdx ,  p( x).sin mxdx ,  p( x).e a mx dx , a a b 1 p ( x ) dx , với p(x) đa thức, đặt u = p(x), suy p ( x ) dx , a a sin x cos x b du = p’(x)dx nhằm hạ bậc đa thức, dv nhân tử lại b   p ( x).ln xdx , đặt u = lnx, suy du = dx nhằm ln, dv nhân x a tử cịn lại, (trong bảng ngun hàm, khơng có hàm số dấu tích phân có chứa ln cả)   b  Ví dụ 1: I  x sin xdx (có dạng P(x).sin xdx) a  u  x  du  2xdx Đặt  dv  sin xdx  v   cos x    I   x cos x   x cos xdx 0             cos  cos0    x cos xdx   x cos xdx    0    u1  x  du1  dx Đặt  dv1  cos xdx  v1   sin x       I  2x sin x   sin xdx   sin  sin   cos x 02 2         cos  cos0     2    Ví dụ 2: Tính I   4x ln xdx Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN   u  ln x  du = dx Đặt  x  dv  4xdx  v  2x    I   ln x.2x   x dx  2 32.ln  12.ln1   xdx x     x2  tra baûng  xdx   C    x2  18 ln   18 ln  32  12  18 ln    b P(x) dx Q(x) a III.3.4 Tích phân hữu tỉ: I   P(x) 1 1 n , n  u n có dạng , n  x , Q(x) x x kx  b u áp dụng bảng nguyên hàm để tính III.3.4.1 Nếu P(x) chưa có dạng nói (II.3.4.1) bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) tiến hành bước sau: III.3.4.2 Nếu Bước 1: Phân tích mẫu số Q(x) dạng tích số Bước 2: P(x)  Phân tích dạng tổng Q(x) Dạng 1: P(x) A B C     (x  x )n x  x (x  x )2 (x  x )n 3x  5x  A B C    Ví dụ: x  (x  1)2 (x  1)3 (x  1)3 Dạng 2: P(x) A B C     (x  x1 )(x  x )(x  x ) x  x1 x  x x  x Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2x  x A B C    Ví dụ: (x  1)(x  3)(x  8) x  x  x  Tổng quát: P(x) A B C     (x  x ) (x  x1 )(x  x ) x  x (x  x ) (x  x )n n  D E   x  x1 x  x x3 A B C D     Ví dụ: (x  2)2 (x  1)(x  3) x  (x  2)2 x  x  IV Ứng dụng tích phân IV.1 Tính diện tích IV.1.1 S hình thang cong: có đáy song song đường thẳng x = a, x = b, b  a, đáy cong đồ thị y = f(x), y = g(x), có diện y tích đặt S, y = f(x) b O a b S y = g(x) x S   f (x)  g(x) dx a yêu cầu: diện tích S  IV.1.2 Chú ý 1: khơng thể tra bảng ngun hàm cịn trị tuyệt đối cho hàm số dấu tích phân, phải xóa dấu trị tuyệt đổi biến đổi sau cho tra bảng ngun hàm để tính tích phân Có cách xoá trị tuyệt đối sau: (dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối  a neáu a  a  )  a neá u a <  Cách 1: Xét dấu biểu thức f(x) - g(x), miền a  x  b Cách 2: Dựa vào tính chất: (khơng SGK giới thiệu) Nếu bên miền đường thẳng x = a, x = b, đường cong y = f(x), y = g(x) khơng có giao điểm nào, đưa ttrị tuyệt đối Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b dấu tích phân: S =  b  ( f ( x)  g ( x))dx f ( x)  g ( x) dx = a (tính tích phân a trước lấy trị tuyệt đối sau) b Cách 3: Vẽ hình miền tính diện tích  S =  f ( x)  g ( x) dx  nhìn vào a hình vẽ xố trị tuyệt đối:  f ( x )  g( x ) đồ thị y  f ( x) đồ thị y  g( x) f ( x )  g( x )   g( x )  f ( x ) đồ thị y  g( x ) đồ thị y  f ( x) (do a  b = số lớn trừ số nhỏ hơn) II.1.3 Chú ý 2: S hình thang cong: có đáy song song đường thẳng y = c, y = d, đáy cong đồ thị x = f(y), x = g(y), d > c x = f(y) x = g(y) ,có diện tích đặt S, d d S   f (y)  g(y)dy S c c (xem y biến số, x hàm số ) O Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  0, x  1, y  x  1, y  3x2  1 S   (3x  9)  (x  1)dx   3x  x  10dx 0 Xét dấu 3x  x  10 [0; 1] 2 Ta có:   b  4ac  (1)  4.3.10  119  Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  f(x) dấu với a x  R maø a    f(x)  0x  R  f(x)  0x  [0;1]   1  S   3x  x  10 dx   3x dx   xdx   10dx 2 1 x3  3 x dx   xdx  10  dx  3 0  1 x2  0  10 x 1 21  10  (đơn vị diện tích) 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x  0, y  2x , y   x Giải x Phương trình hoành độ giao điểm y  y   x 2x   x (1) x Ta có: y  hàm tăng y   x hàm giảm x nên   x có nghiệm Mặt khác:    nghiệm phương trình (1)  phương trình (1) có nghiệm x = x  diện tích hình phẳng giới hạn đường x  , y  , y   x 1 S   (3  x)  dx    x  x dx x 0 Hình vẽ Trịnh Thị Kim Phượng 10 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y y = 2x y=3-x x O 1 1 0  S   (3  x  )dx   3dx   xdx   2 x dx x   x 1  tra baû n g x dx   C 1      x    3 dx   xdx   dx x   a 0 x a dx   C    ln a   x2  3x   3 1 2x 1   3(1  0)  (12  )  (21  ) ln 2 ln 1    ln 2 ln (đơn vị diện tích) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y  x  x y   x2  x Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong x3  x   x  x  x3  x2  x   x( x2  x  2)  x  x     x  x  x    x  2 Vậy diện tích hình phẳng cho S   x  x  2x dx 2 Trịnh Thị Kim Phượng 11 CƠNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Hình vẽ y x -2 -1 O -1 y = x3 - x y = x - x2 -2 -3 -4 -5 -6 S  (x 2   x  2x)dx   (x  x  2x)dx 0 2 1  x dx   x dx   2xdx   x dx   x dx   2xdx 2 2  0 2 1  x dx   x dx   xdx   x dx   x dx  2 xdx 2 2 0   x 1   C  tra baûng  x dx   1   x  4  2 x  3 2 x 2 2 2 x  4 x  3 x2 2 1 (0  (2)4 )  (03  (2)3 )  (0  ( 2)2 )   (1  )  (13  03 )  (12  ) 37   (đơn vị diện tích) 12 12 Trịnh Thị Kim Phượng 12 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  1 1 y y    , đường thẳng đường thẳng 2 x2 Giải 1 y    x   x   Ta có: 1 y x2 1 y Vậy diện tích hình phẳng cần tìm S   2     dy    y   y   1 1 y dy Hình vẽ y 1.5 0.5 x -0.5 O 0.5 -0.5 -1 -1.5 Trịnh Thị Kim Phượng 13 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN S2  1 y Do d(  y )  dy 1 1 y dy dy  2    2d(  y ) 1 y   S   2d(  y )  4  d(  y ) tra baûng  du  u  C  4  y 2   6     1  4          4      2      3   (đơn vị diện tích) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  , y   x Giải y Hình vẽ y = x2 x y=0 O y=2 - x Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 1 2 1 S   x dx     x dx   x dx   2dx   xdx 2   x 1   C  tra baûng  x dx   1   x3  x2 2x  2  1 1  03    1  2   Trịnh Thị Kim Phượng    14 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  2   đơn vị diện tích  IV.4.2 Tính thể tích: Cho Vật thể V y S(x) S(x) O x a x x b - cắt V mặt phẳng vng góc với trục Ox - mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích S(x) - mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích S(x) a  x  b b V   S(x)dx a Hệ quả: Tính thể tích vật thể tròn xoay: y x D O a x b  D hình thang cong có + đáy song song đường thẳng x = a, x = b, b > a , + đáy cong đồ thị y=f(x), + đáy nằm ngang đường thẳng Ox có phương trình y=0 cho miền D quay quanh trục Ox , gây nên vật thể V,có thể tích đặt V, b V   f (x)dx a y d D y O x  D hình thang cong có + đáy song song đường thẳng y = c, y = d, d > c, + đáy cong đồ thị x=f(y), + đáy nằm ngang đường thẳng Oy có phương trình x = cho miền D quay quanh trục Oy , gây nên vật thể V,có thể tích đặt V, b c V   f (y)dy a Trịnh Thị Kim Phượng 15 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Hệ quả: Miền D giới hạn đường: + đáy song song đường thẳng x = a, x = b, b > a , + đáy cong đồ thị y = f(x), y = g(x) nằm phía với trục quay Ox , cho miền D quay quanh trục Ox, gây nên vật thể V, tích V, y y = f(x) y = g(x) x O b a c V    f ( x)  g ( x) dx b a Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y  sin x, y  0, x  0, x   quay xung quanh trục Ox Giải Hình vẽ y π/2 y = sinx 2 y=0 x O /4 π/2 x=0 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm    0 V    sin xdx   sin xdx   1  cos2x dx   4   tra baûng dx  x  C         dx   cos(2x)dx    cos(kx  b)dx  sin(kx  b)  C      k    Trịnh Thị Kim Phượng 16 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN        1     4   x  sin(2x)        sin    sin  2.0    2  2  4        1     đơn vị thể tích  Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể sinh phép quay quanh trục Oy x2 , y  2, y  4, x  đường thẳng giới hạn đường y  Giải Hình vẽ y y=4 x 2 y y=2 -2 Ta coù: y  O -1 x  x  2y 2 x x=0 maø x   f(y)   thể tích vật thể cần tìm 4   x2 V=  .2ydy    ydy  tra baûng  xdx   C 2   y2  2  12     42  22   đơn vị thể tích  Trịnh Thị Kim Phượng 17 ... tính tích phân a/ Đặt thừa số chung ngồi dấu tích phân , Đặt thừa số chung ngồi thay cận lấy tích phân Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b/ Tích. .. Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III.3.2 Phương pháp đổi biến, nhờ sử dụng bảng vi phân, nhớ kèm đổi cận Ngoài cách đổi biến nhờ vào bảng vi phân, ý cách... udv  uv a   vdu a a  điều phải chứng minh  Các dạng sử dụng tích phân phần: Trịnh Thị Kim Phượng CÔNG THỨC ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN b  b b  p( x).cos mxdx ,