De va dap an thi chuyen lam son thanh hoa

Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đờng tròn O 0  * Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H.. Gọi N là giao điểm của CO và đườ[r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN

(Đề gồm có 01 trang) (Môn chung cho tất cảc thí sinh)

Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 17 tháng 6 năm 2012

Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức :

P a

1 Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

2 Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O

là gốc toạ độ)

Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0

1 Giải phơng trình khi m = 4

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc

(O) ( M khác A và B ) Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C Đờng tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đờng thẳng AC tại C CD là đờng kính của (I) Chứng minh rằng:

1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng

2 Tam giác COD là tam giác cân

3 Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M

di động trên đường tròn (O)

Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn : a2b2c2 3

P a

Ta có 1 + 1 + (-2) = 0, nên phương trình có 2 nghiệm

a1 = -1 < 0 (không thoả mãn điều kiện) - Loại

a2 =

221

c a

2 1 Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của

c a



 Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = 1 => A (-1; 1)

A 9

3 -1 0

Theo công thức cộng diện tích ta có:

S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)

H

D I

Xét đường tròn (I) : Ta có CMD  900  MC  MD (2)

Từ (1) và (2) => MO // MD  MO và MD trùng nhau

 O, M, D thẳng hàng

2 Tam giác COD là tam giác cân

CA là tiếp tuyến của đường tròn (O)  CA AB(3)

Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại C  CA  CD(4)

Từ (3) và (4)  CD // AB => DCO COA (*)

( Hai góc so le trong)

CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O)  COA COD  (**)

Từ (*) và (**)  DOC DCO  Tam giác COD cân tại D

1.0

3 Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố

định khi M di động trên đờng tròn (O)

* Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H CHD  900  H  (I)

(Bài toán quỹ tích)

DH kéo dài cắt AB tại K.

Gọi N là giao điểm của CO và đường tròn (I)

Ta có tứ giác NHOK nội tiếp

Vì có H2 O1DCO ( Cùng bù với góc DHN)  NHO NKO 1800(5)

* Ta có : NDH NCH (Cùng chắn cung NH của đường tròn (I))

 NHO 900 Mà NHO NKO  1800(5) NKO 900,  NK  AB  NK

// AC  K là trung điểm của OA cố định  (ĐPCM)

a b c B

Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh.

Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN

THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013

(Đề gồm có 1 trang) (Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)

Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 18 tháng 6 năm 2012 Câu 1: (2.0 điểm )

1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến

AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.

1/ Chứng minh rằng: MO = MA

2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C Chứng minh rằng:

a) AB AC BC   không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC

x x

2

3

25 0 0

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến

AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.

1

1

1 2

A1 = O1 và A1 = A2  A2 = O1  MAO cân  MO = MA

2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C Chứng minh rằng:

a) AB AC BC   không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có …  AB + AC - BC = … = 2.AP (không đổi)

b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC

Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được  P1 = C1

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn

Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012

Môn : Toán

(dùng chung cho thí sinh thi v o chuyên tin) à

Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề

Câu III (1,5 điểm)

Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: x2+x +2 y2+y=2 xy2+xy +3

Câu IV : (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB và AC lần lợt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC tại I CMR :

a) Tam giác DIE vuông

b) Đờng thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định

Câu V: (1 điểm)

Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a+b =1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 19

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh: Số báo danh

Chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 2:

Đề CHíNH THứC

Giải đề thi môn toán Vào Chuyên tin Lam sơn 2011 – 2012 Câu 1 :

* Với x = 0 không phải là nghiệm phơng trình

* Với x ≠ 0 , chia hai vế phơng trình cho x2 ta có phơng trình :

I

E D

O

A

a) Điểm M t/m MD = BD, ME = CEDựng đường tròn tâm (O) đường tròn đi qua M, B v C à

  DBO =  DMO (ccc)  Tia DO l p/g góc BDM Tgà

tự EO l tia p/g góc CEM à  O l tâm à đường tròn b ng àtiếp  ADE  (O) tiếp xúc với AB, AC v DE tà ại B, C

v M à  OB  AB, OC  AC, OM  DE

DOE = ECI ( cùng bằng ½ cung BC) suy ra tứ giác IOCE nội tiếp

M góc ECO = 90à 0 nên góc EIO = 900

Vậy góc DIE vuông.

b) Áp dụng phần a) ta luôn có DI đi qua điểm cố định l O àTâm đường tròn tiếp xúc với AB ,AC tại B v C à

A 

Câu 2: (2.0đ)

Cho parabol (P) y = 12 x2

và đường thẳng y = mx –m + 2 (m là tham số)1/ Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4

2, Chứng minh với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm

x x

1, CM:

a, Tg CPKB nội tiếp được trong một đường tròn

b,  APB vuông tại P

2, A, I, B cố định XĐ vị trí của C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) sao cho tg ABKI có diện tích lớn nhất?

2/ Chứng minh

23

A 

(với x t/m điều kiện)

Câu 2:

Cho parabol (P) y = 12 x2 và đường thẳng y = mx –m + 2

1/ Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4

(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4  pt 12 x2=mx −m+2 (*) có nghiệm x = 4

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất:

1312

x y

x x

x x

x x

x x

3

3 29

18

x x

x x

O' O

P

K I

y

A

1, CM:

a, Tg CPKB nội tiếp được trong một đường tròn

Gọi O là tâm của đường tròn đường tròn đương kính IC  O là TĐ của IC

IPC nt chắn nữa đường tròn (O)  IPC = 1v  CPK = 1v, CBK = 1v (gt)  hai điểm P

và B cùng thuộc đường tròn đường kính CK tâm O’ là trung điểm của BP

 CPKB nt (O’)

b, APC = AIC (nt chắn cung AC)

AIC = KCB (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

 APC = KCB CPB = CKB (nt chắn cung BC)Cộng vế ta có: APC + CPB = KCB + CKB = 1v

 APB = 1v   APB vuông tại P.

2, A, I, B cố định XĐ vị trí của C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, B) sao cho tg ABKI có diện tích lớn nhất?

Dấu bằng  AC = BC hay C là trung điểm của AB.

* Vì a + b+ c = 2 ⇒ 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab)

= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) ⇒ 2c+ab = (c+a)(c+b)

S

c (b+a) a+b ] ¿1

Vậy min P = 1 khi a = b = c = 32

Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012

Môn : Toán (dùng chung cho thí sinh thi v o chuyên tin) à

Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011

Câu I (2,5 điểm)

Đề CHíNH THứC

Câu III (1,5 điểm)

Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: x2+x +2 y2+y=2 xy2+xy +3

Câu IV : (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB và AC lần lợt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC tại I CMR :

c) Tam giác DIE vuông

d) Đờng thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định

Câu V: (1 điểm)

Cho a, b là các số dơng thỏa mãn: a+b =1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 19

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh: Số báo danh

Chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 2:

Giải đề thi môn toán Vào Chuyên tin Lam sơn 2011 – 2012 Câu 1 :

* Với x = 0 không phải là nghiệm phơng trình

* Với x ≠ 0 , chia hai vế phơng trình cho x2 ta có phơng trình :

A

a) Điểm M t/m MD = BD, ME = CEDựng đường tròn tâm (O) đường tròn đi qua M, B và C

  DBO =  DMO (ccc)  Tia DO là p/g góc BDM

Tg tự EO là tia p/g góc CEM  O là tâm đường tròn bàng tiếp  ADE  (O) tiếp xúc với AB, AC và DE tại

B, C và M  OB  AB, OC  AC, OM  DE

DOE = ECI ( cùng bằng ½ cung BC) suy ra tứ giác IOCE nội tiếp

Mà góc ECO = 900 nên góc EIO = 900

Vậy góc DIE vuông.

b) Áp dụng phần a) ta luôn có DI đi qua điểm cố định là O Tâm đường tròn tiếp xúc với AB ,AC tại B và C

Sở giáo dục và đào

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

y  x

và đờng thẳng (d): y = -1 Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (P) Tìm trên trục tung tất cả các điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm đó bằng khoảng cách từ M đến đ- ờng thẳng (d).

2 Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: b + c 16abc Chỉ rõ dấu

đẳng thức xảy ra khi nào?

Tam giác ABC có  BAC  1050, đờng trung tuyến BM và đờng phân giác trong CD cắt nhau tại

K sao cho KB = KC Gọi H là chân đờng cao hạ từ A của tam giác ABC.

Sở giáo dục và đào

tạoThanh hoá

kỳ thi vào lớp 10 thpt chuyên lam sơn

năm học: 2010 - 2011

ĐáP áN Đề THI CHíNH THứC

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2010

Đáp án này gồm có 04 trang

H

ớng dẫn chung :

* Lời giải nêu trong đáp án, nói chung, là lời giải vắn tắt Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ và

chính xác các suy luận thì mới đợc điểm.

* Các câu hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm Nếu học

sinh thừa nhận kết quả của ý trên để giải ý dới thì không chấm điểm ý dới.

* Các cách giải khác với cách nêu trong đáp án này mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần (câu)

t-ơng ứng.

* Điểm của toàn bài không làm tròn.

¸p dông ta cã: (a + b + c) = [a +(b + c)] ≥ 4a(b + c) §¼ng thøc x¶y ra khi: a =

b + c 

1 2

Nhng l¹i cã (b + c)2 ≥ 4bc §¼ng thøc x¶y ra khi: b = c (**)

Suy ra: b + c ≥ 16abc.

0 3

x y

0 3

82 9 0,

x y

Giả sử HA HB  , khi đó  ABH  BAH   BAH   450 và  ABH  450

Tam giác AMH cân tại M nên  AHM  HAM   600   AMH  600.

x x

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2010-2011

( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010

Câu II : ( 2 điểm ) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – 7x + 3 = 0

1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 -x2 và 2x2 -x1

2) Tính giá trị của biểu thức : B = |2 x1− x2| + |2 x2− x1| ,

Câu III : ( 1,5 điểm ) Giải hệ phương trình

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

x a

1) Xét tam giác ABE và tam giác IBE có:

AB=IB; gócBAE= gócBIE = 900 ; BE chung

suy ra tam giác ABE = tam giácIBE (cạnh huyền -cạnh góc vuông)

suy ra AE = IE (1)

vì ABCD là hình vuông nên góc EDI = 450 suy ra góc DEI = 450 (vì tam giácDEI vuông ở I)

suy ra tam giác DEI cân tại I suy ra IE =ID (2)

từ (1) và (2) suy ra AE = DI

2) Vì EA = EI nên đường tròn (E;EA) đi qua I mà EI vuông góc với DI

suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn (E;EA)

suy ra gócDAI = gócDIF (cùng chắn cung IF)

suy ra tam giácDAI đồng dạng với tam giácDIF (G-G) suy ra DA/DI =DI/DF

do đó DF.DA = DI2

mà DI = IE suy ra DF.DA =IE2 (3)

vì AI là dây chung của đương tròn (E;EA) và đường tròn (B;BA=BI) nên AI vuông góc với BE tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BEI có : IE2 = EH.EB (4)

Từ (3) và (4) suy ra DF.DA =EH.EB

SỞ GD VÀ ĐT

THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

x y

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2  bx c   0(a  0) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn

điều kiện: 0   x1 x2  2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

2 3 2

1 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Một đường thẳng qua A,

cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm của các đường

Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E Chứng minh rằng:

2√2 −2 ≤ DE<1

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P=a2+b2+c2+d2+ac+bd ,trong đó ad − bc=1

Chứng minh rằng: P≥√3

Hết

SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2009 - 2010

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Đáp án chính thức

Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang)

0.250.252

Tức là

4

4 4

2

0

b a

c a

- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5

 x chia hết cho 5 mà x > 5  x không là số nguyên tố

- Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5

 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1  y chia hết cho 5 mà

suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O).

Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC

Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm (a2+b2);(c2

+d2) có:

0.250.250.250.250.250.25

0.250.250.250.250.25

0.25

0.25

P=a2+b2+c2+d2+ac+bd ≥ 2√ (a2+b2) (c2+d2)+ac+bd

⇒ P ≥2√1+(ac+bd )2+ac+bd (theo (1))

0.25

Së GD&§T Thanh Ho¸ Kú thi tuyÓn sinh THPT chuyªn Lam S¬n 2006

§Ò thi chÝnh thøc M«n thi: To¸n (Dïng cho thÝ sinh thi chuyªn To¸n)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Cho hình tứ diện ABCD có AD=BC, AC=BD Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AB và

CD Chứng minh rằng EF vuông góc với AB và CD

-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:

Së GD&§T Thanh Ho¸ Kú thi tuyÓn sinh THPT chuyªn Lam S¬n 2006

§Ò thi chÝnh thøc M«n thi: To¸n (Dïng cho thÝ sinh thi chuyªn To¸n)

híng dÉn chÊm thi

¿{ {

¿

0,25®0,5®

0,5®

0,25®

C©u 2

Ta cã :

A=x2-2x+1+y2-2y+1+xy-x-y+1+2006

A=(x-1)2+(y-1)2+(x-1)(y-1)+2006

Tõ (1) vµ (2) suy ra xy vµ x+z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: t2-6t+9=0,

ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm t1=t2=3

Thay vµo trªn ta cã:

¿

y=3 x+z =3

0,25®

0,5®0,25®

D

C Q

Vậy t<0, hay y2+3y=y(y+3)<0, hay y chỉ có thể bằng 0,-1, -2 hoặc -3 (do y`

nguyên) Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (2006 ;-3), (2006 ;-2), (2006 ;-1),

(2006 ;0)

0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ

với KPE, suy ra

KE.KA=KP.KQ, tơng tự ta có KF.KB=KP.KQ, từ đó suy ra KE.KA=KF.KB

Từ giả thiết ta có ACD=BCD (ccc)

Suy ra hai trung tuyến tơng ứng AF và

BF bằng nhau, vậy tam giác AFB cân,

Do đó trung tuyến FE cũng là đờng

cao, vậy FE vuông góc vớiAB

Chứng minh tơng tự, tam giác CED

cân, suy ra EF vuông góc với CD,

từ đó suy ra điều cần phải chứng minh

0,5đ

0,5đ

Sở giáo dục - đào tạo ĐỀ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn - 3A Thanh hoá Môn thi : Toán chung