De va dap an thi chuyen lam son thanh hoa

Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đờng tròn O 0  * Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H.. Gọi N là giao điểm của CO và đườ[r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) Mơn thi : TỐN (Mơn chung cho tất cảc thí sinh) Thời gian làm :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17 tháng năm 2012 Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức :  a 1 P    a1  a1  a  a 1  2a a , (Với a > , a 1) P a 1 Chứng minh : Tìm giá trị a để P = a Câu (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x đờng thẳng (d) : y = 2x + Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ) Câu (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = Giải phơng trình m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu (3.0 điểm) : Cho đường trịn (O) có đờng kính AB cố định, M điểm thuộc (O) ( M khác A B ) Các tiếp tuyến (O) A M cắt C Đờng tròn (I) qua M tiếp xúc với đờng thẳng AC C CD đờng kính (I) Chứng minh rằng: Ba điểm O, M, D thẳng hàng Tam giác COD tam giác cân Đờng thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động đường tròn (O) 2 Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dương không âm thoả mãn : a  b  c 3 a b c    Chứng minh : a  2b  b  2c  c  2a  2 Hết Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa BÀI GIẢI NỘI DUNG CÂU P Chứng minh :  a 1 P    a1  P P P ĐIỂM 1.0 a  a1  a  a 1  2a a   a 1    a  4 a   a 1  a 1  a1 a  a   a  a   4a a  a   a 1  a1  a1 2a a 2a a 4a a  a  2a a a  (ĐPCM) Tìm giá trị a để P = a P = a 1.0 a  a  a  0 => a  Ta có + + (-2) = 0, nên phương trình có nghiệm a1 = -1 < (không thoả mãn điều kiện) - Loại c  2 a2 = a (Thoả mãn điều kiện) Vậy a = P = a Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình x2 = 2x + => x2 – 2x – = có a – b + c = Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1.0 c  3 x1 = -1 x2 = a Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A (-1; 1) Với x2 = => y2 = 32 = => B (3; 9) Vậy (d) (P) có hai điểm chung phân biệt A B Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ) Ta biểu diễn điểm A B mặt phẳng toạ độ Oxy hình vẽ Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa 1.0 B A D -1 C AD  BC 1 DC  20 2 BC.CO 9.3   13,5 2 AD.DO 1.1   0,5 2 S ABCD  S BOC S AOD Theo cơng thức cộng diện tích ta có: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 – 13,5 – 0,5 = (đvdt) Khi m = 4, ta có phương trình x2 + 8x + 12 = có ’ = 16 – 12 = > Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - + = - x2 = - - = - Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 + 2mx + m2 – 2m + = Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – Để phương trình có hai nghiệm phân biệt D’ > => 2m – > => 2(m – 2) > => m – > => m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt 1.0 1.0 1.0 I C H M N A K D O B Ba điểm O, M, D thẳng hàng: Ta có MC tiếp tuyến đường tròn (O)  MC  MO (1) Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa  Xét đường trịn (I) : Ta có CMD 90  MC  MD (2) Từ (1) (2) => MO // MD  MO MD trùng  O, M, D thẳng hàng Tam giác COD tam giác cân CA tiếp tuyến đường tròn (O)  CA AB(3) Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC C  CA  CD(4)   Từ (3) (4)  CD // AB => DCO COA (*) ( Hai góc so le trong)   CA, CM hai tiếp tuyến cắt (O)  COA COD (**)   Từ (*) (**)  DOC DCO  Tam giác COD cân D Đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động đờng tròn (O)  * Gọi chân đường vng góc hạ từ D tới BC H CHD 90  H  (I) (Bài tốn quỹ tích) DH kéo dài cắt AB K Gọi N giao điểm CO đường tròn (I) 1.0 1.0  CND 900  NC  NO   COD can tai D => Ta có tứ giác NHOK nội tiếp    Vì có H O1 DCO ( Cùng bù với góc DHN)  NHO  NKO 180 (5)   * Ta có : NDH NCH (Cùng chắn cung NH đường tròn (I))     CBO HND HCD    DHN  COB (g.g) HN OB    HD OC  OB OA HN ON      OC OC HD CD  OA CN ON       OC CD CD  Mà ONH CDH  NHO DHC (c.g.c) 0      NHO 90 Mà NHO  NKO 180 (5)  NKO 90 ,  NK  AB  NK // AC  K trung điểm OA cố định  (ĐPCM) Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dơng không âm thoả mãn : 2 1.0 a  b  c 3 a b c    Chứng minh : a  2b  b  2c  c  2a  2 a b2  a  b    x y x y * C/M bổ đề: a2 b2 c2  a  b  c     x y x x yz Thật a2 b2  a  b  2    a y  b x  x  y  xy  a  b    ay  bx  0 x y x y   Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa (Đúng)  ĐPCM a2 b2 c2  a  b  c     x y x x yz Áp dụng lần , ta có: 2 * Ta có : a  2b  a  2b   2a  2b  , tương tự Ta có: …  a b c a b c A      a  2b  b  2c  c  2a  2a  2b  2b  2c  2c  2a  1 a b c   A    (1)   a b 1  b c  1 c  a1  B a b c   1 Ta chứng minh a  b  b  c  c  a  a b c   1  1   a  b 1 b  c 1 c  a 1 b c a     a  b 1 b  c 1 c  a 1 b 1 c 1 a 1    2 a  b 1 b  c 1 c  a 1 2  b  1  c  1  a  1    2  a b 1  b 1  b  c 1 c 1   c  a 1  a 1 (2) 3 B * Áp dụng Bổ đề ta có: 3   a  b  c  3 B  a  b  1  b  1   b  c  1  c  1   c  a  1  a  1  3 B   a  b  c  3 (3) a  b  c  ab  bc  ca  3(a  b  c )  * Mà:  a  b  c  ab  bc  ca  3(a  b  c )  3 2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca  6a  6b  6c  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca  6a  6b  6c  ( Do : a  b  c 3) a  b  c  2ab  2bc  2ca  6a  6b  6c   a  b  c  3   a  b  c  3 a  b  c  ab  bc  ca  3(a  b  c )  2 (4) Từ (3) (4)  (2) Kết hợp (2) (1) ta có điều phải chứng minh Dấu = xảy a = b = c = Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HỐ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có trang) KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi : TỐN (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp) Thời gian làm :150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 18 tháng năm 2012 Câu 1: (2.0 điểm )  x 2 x 3 A    x  x 6 2 x  Cho biểu thức : x 2   : 2 x    x   x   1/ Rút gọn biểu thức A  2/ Tìm giá trị x để A Câu (2,0 điểm )  a 0  đường thẳng (d): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x  (2m  1) x  m  m  0 (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x   y  2  1  x  y 1  2/ Giải hệ phương trình: Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M 1/ Chứng minh rằng: MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB  AC  BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Câu (1.0 điểm)  2 x y Cho x, y số thực dương thoả mãn : Chứng minh : x  y  xy  y 3 Hết -Họ tên thí sinh …………………………………………… Số báo danh: ………………………… Chữ ký giám thị 1: ………………………………… Chữ ký giám thị 2: …………………… Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa Bài giải Câu 1: (2.0 điểm )  x 2 x 3 A    x  x 6  x  Cho biểu thức : x 2   : 2 x    x   x   1/ Rút gọn biểu thức A  x 2 x 3 A     x  x 6 2 x x 2   : 2 x    x   x   (ĐK: x  0, x  4, x  ) x 1 A = … = x  2/ Tìm giá trị x để A x     x   x  A 2 x 1 1  x  x  0    x    x  2  x  x  Kết hợp với ĐK  Câu (2,0 điểm )  a 0  đường thẳng (d): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) M (P)  …  a =  y = 2x2 M  (d)  …  b =  y = x + 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x +  2x2 - x - =  x 1  y 2  1   M  1;  ; N   ;  1  x   y   2 2  SMON Sthang   S1  S2   0, 75 (dvv) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x  (2m  1) x  m  m  0 (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa     a.c    b    a 25   m  m      2m    m     m   m2   m    x   y  2 (1)  1 (2)  x  y 1  2/ Giải hệ phương trình: (ĐK: x  1; y  1) (2)  x + y = xy (3) Hai vế (1) dương ta bình phương hai vế ta có: x y 22  x  1  y  1 4  x  y   xy   x  y   4  x+y=4  Thay (3) vào ta có: x + y = kết hợp với (3) có hệ:  xy=4 Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y hai nghiệm pt: X2 - 4x + =  x = 2; y = Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M B P A N M O Q C 1/ Chứng minh rằng: MO = MA A1 = O1 A1 = A2  A2 = O1  MAO cân  MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB  AC  BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có …  AB + AC - BC = … = 2.AP (không đổi) b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Nếu tứ giác BCQP nội tiếp  P1 = C1 Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa mà P1 = Q1  C1 = Q1  PQ//BC Câu (1.0 điểm)  2 x y Cho x, y số thực dương thoả mãn : Chứng minh : x  y  xy  y 3 * Ta có: x  y  xy  y 3  x  xy  y  x  y  0   x  y   x  y  0 2 2x  2x  2  2     y y x y x 2x  * x y Vì : y > ; x >  2x - >  x > 1/2 Thay y = … vào x  y  0 2x 2x3  x2  x  6x  x  y  0  x   0  0 2x  2x  Ta có: (1) 3 Vì 2x - >  (1)  x  x  x  x  0  x  x  x  0 2 Mà x  x  x  2 x  x  x  x  3x   x  1 x  x    x  1  2x  y  Vậy 2  x  3 0  x  y  0  x  x  0; y  Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa Së gi¸o dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dùng chung cho thí sinh thi vo chuyên tin) Thời gian làm 120 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 19 tháng năm 2011 Đề CHíNH THứC Câu I (2,5 điểm) Giải phơng trình: x=17 √2 x − √ x 4 Chøng minh r»ng: √ 17+12 √ 2+ √17 − 12 = 2 Câu II: (2 điểm) Giải phơng trình: (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x Câu III (1,5 điểm) Tìm số nguyên x,y thõa mÃn: x 2+ x +2 y 2+ y=2 xy +xy +3 C©u IV : (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB AC lần lợt lấy điểm D vµ E cho DE = BD + CE Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC I CMR : a) Tam giác DIE vuông b) Đờng thẳng DI qua điểm cố định Câu V: (1 điểm) Cho a, b số dơng thỏa mÃn: a+b =1 19 + 2 +2011( a4 +b ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = ab a +b - HÕt Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 2: Mai Huy Dũng – Trường THCS Bình Minh- Tĩnh Gia-Thanh Hóa ... Bình Minh- Tĩnh Gia -Thanh Hóa SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HỐ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có trang) KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi : TỐN (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chun... Tĩnh Gia -Thanh Húa Sở giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dïng chung cho thÝ sinh thi vào chuyªn tin) Thêi gian làm 120... = b = ½ Hết Së GD & ĐàO TạO THANH HOá Kỳ THI TUYểN SINH VàO LớP 10 THPT chuyên Lam Sơn - Đề chung Năm học 2011-2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi 19 tháng năm 2011 Cõu 1: