Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải [r]
Đề tài: CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH THPT KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Khách thể đối tượng nghiên cứu Giải thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận Ở trường phổ thơng,dạy Tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Vai trị phương trình - bất phương trình dạy học tốn Phương trình - bất phương trình mảng kiến thức quan trọng nhiều ngành khoa học đặc biệt Toán học Những kiến thức phương trình – bất phương trình nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển thành lý thuyết đại số cổ điển Không lý thuyết phương trình cịn giữ vai trị quan trọng nhiều mơn khác tốn học Trong lĩnh vực nghiên cứu phương trình – bất phương trình giữ vị trí quan trọng Nhưng chương trình tốn học nhà trường phổ thơng phương trình – bất phương trình chiếm vị trí đặc biệt Vì nội dung toán học, phong phú đa dạng với nhiều phương pháp khác 1.2 Cơ sở thực tiễn Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết học để giải toán học sinh cịn gặp số khó khăn sai lầm.Chính giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp để giúp học sinh giải tốn mà khơng mắc phải sai lầm cần thiết phù hợp Mặt khác đứng trước tốn phương trình hay bất phương trình học sinh thường giải theo thói quen mà khơng biết bị sai khơng nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai học sinh lớp 10 giải phương trình bất phương trình rút gọn bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót trước THCS học sinh giải phương trình bất phương trình mà mẫu thường số nên học sinh rút gọn bỏ mẫu 1.2.1 Các sai lầm thường gặp học sinh thpt giải toán phương trình, hệ phương trình bất phương trình Sai lầm giải phương trình Những sai lầm giải phương trình thường mắc học sinh vi phạm quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương Đặt thừa hay thiếu điều kiện dẫn đến sai lầm, chí sai đến mức khơng thể giải Một sai lầm hậu biến đổi công thức, biến đổi công thức mà đẳng thức, “á đẳng thức”- chưa với điều kiện Đơi sai lầm xuất hiểu nhầm công thức, sử dụng công thức mà quen điều kiện ràng buộc Sai lầm giải hệ phương trình Sai lầm giải hệ phương trình thường xuất phát từ nguyên nhân không nắm vững phép biến đổi tương đương không để ý biện luận đủ trường hợp xảy Sai lầm giải toán bất phương trình Sai lầm giải bất phương trình thường bắt nguồn vận dụng bất đẳng thức cổ điển mà không để ý đến điều kiện để bất đẳng thức đúng, sử dụng sai sót quy tắc suy luận từ bất đẳng thức suy bất đẳng thức 1.2.2 Nguyên nhân dẫn đến sai lầm giải tốn phương trình, hệ phương trình bất phương trình Những sai lầm mà học sinh thường vấp phải lập luận toán học trước hết có khó khăn định học tốn Cụ thể là: Khó khăn học sinh học khái niệm tốn học; Khó khăn học sinh với ngơn ngữ tốn học; Khó khăn học sinh giải vấn đề toán học; Hiểu khơng đầy đủ xác u cầu tốn Học sinh khơng nắm vững cơng thức Học sinh khơng có kĩ thuật, phương pháp giải phù hợp Vận dụng máy móc khơng linh hoạt Khó khăn học sinh vận dụng tư toán học Chương CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH THPT KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC 2.1 Phương trình 2.2 Hệ phương trình Bài 1: Giả hệ phương trình sau: 1 x − = y− ( ) x y y =x +1 ( ) { Dự đoán sai lầm: Xét hàm số: f ( t )=t− t với t ≠ ' f ( t )=1+ > 0⟹ f (t ) t tăng với t ≠ ( ) ⟺ f ( x ) =f ( y ) ⟺ x = y Nguyên nhân sai lầm cách khắc phục: Do hàm f ( t ) gián đoạn t=0 , nên dùng tính đơn điệu Cách giải đúng: ( x− y ) 1+ =0 xy Hệ ⟺ ⟺ y=x + { ( ) x= y ≠ { ⟺ y =x +1 {2xy=−1 y =x +1 [ 3 x = y ≠ ; xy=−1 y=x +1 { ⟺ [{ ( y≠0 {x −2x=x+1=0 xy=−1 Vônghiệm 1 x − + x + + =0 2 ⟺ )( ) [ x= y=1 −1 ± √5 x= y= 2.3 Bất phương trình Nhìn chung, khái niệm định lý bất phương trình có nhiều điểm tượng tự với phương trình Trong số trường hợp ta cần thay từ “ phương trình” từ “ bất phương trình”, dấu “=” dấu “” kết Tuy nhiên, học sinh gặp khó khăn với số dạng bất phương trình Bài 1:Giải bất phương trình sau: ( x 2−3 x ) √ x2 −3 x −2≥ 0(1) Dự đốn sai lầm : Học sinh khơng ý trường hợp (biểu thức dấu không) giải sau: x2−3 x−2≥ ⟺ x ≤− ; x ≥ ( ) ⟺ Hoặc x 2−3 x ≥0 x ≤0 ; x ≥3 { { { { ⟺ x ≤− ; x ≥3 −1 ≤ x≤2 x2−3 x−2≤ ⟺ ( ) ⟺ Hoặc x −3 x ≤0 ≤ x ≤3 ⟺ ≤ x ≤2 Vì biểu thức dấu ln ln lớn không nên cách giải sai Cách giải đúng: −1 TH 1: x −3 x−2=0 ⟺ x=2 ; x = , bất phương trình ln x2−3 x−2> ⟺ x ← ; x >2 ( ) ⟺ TH 2: x 2−3 x ≥ x≤0; x≥3 { { ⟺ x← ; x ≥ Vậy tập nghiệm ( ) là: T = −∞ ;− ∪ {2 } ∪¿ ( ] Biện pháp khắc phục: Khi giải bất phương trình, ta muốn nhân chia hai vế bất phương trình cho biểu thức ta phải xác định dấu biểu thức Nếu chưa xác định dấu biểu thức mà ta muốn nhân ta chia làm hai trường hợp Bài 2: Giải bất phương trình √ x 2−6 x +1−x +2>0(1) Dự kiến sai lầm: Các em nghĩ đến chuyển vế để bình phương, tức là: ( ) ⟺ √ x2 −6 x+1> x−2(2) Đến đây, học sinh mắc số sai lầm: - Bình phương vế mà khơng có điều kiện: ( ) ⟺2 x 2−6 x +1> ( x−2 )2 ⟺ x 2−2 x −3>0 ⟺ x←1 ; x> - Đặt điều kiện cho biểu thức bình phương: (2)⟺ x 2−6 x +1≥ 2 x 2−6 x +1> ( x−2 ) { Sau giải - Đặt điều kiện cho biểu thức vế phải (2) x 2−6 x+ 1≥ ⟺ x >3 x−2 ≥ 2 x −6 x +1> ( x−2 ) { Có thể học sinh nhận xết vế trái bậc nên không âm, để (1) thỏa mãn cần x−2 x−2 ⟺ {2 x x−2 ( x−2 ) { x> Biện pháp khắc phục: Cần cho học sinh thấy số tính chất bất phương trình tương tự với phương trình, khác biệt lớn dấu bất phương trình Do tùy vào tốn mà ta có cách lập luận khác Ở cần nhắc lại để phép tốn bình phương tương đương phải đảm bảo chúng dấu Ở bất phương trình ( ) , tất nhiên phải chuyển vế giải Bài 3: Giải bất phương trình sau: √ x2−16≤ x−7 ( ) Dự kiến sai lầm: Bình phương hai vế để có pháp biến đổi tương đương lại khơng đảm bảo điều kiện đặt sai điều kiện Chẳng hạn: (1)⟺ x 2−16 ≤ (2 x−7 )2 (1)⟺ { x−7 ≥ x −16≤ ( x−7 ) (1)⟺ { x −16 ≥ 2 x −16≤ ( x−7 ) Phân tích sai lầm: Mắc sai lầm tiến hành khử đa phần em chưa nắm chất bậc hai định lí phương trình hệ Biến đổi HS chưa hiểu cách dùng dấu tương đương Cách biến đổi thứ hai em tin bậc hai không âm, không quan tâm đến biểu thức căn, đặt điều kiện cho vế phải để đảm bảo hai vế không âm bình phương Cách biến đổi thứ ba nghĩ đặt điều kiện cho thức tồn bình phương Biện pháp khắc phục: Bất phương trình (1) có dạng √ A ≤ B (*), A ≥0 vế trái ln khơng âm nên khơng có trường hợp vế trái âm, vế phải khơng âm Để phép bình phương tương đương phải đảm bảo hai vế dấu, với cách biến đổi thứ hai B ≥ 0, A ≤ B2 không đảm bảo A ≥0 điều kiện A ≥0 khơng bỏ Cách biến đổi thứ ba tất nhiên không vế phải chưa khơng âm Qua phân tích ta thấy cách lập luận hoàn toàn khác bất phương trình trên, em cần hiểu rõ để tránh nhầm lẫn, khơng máy móc áp dụng Như ta có: (*)⟺ { A≥0 B≥0 A ≤ B2 Cách giải đúng: (*)⟺ ⟺ x 2−16 ≥0 x−7 ≥ ⟺ x −16 ≤ ( x−7 )2 { x≥4 13 x ≤ ; x ≥5 { Bài 4: Giải bất phương trình sau: 1 ,(1) x √ x −2 x−3 +5 < ⟺ { x ≤−4 ; x ≥ x≥ 2 x −16 ≤ x −14 x+ 49 { 13 x≥5 4≤ x≤ Dự đoán sai lầm: - Biến đổi ( ) ⟺ x +5 < √ x2−2 x−3 (*), đến Hs mắc sai lầm sau: + Bình phương hai vế để khử giải: (*)⟺ ( x+ )2< x2 −2 x−3 ⟺ 12 x +280 { { - Nếu x←5 vế phải số âm, vế trái số dương nên không thỏa - Nếu [−5x←1 ( ) ⟺ x +5 < 2 √ x2−2 x−3> ; x +5> nên (1) tương đương: √ x2−2 x−3 ⟺ ( x+5 ) < x −2 x−3 ⟺ x ← 7 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = −5;− ( ) Mục lục Tài liệu tham khảo http://thuvienluanvan.info/luan-van/de-tai-mot-so-sai-lam-thuong-gap-cua-hocsinh-khi-giai-toan-phuong-trinh-o-truong-thpt-37380/ http://thuvienvatly.com/home/downloads/toan/sai-lam-thuong-gap-khi-giai-batphuong-trinh.thuvienvatly.com.2e7cd.37825.pdf?cb=1447515093470075990 http://doc.edu.vn/tai-lieu/khoa-luan-giup-hoc-sinh-trung-hoc-pho-thong-vuotqua-nhung-sai-lam-trong-lap-luan-toan-hoc-phan-dai-so-37048/ http://luanvan.net.vn/luan-van/luan-van-day-hoc-phuong-trinh-bat-phuongtrinh-vo-ty-theo-huong-phan-loai-phuong-phap-giai-cho-hoc-sinh-thpt-o-miennui-56886/ ... http://thuvienluanvan.info/luan-van/de-tai-mot-so -sai- lam- thuong- gap- cua- hocsinh-khi-giai-toan-phuong-trinh-o-truong-thpt-37380/ http://thuvienvatly.com/home/downloads/toan /sai- lam- thuong- gap- khi-giai-batphuong-trinh.thuvienvatly.com.2e7cd.37825.pdf?cb=1447515093470075990... http://doc.edu.vn/tai-lieu/khoa-luan-giup -hoc- sinh- trung -hoc- pho- thong- vuotqua-nhung -sai- lam- trong-lap-luan-toan -hoc- phan-dai-so-37048/ http://luanvan.net.vn/luan-van/luan-van-day -hoc- phuong-trinh-bat-phuongtrinh-vo-ty-theo-huong-phan-loai-phuong-phap-giai-cho -hoc- sinh- thpt-o-miennui-56886/... biết bị sai khơng nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai học sinh lớp 10 giải phương trình bất phương trình rút gọn bỏ mẫu mà khơng ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót trước THCS học sinh