DE THI HSG HUYEN KB MON TOAN 9 20172018

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán Câu.[r]

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM BƠI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THCS, NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: Tốn Đề chính thức (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) - Đề thi gồm 01 trang -  x x   x2  2x 1    x  x  x    Câu 1: (4,0 điểm) Cho A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A > Câu 2: (6,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: x  x  x  x  18  x  y  xy   2 b) Giải hệ phương trình  x  y  xy 7 c) Cho  ABC vuông cân A, điểm K thuộc cạnh BC Chứng minh: 2KA2 = KB2 + KC2 Câu : (3,0 điểm) a) Cho a  b  c 0 , tính giá trị của biểu thức: 1  2  2 2 b c  a a c  b a  b2  c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A n  n  là số chính phương P Câu : (5,0 điểm) Cho điểm A, B, C nằm đường thẳng d (B nằm A và C) Vẽ đường tròn tâm O qua B và C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN H và cắt đường tròn các điểm P và Q (P nằm A và O), BC cắt MN K    a) Chứng minh AMO  ANO  AIO b) Chứng minh AK.AI = AB.AC c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P là trung điểm ME Câu 5: (2,0 điểm) Cho ba số a; b; c  và a + b + c = Tìm giá trị lớn của biểu thức A = abc(a+b)(b+c)(c+a) - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Câu ý a Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x 0, x 1 A  x ( x  1) A    x ( x  1)   b 2 1,0 x ( x  1)   x     x 1  x   Điểm 1,0 1,0 (vì x  x  1) 1,0 2 x  x  x  x  18  2( x  x  8)  x  x   0 Đặt a x  x   y, y 0 ta phương trình: y=2 ¿ y=− ¿ ¿ ¿ ¿ 2 ¿ y −3 y −2=0 ⇔2 y + y − y −2=0 ¿ ⇔ ( y − 2)(2 y +1)=0 ⇔  y = 2k – 2n – 1) 2k  n  23    2k  2n  1  k 6   n 5 Vậy với n = thì A là số chính phương 1,0 M Q P A B O D H K I a C E d N I là trung điểm của BC ( dây BC không qua O )  OI  BC  AIO 900  Ta có AMO 90 ( AM là hai tiếp tuyến (O) ) ANO 900 ( AN là hai tiếp tuyến (O) ) AMO  ANO  AIO Vậy ( = 900) AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA là tia phân  giác MON mà ∆OMN cân O nên OA  MN   ANB=ACN=  sđ NB ∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( Vì và AB AN =  AB.AC=AN CAN chung ) suy AN AC (1) b c 2,0 0,5 0,5 ∆ANO vuông N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2 (2) Suy AB.AC = AH.AO    ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì AHK=AIO=90 và OAI chung ) 1,0 AH AK  =  AK.AI=AH.AO (3) AI AO Từ (1); (2); (3) suy AK.AI = AB.AC  Ta có PMQ=90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn )   Ta có ∆MHE đồng dạng ∆QDM có MEH=DMQ ( phụ với ME MH      DMP ), EMH=MQD MQ DQ MPO ( phụ với ) ∆PMH đồng dạng với ∆MQH (g.g) 1,0 MP MH MH   MQ HQ DQ MP ME   MQ MQ   ME = MP  P là trung điểm ME Áp dụng BĐT cơsi cho sớ a;b;c  0, ta có: = a +b+c  abc (1) = (a+b)+(b+c)+(c+a) 3 (a  b)(b  c)(c  a) (2) Nhân (1) và (2) vế với vế (do hai vế không âm), ta 1,0 được: 3 29 A A   A 729  a b c  Do đó: Max A = 729 1,0 ... = thi? ? A là số chính phương 1,0 M Q P A B O D H K I a C E d N I là trung điểm của BC ( dây BC không qua O )  OI  BC  AIO ? ?90 0  Ta có AMO ? ?90 ( AM là hai tiếp tuyến (O) ) ANO ? ?90 0... a) (2) Nhân (1) và (2) vế với vế (do hai vế không âm), ta 1,0 được: 3 2? ?9 A A   A 7 29  a b c  Do đó: Max A = 7 29 1,0 ... ? ?90 0 ( AN là hai tiếp tuyến (O) ) AMO  ANO  AIO Vậy ( = 90 0) AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA là tia phân  giác MON mà ∆OMN cân O nên OA  MN   ANB=ACN=  sđ NB ∆ABN đồng