TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH TỐN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ CHƯƠNG II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Giảng viên : Thầy Nguyễn Thanh Vân Tác giả: TỔ Lê Cao Thịnh Nguyễn Thị Minh Thy Nguyễn Trọng Tín Đặng Nữ Huyền Trang Nguyễn Khánh Trâm Đặng Lê Huyền Trân Nguyễn Gia Bảo Trân Mã Quảng Trấn Nguyễn Trần Thanh Trúc 10 Nguyễn Phạm Nhã Tuệ 11 Hồ Minh Cát Tường 12 Nguyễn Lê Thanh Uyên 13 Trương Mỹ Uyên 14 Võ Thị Tường Vân 15 Trương Khả Vy 16 Văn Thị Tường Vy 17 Đào Thị Hồng Nhung I TRẮC NGHIỆM: Câu1: ax by c  bx cy a cx ay b Cho hệ phương trình  với a,b,c tham số thực Gọi A, A ma trận hệ số ma trận mở rộng A RankA=3 B A  a  b3  c  3abc C Nếu hệ có nghiệm A 0 D Nếu hệ có nghiệm a  b3  c  3abc Giải: a) Rank(A) =3 Sai vì: a b A = b c khơng thể có hạng c a ( ) b) Ta có: a b c ´ = b c a => det( A ´ ) = 3abc – c3 – a3 – b3 A c a b | | Vậy b sai c) Nếu hệ có nghiệm | A´ | ≠ Vậy Rank( A´ ) = mà theo định lí Cronecker Capelli, ta có: Rank(A) ¿ Rank( A´ ) hệ phương trình vơ nghiệm Vậy c sai => Chọn D x +2 y +2 z=3 ( x + m− ) y+ z=−m+9 Câu 2: Cho hệ phương trình − x + ( m+3 ) y +mz=−1 { Tìm m để hệ cho có vơ số nghiệm A m = -1 B m = C m = -1; m = D Cả câu sai Giải: −2 23 ´ Ta có A = m− 7− m+9 − m+3 m −1 ( ) → −2 23 ( −2 ) d + d 2 m+ 13 − m+3 d1+ d3 − 1m+1 m+2 −1 ( → 1− 22 d + d m+1 −m+3 −1 m− 1m −1 ( ) ) Để hệ phương trình có vơ số nghiệm ↔r(A) = r( A´ ¿= < số ẩn (=3) ↔m–1=0↔m=1 => Chọn B Câu 3: Cho hệ phương trình: x  2y  z  x  2y  mz  m mx  2y  2z  m        A Hệ ln có nghiệm với m B Tồn m để hệ vô nghiệm C Hệ ln có nghiệm với m D Tồn m để hệ có vơ số nghiệm Kết luận sau đúng? Giải −d 1+d 2 A = m m − md 1+ d 0 m− m− → m 2m −2 m 2− m m− ( |) ( | ) (d , d 3) −2 m 2− m m− → 0 m− m− | ) (  Để hệ phương trình có nghiệm m ≠  Nếu m= : A Ta có: = 0 − 0 −4 ( |) => R(A) = < R( A )= => Hệ phương trình vơ nghiệm => Chọn B Câu 4  :  Gọi s số nghiệm hệ nghiệm hệ phương trình  x1  x  x  x  x    2x1  3x  4x  5x  6x   4x  5x  6x  7x  8x   A s = B s = C s = D s = Giải Ta có : ´ = A ( 1 1 1 1 1 (− 2d 1)+ d 2 0 → 8 ) ( ) 1 1 (− d 1)+ d 3 → ( ( ) ) 1 1 (−1)d 2+ d 3 → 0 0 0 → rank A = rank A´ = < n ( n =5) → Hệ phương trình vơ định có hệ nghiệm phụ thuộc vào tham số { x + x + x + x + x =0 Từ HPT (1) => x 1+2 x2 + 33 x +4 x5 =0 { x =x +2 x + x x =−2 x −3 x − x5 Vậy hệ nghiệm : (1;-2;1;0;0), (2;-3;0;1;0), (3;-4;0;0;1) => Chọn C Câu 5: Gọi s số nghiệm hệ nghiệm hệ phương trình x +4 x2 +2 x 3+ x 4=0 x +7 x 2+3 x +4 x =0 Ta có s lớn nhất x +5 x2 +3 x − x 4=0 x +2 x +m x +5 x 4=0 { B m  A m  C m  D m  Giải ´=2 A 1 ( −1 m 0 −1 −1 → 0 0 0 m 0 ( → −1 0 1 −2 0 − m −2 )( 0 0 ) ) Để số nghiệm hệ nghiệm lớn r ( A´ ) đạt ¿=¿ m=0 => Chọn C  x  y  2z  3t   Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính (I) : 2x  2y  5z  8t  Hệ vectơ sau hệ nghiệm hệ (I) A u1  (1, 0, 2,1), u  (1,1, 1, 0) B u1  (1, 0, 2,1), u  (2, 2, 0, 0), u  (0,1, 2,1) C u1  (1, 0, 2,1), u  (0,1, 2,1) D u  (1, 0, 2,1) Giải t− y x=t − y => { z=− 2t {2 xx ++2y +2y+ 5z+z +83t =0t=0 => {2 xx +2+5 z=−3 z=− 8t −2 y Ta có : => Hệ nghiệm tổng quát (t – y ; y ; -2t ; t) => Chọn A  0, 0,1 0,    A   0, 0, 0,1     0, 0, 0,    Câu 7: Trong mơ hình input, output mở biết ma trận đầu vào Giả sử sản lượng của ba ngành lần lượt là 80, 100 và 60 Phát biểu nào sau là đúng ? A Tổng giá trị nguyên liê ̣u mà ngành đã sử dụng là 40 B Giá trị nguyên liê ̣u mà ngành cung cấp cho ngành là 10 C Giá trị sản lượng mà các ngành cung cấp cho ngành mở là 40,50,28 D Các phát biểu đều sai Giải Tổng giá trị nguyên liệu mà ngành sử dụng: 0,3.80 + 0,1.100 + 0,2.60 = 46 => Câu A sai Giá trị nguyên liệu mà ngành cung cấp cho ngành là: a23 x3 = 0,1.60 = => Câu B sai Thay x1, x2, x3 80, 100, 60 vào hệ phương trình: { x 1=0,3 x1 +0,1 x 2+ 0,2 x +d x2 =0,2 x +0,4 x +0,1 x +d x3 =0,3 x1 +0,2 x 2+ 0,3 x +d d 1=34 => d 2=38 d 3=− { => Câu C sai => Chọn D II TỰ LUẬN: Bài 01 : Giải biện luận hệ phương trình: x  y  2z  ax  y  2z  x  y  az         Giải 1 1 1 ´A= a c ↔ c a d →− d 1+ d a −1 → +d 1 a 1 a d → −d a −2 → ( ) ( ) ( ) * Nếu a =1 a = 2, thì: ´ )=3 r ( A )=2< r ( A => Hệ phương trình vơ nghiệm {a ≠1 * Nếu a ≠2 , r ( A )=r ( A´ )=3 => Hệ phương trình có nghiệm D= |A| = −(a −1)(a −2) D 1= 1 2− a ( 2+4 +4 −a ) = = 1 2= − ( a − )( a − ) −(a −1)(a −2) −( a− 1)( a− 2) a −1 a D 2= 1 −5 a ( a+4 a −2 −4 )= a 2= −(a −1)(a −2) − ( a −1 ) ( a −2 ) ( a −1)(a −2) a D 3= 1 1 −2 a ( 2+1 −1− a )= = a 1= −(a −1)(a −2) − ( a −1 ) ( a− ) −(a −1)(a −2) a −2 1 | | | | | | Vậy a = a = hệ phương trình vơ nghiệm {aa ≠1≠2 , hệ phương trình có nghiệm nhất., Bài 02 : Cho hệ phương trình: { a−1 −5 a y= (a − 1)( a− 2) z= a −2 x= ìï 2x + 3y - z = m ïï ï - 3x - 2y + mz = - í ïï ïï x - y + 2z = ỵ Tìm m để hệ phương trình vơ số nghiệm Giải: Xét ma trận hệ số mở rộng: −1 m ´A = − − m −1 −1 2 ( −1 2 −5 m+6 -2d1 + d3 − m− 3d1 + d2 ( ) ) −1 2 − − m −1 −1 m d1 ↔ d2 ( ( ) ) −1 d2 + d3 −5 m+6 0 m+1 m+ Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm r(A) = r( A´ ) = ( < ) m + = m = -1 Bài 03: Trong mơ hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào  0,1 0, 0,1    A   0, 0, 0,1   0,3 0,1 0,    Giải a) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận ( I - A ), với I ma trận đơn vị cấp 0 0,1 0,2 0,1 0,9 − 0,2 − 0,1 Ta có : ( I - A ) = − 0,2 0,2 0,1 = − 0,2 0,8 − 0,1 0 0,3 0,1 0,2 − 0,3 − 0,1 0,8 ( )( 630 503 190 → ( I - A )-1 = 503 260 503 170 503 690 503 150 503 )( ) 100 503 110 503 680 503 ( ) b) Tìm sản lượng ngành, biết yêu cầu ngành mở ngành D = ( 68,86,29) Gọi X véc tơ biểu thị giá trị sản lượng ngành Ta có: X = ( I - A )-1 D 630 503 190 => X = 503 260 503 170 503 690 503 150 503 100 503 68 110 86 503 29 680 503 ( )() 120 ( ) => X = 150 100 x1 =120 Giá trị sản lượng ngành : x2 =150 ( đơn vị tiền ) x3 =100 { Bài 04: Xét mơ hình Input-Output mở gồm ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào  0,1 0, 0, 2 A  0, 0, 0,3 0, 0,1 0, 2 a) Tìm tổng nguyên liệu đầu vào ba ngành để sản xuất 10 đơn vị đầu ngành 10 b) Tìm sản lượng ngành 1, biết ngành phải cung cấp cho ngành với lượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt) c) Nếu biết sản lượng ngành 100, ngành phải cung cấp cho ngành bao nhiêu? Giải a) Tổng nguyên liệu ngành để sản xuất 10 đơn vị đầu ngành: Tổng nguyên liệu ngành 1: 10 (0,1 +0,2+0,2) = (đơn vị tiền) Tổng nguyên liệu ngành 2: 10 (0,2 +0,2+0,3) = (đơn vị tiền) Tổng nguyên liệu ngành 3: 10 (0,4 +0,1+0,2) = (đơn vị tiền) b) Tìm sản lượng ngành 1, biết ngành phải cung cấp cho ngành với lượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt) Ta có: a 31 x 1= 70 => 0,4 x 1= 70 => x = 175 c) Nếu biết sản lượng ngành 100, ngành phải cung cấp cho ngành bao nhiêu? Ngành phải cung cấp cho ngành là: a 31 x 3= 0,2.100 = 20 (đơn vị tiền) III SÁCH BÀI TẬP: Bài 11: Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có vơ số nghiệm tìm nghiệm tổng quát trường hợp 11 Giải { x + y +2 z =0 Bài 13: Cho hệ phương trình tuyến tính ax+ y +2 z=1 (I) x + y +az =2 Khi đó, hệ (I) hệ Cramer A a ≠ B a ≠ C a = a = D a ≠ a ≠ Giải: Ta có: 112 D = a = (a - 2)(a - 1) 11a | | {a ≠2 Hệ phương trình (I) hệ Cramer ↔ D ≠ ↔ a ≠1 => Chọn D x +3 y=5 Bài 14: Cho hệ phương trình tuyến tính x+2 y=3 (I) a x+3 ay =4 { Khi đó, hệ (I) có nghiệm khi: A a = B a = −4 12 C a = a = −4 D a ≠ a ≠ −4 Giải: {2 x +3 y=5 A = (1 2) với | A|=1 x=|5 3|=1 => y=| =1 3| Ta có: x +2 y=3 { Để hệ phương trình (I) có nghiệm thì: a x+ ay=4 (với x = y=1) a 2+3 a − 4=0 a = a = -4 => Chọn C Bài 15 : Cho hệ phương trình tuyến tính: x+ y +mz=3+ m x +my − z =m−1 x − my+2 mz=−2 { (I) Cho biết x=1, y=1, z=1 thỏa hệ (I) Chọn mệnh đề đúng: A m=-4 hệ (I) có vơ số nghiệm B m=-4 hệ (I) có nghiệm C m=-2 hệ (I) có vơ số nghiệm D m=-4 hệ (I) có nghiệm Giải: m 3+m d 2=− d 1+ d 2 m 3+ m ´A = m − m−1 d =− d + d m −4 −3 −2 m −m− 3 → − m m −2 −m − −2 m− ( | ) ( | ) 13 m 3+ m c ↔c −3 − 2m m− − m− → 0 − m− −2 m− ( | ) * Nếu m≠-4 r(A) = r( A´ ) = => Hệ phương trình có nghiệm * Nếu m= -4 r(A) = r( A´ ) = (¿ 3) => Hệ phương trình vơ số nghiệm => Chọn A Bài 18: Trong mơ hình Input – Output Mở Leontief, biết ma trận đầu vào sau: a) Nói ý nghĩa kinh tế hệ số a21 = 0,3 b) Biết sản lượng ngành 100, tính giá trị lượng nguyên liệu mà ngành cung cấp cho c) Tìm ma trận nghịch đảo ( I3 - A ) d) Tìm mức sản lượng ba ngành, ngành mở yêu cầu ba ngành phải cung cấp cho lượng sản phẩm trị giá tương ứng ( 39,49,16 ) e) Nếu yêu cầu xuất dự trữ thay đổi ngành ∆ D=(3 , −2,0) Hãy tính mức thay đổi sản lượng ngành Giải: a) Ý nghĩa kinh tế hệ số a21 = 0,3 : cần lượng hàng hóa thứ ( nguyên liệu thứ ) trị giá 0,3 ( đơn vị tiền ) để sản xuất lượng hàng hóa thứ trị giá ( đơn vị tiền ) b) Khi sản lượng ngàng 100, Giá trị lượng nguyên liệu mà ngành cung cấp cho : Ngành 1: a12 x2 = 0,2 100 = 20 ( đơn vị tiền ) Ngành 2: a22 x2 = 0,1 100 = 10 ( đơn vị tiền ) 14 Ngành 3: a32 x2 = 0,3 100 = 30 ( đơn vị tiền ) 0 0,1 0,2 0,3 c) Ta có: I3 - A = - 0,3 0,1 0,1 0 0,2 0,3 0,2 ( )( ) 0,9 − 0,2 − 0,3 − = 0,3 0,9 − 0,1 − 0,2 − 0,3 − 0,8 ( ) |I − A| = 0,448 345 244 65 => ( I − A )-1 = 122 135 244 125 244 165 122 155 244 145 244 45 122 375 244 ( ) d) Gọi X vecto biểu thị giá trị sản lượng ngành 345 244 65 Ta có: X = ( I − A )-1 D = 122 135 244 = 125 244 165 122 155 244 145 244 45 122 375 244 ( ) () 39 49 16 () 5475 61 5670 61 4715 61 x1 ≈ 89,754 Giá trị sản lượng ngành : x ≈ 92,951 ( đơn vị tiền ) x ≈ 77,295 { e) Gọi ∆ X vecto biểu thị mức thay đổi sản lượng ngành 345 244 65 ∆ X = ( I − A )-1 ∆ D = 122 135 244 125 244 165 122 155 244 145 244 45 122 375 244 ( ) −2 () 15 = 785 244 −135 122 95 244 () x ≈ 3,17 Mức thay đổi sản lượng ngành : x2 ≈ −1,107 ( đơn vị tiền ) x ≈ 0,389 { Câu 20: Xét mơ hình Input – Output mở Leontief gồm ba ngành với ma trận hệ số đầu vào 0,3 0,1 0,2 A= 0,2 m 0,1 =( a ij )3 × 0,3 0,2 0,3 ( ) a)Giải thích ý nghĩa kinh tế hệ số a23 Từ tính số tiền mà ngành phải đóng góp cho ngành giá trị đầu ngành 200 (đơn vị tiền) + Ý nghĩa kinh tế hệ số a23 : Cần lượng hàng hóa thứ ( nguyên liệu thứ 2) trị giá 0,1 (đơn vị tiền) để sản xuất lượng hàng hóa thứ trị giá (đơn vị tiền) + Ngành phải cung cấp cho ngành 3: a23 x3 = 0,1 200 = 20 ( đơn vị tiền ) b) Giải thích ý nghĩa kinh tế hệ số a03 Từ suy ngành mở phải đóng góp cho ngành giá trị sản lượng ngành 1000 (đơn vị tiền) a03= 1- (a13+a23+a33)= 0,4 +Ý nghĩa kinh tế hệ số a03: ngành mở đóng góp 0,4 ( đơn vị tiền) cho ngành để ngành sản xuất lượng hàng trị giá (đơn vị tiền) +Ngành mở phải đóng góp cho ngành 3: 0,4 1000= 400 ( đơn vị tiền) c) Hãy tìm giá trị m, biết ngành mở phải đóng góp 150 (đơn vị tiền) cho ngành giá trị sản lượng ngành 500 (đơn vị tiền) Ta có: a02= 1-(a12 + a22+ a32) = 1- (0,1 + m + 0,2 ) = 0,7 – m 16 Theo đề bài, ta có: a02 500 = 150 (0,7 – m) 500 =150 0,7 – m = 0,3 m = 0,4 d) Với m = 0,4 tìm giá trị sản lượng ba ngành biết yêu cầu ngành mở ba ngành 66 , 124, 100 0,7 − 0,1 − 0,2 I – A = − 0,2 0,6 − 0,1 − 0,3 − 0,2 0,7 ( ) Det ( I – A) = 0,219 400 219 170 => ( I – A) -1 = 219 220 219 110 219 430 219 170 219 130 219 110 219 400 219 ( ) Gọi X vecto biểu thị giá trị sản lượng ngành X = ( I – A )-1 D 400 219 170 = 219 220 219 110 219 430 219 170 219 130 219 66 110 124 219 100 400 219 ( ) () ( ) 17680 73 25180 = 73 25200 73 x ≈ 242,192 Vậy sản lượng ngành x ≈ 344,932 x3 ≈ 345,205 { ( đơn vị tiền ) 17 18 ... nguyên liê ̣u mà ngành đã sử dụng là 40 B Giá trị nguyên liê ̣u mà ngành cung cấp cho ngành là 10 C Giá trị sản lượng mà các ngành cung cấp cho ngành mở là 40,50,28 D Các... 0,2.100 = 20 (đơn vị tiền) III SÁCH BÀI TẬP: Bài 11: Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ có vơ số nghiệm tìm nghiệm tổng qt trường hợp 11 Giải { x + y +2 z =0 Bài 13: Cho hệ phương trình tuyến tính... cho ngành với lượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt) Ta có: a 31 x 1= 70 => 0,4 x 1= 70 => x = 175 c) Nếu biết sản lượng ngành 100, ngành phải cung cấp cho ngành bao nhiêu? Ngành phải cung cấp cho