Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở chương tổ hợp và xác suất lớp 11

̀̀ PHÂN I: ĐẶT VẤN ĐỀ .3 Lý chọn đề tài .3 Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu ̀̀ PHÂN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 Năng lực giải vấn đề sáng tạo 1.2 Các đặc điểm lực giải vấn đề sáng tạo mơn tốn 1.3 Thực trạng vấn đề Nội dung Đề tài 2.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác nhau, từ tìm nhiều cách giải tốn, phân tích tìm cách giải hay .6 2.2 Khuyến khích cho học sinh tìm tịi, sáng tạo tốn thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái qt hóa, tương tự hóa .12 2.2.1 Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư tương tự hóa: .12 2.2.2 Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư khái qt hóa: 13 2.2.3 Khuyến khích cho học sinh tìm tịi, sáng tạo tốn thao tác tư đặc biệt hóa: 17 2.3 Bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh qua tìm sai lầm từ lời giải toán 18 Thực nghiệm 25 3.1 Mục đích thực nghiệm 25 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 25 3.3 Phân tích kết thực nghiệm 28 * Đánh giá định tính 28 *Đánh giá định lượng 28 ̀̀ PHÂN KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 ̀̀ PHÂN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài 1.1 Bài tập chương Tổ hợp – Xác suất (đại số giải tích lớp 11) nội dung phong phú cách đề có đề thi THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi Phương pháp giải toán Tổ hợp- Xác suất thiên tư logic tư thuật toán nên học sinh “yếu” lực giải vần đề thường gặp khó khăn giải tập toán phần 1.2 Trước thực trạng đó, thân tơi ln tìm tịi cách dạy học cho học sinh biết: Gạt bỏ thuộc tính hình thức giữ lại thuộc tính chất tốn; Thấy khơng tốn mà cịn phải thấy lớp toán tương tự; Xây dựng tốn từ tốn gốc…Qua đó, khơi dậy hứng thú trọng học tập học sinh; bồi dưỡng lực giải vấn đề phát huy tính sáng tạo 1.3 Định hướng đổi toàn diện giáo dục nước ta giai đoạn là: “chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học” Theo định hướng này, song song với hoạt động dạy học nội dung kiến thức hoạt động hình thành phát triển cho học sinh lực cốt lõi Chương trình SGK số lực chung như: Năng lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo Ngồi cịn có lực chun mơn hình thành phát triển thông qua số môn học hoạt động giáo dục định như: Năng lực ngôn ngữ, lực tính tốn, lực khoa học, lực thẩm mỹ, lực thể chất, lực tin học, lực cơng nghệ Từ mục đích trên, tơi nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh từ trình tìm lời giải toán Chương tổ hợp xác suất lớp 11” Mục đích nghiên cứu Xây dựng số tình có vấn đề giải tập Tổ hợp – Xác suất Học sinh giải tình có vấn đề (dưới hướng dẫn giáo viên) Qua phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 11; - Giáo viên toán THPT Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, quan sát, điều tra thực tiễn, thực nghiệm… ̀̀ PHÂN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 Năng lực giải vấn đề sáng tạo Năng lực giải vấn đề sáng tạo lực chung mà chương trình GDPT 2018 hướng tới Các thành tố lực bao gồm : - Nhận ý tưởng mới; - Phát làm rõ vấn đề; - Hình thành triển khai ý tưởng mới; - Đề xuất, lựa chọn giải pháp; - Thiết kế, tổ chức hoạt động; - Tư độc lập Các biểu thành tố học sinh THPT tóm tắt bảng sau: Thành tố lực Nhận ý tưởng Biểu học sinh - Biết xác định làm rõ thông tin, ý tưởng phức tạp từ nguồn thông tin khác nhau; - Biết phân tích nguồn thơng tin độc lập để thấy khuynh hướng độ tin cậy ý tưởng Phát làm rõ vấn đề - Phân tích tình học tập , sống; - Phát nêu tình có vấn đề học tập, sống Hình thành triển khai ý tưởng - Nêu nhiều ý tưởng học tập sống; - Suy nghĩ khơng theo lối mịn; - Tạo yếu tố dựa ý tưởng khác nhau; - Hình thành kết nối ý tưởng; - Nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước thay đổi bối cảnh; - Đánh giá rủi ro có dự phòng Đề xuất, lựa chọn giải pháp - Biết thu thập làm rõ thơng tin có liên quan đến vấn đề; - Biết đề xuất phân tích số giải pháp giải vấn đề; - Lựa chon giải pháp phù hợp Thiết kế tổ chức hoạt động - Lập kế hoạch hoạt động có mục tiêu, nội dung, hình thức, phương tiện hoạt động phù hợp; - Tập hợp điều phối nguồn lực (nhân lực, vật lực) cần thiết cho hoạt động - Biết điều chỉnh kế hoạch việc thực kế hoạch, cách thức tiến trình giải vấn đề cho phù hợp với hồn cảnh để đạt hiệu cao - Đánh giá hiệu giải pháp hoạt động Tư độc lập - Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp nhận thông tin chiều; - Không thành kiến xem xét, đánh giá vấn đề; biết quan tâm tới lập luận minh chứng thuyết phục; - Sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề 1.2 Các đặc điểm lực giải vấn đề sáng tạo mơn tốn Từ việc phân tích thành tố lực giải vấn đề sáng tạo nói chung, lực tốn học nói riêng, đặc điểm lực giải vấn đề sáng tạo mơn tốn sau: - Nhận biết, phát làm rõ vấn đề cần giải Toán học; - Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải vấn đề; - Sử dụng kiến thức, kỹ tốn học tương thích để giải vấn đề đặt ra; - Đánh giá giải pháp đề ra; - Nhận ra, hình thành triển khai khái niệm mới, định lý mới, tốn mới, cách giải mơn tốn Dạy học Toán chất dạy học sinh giải toán Khi học sinh giải toán, tức học sinh biết giải vấn đề xảy trình học tập để tìm mức độ Nếu tốn học sinh chưa biết phương pháp giải giải xem giải vấn đề sáng tạo Sáng tạo học sinh học tập xem trình sáng tạo đặc biệt Bởi tri thức học sinh tìm khơng với nhân loại với thân em Sự sáng tạo học sinh biểu qua hoạt động như: Giải toán mà em chưa biết phương pháp giải; Giải toán nhiều cách khác nhau; đưa cách giải mới; Giải vấn đề sáng tạo hai mặt tồn song song bổ trợ cho thực hoạt động học tập Khi giải vấn đề, gặp khó khăn chướng ngại định Để vượt qua khó khăn chướng ngại ngồi tri thức phương pháp biết cần có sáng tạo để giải vấn đề Ngược lại, người phát huy tính sáng tạo gặp tình có vấn đề Trong Đề tài tác giả bồi dưỡng lực giải quết vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua vấn đề: Học tập từ lời giải sai lầm; Giải toán nhiều cách; Sáng tạo tốn mới; Tổng qt hóa toán 1.3 Thực trạng vấn đề Những thuận lợi: Đây nội dung Toán học gắn liền với thực tiễn nên nội dung học tập gây hứng thú hấp dẫn học sinh Những khó khăn: Thời lượng dành cho chương nội dung hồn tồn học sinh lượng kiến thức nhiều Hơn nội dung học lớp 11 không học giãn lớp nội dung Toán học khác Điều dẫn đến việc áp dụng kiến thức vào giải tốn khơng có độ chín muồi kỹ tư Nội dung Đề tài 2.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác nhau, từ tìm nhiều cách giải tốn, phân tích tìm cách giải hay Học toán xét cho học giải tập tốn Trong tốn có chứa nhiều yếu tố, cách phân tích, nhìn nhận yếu tố theo cách khác cho cách giải toán khác Mỗi cách giải có hiệu định đến q trình phát triển tư duy, lực giải vấn đề người học Tìm nhiều lời giải cho tốn hoạt động dạy học giúp học sinh có nhìn tồn diện vấn đề tốn học Từ em biết tự hệ thống hóa kiếm thức biết khai thác sử dụng kiến thức kỹ năng, phương pháp giải cách mềm dẻo, linh hoạt Tìm nhiều cách giải cho tốn giúp học sinh tự biết phân tích, so sánh rút đặc điểm như: - Thấy cách giải tốt cho toán; - Phát vấn đề mới, toán mới; - Đưa cách giải cho lớp toán tương tự Ví dụ 1: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7} Hỏi có số gồm chữ số tạo thành từ A biết chữ số xuất lần, chữ số lại xuất lần Học sinh tiếp cận số cách giải sau: 9! Cách 1: Sử dụng cơng thức hốn vị lặp ta có kết 3! Phân tích cách giải 1: Hốn vị lặp khơng đưa vào SGK, nội dung mà học sinh tḿ tḿ hiểu thêm thơng qua giới thiệu hướng dẫn giáo viên Tìm hiểu sâu cách giải 1: Từ tốn ta hướng dẫn học sinh xây dựng toán tổng quát sau: n phần tử x1 , n2 phần tử x2 ……… nk Cho tập A có n phần tử, có: phần tử xk ( n1 n2  nk n) Mỗi cách xếp n phần tử vào n vị trí gọi hốn vị lặp n phần tử cho Số hoán vị lặp n phần tử là: P n! n !.n ! n ! k Từ tốn tổng qt học sinh tự sáng tạo lớp toán tương tự: Bài 1: Từ tập X ={1;2;3;4;5;6;7;8} lập số tự nhiên có 11 chữ số cho chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? Bài 2: Từ số tập A = { 2; 4; 6; 8} lập số tự nhiên gồm bảy chữ số, chữ số xuất hai lần; chữ số xuất lần; chữ số xuất lần chữ số xuất lần Bài 3: Cho tập A = { 1; 3; 5; 6; 9} Từ tập A ta lập số có chữ số cho chữ số xuất lần; chữ số xuất lần; số khác xuất lần số chia hết cho Bài 4: Từ tập X = {1; 2; 4; 6; 7; 9} Từ tập X ta lập số có chữ số cho chữ số xuất lần; chữ số xuất lần; chữ số khác xuất lần số khơng chia hết cho Bài 5: Với chữ số 0; 1; 2; 3; 7; lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? Bài 6: Cho tập X = {0;1; 3;5;6} Từ tập X ta lập số có chữ số cho chữ số xuất lần; số khác xuất lần số vừa chia hết cho vừa chia hết cho Bài 7: (HSG lớp 11 Quảng Ngãi 2015-2016) Từ chữ số 1, 3, 4, lập số tự nhiên có sáu chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt lần Trong số tạo thành nói lấy ngẫu nhiên số Tính suất để số chọn chia hết cho Cách 2: Xem số xuất ba lần số cần tìm khác nhau, giả sử a,b,c Khi ta có tốn sau: Có số có chữ số khác tạo thành từ tập hợp B = {2,3,4,5,6,7,a,b,c} Mỗi số tạo thành hoán vị phần tử tập hợp B Ta có 9! số Nhưng a b c nên số tìm hốn vị vị trí a, b, c cho số khơng đổi Từ suy số số thỏa mãn yêu cầu tốn 9! 3! số Phân tích cách giải 2: Vấn đề khó khăn tốn số ba vị trí khác số có chữ số ta số khác nhau, đổi vị trí số cho số khơng đổi Mọi phức tạp toán bắt nguồn từ lặp lại số Vậy ta xem số số khác sao? Từ gợi cho học sinh biết “quy lạ quen” cách xem ba số ba số khác Tìm hiểu sâu cách giải 2: Nếu so sánh cách giải cách giải cách có ưu điểm ngắn gọn dễ hiểu Nhưng cách việc đặt a 1, b 1, c1 cách nhìn biện chứng thường dùng giải tốn Ví dụ: phương trình x  x 2 01 phương trình bậc hai phương trình ban đầu trở thành: 3t  2t 3  5 t  2t 3 2 02  phương trình bậc theo ẩn t Nhưng nế u bỏ qua Nếu ta x t  2t3 đặt thuộc tính hình thức, giữ lại thuộc tính chất phương trình (2) phương trình bậc quen thuộc Ta sử dụng cách nhìn biện chứng để đưa đối tượng phức tạp đối tượng đơn giản hơn, theo cách giải vấn đề ta giải số tốn tổ hợp tương tự như: Ví dụ 1a: Có sách Toán, sách Lý sách Hoá Hỏi có cách xếp sách thành dãy kệ cho sách Hoá đứng cạnh nhau, sách Lý đứng cạnh Giải: Ta ghép sách hoá lại xem phần tử H, ghép sách Lý lại xem phần tử L Khi xếp phần tử (gồm sách toán phần tử H L) có 8! cách xếp Ghép sách hố có 5! cách Ghép sách Lý có 3! cách Theo quy tắc nhân có 5!.3!.8! cách Ví dụ 1b: Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang cho An Bình ngồi cạnh Giải: Ghép An Bình thành phần tử M có 2! cách Xếp phần tử (gồm bạn lại phần tử M) vào vị trí có 9! cách Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách Cách 3: Lấy sáu số từ tập A gồm: 2,3,4,5,6,7 số xếp vào vị trí số cần tìm ta có A6 cách xếp Sắp xếp số vào ba vị trí cịn lại có cách xếp Vậy kết A6 Phân tích cách giải: Trong giải tốn ta hay “tự ám thị” yêu cầu toán dẫn người giải theo lối tư quen thuộc Nếu ta tư ngược lại sau: Có hộp xếp thành hàng dọc Hỏi có cách bỏ vào hộp số tử số 1, 2, 3, 4, 5, 6, biết có số Như cách bỏ số vào hộp ta số thỏa mãn yêu cầu toán Nhưng số chắn có hộp để bỏ vào nên việc chữ số lặp lại không ảnh hưởng đển kết tốn Ở tác giả trìn bày lời giải sử dụng chỉnh hợp, nhiên dùng quy tắc đếm để giải toán tốn quen thuộc Tìm hiểu sâu cách giải 3: Trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cách giải gọi phương pháp chọn vị trí trước, xếp sau Với tốn có q nhiều trường hợp xảy ta giải trực tiếp ta thường chọn số phần tử thỏa mãn yêu cầu tốn trước sau xếp Ứng dụng phương pháp giải ta giải nhiều toán đề thi học sinh giỏi thi Quốc gia Ví dụ 1c: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2020): Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn Lời giải 1: u cầu tốn có trường hợp sau thỏa mãn TH1: Lấy số lẽ xếp chúng có =960 số TH2: Lấy số gồm số lẽ số chẵn có cách lấy Sắp xếp phần tử có 4! cách xếp ln thỏa mãn u cầu tốn Suy có 4! =120 số thỏa mãn TH3: Lấy số gồm số lẽ, số chẵn có số Sắp xếp số thỏa mãn yêu cầu tốn ta xem số chẵn có 21.2!.3 số Số số thỏa mãn toán 720 Số phần tử không gian mẫu số Xác suất lấy số khơng có chữ số chẵn liên tiếp Lời giải 2: TH1: Số có chữ số có chữ số chẵn liên tiếp số lẽ có 720 số (ta xem hai chữ số chẵn liến tiếp số) TH2: Số có chữ số gồm chữ số số chẵn số lẽ có 480 số TH3: Số có chữ số chẵn liên tiếp có 4! = 24 số Số số thỏa mãn yêu cầu toán là: Xác suất cần tìm Cách 4: Chọn ba vị trí cho ba số có C9 cách chọn Sắp xếp số 2,3,4,5,6,7 vào sáu vị trí cịn lại có 6! cách xếp Vậy số số thỏa mãn toán C 6! Phân tích cách giải: Xét chất cách giải tương tự cách tư thuật giải chọn vị trí trước xếp sau Qua ví dụ trên, tính sáng tạo cách giải toán thể chỗ: Học sinh phải biết phân chia trường hợp sử dụng cách đếm linh hoạt tùy theo trường hợp khác Ở lời giải thứ trường hợp thứ học sinh cần tìm cách đếm phù hợp xem chữ số chẵn liên tiếp số Tương tự lời giải trường hợp có khả xẩy số chẵn liên tiếp số chẵn liên tiếp Nhưng khả chữ số chẵn kiên tiếp khơng trùng với TH2 số tạo thành trường hợp hoàn toàn khác Nếu học sinh bồi dưỡng rèn luyện nhiều lực giải vấn đề khả sáng tạo học sinh nâng cao Ví dụ 2: Có số tự nhiên gồm chữ số khác có mặt chữ số chữ số 6? Cách 1: Xem việc lập số thỏa mãn u cầu tốn cơng việc chữ số vào trống có ô chứa số 0, ô chứa số 6, ô lại chọn từ tập hợp   1, 2; 3;4;5;7;8; 9 gồm chữ số Công việc trải qua công đoạn sau: Công đoạn 1: Sắp chữ số vào ô trống sau (trừ đầu tiên) có cách Cơng đoạn 2: Sắp chữ số vào trống cịn lại (trừ chứa số 0) có cách số 6) có Cơng đoạn 3: Chọn chữ số từ tập E vào ô cịn lại (trừ hai chứa số A cách Theo quy tắc nhân có tất 4.4.A83 cách Cách 2: Chia tập hợp gồm chữ số khác thành loại: Loại 1: Các số khơng có mặt chữ số chữ số Mỗi số chỉnh hợp chập tập E1, 2; 3;4;5;7;8; 9 nên có A8 số Loại 2: Các số có mặt số khơng có mặt số Xem việc thành lập số loại trải qua công đoạn Công đoạn xếp số vào vị trí sau (trừ vị trí đầu tiên) có cách, cơng đoạn chọn chữ số từ tập E1, 2; 3;4;5;7;8; 9 vào cịn lại có A84 cách Theo quy tắc nhân, loại có 4.4.A84 số (mỗi cách cho ta số) Loại 3: Các số có mặt số khơng có mặt số Tương tự loại 2, loại có 5.A84 số Loại 4: Các số có mặt chữ số chữ số (thỏa mãn yêu cầu toán), giả sử x 10 Số số gồm chữ số khác 9.A9 Theo quy tắc cộng, ta có x A4  A5  4.4.A4  5.A4 8 Cách 3: Vì số cần lập có chữ số mà có mặt nên cần chọn thêm chữ số từ tập E1, 2; 3;4;5;7;8; 9 Mỗi gồm chữ số vừa chọn với số tạo thành có chữ số Mỗi hoán vị chữ số trừ hốn vị có chữ số đứng đầu số thỏa mãn u cầu tốn Do đó, để lập số công việc trải qua công đoạn Công đoạn 1: Chọn chữ số từ  1,2; 3;4;5;7;8; 9 có C cách Công đoạn 2: Từ chữ số gồm số vừa chọn với hai số ta lấy số vào vị trí sau, có cách Cơng đoạn 3: Sắp chữ số lại vào trống cịn lại, có 4! cách Theo quy tắc nhân, có tất C8 4.4! số Cách 4: Việc lập số thỏa mãn yêu cầu toán có phương án: Phương án 1: Chữ số vị trí Cơng đoạn 1: Sắp số vào cịn lại, có cách  1,2; 3;4;5;7;8; 9 vào ô cịn lại, có Cơng đoạn 2: Chọn chữ số từ A3 tập cách Theo quy tắc nhân, trường hợp có 4.A83 số Phương án 2: Chữ số khơng vị trí Cơng đoạn 1: Sắp số vào ơ, có cách Công đoạn 2: Sắp số vào cịn lại (trừ đầu chứa số 6), có cách  1,2; 3;4;5;7;8; 9 Công đoạn 3: Chọn chữ số từ tập A83 cách Theo quy tắc nhân, trường hợp có 4.3.A8 Theo quy tắc cộng, có tất A8  4.3.A8 số xếp vào ô cịn lại, có số Mỗi cách giải cách nhìn tốn góc độ khác Trong cách giải cách giải thứ tốt Việc tìm nhiều lời giải khác cho toán giúp học sinh hiểu sâu sắc nội dung toán học khả liên kết nhiều nội dung toán học với để giải vấn đề Học sinh biết nhìn vấn đề, việc nhiều khía cạnh khác để đưa nhận xét đánh giá khách quan xác Hơn nữa, đứng trước vấn đề sống, em linh hoạt, sáng tạo trình tìm phương án giải chuyển hướng cần thiết 11 4,  Cn  Cn C n  C n 2n  C 2n  nk k Kết hợp tính chất Cn  Cn  A C C B 12 12 ta có tốn tính giá trị biểu thức:  C  C7 C8 C12 12 121212  C C n C  2n C 2n n  C 2n Kết hợp 3) 4) ta có tốn chứng minh:  1, C n C 2, C n 3, C n  2n C 3  C2 n C 2  C2 n C  2nC  2n C  2n C n1 2n 2n 2 n1 2n 2n 2n n1 2  C  2n C   C2 n C 2n n1 2n 2.3 Bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh qua tìm sai lầm từ lời giải toán Giáo viên nên HS tự làm, tự xoay xở, tự đưa định nghĩa khái niệm, giải pháp, sở giáo viên phân tích, góp ý, qua HS có kinh nghiệm giải toán, thấy sai cách nghĩ, cách giải vấn đề, tránh sai lầm Ví dụ: Dạy học khái niệm chỉnh hợp cách xác định số chỉnh hợp GV chia HS lớp làm hai nhóm, chuẩn bị cho nhóm tập với hình thức phiếu hỏi Bài tập (nhóm 1): Thầy giáo cần lập đội ngũ cán lớp gồm HS vào chức vụ Lớp trưởng (LT), Bí thư (BT), Lớp phó học tập (LPHT) từ em HS xuất sắc lớp Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh a) Hãy kết xếp thầy giáo? 18 b) Có kết vậy? Bài tập (nhóm 2): Cho tập hợp A1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 A a) Hãy số tự nhiên có chữ số khác lấy từ tập b) Có số tự nhiên có chữ số khác lấy từ A ? GV cho nhóm suy nghĩ khoảng phút yêu cầu đưa câu trả lời ý a) (dự kiến hầu hết HS trả lời câu hỏi này) GV nhận xét kết nhóm đặt vấn đề: Mỗi kết ví dụ 1a), chẳng hạn Hà, Khải, Châu (theo thứ tự LT, BT, LPHT), chỉnh hợp chập tập hợp gồm HS Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh Mỗi kết Bài tập 2, chẳng hạn số 1234, chỉnh hợp chập phần từ tập hợp A Các em tìm đặc điểm chung kết hai Ví dụ trên? Dự kiến HS trả lời: Mỗi kết cách xếp số phần tử tập hợp cho trước theo thứ tự GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm chỉnh hợp từ đặc điểm chung mà HS vừa GV xác hóa, ghi bảng định nghĩa khái niệm yêu cầu HS nêu khác hai chỉnh hợp GV tiếp tục yêu cầu HS trả lời ý b) câu hỏi Nếu HS gặp khó khăn số em đếm theo kiểu liệt kê GV gợi ý qua câu hỏi: Mỗi chỉnh hợp chập tập hợp bạn HS gồm HS lấy từ tập đó? Do để thành lập chỉnh hợp chập công việc trải qua giai đoạn? Với cách gợi ý hy vọng HS trả lời sau: Mỗi chỉnh hợp chập HS bao gồm HS, để thành lập chỉnh hợp cần trải qua giai đoạn Giai đoạn chọn HS thứ có lựa chọn; giai đoạn chọn HS thứ có lựa chọn; giai đoạn chọn HS thứ có lựa chọn Do đó, theo quy tắc nhân có tất 6.5.4120 cách, hay số chỉnh hợp chập tập hợp có phần tử 6.5.4120 Tương tự, Ví dụ 2b) cho kết 7.6.5.4 840 số, hay số chỉnh hợp chập tập hợp có phần tử 7.6.5.4 840 Một cách tổng quát, tập A có n phần tử số nguyên k với 1 k n có chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp đó? Với cách dẫn dắt vậy, hy vọng HS biết cách thành lập số chỉnh hợp đưa kết nn1n k1 GV đưa ký hiệu số chỉnh hợp tập hợp ghi công thức lên bảng Ak n  nn1n (1) k1 GV tiếp tục nêu vấn đề n k từ HS tự phát hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp GV quay trở lại ví dụ ban đầu đưa nhận xét: 19 6.5.4.3.2.1 6! 7.6.5.4.3.2.1 7!  ; A7  7.6.5.4  3.2.1 3! 3.2.1 3! A6  6.5.4 GV yêu cầu HS viết công thức (1) dạng dễ nhớ Với cách hướng dẫn này, hy vọng HS trả lời Ak  n n! n k! với quy ước 0!1 Để giúp HS hiểu nhớ khái niệm chỉnh hợp số chỉnh hợp, GV yêu cầu HS làm thêm tập sau: Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt, có vectơ khác vectơ có điểm đầu điểm cuối thuộc tập hợp này?  b) Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng quy tắc, khái niệm Ví dụ 1: Dạy học quy tắc cộng Sau đưa ví dụ cụ thể, khái qt hóa nhiều tầng lớp, GV cần đưa sơ đồ sau: Công việc A Phương án A Phương án A m cách Phương án A m cách k m cách k Qua sơ đồ này, nhấn mạnh cho HS hiểu để có phân hoạch cần phải có tiêu chí, dấu hiệu mà dựa vào vạch kế hoạch để thực công việc A Các phương án đưa độc lập với nhau, khơng có cách phương án Ai lại trùng với cách phương án Aj Từ đó, tổng kết lại cho HS yêu cầu việc phân tách là: - Dấu hiệu phân chia (cần phải trả lời câu hỏi: cơng việc gì? Dựa vào dấu hiệu mà vạch phương án vậy? Hãy dấu hiệu sử dụng để phân chia công việc này?) - Các phương án không trùng (Các phương án đưa riêng biệt chưa? Có phương án trùng hay khơng? Có phương án phụ thuộc vào phương án khác không?) - Các phương án phải đầy đủ (Có phương án ngồi phương án nêu thực cơng việc A hay không?) - Các phương án đưa phải (Cách phân chia hợp lý chưa?) Chẳng hạn, với tốn: Một lớp học có 16 HS gồm HS giỏi, HS khá, HS trung bình Cần chia 16 HS làm hai tổ tổ có HS tổ có HS giỏi, hai HS 20 GV hướng dẫn HS giải tốn cách phân chia trường hợp riêng Dấu hiệu phân chia "có HS giỏi, hai HS khá, tổ có HS" Tuần tự xét tăng dần số HS giỏi tổ, từ ta có bảng sau: T Tổ Tổ H Giỏi Khá Trung bình Giỏi Khá Trung bình TH1 3 TH2 3 TH3 2 4 TH4 3 Tuy nhiên, vai trò hai tổ nên TH1 TH4 trùng nhau, TH2 TH3 trùng Do đó, xảy hai phương án sau: Phương án 1: Tổ gồm HS giỏi, HS HS trung bình Tổ gồm HS cịn lại Phương án 2: Tổ gồm HS giỏi, HS HS trung bình Tổ gồm HS lại Chú ý thời điểm này, HS phân hoạch phương án có để thực cơng việc, cịn số cách thực phương án cụ thể chưa tính tốn Để giải tốn cách đầy đủ, HS phải phối hợp với quy tắc nhân cơng thức tính số tổ hợp Ví dụ 2: Dạy học quy tắc nhân Tương tự dạy học quy tắc cộng, sau khái quát hóa quy tắc nhân, GV cần đưa sơ đồ sau: Giai đoạn A Giai đoạn A m cách m cách Giai đoạn A k Công việc A m cách k Qua sơ đồ này, GV nhấn mạnh để HS thấy cơng việc A muốn hồn thành buộc phải trải qua tất giai đoạn từ A1 đến Ak , không bỏ qua giai đoạn nào, khơng có cách giai đoạn thứ Ai1 lại phụ thuộc vào cách giai đoạn thứ Ai , hay nói cách, khác ứng với cách chọn giai đoạn A1 có mi1 cách chọn giai đoạn Ai1 Và điều trước hết phải biết hành động cần làm thực cơng việc A, sau tìm số cách thực hành động 21 Chẳng hạn, với tốn: Một nhóm HS gồm 16 em, có HS lớp 10, HS lớp 11 HS lớp 12 Thầy giáo cần chọn HS nhóm cho có em lớp 10, em lớp 11, em lớp 12 Hỏi có cách chọn? GV hướng dẫn HS tìm cách giải câu hỏi gợi ý sau: Công việc cần giải thầy giáo gì? Hãy kết cơng việc? Để hồn thành cơng việc cần thực hành động nào? Mỗi hành động có tương ứng cách thực hiện? Với gợi ý vậy, bước HS công việc cần làm thầy giáo chọn HS nhóm cho có HS lớp 10,11,12 Một kết công việc chẳng hạn chọn bạn Hằng Hà Khải (giả sử Hằng thuộc nhóm HS lớp 10, Hà thuộc nhóm HS lớp 11, Khải thuộc nhóm HS lớp 12) Cơng việc muốn hồn thành phải thực đồng thời hành động: Thứ chọn HS lớp 10, thứ hai chọn HS lớp 11, thứ ba chọn HS lớp 12 (thứ tự thay đổi) Từ đó, HS áp dụng quy tắc nhân để giải tiếp Tiếp theo, GV yêu cầu HS giải toán mức độ khó như: Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau? Tương tự tốn trên, HS tìm cơng việc muốn hoàn thành phải trải qua giai đoạn: Thứ chọn chữ số hàng trăm, thứ hai chọn chữ số hàng chục, thứ ba chọn chữ số hàng đơn vị Để giúp HS hiểu sâu sắc hơn, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Chúng ta thay đổi thứ tự cho hành động giai đoạn thứ giai đoạn thứ hai hay không? Nếu giai đoạn thứ chọn chữ số hàng chục, giai đoạn thứ hai chọn chữ số hàng trăm gặp khó khăn gì? GV mong đợi HS trả lời sau: Nếu chữ số hàng chục khác số chữ số hàng trăm lại lựa chọn, chữ số hàng chục chữ số hàng trăm lại có lựa chọn, nghĩa việc chọn chữ số hàng trăm giai đoạn thứ hai phụ thuộc vào việc chọn chữ số hàng chục giai đoạn thứ Do đó, thứ tự hành động cần làm chưa hợp lý không đủ điều kiện để áp dụng quy tắc nhân Sau dạy học hai quy tắc, GV cần nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng, chẳng hạn như: - Công việc thực nhiều phương án (nhiều khả hay nhiều trường hợp) dùng quy tắc cộng - Công việc gồm nhiều giai đoạn (nhiều cơng đoạn, nhiều bước) dùng quy tắc nhân Việc phân tích nhấn mạnh giúp cho HS hiểu sâu sắc quy tắc, phân biệt hai quy tắc, biết sử dụng quy tắc cộng, sử dụng quy tắc nhân Tương tự, dạy học khái niệm chỉnh hợp khái niệm tổ hợp, GV cần nhấn mạnh: Từ tập A lấy số phần tử mà quan tâm đến thứ tự chúng dùng chỉnh hợp, cịn khơng quan tâm đến thứ tự chúng dùng tổ hợp 22 c) Yêu cầu HS trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn, có phương án gây nhiễu dựa vào sai lầm HS thường gặp mà thầy giáo dự kiến Chẳng hạn, với câu hỏi: "Một hộp đựng 20 viên bi gồm bi xanh, bi đỏ, bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp Hỏi có cách chọn để viên bi có đủcả màu?", GV tạo phương án sau: A 190400 (C8 C7 C5 1 C17 ); B 31115 ( C 20 - C15 -C13 - C12 ); 6 6 6 6 - C 86 6 + C8 C 31080 ( C 20 - C15 -C13 - C12 D 31150 ( C20 - C15 - C13 - C12 6 - C7 ); + C7 ) Các phương án nhiễu A, B, C phân tích phần 1) Nguyên nhân sai lầm HS học chủ đề tổ hợp Phương án D phương án Với câu hỏi: "Cóbao nhiêu số tự nhiên, màmỗi sốcó chữ số khác đồng thời ln có mặt chữ số 1?", tạo phương án sau: A A A 10 B  C 5.6.A84 D 5.5.A8 6 A A Phương án A B đươcc̣ xây dưngc̣ dựa sai lầm e) Phương án A phạm phải sai lầm c) Ở phương án C, chúng tơi dự đốn HS biết phương pháp chung để giải dạng toán này: Xem cách chọn số tự nhiên thỏa mãn u cầu tốn mơṭcách xếp chữ số từ tập hợp E0; 1; 2; ; 8; 9 vào trống hai chữ số xếp vào ô, chữ số từ tâpc̣ hơpc̣ F2; ; 8; 9 đươcc̣ xếp vào bốn trống cịn laị Chữ số có cách xếp (sai lầm c), phương án cách), chữ số có cách xếp, chữ số cịn lại có A4 cách Theo quy tắc nhân có 6.5.A4 Phương án D phương án Qua việc lựa chọn phương án sai lầm HS, GV yêu cầu HS giải thích lại chọn phương án đó, HS tự phát ngun nhân sai lầm d) Yêu cầu HS giải toán theo nhiều cách khác so sánh cách giải Ví dụ: Có số tự nhiên gồm chữ số khác có mặt chữ số chữ số 1? Cách 1: Xem việc lập số thỏa mãn yêu cầu toán công việc chữ số vào ô trống có chứa số 0, ô chứa số 1, ô lại chọn từ tập hợp E 2; 3; ; 9 gồm chữ số Công việc trải qua giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Sắp chữ số vào trống sau (trừ đầu tiên) có cách Giai đoạn 2: Sắp chữ số vào trống cịn lại (trừ chứa số 0) có cách 23 Giai đoạn 3: Chọn chữ số từ tập E vào cịn lại (trừ hai chứa số số 1) có A84 cách 5.5.A8 cách Theo quy tắc nhân có tất Cách 2: Chia tập hợp gồm chữ số khác thành loại: Loại 1: Các số khơng có mặt chữ số chữ số Mỗi số chỉnh hợp chập tập E 2; 3; ; 9 nên có A8 số Loại 2: Các số có mặt số khơng có mặt số Xem việc thành lập số loại trải qua giai đoạn Giai đoạn xếp số vào vị trí sau (trừ vị trí đầu tiên) có cách, giai đoạn chọn chữ số từ tập E2; 3; ; 9 vào cịn lại có có 6.A8 số A cách Theo quy tắc nhân, loại có 5.5.A số (mỗi cách cho ta số) 5 Loại 3: Các số có mặt số khơng có mặt số Tương tự loại 2, loại Loại 4: Các số có mặt chữ số chữ số (thỏa mãn yêu cầu toán), giả sử x Số số gồm chữ số khác 9.A9 Theo quy tắc cộng, ta có x 9.A9  A8 5.5.A8 6.A8 5 Cách 3: Vì số cần lập có chữ số mà có mặt nên cần chọn thêm chữ số từ tập E2; 3; ; 9 Mỗi gồm chữ số vừa chọn với số tạo thành có chữ số Mỗi hốn vị chữ số trừ hốn vị có chữ số đứng đầu số thỏa mãn yêu cầu tốn Do đó, để lập số công việc trải qua giai đoạn Giai đoạn 1: Chọn chữ số từ  2;3; ;9 có C84 cách Giai đoạn 2: Từ chữ số gồm số vừa chọn với hai số ta lấy số vào vị trí sau, có cách Giai đoạn 3: Sắp chữ số lại vào trống cịn lại, có Theo quy tắc nhân, có tất C 5! cách .5.5! số Cách 4: Việc lập số thỏa mãn u cầu tốn có phương án: Phương án 1: Chữ số vị trí Giai đoạn 1: Sắp số vào ô cịn lại, có cách Giai đoạn 2: Chọn chữ số từ tập E2; 3; ; 9 vào cịn lại, có A9 cách Theo quy tắc nhân, trường hợp có 5.A4 số Giai đoạn 1: Sắp số vào ô, có cách Giai đoạn 2: Sắp số vào ô cṇ lại (trừ ô đầu chứa số 1), có cách 24 Giai đoạn 3: Chọn chữ số từ tập E2; 3; ; 9 xếp vào cịn A8 cách lại, có Theo quy tắc nhân, trường hợp có 5.4.A84 số số Theo quy tắc cộng, có tất 5.A 94  5.4.A Mỗi cách giải cách nhìn tốn góc độ khác Trong cách giải cách giải thứ tốt Việc tìm nhiều lời giải khác cho tốn giúp HS hiểu sâu sắc hơn, HS biết nhìn việc nhiều khía cạnh khác nhau, biết so sánh cách giải để tìm cách giải tốt Hơn nữa, đứng trước vấn đề sống, em linh hoạt việc tìm phương án giải chuyển hướng cần thiết Thực nghiệm 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu đề xuất sáng kiến, nhằm bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh học nội dung Tổ hợp – Xác suất lớp 11 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Quỳnh Lưu 2- Quỳnh Lưu - Nghệ An + Lớp thực nghiệm: 11A2 + Lớp đối chứng: 11A3 Thời gian thực nghiệm tiến hành vào khoảng từ tháng đến tháng 10 năm 2020 Ở lớp thực nghiệm 11A2, tác giả dạy học trực tiếp chủ đề với biện pháp bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo học cho học sinh mà đề tài trình bày Để thể ý tưởng đề tài, tài liệu thực nghiệm sư phạm biên soạn để dạy 14 tiết theo chương trình khóa chương “Tổ hợp – Xác suất” SGK Đại số & Giải tích lớp 11 theo hướng bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh Tài liệu thực nghiệm trình bày dạng giáo án, phiếu học tập thực nghiệm chuẩn bị sẵn cho lớp thực nghiệm Nội dung giáo án thực nghiệm nội dung có SGK Toán 11, bám sát chuẩn kiến thức, kĩ theo quy định Bộ Giáo dục Đào tạo Tuy nhiên, dạy cụ thể có thêm hoạt động để phục vụ ý đồ đưa nhằm bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra lớp thực nghiệm lớp đối chứng Sau nội dung đề kiểm tra: 25 Đề 1: Câu 1: Tính giá trị biểu thức: AC0 2019  3C1 2019  32C2 2019  32019 C2019 2019 Đề xuất tốn tương tự Câu 2: Có bơng hoa khác Hỏi có cách chọn hoa để cắm vào lọ Một học sinh giải sau: Chọn hoa thứ có C cách chọn Chọn bơng hoa thứ hai có C cách chọn Chọn bơng hoa thứ ba có C3 cách chọn Theo quy tắc nhân số cách chọn hoa từ hoa khác cách 1  60 CCC chọn Bài giải hay sai? Nếu sai sai lầm giải? Hãy trình bày cách giải Câu 3: Trường THPT Quỳnh Lưu tổ chức giải Bóng đá chào mừng kỷ niệm ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh 26/3 gồm 16 đội chia thành bảng, bảng có đội thi đấu bốn vịng sau: Vịng 1: Các đội bảng thi đấu vòng tròn với nhau, sau chọn đội đứng đầu bảng vào vòng Vòng 2: Bắt thăm cho đội bảng gặp đội nhì bảng khác Vịng 3: Bốn đội thắng vòng bốc thăm đấu loại trực tiếp, hai đội thắng tranh chức vô địch, hai đội thua tranh giải ba Vòng 4: Tranh giải 3: hai đội thua vòng Tranh giải nhất: hai đội thắng vòng ba Ban tổ chức cần ngày để hoàn thành trận đấu biết ngày đá trận thi đấu liên tục Dụng ý đề: Câu dụng ý đề từ công thức nhị thức Newton học sinh sử dụng thao tác tư đặc biệt hóa, tương tự hóa để tìm tịi lời giải tốn sáng tạo toán Câu dụng ý để học sinh phát sai lầm giải (theo quy tắc nhân cơng việc hồn thành gồm cơng đoạn chọn hoa thứ nhất, chọn hoa thứ hai chọn bơng hoa thứ ba, điều địng nghĩa với có phân biệt thứ tự yêu cầu tốn khơng phân biệt thứ tự ) từ việc phân tích sai lầm giải học sinh đưa cách giải cho toán Câu dụng ý đưa vấn đề thực tế có nhiều chi tiết phụ Học sinh biết chọn lọc, gạt bỏ yếu tố phụ không chất giữ lại yếu tố toán học 26 vấn đề Từ đưa vấn đề thực tế thành tốn đại diện cho tình thực tế Giải tốn ta có câu trả lời cho vấn đề thực tế Đề 02 Câu 1: Cho tập A1; 2;3; 4;5; 6 Hỏi có ba nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau? Tính tổng số Câu 2: Cho tập A1, 2, 3, 4, 5, 6 Hỏi có số gồm bốn chữ số khác mà ln có mặt số 1, Hãy giải toán nhiều cách giải khác Câu 3: Một tổ có học sinh nam, học sinh nữ Chọn nhóm gồm học sinh cho có nữ Hỏi có cách chọn? Học sinh giải sau: Bước 1: Chọn nữ có C7 cách chọn Bước 2: Chọn bạn từ 13 bạn cịn lại có C 7C Vậy số 13 15015 C cách 13 cách để chọn học sinh từ 15 học sinh có nữ cách Hãy sai lầm giải? Đưa cách giải cho toán Câu 4: Kết thi tuyển sinh đại học năm học 2017-2018 lớp 12A trường THPT Quỳnh Lưu có HS gồm học sinh nam học sinh nữ đậu vào khoa Kế toán trường ĐH Kinh tế quốc dân Giả sử khoa kế tốn có lớp Tính xác suất để tất HS nam vào lớp, HS nữ lớp lại Dụng ý đề: Câu Ở tốn việc tính số số gồm chữ số khác cần dùng hoán vị số hạng cho Để tính tổng số tìm cần xác định số lần xuất chữ số hàng đơn vị, hàng trăm… lần từ đưa cách tính tổng Câu dụng ý để học sinh thay đổi cách nhìn, cách suy luận, từ đưa cách giải khác cho toán Câu dụng ý để học sinh học tập từ sai lầm Muốn phải phát sai lầm tốn, từ đề xuất phương án Câu dụng ý đưa toán thực tế, học sinh biết vận dụng kiến thức phù hợp để giải toán 27 3.3 Phân tích kết thực nghiệm * Đánh giá định tính - Học sinh biết xác định vấn đề cần giải tình tốn học - Biết vận dụng sáng tạo kiến thức vào giải tình mới: đưa tốn tương tự, giải toán thực tế, giải toán nhiều cách - Biết chuyển tải tri thức kỹ từ lĩnh vực quen biết sang tình mới, vận dụng kiến thức học điều kiện hoàn cảnh - Thái độ học tập tích cực, chủ động sáng tạo - Có thói quen phân tích mối liên hệ giả thiết kết luận toán để định hướng tìm lời giải tốn - Học sinh chưa thấy cần thiết phải giải toán nhiều cách khác Khi đứng trước toán mà giáo viên yêu cầu giải nhiều cách khác nhau, đa số học sinh trọng tìm nhiều hướng giải chưa ý so sánh cách giải để tìm ưu điểm yếu điểm cách giải để từ đưa lớp tốn có cách giải - Khi đứng trước tốn có chứa số mang tính đặc thù, đa số học sinh khơng có nhu cầu tạo tốn tương tự hóa, khái quát hóa hay đặc biệt hóa - Khi học chủ đề, nhiều học sinh chưa có ý thức việc phân tích sai lầm thường gặp, khái quát từ sai lầm cụ thể thành sai lầm tổng quát tìm biện pháp khắc phục - Việc giải toán nhiều cách học sinh thực có yêu cầu giáo viên Các em chủ động tìm cách giải từ tốn biết tốn - Chưa có thói quen gắn toán học với thực tiễn Đa số học sinh thích tốn mang tính tốn học túy - Năng lực giải vấn đề biểu khơng rõ với đối tượng học sinh trung bình yếu *Đánh giá định lượng Thống kê kết qua hai kiểm tra Chúng xây dựng thang đánh giá bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh học sinh sau: + Mức độ 1: Bài làm đạt – 10 điểm + Mức độ 2: Bài làm đạt –