Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết quả sai để làm bài ở các phần tiếp theo thì không tính điểm ở các phần tiếp theo đó..[r]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2012 – 2013Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 11/01/2013 Đề thức ( )( ) +1 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P= 1+ x + √ − x : √ √1 − x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để √ P> P Cho a> , thoả mãn điều kiện: A=a + a5 a2 + =23 a2 Tính giá trị biểu thức: Câu 2: (4,0 điểm)1 Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: (k - 2)x + (k - 1)y = (k tham số) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn Giải hệ phương trình: ¿ 1 x+ y+ + = x y xy + = xy ¿{ ¿ Câu 3: (4,0 điểm) Tìm cặp số nguyên x, y thoả mãn điều kiện: ( x − 2013 )2= y ( y +1)( y +2)( y+ 3) Lấy điểm miền tứ giác để với đỉnh ta điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác 1, chứng minh tồn tam giác có ba đỉnh lấy từ điểm cho có diện tích khơng vượt q 10 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có AC = 3AB = 3a BAC = 60 Trên cạnh BC lấy điểm D cho ADB = 300 Đường thẳng vng góc với AD tai D cắt tia AB E cắt cạnh AC F Hạ EK vng góc với AC (K AC) a) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo a b) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF EK đồng quy Diện tích hình thang Hỏi đường chéo lớn có giá trị bé bao nhiêu? Câu 5: (2,0 điểm) Cho x , y , z > x+ y+ z ≤ Chứng minh rằng: √ x+ 1 2 + y + + z + ≥ √ 17 x y z √ √ Câu Điểm Nội dung đáp án 0,5 a) ĐKXĐ: −1< x OA ¿ Thay x = vào phương trình ta yB => OB 1 = + 2 OH OA OB (4,0đ) => OH= Do đó: OH ≤ 0,25 y (d) √2 k −6 k +5 1 2 k − k +5=2 k − + ≥ (với k) 2 2 Mặt khác, ta có: 0,25 |k −21 | ¿| k −1| Thay y = vào phương trình ta xA ¿ Rõ ràng (d) không qua gốc toạ độ với k k Tam giác AOB vuông O Theo định lý Pitago, ta có: 0,25 ( ) O A H =√ Dấu “=” xảy k = x √ B Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn √ k = 2 ĐKXĐ: xy ≠ 0,25 0,25 0,5 ¿ ( ) [ xy x + y + ( x + y ) ]=9 xy (1) Hệ phương trình cho tương đương với: ( xy ) − xy +2=0 (2) ¿{ ¿ Giải phương trình (2) theo xy , ta được: xy=2 xy= * Với xy=2 , thay vào (1) ta x+ y=3 Từ tìm ( x ; y ) ∈ { (1 ; ) , ( 2; ) } * Với xy= , thay vào (1) ta x+ y= Từ tìm 1 (x; y)∈ 1; , ;1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: 2 0,5 0,5 {( ) ( )} ( ) ( )} { ( x ; y ) ∈ ( 1; ) , ( ; ) , 1; 1 , ;1 2 Đặt t= y +3 y ( x − 2013 )2=t 2+2 t t+ 1¿ 2 t Hạ đường cao AH BK suy HC ≥ KD ⇒ 2HC HC + KD = DC + AB (*) Δ AHC vuông H Theo định lý Pitago, 2 ta có: H HC m1 2 AH HC ( DC AB).h 2S ABCD 2 0,5 0,5 Theo BĐT Cosi, ta có: 2 2 H H HC HC m212 m 1AH .2HC AH HC ( DC( DC AB ) hAB 2).Sh ABCD 2S 2 ABCD 0,5 Kết hợp với (*), ta có: 2 H HC m 2 AH HC ( DC AB).h 2S ABCD 2 ⇒ m1 ≥ 2⇒ m1 ≥ √2 ⇔ Dấu xảy HC KD AH HC 0,5 m1 Vậy diện tích hình thang đường chéo lớn có giá trị bé m1 1 + + ≥ ≥6 (vì x+ y+ z ≤ ) x y z x+ y+ z 1 Đặt a= x + y + z , suy a ≥ 62 b=( x+ y+ z ) , Khi đó, ta có ab ≥ 92 2 a b a ab a+b= + + − ≥2 + 62 − 2 2 6 2 Ta có: ( 0,5 ) () [ [ ] () ( )] ( )√ [ 0,5 ( ) ] 6a 2 3 2 a+b ≥ +6 − = +6 (2,0đ) Suy 2 Bây áp dụng bất đẳng thức: √ a21 +a22 +√ b12+b 22+ √ c21 +c 22 ≥ √( a1+ b1 +c )2+ ( a2 +b 2+ c 2) Ta () () () 0,25 1 1 2 2 + y + + z + ≥ ( x + y + z ) + + + ≥ 2 x y z x y z Dấu “=” xảy x= y=z = √ Q= x + √ 0,25 √ √ ( 2 +6 = √ 17 2 ) √( ) 0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết sai để làm phần khơng tính điểm phần