Tuyển tập các bài toán hình 9 trong đề thi HK1

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN HÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC KÌ I CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI Câu 1.(NCT) (HK1-Ba Đình-2016-2017) Cho (O;R) đường kính AB Từ C tia đối tia AB Kẻ tiếp tuyến CM, CN với (O) a) Chứng minh CO vng góc MN b) Tính MN cho OM  4cm, CO  6cm c) Vẽ đường kính MK Tứ giác ABKN hình gì? d) Một đường thẳng qua O song song MN cắt CM, CN E F Tìm vị trí C để diện tích tam giác CEF nhỏ Câu 2.(NCT) (HK1-Cầu Giấy-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  Từ điểm A ngồi đường trịn  O; R  , vẽ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( M N tiếp điểm) a) Chứng minh tam giác AMN cân b) Vẽ đường kính MB đường tròn  O; R  Chứng minh OA // NB c) Vẽ dây NC đường trịn  O; R  vng góc với MB H Gọi I giao điểm AB NH Tính tỉ số NI NC Câu 3.(NCT) (HK1-Đống Đa-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  điểm A cố định thuộc đường tròn Trên tiếp tuyến với  O  A lấy điểm K cố định Một đường thẳng d thay đổi qua K không qua tâm O cắt  O  hai điểm B C ( B nằm C K ) Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh bốn điểm A, O , M , K thuộc đường trịn b) Vẽ đường kính AN đường trịn  O  Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt MN H Chứng minh tứ giác BHCN hình bình hành c) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC d) Khi đường thẳng d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài, điểm H di động đường nào? Câu 4.(NCT) (HK1-Hai Bà Trưng-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  Từ A nằm ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh bốn điểm A, B, C , O thuộc đường tròn b) Chứng minh ba điểm A, H , O thẳng hàng Kẻ đường kính BD đường trịn  O; R  Vẽ CK vng góc với BD Chứng minh AC.CD  CK AO c) Gọi giao điểm AO với đường tròn tâm  O  N Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC d) Khi A di động tia By cố định, gọi M trực tâm tam giác ABC Chứng minh M di động đường cố định Câu 5.(NCT) (HK1-Hoàn Kiếm-2016-2017) Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , có đường cao AH  H  BC  Vẽ đường tròn  A; AH  Từ B C kẻ tiếp tuyến BM CN đến  A; AH  ( M , N tiếp điểm, không nằm BC ) Gọi K giao điểm HN AC a) Chứng minh bốn điểm A, H , C , N thuộc đường trịn đường kính AC b) Chứng minh BM  CN  BC M , A, N thẳng hàng c) Nối MC cắt  A; AH  P  P  M  Chứng minh  PKC AMC Câu 6.(NCT) (HK1-Long Biên-2016-2017) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  đường kính BC Vẽ dây cung AD  O  vng góc với đường kính BC H Gọi M trung điểm cạnh OC I trung điểm cạnh AC Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với OC , đường thẳng cắt tia OI N Trên tia ON lấy điểm S cho N trung điểm cạnh OS a) Chứng minh: tam giác ABC vuông A HA  HD b) Chứng minh: MN // SC SC tiếp tuyến đường tròn  O  c) Gọi K trung điểm cạnh HC , vẽ đường trịn đường kính AH cắt cạnh AK F Chứng minh: BH HC  AF AK d) Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho B trung điểm cạnh AE Chứng minh ba điểm E , H , F thẳng hàng Câu 7.(NCT) (HK1-Nam TL-Đề 1-2016-2017) Cho nửa đường tròn  O; R  , đường kính AB Từ điểm M thuộc nửa đường trịn, kẻ MN vng góc với AB NE vng góc với AM BM  N  AB; M  A; M  B  Từ  D  AM , E  BM  N kẻ ND a) Tứ giác DMEN hình gì? Chứng minh b) Chứng minh: DM AM  EM BM c) Gọi O tâm đường trịn đường kính NB Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn  O  d) Gọi I điểm đối xứng với N qua D Gọi K điểm đối xứng với N qua E Xác định vị trí M nửa đường tròn  O  để tứ giác AIKB có chu vi lớn Câu 8.(NCT) (HK1-Nam TL-Đề 2-2016-2017) Cho đường trịn tâm O , đường kính AB , C điểm đường trịn  C  A, B  Tiếp tuyến B C đường tròn  O  cắt D a) Chứng minh điểm O, B, D, C thuộc đường tròn b) Chứng minh OD  BC c) Kẻ CI  AB I , tiếp tuyến A đường tròn  O  cắt tia BC P Chứng minh: CP.CB  AI AB d) Gọi K trung điểm CI , tia BK cắt AP Q Chứng minh QC tiếp tuyến đường tròn O Câu 9.(NCT) (HK1-Thanh Xuân-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  đường kính BC Điểm A thuộc đường tròn Hạ AH  BC , HE  AB, HF  AC Đường thẳng EF cắt đường tròn hai điểm M N a) Chứng minh EF  AH b) Chứng minh rằng: AE AB  AF AC c) Chứng minh rằng: Tam giác AMN cân A Câu 10.(NCT) (HK1-Thanh Trì-2016-2017) Cho đường trịn  O; R  dây BC không qua O Vẽ tia Ox  BC H  H  BC  Tiếp tuyến B  O  cắt tia Ox A a) Chứng minh: AC tiếp tuyến  O  b) Vẽ tia Ay nằm hai tia AO AC , tia Ay cắt  O; R  D E ( D nằm A E ) Gọi M trung điểm DE Chứng minh: điểm A, B, O, M thuộc đường tròn c) Tia OM cắt đường thẳng CB N Chứng minh: OM ON  R đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác NEO NO Câu 11.(NCT) (HK1-Ba Đình-2017-2018) Cho nửa đường trịn (O; R ) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên tia Ax lấy điểm E ( E  A, EA  R ) ; nửa đường tròn lấy điểm M cho EM  EA, đường thẳng EM cắt By F a) Chứng minh EF tiếp tuyến (O ) b) Chứng minh EOF vuông c) Chứng minh AM OE  BM OF  AB.EF d) Tìm vị trí E tia Ax cho S AMB  S EOF Câu 12.(NCT) (HK1-Bắc TL-2017-2018) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua điểm A kẻ tia tiếp tuyến Ax đến đường tròn (O ) Trên tia Ax lấy điểm C cho AC  R Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O) (M tiếp điểm) a) Chứng minh bốn điểm A, C , O, M thuộc đường tròn b) Chứng minh MB / /OC c) Gọi K giao điểm thứ hai BC với đường tròn (O ) Chứng minh BC.BK  4R   MBC  d) Chứng minh CMK Câu 13.(NCT) (HK1-Hai Bà Trưng-2017-2018) Cho đường trịn (O; R ) đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khác A B ) Kẻ tiếp tuyến A đường tròn, tiếp tuyến cắt BC D Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C cắt AD E a) Chứng minh bốn điểm A, E , C , O thuộc đường tròn b) Chứng minh BC BD  R OE song song với BD c) Đường thẳng kẻ qua O vng góc với BC N cắt tia EC F Chứng minh BF tiếp tuyến đường tròn (O; R ) d) Gọi H hình chiếu C AB M giao điểm AC OE Chứng minh điểm C di động đường tròn (O; R ) thỏa mãn yêu cầu đề đường trịn ngoại tiếp tam giác HMN qua điểm cố đinh Câu 14.(NCT) (HK1-Cầu Giấy-2017-2018) Cho đường trịn (O ) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn (O ) (C khác A, B ) cho AC  BC Qua O vẽ đường thẳng vng góc với dây cung AC H , tiếp tuyến A đường tròn (O ) cắt tia OH D Đoạn thẳng DB cắt đường tròn (O ) E   90o a) Chứng minh HA  HC DCO b) Chứng minh DH DO  DE.DB c) Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho E trung điểm cạnh AF Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD K Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC M Chứng minh MK  MF Câu 15.(NCT) (HK1-Đan Phượng-2017-2018) Cho đường tròn (O ) đường kính AB  10cm C điểm đường tròn cho AC  8cm Vẽ CH  AB ( H  AB )  (làm tròn đến độ) a) Chứng minh ABC vng Tính độ dài CH số đo BAC b) Tiếp tuyến B C đường tròn (O ) cắt D Chứng minh OD  BC c) Tiếp tuyến A đường tròn (O ) cắt BC E Chứng minh CE.CB  AH AB d) Gọi I trung điểm CH Tia BI cắt AE F Chứng minh FC tiếp tuyến đường trịn (O ) Câu 16.(NCT) (HK1-Đơng Anh-2017-2018) Cho đường thẳng (O; R ) đường kính AB  5cm điểm C thuộc đường tròn cho AC  3cm  a) Tam giác ABC tam giác gì? Vì sao? Tính giá trị sinCAB b) Đường thẳng qua C vng góc với AB H , cắt (O; R ) D Tính CD , AB có tiếp tuyến đường trịn (C ; CH ) khơng? c) Kẻ tiếp tuyến AE đường tròn (C ; CH ) với E tiếp điểm khác H Tính diện tích tứ giác AOCE Câu 17.(NCT) (HK1-Đống Đa-2017-2018) Cho điểm M đường trịn tâm O đường kính AB Tiếp tuyến M B (O ) cắt D Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD cắt MD C cắt BD N a) Chứng minh DC  DN b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm O c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ M xuống AB, I trung điểm MH Chứng minh B , I , C thẳng hàng d) Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt (O ) K (K M nằm khác phía với đường thẳng AB ) Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MHK lớn Câu 18.(NCT) (HK1-Hà Đơng-2017-2018) Cho đường trịn (O; R ) điểm A cố định ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng d vng góc với OA A Trên d lấy điểm M Qua M kẻ hai tiếp tuyến ME , MF tới đường tròn (O; R ) tiếp điểm E F Nối EF cắt OM H , cắt OA B a) Chứng minh OM vng góc với EF b) Cho biết R  6cm, OM  10cm Tính OH c) Chứng minh điểm A, B, H , M thuộc đường tròn d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc đường tròn cố định M chuyển động d Câu 19.(NCT) (HK1-Hồn Kiếm-2017-2018) Cho đường trịn (O; R ) điểm A nằm (O ) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với (O ) ( B , C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh: bốn điểm A, B , O , C thuộc đường tròn b) Chứng minh: OA đường trung trực BC c) Lấy D điểm đối xứng với B qua O Gọi E giao điểm đoạn thẳng AD với (O ) (E không trùng với D ) Chứng minh DE BD  BE BA d) Tính số đo góc HEC Câu 20.(NCT) (HK1-Hồng Mai-2017-2018) Cho đường trịn (O; R ) điểm H cố định nằm đường trịn Qua H kẻ đường thẳng d vng góc với đoạn thẳng OH Từ điểm S đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O; R ) ( A, B tiếp điểm) Gọi M , N giao điểm đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB đường tròn (O; R ) a) Chứng minh bốn điểm S , A, O , B nằm đường tròn b) Chứng minh OM OS  R c) Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB d) Khi S di chuyển đường thẳng d điểm M di chuyển đường nào? Tại sao? Câu 21.(NCT) (HK1-Long Biên-2017-2018) Cho tam giác ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O ) có BC đường kính, vẽ đường cao AH tam giác ABC ( H  BC ) a) Biết AB  6cm, AC  8cm Tính độ dài AH HB b) Tiếp tuyến A đường tròn (O ) cắt tiếp tuyến B C M N Chứng   90o minh: MN  MB  NC MON c) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AB  AE Gọi I trung điểm BE Chứng minh điểm M , I , O thẳng hàng d) Chứng minh: HI tia phân giác góc AHC Câu 22.(NCT) (HK1-Nam Từ Liêm-2017-2018) Cho đường trịn (O; R ) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AE tới đường tròn (O ) (với E tiếp điểm) Vẽ dây EH vuông góc với AO M a) Cho biết bán kính R  5cm, OM  3cm Tính độ dài dây EH b) Chứng minh: AH tiếp tuyến đường trịn (O ) c) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt AH B Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn (O ) (F tiếp điểm) Chứng minh: điểm E , O , F thẳng hàng BF AE  R d) Trên tia HB lấy điểm I  I  B  , qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O ) cắt đường thẳng BF , AE C D Vẽ đường thẳng IF cắt AE Q Chứng minh AE  DQ Câu 23.(NCT) (HK1-Phúc Thọ-2017-2018) Cho đường tròn tâm O điểm A nằm bên ngồi đường trịn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Kẻ đường kính BC đường trịn (O ) AC cắt đường tròn O D ( D khác C ) a) Chứng minh: BD  AC AB  AD AC b) Từ C vẽ dây CE / / OA; BE cắt OA H Chứng minh H trung điểm BE AE tiếp tuyến đường tròn (O )   OAC  c) Chứng minh góc OCH d) Tia OA cắt đường trịn (O ) F Chứng minh FA.CH  HF CA Câu 24.(NCT) (HK1-Sơn Tây-2017-2018) Cho đường tròn (O; R ) đường kính AB Gọi H trung điểm OA Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt (O ) hai điểm C D a) Tứ giác ACOD hình gì? Chứng minh? b) Qua điểm D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O ) cắt tia OA M Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O ) C tam giác MCD tam giác c) Tính chu vi diện tích tam giác MCD theo R bán kính đường trịn tâm O d) Gọi N trung điểm HB , đường thẳng kẻ qua H vng góc với CN cắt đường thẳng CA E Chứng minh A trung điểm CE Câu 25.(NCT) (HK1-Tây Hồ-2017-2018) Cho đường tròn (O; R ) Đường thẳng d không qua O cắt (O ) hai điểm A B Điểm C thuộc tia đối tia AB Vẽ CE CF tiếp tuyến (O ) ( E , F hai tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB a) Chứng minh điểm C , E , O, F thuộc đường tròn b) Gọi CO cắt EF K Chứng minh OK OC  R c) Đoạn thẳng CO cắt (O ) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF d) Tìm vị trí điểm C tia đối tia AB để tam giác CEF Câu 26.(NCT) (HK1-Thanh Xuân-2017-2018) Cho đường tròn (O; R ) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến ME , MF đến đường tròn (với E , F tiếp điểm) a) Chứng minh điểm M , N , O, F thuộc đường tròn b) Đoạn OM cắt đường tròn (O; R ) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF c) Kẻ đường kính ED (O; R ) Hạ FK vng góc với ED Gọi P giao điểm MD FK Chứng minh P trung điểm FK Câu 27.(NCT) (HK1-Thường Tín-2017-2018) Cho đường trịn (O; R ) điểm A nằm ngồi đường trịn (O ) cho OA  R Từ A vẽ tiếp tuyến AB đường tròn (O ) (B tiếp điểm) a) Chứng minh tam giác ABO vuông B tính độ dài AB theo R b) Từ B kẻ dây cung BC (O ) vng góc cạnh OA H Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O ) c) Chứng minh tam giác ABC d) Từ H kẻ đường thẳng vng góc với AB D Đường trịn đường kính AC cắt cạnh DC E Gọi F trung điểm OB Chứng minh ba điểm A, E , F thẳng hàng Câu 28.(NCT) (HK1-Thanh Trì-2017-2018) Cho ABC vng A Vẽ đường trịn tâm O đường kính AC Đường tròn  O  cắt BC điểm thứ hai I a) Chứng minh: AI  BI CI b) Kẻ OM  BC M , AM cắt  O  điểm thứ hai N Chứng minh: AIM đồng dạng với CNM suy AM MN  CM c) Từ I kẻ IH  AC H Gọi K trung điểm IH Tiếp tuyến I  O  cắt AB P Chứng minh: Ba điểm C , K , P thẳng hàng d) Chứng minh: OI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp IMN Câu 29.(NCT) (HK1-Lomonoxop-2017-2018) Cho  O; R  đường kính BC cố định điểm M chuyển động đường tròn Gọi A điểm đối xứng qua B qua M Kẻ AN vuông góc BC , MK vng góc AC , gọi H giao điểm AN CM a) Chứng minh B, M , H , N thuộc đường tròn b) Chứng minh ABC cân MK tiếp tuyến  O  c) Cho R  5cm  ABC  60 Tính MK d) Khi M di chuyển  O  A di chuyển đường nào? Vì sao? Cho  O  đường kính AB , dây CD vng góc AB Câu 30.(NCT) (HK1-Lomonoxop-2017-2018) I  IA  IB  Gọi E giao điểm hai tia DA BC H hình chiếu E lên đường thẳng AB a) Chứng minh A, E , C , H thuộc đường tròn b) Chứng minh EA.ED  EB.EC   60 Tính diện tích ACBD c) Cho IB  6cm CAB d) Chứng minh HC tiếp tuyến  O  Câu 31.(NCT) (HK1-Ams-2018-2019) Cho đường tròn  O;3cm  đường thẳng  d  cho khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d  cm Gọi A chân đường vng góc hạ từ O xuống  d  , M điểm  d  , vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn  O  ( B tiếp điểm) Vẽ dây BC đường tròn  O  vng góc với OM , cắt OM N a) Chứng minh MC tiếp tuyến  O  b) Xác định tâm tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCA biết AM  cm c) Chứng minh BC OM  BO.BM d) Chứng minh M di chuyển  d  N ln thuộc đường trịn cố định Câu 32.(NCT) (HK1-Ba Đình-2018-2019) Cho đường tròn  O; R  điểm A cho OA  R , vẽ tiếp tuyến AB, AC với  O; R  , B C tiếp điểm Vẽ đường kính BOD a) Chứng minh điểm A, B, O, C thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: DC / / OA c) Đường trung trực BD cắt AC CD S E Chứng minh OCEA hình thang cân d) Gọi I giao điểm đoạn OA  O  , K giao điểm tia SI AB Tính theo R diện tích tứ giác AKOS Câu 33.(NCT) (HK1-Đông Anh-2018-2019) Cho nửa đường trịn  O  , đường kính AB điểm C thuộc nửa đường trịn Từ C kẻ CH vng góc với AB ,( H  AB ) Gọi M hình chiếu H AC , N hình chiếu H BC a) Chứng minh tứ giác HMCN hình chữ nhật b) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn đường kính BH c) Chứng minh MN vng góc với CO d) Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn đường kính AB để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất? Câu 34.(NCT) (HK1-Đống Đa-2018-2019) Cho đường trịn  O; R  đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx  O  Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx , lấy điểm M thuộc  O  (M khác A B) cho MA  MB Tia AM cắt Bx C Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với  O  (D tiếp điểm) 1) Chứng minh OC  BD 2) Chứng minh bốn điểm O, B, C , D thuộc đường tròn   CDA  1) Chứng minh CMD 2) Kẻ MH vng góc với AB H Tìm vị trí M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn Câu 35.(NCT) (HK1-Hồn Kiếm-2018-2019) Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O;R) Gọi MA, MB hai tiếp tuyến với đường tròn (O) (A B hai tiếp điểm) Kẻ đường kính AD đường trịn (O) Gọi H giao điểm OM AB, I trung điểm đoạn thẳng BD 1) Chứng minh tứ giác OHBI hình chữ nhật 2) Cho biết OI cắt MB K, chứng minh KD tiếp tuyến cảu (O) 3) Giả sử OM = 2R, tính chu vi tam giác AKD theo R 4) Đường thẳng qua O vuông góc với MD cắt tia AB Q Chứng minh K trung điểm DQ Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Vẽ hai tiếp Câu 36.(NCT) (HK1-Long Biên-2018-2019) tuyến Ax, By với  O  Trên đường tròn  O  lấy điểm M cho MA  MB Tiếp tuyến M  O  cắt Ax C cắt By D a) Chứng minh: CD  AC  BD   90 tính tích AC BD theo R b) Chứng minh: COD c) Đường thẳng BC cắt  O  F Gọi T trung điểm BF, vẽ tia OT cắt By E Chứng minh: EF tiếp tuyến đường tròn (O) d) Qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC N Trên đoạn thẳng AC lấy điểm K cho AK  AC Trên đoạn thẳng BD lấy điểm I cho BI  BD Chứng minh điểm K, N, I 4 thẳng hàng Câu 37.(NCT) (HK1-Nam TL-2018-2019) Cho điểm M thuộc nửa đường tròn  O; R  , đường kính AB ( M khác A B ) Gọi E F trung điểm MA MB Chứng minh rằng: tứ giác MEOF hình chữ nhật Tiếp tuyến M nửa đường tròn  O; R  cắt đường thẳng OE OF C D Chứng minh: CA tiếp xúc với nửa đường trịn  O; R  Tính độ dài đoạn thẳng CA R  3cm   30 MAO Chứng minh: AC BD  R S ACDB  2R2 Gọi I giao điểm BC EF ; MI cắt AB K Chứng minh rằng: EF đường trung trực MK Cho hình chữ nhật ABCD có ( AD  AB ) Qua Câu 38.(NCT) (HK1-Phan Đình Giót-2018-2019) C , kẻ đường thẳng vng góc với AC , cắt đường thẳng AD, AB M , N a) Chứng minh rằng: AB.AN  AD.AM  b) Cho AD  3cm , AB  4cm Tính DM , AMN c) Chứng minh: CD.CB  AC MN d) Gọi E trung điểm MC , kẻ CH  DB H Cho EB cắt CH K Chứng minh: K trung điểm CH Câu 39.(NCT) (HK1-Phúc Thọ-2018-2019) Cho AC đường kính đường trịn tâm  O; R  Trên tiếp tuyến A  O; R  , lấy điểm I cho IA  R Từ I vẽ tiếp tuyến thứ với  O; R  với tiếp điểm B Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AC, cắt đường thẳng BC H a) Chứng minh: BC / / OI b) Chứng minh tứ giác AOHI hình chữ nhật c) Tia OB cắt IH K Chứng minh tam giác IOK cân d) Khi AI  2.R Ttính diện tích tam giác ABC Câu 40.(NCT) (HK1-Thường Tín-2018-2019) Cho tam giác ABC có AB  3cm, AC  4cm, BC  5cm Kẻ AH vng góc với BC ( H  BC ) Vẽ đường tròn  O  qua điểm A tiếp xúc với cạnh BC điểm B , đường tròn  I  qua điểm A tiếp xúc với cạnh BC điểm C a) Tính độ dài AH b) Chứng minh rằng: Các đường tròn  O   I  tiếp xúc với A c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: Tam giác IMO vuông OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Câu 41.(NCT) (HK1-Bắc TL-2018-2019) Cho điểm E thuộc nửa đường trịn tâm O , đường kính MN Kẻ tiếp tuyến N nửa đường tròn tâm O , tiếp tuyến cắt đường thẳng ME D 1).Chứng minh rằng: MEN vuông E Từ chứng minh DE DM  DN 2).Từ O kẻ OI vng góc với ME ( I  ME ) Chứng minh rẳng: điểm O , I , D , N thuộc đường trịn 3).Vẽ đường trịn đường kính OD , cắt nửa đường tròn tâm O điểm thứ hai A Chứng minh rằng: DA tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O   DAM  4).Chứng minh rằng: DEA Câu 42.(NCT) (HK1-Cầu Giấy-2018-2019) Cho đường tròn O; R  cố định Từ điểm M nằm ngồi đường trịn O  kẻ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) Gọi H giao điểm OM AB a) Chứng minh OM vng góc với AB OH OM  R2 b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn ( N nằm M P ), gọi I trung điểm NP ( I khác O ) Chứng minh điểm A, M , O, I thuộc đường trịn tìm tâm đường trịn c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường trịn O , cắt MA MB theo thứ tự C D Biết MA  5cm, tính chu vi tam giác MCD d) Qua O kẻ đường thẳng d vng góc với OM , cắt tia MA MB E F Xác định vị trí M để diện tích tam giác MEF nhỏ Câu 43.(NCT) (HK1-Đan Phượng-2018-2019) Cho đường tròn  O  , đường kính AB Lấy điểm C thuộc đường tròn  O  ( C khác A B ) Tiếp tuyến A đường tròn  O  cắt BC M a) Chứng minh ABC vuông BA  BC BM b) Gọi K trung điểm MA Chứng minh: KC tiếp tuyến đường tròn  O  c) KC tiếp tuyến B đường tròn  O  D Chứng minh KOD vng d) Xác định tâm đường trịn nội tiếp tam giác BCD Câu 44.(NCT) (HK1-Gia Lâm-2018-2019) Cho đường trịn tâm O có đường kính AB  2R Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn tâm  O  A B (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B; cung AM nhỏ cung BM), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax By theo thứ tự C D 1) Chứng minh tam giác COD vuông O 2) Chứng minh AC.BD  R 3) Biết R  2cm, OD  4cm Tính cạnh tam giác MBD 4) Kẻ MH  AB ( H  AB) Chứng minh BC qua trung điểm đoạn MH Câu 45.(NCT) (HK1-Hà Đơng-2018-2019) Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B tiếp điểm 1) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O thuộc đường tròn 2) Kẻ đường kính AC đường trịn (O) Chứng minh OM // CB 3) Vẽ BK vng góc với AC K Chứng minh: CK.OM = OB.CB 4) Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AB D Chứng minh OD vng góc với CM Câu 46.(NCT) (HK1-Hai Bà Trưng-2018-2019) Cho đường trịn  O , R  đường kính AB Điểm C thuộc đường tròn cho AC  BC ; C khác A B Kẻ CH vng góc với AB H ; kẻ OI vng góc với AC I a) Chứng minh điểm C , H , O , I thuộc đường tròn b) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn  O; R  , tia OI cắt Ax M , chứng minh OI OM  R Tính độ dài đoạn OI biết OM  R R  6cm c) Gọi giao điểm BM với CH K Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB KC  KH d) Giả sử  O ; R  cố định, điểm C thay đổi đường tròn thỏa mãn điều kiện đề Xác định vị trí C để chu vi tam giác OHC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R Câu 47.(NCT) (HK1-Tây Hồ-2018-2019) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy a) Chứng minh rằng: MC  MD b) Chứng minh rằng: AD  BC có giá trị khơng đổi M di động nửa đường tròn c) Chứng minh đường trịn có đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB d) Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn (O) diện tích tứ giác ABCD lớn Câu 48.(NCT) (HK1-Thanh Trì-2018-2019) Cho đường trịn (O; R) điểm H cố định nằm ngồi đường trịn Qua H kẻ đường thẳng d vng góc với đoạn thẳng OH Từ điểm S đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Gọi M, N giao điểm đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB đường tròn (O; R) a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, B nằm đường tròn b) Chứng minh: OM OS  R c) Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB d) Khi S di chuyển đường thẳng d điểm M di chuyển đường nào? Câu 49.(NCT) (HK1-Thanh Xuân - 2018-2019) Cho nửa đường tròn O ; R đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên nửa đường tròn, lấy điểm C Vẽ tiếp tuyến O  C cắt Ax, By D E 1) Chứng minh rằng: AD  BE  DE 2) AC cắt DO M ; BC cắt OE N Tứ giác CMON hình gì? Vì sao? 3) Chứng minh rằng: MO.DM  ON NE không đổi 4) AN cắt CO điểm H Khi C di chuyển nửa đường tròn O ; R điểm H di chuyển đường nào? Vì sao? Câu 50.(NCT) (HK1-Ams - 2019-2020) Từ điểm A ngồi đường trịn (O) , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C tiếp điểm Kẻ đường thẳng d nằm hai tia AB, AO qua A cắt đường tròn (O) E , F ( E nằm A, F ) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh OH OA  OE Đường thẳng qua O vng góc với EF cắt BC S Chứng minh SF tiếp tuyến đường tròn (O) Đường thẳng SF cắt đường thẳng AB, AC tương ứng P, Q OF cắt BC K Chứng minh AK qua trung điểm PQ Câu 51.(NCT) (HK1-Ba Đình- 2019-2020)  AC  BC  Gọi Cho điểm C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB , H trung điểm BC Tiếp tuyến B đường tròn  O  cắt tia OH D a) Chứng minh DH DO  DB b) Chứng minh DC tiếp tuyến đường tròn  O  c) Đường thẳng AD cắt đường tròn  O  E Gọi M trung điểm AE Chứng minh điểm D, B, M , C thuộc đường tròn d) Gọi I trung điểm DH ; BI cắt đường tròn  O  F Chứng minh điểm A, H , F thẳng hàng Câu 52.(NCT) (HK1-Ba Vì- 2019-2020) Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: a) CE  CF b) AC tia phân giác góc BAE c) CH  AE.BF Câu 53.(NCT) (HK1-Bắc TL- 2019-2020) Cho điểm M nằm đường tròn  O; R  Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O ( A, B tiếp điểm) Gọi H giao điểm MO với AB 1) Chứng minh điểm M , A, O , B thuộc đường tròn 2) Chứng minh MO  AB H 3) Nếu OM  R , tính độ dài MA theo R tính số đo góc  AMB,  AOB ? 4) Kẻ đường kính AD đường trịn  O  , MD cắt đường tròn  O  điểm thứ hai C Chứng minh  MHC ADC Câu 54.(NCT) (HK1-Cầu Giấy- 2019-2020) Cho nửa đường trịn  O; R  đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn Trên tia Ax lấy điểm M cho AM  R Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn  O  , ( C tiếp điểm) Tia MC cắt tia By D a) Chứng minh MD  MA  BD OMD vng b) Cho AM  2R Tính BD chu vi tứ giác ABDM c) Tia AC cắt tia By K Chứng minh OK  BM Câu 55.(NCT) (HK1-Đống Đa- 2019-2020)  O; R  Vẽ đường thẳng Cho đường tròn  O; R  điểm A nằm ngồi đường trịn d vng góc với OA A Trên đường thẳng d lấy điểm M khác A Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME MF tới đường tròn  O  ( E , F tiếp điểm) EF cắt OM OA H K 1) Chứng minh H trung điểm EF 2) Chứng minh bốn điểm O, M , A, F thuộc đường tròn 3) Chứng minh OK OA  R 4) Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn Câu 56.(NCT) (HK1-Gia Lâm- 2019-2020) Cho nửa đường tròn tâm  O; R  điểm A nằm (O ) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với (O ) ( B , C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh bốn điểm A, B, O , C thuộc đường tròn b) Chứng minh: OA đường trung trực BC c) Lấy D điểm đối xứng với B qua O Gọi E giao điểm đoạn thẳng AD với  O  ( E không trùng với D ) Chứng minh: DE.BA  BD.BE d) Tính số đo góc HEC Câu 57.(NCT) (HK1-Gia Lâm- 2020-2021) Cho đường tròn (O; R ) điểm M cố định ngồi đường trịn (O) , kẻ tiếp tuyến MA; MB với (O) ( A; B tiếp điểm) Chứng minh bốn điểm M ; A; O; B thuộc đường tròn Kẻ đường kính AB (O) Chứng minh OM vng góc với AB OM song song với AD Trên cung nhỏ AB lấy điểm E từ E kẻ tiếp tuyến với (O) cắt MA; MB I K Chứng minh chu vi tam giác MIK độ lớn góc IOK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt MA; MB H G Tìm vị trí điểm E để tổng IH  KG có độ dài nhỏ Câu 58.(NCT) (HK1-Hà Đơng- 2020-2021) Cho đường trịn  O; R  điểm A cố định thuộc đường tròn Kẻ tia Ax tiếp tuyến  O  A Trên tia Ax lấy điểm M cố định ( M không trùng A ) Đường thẳng d thay đổi qua M không qua tâm O , cắt  O  hai điểm B C ( B nằm C M ;  ABC  90 ) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh bốn điểm A, O, I , M thuộc đường tròn 2) Vẽ đường kính AD đường trịn  O  Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh H đối xứng với D qua I Tính HA biết tâm O cách đường thẳng d cm 3) Chứng minh H A thuộc đường tròn cố định đường thẳng d thay đổi Câu 59.(NCT) (HK1-Đống Đa- 2020-2021) Cho đường tròn  O , R  đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax , lấy điểm P Ax  AP  R  Từ P kẻ tiếp tuyến PM  O , R  ( M tiếp điểm) a) Chứng minh: Bốn điểm A, P, M , O thuộc đường tròn b) Chứng minh: BM / / OP c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BN N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d) Giả sử AN cắt OP K , PM cắt ON I , PN cắt OM J Chứng minh: ba điểm I , J , K thẳng hàng Câu 60.(NCT) (HK1-Nam TL- 2020-2021)  O  Trên tia Cho  O  đường kính AB 2R Vẽ tiếp tuyến Ax với Ax lấy điểm E khác điểm A Vẽ tiếp tuyến EP với  O  ( P tiếp điểm, P khác A ) a) Chứng minh: Bốn điểm A , E , P , O thuộc đường tròn b) Gọi K trung điểm BP Tia OK cắt tia EP điểm F Chứng minh: BF tiếp tuyến  O  c) Gọi H giao điểm AP với OE Chứng minh: AB  4OH OE d) Gọi I hình chiếu P AB Tìm vị trí E tia Ax để tam giác OPI có chu vi lớn Câu 61.(NCT) (HK1-Thanh Xuân- 2020-2021) Cho đường trịn O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax đường tròn O Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax , lấy điểm M thuộc đường tròn O ( M khác A , M khác B ) cho MA  MB Tiếp tuyến đường tròn O M cắt tia Ax E 1) Chứng minh bốn điểm A , E , M , O thuộc đường tròn 2) Chứng minh OE song song với MB   EMB  3) Gọi F giao điểm EB với đường tròn O  Chứng minh EFM Câu 62.(NCT) (HK1-Cầu Giấy- 2020-2021) Cho đường tròn  O ; R  dây AB khác đường kính Kẻ OI vng góc với AB I , tiếp tuyến đường tròn  O  A cắt đường thẳng OI M a) Chứng minh: OI OM  R b) Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn  O  điểm A , B , M , O thuộc đường trịn c) Kẻ đường kính AD đường tròn  O  , tiếp tuyến đường tròn  O  D cắt đường thẳng AB điểm N Chứng minh MD  ON Câu 63.(NCT) (HK1-Ba Đình - 2020-2021) Cho nửa đường trịn  O; R  , đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với  O  ĐIểm M di động tia Bx  M  B , AM cắt nửa đường tròn  O  điểm N  N  A Kẻ OE vng góc với AN E a) Chứng minh điểm E , O , B , M thuộc đường trịn đường kính OM b) Tiếp tuyến nửa đường tròn  O  N cắt tia OE K cắt MB D Chứng minh KA tiếp tuyến đường tròn  O  c) Chứng minh KA.DB không đổi điểm M di động tia Bx d) Gọi H giao điểm AB DK , kẻ OF  AB  F  DK  Chứng minh Câu 64.(NCT) (HK1-Bắc TL- 2020-2021) BD DF   DF HF Cho đường trịn O; R  , đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn O  Trên tia Bx lấy điểm M cho MA cắt đường tròn O điểm thứ hai D Gọi E trung điểm đoạn thẳng AD a) Chứng minh AD AM  R b) Chứng minh điểm M , E , O , B thuộc đường tròn c) Kẻ BH  OM H , BH cắt đường tròn O  C Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn O d) Tia AH cắt đường tròn O Q Chứng minh BQ qua trung điểm HM Câu 65.(NCT) (HK1-Đan Phượng- 2020-2021) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn  O  , vẽ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn  O  ( M , N tiếp điểm) Gọi H giao điểm MN với OA a) Chứng minh OA  MN OM  OH OA b) Từ M kẻ đường kính MB đường trịn  O  Đường thẳng AB cắt đường tròn  O  C ( C khác B ) Chứng minh AC AB  AH AO c) Goi E giao điểm đoạn thẳng AO với đường tròn  O  Chứng minh EA MA  EH MH d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng MN D Chứng minh DB  MB ... trực tâm tam giác ABC d) Khi đường thẳng d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài, điểm H di động đường nào? Câu 4.(NCT) (HK1- Hai Bà Trưng-2016-2017) Cho đường trịn  O; R  Từ A nằm ngồi đường... (O; R ) d) Gọi H hình chiếu C AB M giao điểm AC OE Chứng minh điểm C di động đường tròn (O; R ) thỏa mãn u cầu đề đường trịn ngoại tiếp tam giác HMN qua điểm cố đinh Câu 14.(NCT) (HK1- Cầu Giấy-2017-2018)...  6cm CAB d) Chứng minh HC tiếp tuyến  O  Câu 31.(NCT) (HK1- Ams-2018-20 19) Cho đường tròn  O;3cm  đường thẳng  d  cho khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng  d  cm Gọi A chân đường vng