de thi hsg toan 8

Nên quỹ tích của A là đờng thẳng đi qua O và vuông góc với BD trừ điểm O.Quỹ tích của điểm I là đờng thẳng đi qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B.. Chøng minh r»ng sè:..[r]

Đề Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2: (3đ) x2 x  a) Rót gän biĨu thøc: x  x  18 x  yz xz xy 1  2   0( x, y, z 0) x y z x y z b) Cho Tính Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD + CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đờng thẳmg c¾t AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK Bài (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Đáp án Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Râ rµng kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44 Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) 3 x – 4x – 18 x + = x – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) (x+3)(x-2) ( x  2) x2  x   2 => x  x  18 x  = (x+3)(x -7x +3) x -7x +3 Víi ®iỊu kiƯn x  -1 ; x2 -7x + b) (1,5đ) Vì 1 1 1  0      x y z z  x y 1 1  1 1 1 1              z z x y x y y   x y x  1 1 1 1 1 1          3 x y z x y  x y x y z xyz xyz xyz xyz yz zx xy 1    3    3 3 x y z x y z Do ®ã : xyz( x + y + z )= Bµi : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta cã AB = CM A K 0 B C §Ĩ chøng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM   ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c CBE cân C => B1 E góc C1 B  E   B  1 C  C 1 1 lµ gãc ngoµi cđa tam giác BCE => mà AC // BM (ta vẽ) => D  CBM    CBM  C B 1 nên BO tia phân giác CBM Hoàn toàn tơng tự ta có CD tia phân giác góc BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO M phân tia phân giác cđa gãc CMB   Mµ : BAC , BMC hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A song song với OK => K,O,M thẳng hàng BMC   M (cmt ); A M Ta l¹i cã :  A   M mà A K (hai góc đồng vị) =>  M   CKM K 1 c©n C => CK = CM Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Ta cã M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + V× (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 +  M Vậy giá trị nhỏ nhÊt cña M = x = - đề Câu Tìm mét sè cã ch÷ sè: a1a a thoà mÃn điều kiện a b sau:  a1a a = a a   a a 5a a a  a a  a) b) C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn – 2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phơng trình: ( 12 + 13 + .+2005 20061 2007 ) x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đờng kẻ từ A B lần lợt song song với BC AD cắt đờng chéo BD AC tơng ứng F E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diƯn tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Đáp án Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8) (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22≤ a a ≤ 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: E a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mÃn câu Đặt m = 3k + r víi ≤ r ≤ n = 3t + s víi ≤ s ≤ m n 3k+r 3t+s 3k r r  x + x + = x + x + = x x – x + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1) ⋮ ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 ) ⋮ ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1) ⋮ ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1) ⋮ ( x2 + x + 1) víi ≤ r ; s ≤ r = vµ s =1 => m = 3k + vµ n = 3t + r = vµ s = m = 3k + vµ n = 3t + mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2) ⋮ Điều phải chứng minh áp dụng: m = 7; n = => mn – = 12 ⋮  ( x7 + x2 + 1) ⋮ ( x2 + x + 1)  ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + C©u Gi¶i PT: ( 12 + 13 +…+ 2005 20061 2007 ) x= (1 2+ 3+⋯+2006 2007 ) Nh©n vÕ víi ta đợc: ( 22 + 23 +⋯+ 2005 20062 2007 ) x=2 [ (1 2( −0 )+ ( − 1) +⋯+ 2006 2007 ( 2008 −2005) ) ] 1 1 3( − + − +⋯− x 2 3 2006 2007 ) ¿ (1 3+2 − 3+⋯+2006 2007 2008 −2005 2006 2007 ) 1004 669 ( 11.2 − 2006 2007 ) x=2 2006 2007 2008 ⇔ x=10035 100 651 BF// AD O OE OA = OB OC O F OB = OA OD AE// BC => H C©u a) Do A K E F B MặT khác AB// CD ta l¹i cã D OA OB = OC OD b) nªn OE OF = OB OA A B1 => EF // AB ABCA1 ABB1D hình bình hành => A1C = DB1 = AB V× EF // AB // CD nªn EF AB = AB DC => AB = EF.CD c) Ta cã: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD => AH OB S1 AH = = ; S4 CK CK OB 2 AH OD S3 = =AH CK => S2 CK OD C©u A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ S1 S3 => S1.S2 = S3.S4 = S4 S2 C = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 Giá trị nhỏ A = Khi: y- = => y=1 x- y- = x=7 ®Ị C©u 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 C©u 2: a Cho x y z + + =0 a b c (1) vµ a + b + c =2 (2) x 2 y z x y z + + =0 a b c ab bc ca + 2 2+ 2 2 2 a +b −c b + c −a c + a − b TÝnh giá trị biểu thức A= b Tính : B = Câu 3: Tìm x , biết : xà x −10 x −19 + + =3 2006 1997 1988 (1) Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu cđa M trªn AD, CD Chøng minh r»ng: a.BM  EF b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dơng Tìm giá trị nhỏ P= (a+ b+ c) ( + + ) a b c Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta có: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iĨm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) V× x2=y2 + z2  (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x 5y)2 Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1)  bcx +acy + abz =0 Tõ (2)  x2 y2 z2 ab ac bc + + 2+2 + + =0 ⇒ xy xz yz a b c ( ) x2 y2 z2 abz+acy + bcx + + =4 −2 =4 xyz a b c ( ) b ( 1,25 ®iĨm) Tõ a + b + c =  a + b = - c  a2 + b2 –c2 = - 2ab T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac  B = ab bc ca + =− − ab −2 bc − 2ca + Câu 3: ( 1,25 điểm) (1) x· −2007 x − 2007 x − 2007 + + =0 2006 1997 1988  x= 2007 A C©u 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K giao điểm CB với EM; H giao điểm EF BM   EMB =BKM ( gcg) B  Gãc MFE =KMB  BH  EF E b ( 1,25 ®iĨm)  ADF = BAE (cgc) AF  BE T¬ng tù: CE BF BM; AF; CE đờng cao BEF đpcm Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta cã: D M K H F C P = + a + a + b +1+ b + c + c +1=3+ a + b + a + c + b + c ( )( Mặt khác )( ) b c a c a b b a c a c b x y + ≥ víi mäi x, y d¬ng  P  3+2+2+2 =9 y x VËy P = a=b=c đề Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + x  x  x  x 8    96 94 92 2) Giải phơng trình: 98 Bài (2đ): P x  3x  2x  cã giá trị nguyên Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lÊy ®iĨm K cho BK = AC Gäi E trung điểm BC; F trung điểm cđa AK Chøng minh r»ng: EF song song víi tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x x +2007 A= 2007 x , ( x khác 0) Đáp án Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) x +2 x + x+6 x+ + = + 98 96 94 92 x +2 +1) + ( x + + 1) = ( x +6 + 1) + ( x +8 ⇔ ( 98 96 94 92 + - - )=0 ⇔ ( x + 100 )( 98 96 94 92 V×: + - - 98 96 94 92 Do ®ã : x + 100 = ⇔ x = -100 VËy phơng trình có nghiệm: x = -100 + 1) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài (2đ): 2 P = x + x +3 = (2 x − x)+(4 x −2)+5 =x+2+ x−1 x −1 x (0,5đ) x nguyên x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên => x1 phải nguyên hay 2x - ớc nguyên (0,5đ) * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5®) VËy x = { 1; 0; ; − } th× P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): 1) a) chứng minh (1đ) ABM đồng dạng b) Từ câu a suy ra: Δ CAN AB AM = AC AN ⇒ Δ AMN đồng dạng ABC AMN = ABC ( hai góc tơng ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25đ) BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH) mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( Ax lµ tia phân giác) (0,5đ) Suy ra: CHA = CAH nên CAH cân C : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đờng trung bình tam giác KHA Do EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) (0,5đ) Bài (1®): 2 A = 2007 x −2 x 2007+2007 2007 x x − 2007 ¿ ¿ = ¿ ¿ A = 2006 2007 2 = x −2 x2 2007+2007 + 2006 x 2007 x 2007 x x - 2007 = hay x = 2007 (0,5®) -đề Câu ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc A = ( x2 10 − x + + : x − 2+ x +2 x3 − x −3 x x+ a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x để A > O )( ) 2 Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x x+1 +2= x − x+1 x +1 x+1 C©u ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chøng minh Δ AQR vµ Δ APS lµ tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trực AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( ®iÓm): Cho biÓu thøc A = x + x +3 Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x +1 Câu ( ®iĨm) a, Chøng minh r»ng 3 3 x + y + z = ( x + y ) −3 xy ( x + y ) + z yz xz xy 1 + + =0 TÝnh A= + + x y z x y z b, Cho Đáp án C©u x  , x  -2 , x  a, b, A= ( x x− + −2 x + x 1+2 ) : x 6+2 x −2 ( x+ )+ x −2 : x +2 ( x −2 ) ( x+2 ) −6 x+ = = − x ( x −2 ) ( x+ ) >0 ⇔ − x >0 ⇔ x 2x Câu §KX§ : x ≠ −1 ; x ≠ − = 2 2 x − x +1 x −5 x +1 x −3 x +2 x − x +2 +1+ +1=0 ⇔ + =0 x+ x +1 x +1 x+1 1 ⇔ ( x −3 x+ ) + =0 ⇔ ( x −3 x +2 ) ( x+2 ) =0 ⇔ ( x − ) ( x −2 ) ( x+2 ) =0 x +1 x +1 ⇔ x =1 ; x = ; x = - 2/ PT ⇔ ( ) Cả giá trị thỏa mÃn ĐKXĐ VËy PT ®· cho cã tËp nghiƯm S = {1 ; ; − 23 } C©u 3: 1, Δ ADQ = ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, AQR tam giác vuông cân Chứng minh ttự ta có: ARP= ADS AP = AS APS tam giác cân A 2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ nên ợng Mặt khác : PAN =PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên hình chữ nhật 3, Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm SQR 4, Trong tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR Trong tam giác vuông RCQ CM trung tuyÕn nªn CM = QR ⇒ MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa N cách A C Hay MN trungtrực AC 5, Vì ABCD hình vuông nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đờng trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng Câu Ta cã §KX§ x -1/2 A = (x + 1) + 2 x +1 v× x Z nên để A nguyên nguyên x +1 Hay 2x+1 lµ íc cđa VËy : 2x+1 = ⇒ x=1/2 ( lo¹i ) 2x+1 = ⇒ x = 2x+1 = -1 ⇒ x = -1 2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( lo¹i ) KL : Víi x = , x= -1 A nhận giá trị nguyên Câu a, , Chøng minh x 3+ y3 + z 3= ( x + y )3 −3 xy ( x + y ) + z Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh b, Ta có a+b +c=0 3 3 3 a +b + c =( a+ b ) − ab ( a+b ) +c = c (vì a+b +c=0 nên Theo giả thiÕt + + =0 ⇒ x y z ®ã −3 ab ( − c )+ c =3 abc a+b=− c ) 1 + + 3= x y z xyz yz xz xy xyz xyz xyz 1 A= + + = + + =xyz + + =xyz × =3 xyz x y z x y z x y z ( ) ===================== đề Bài : (2 điểm) Cho biÓu thøc : M= ( x2− 1 − x − x +1 x +1 ) ( x4 + 1− x 1+ x ) a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên A = x − x +2 x 83 x Bài : điểm Giải phơng trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) |x − 2| + |x − 3| + |2 x 8| = Bài : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng qua E song song với AB cắt AI ë G Chøng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) Δ AEF ~ Δ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hết cho 24 Đáp án Bài : 4 2 a) M = ( x −1)(x +1) − x +x −1 ¿ x4+1-x2) = x −1 −2x + x −1 = x 2−2 x +1 x +1 ( x − x 2+1)(x 2+1) 3 b) BiÕn ®ỉi : M = - M bÐ nhÊt lín nhÊt ⇔ x2+1 bÐ nhÊt ⇔ x +1 x +1 x2 = ⇔ x = ⇒ M bÐ nhÊt = -2 Bài : Biến đổi A = 4x2+9x+ 29 + Z ⇔  Z ⇔ x-3 lµ íc ⇔ A x −3 x −3 2 cña ⇔ x-3 = ± ; ± ; ± ⇔ x = -1; 1; 2; ; ; Bài : a) Phân tích vế tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = ⇔ (x-2006)(x+1) = ⇒ x1 = -1 ; x2 = 2006 c) XÐt pt víi kho¶ng sau : x< ; x1+2m  (3m-1)x > 1+2m (*) + XÐt 3m-1 =0 → m=1/3 (*)  0x> 1+ x φ + XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3 1+2 m (*)  x> m −1 + XÐt 3m-1 <  3m m x > m/2 Hai bất phơng trình cã cïng tËp nghiÖm ... (a7a8) (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22≤ a a ≤ 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ;... a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: E a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 5761 382 4 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mÃn... + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) x +2 x + x+6 x+ + = + 98 96