KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Giaovienvietnam.com KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 V = V = a A B C D S ABC SBC Câu Cho hình chóp có tam giác tam giác vuông cân S , SB = 2a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) 3a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC 3 A V = 2a B V = 4a C V = 6a D V= a3 V= V = 12a Câu (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 CA = Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = 40 B V = 192 C V = 32 D V = 24 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a , BC = 2a Hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt ABCD ) phẳng đáy ( , cạnh Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD 2a 15 2a 15 V= V= A B C V = 2a 15 a 15 D Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh ABCD ) bên SA vng góc với đáy ( SC = a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a 15 V= V= V = 3 B A C V = a D Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B BA = BC = a Cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC V= www.thuvienhoclieu.com Trang Giaovienvietnam.com a3 2a a3 V = V = A V = a B C D Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , AB = BC = , AD = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD V= V= A V = B C D V = Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A có AB = a , BC = a Mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt ABC ) phẳng vng góc với mặt phẳng ( Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 2a a3 V= V= V= V= 12 B 12 D A C Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, SA = 2a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD V= a 15 a 15 V= V= V = 2a 12 A B C 2a V= D Câu 10 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp cho 13 a 11 a3 11 a3 V= V= V= 12 12 A B C V= 11 a3 D Câu 11 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên a 21 Tính theo a thể tích V khối chóp cho a3 a3 V= V= B 12 A a3 V= 24 C www.thuvienhoclieu.com a3 V= D Trang Giaovienvietnam.com Câu 12 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a thể tích a Tính chiều cao h hình chóp cho a a a h= h= h= A B C D h = a Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = a Cạnh bên SA = a , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 2a a3 V= V= V= V= 12 B 12 D A C Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, · góc ABC = 60° Cạnh bên SD = Hình chiếu vng góc S mặt ABCD ) phẳng ( điểm H thuộc đoạn BD thỏa HD = 3HB Tính thể tích V khối chóp S ABCD 15 15 15 V= V= 24 12 A B C D Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Hình chiếu vng góc S AB điểm H thỏa AH = BH Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= B A C D Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , · cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc SBD = 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 2a a3 V = V = V = 3 A V = a B C D Câu 17 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AC = 2a , AB = SA = a Tam giác SAC vuông S nằm mặt ABC ) phẳng vng góc với đáy ( Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 3a 2a V= V= V = A B C V = a D V= 24 V= www.thuvienhoclieu.com Trang Giaovienvietnam.com Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Cạnh bên a2 SA = a vng góc với đáy; diện tích tam giác SBC (đvdt) Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 2a a3 V = V = 3 A V = a B C D Câu 19 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh huyền AB Hình chiếu vng góc S xuống mặt đáy trùng V= SB = 14 Tính theo a thể tích V với trọng tâm tam giác ABC khối chóp S ABC 3 V= V= V= 4 A B C D V = Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 V= V= V= B A C D Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AC = 5a Đường thẳng SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD V= 3 3 A V = 2a B V = 2a C V = 2a D V = 2a Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA ABC ) vng góc với mặt phẳng ( ; góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 3a a3 V= V= V= A B C D V = a Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc · BAD = 120 Cạnh bên SA vng góc với đáy ( ABCD ) SD tạo với đáy ( ABCD ) góc 600 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 3a a3 V= V= V= A B C D V = a www.thuvienhoclieu.com Trang Giaovienvietnam.com Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm H cạnh AB , góc SC mặt đáy 30 Tính thể tích V khối chóp S ABCD 15 15 V= V= V= B 18 A C D Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AC = 2a, BC = a Đỉnh S cách điểm A, B, C Biết góc o ABCD ) đường thẳng SB mặt phẳng ( 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 3a a3 V= V= V= A B C D V = a Câu 26 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB = AC = a Cạnh bên SA vng góc với đáy ( ABC ) Gọi I trung ABC ) điểm BC , SI tạo với mặt phẳng ( góc 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= B 12 A C D Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , hình ABC ) chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( trung điểm H ABC ) cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 3a 3 a3 a3 V= V= V= V= B A C D Câu 28 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B ; đỉnh S cách điểm A, B, C Biết AC = 2a, BC = a ; góc đường ABC ) thẳng SB mặt đáy ( 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= B 12 A C D Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , BD = Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy V= www.thuvienhoclieu.com Trang Giaovienvietnam.com ( ABCD ) trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD 3 V= V= V= V= 24 B 12 A C D Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD hợp ABCD ) với mặt phẳng ( góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 2a 3 V= V= V= V= B A C D Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với cạnh đáy AD BC ; AD = 2a, AB = BC = CD = a Cạnh bên SA vng góc ABCD ) ABCD ) với mặt phẳng ( SD tạo với mặt phẳng ( góc 45 Tính thể tích V khối chóp cho a3 a3 3a 3 V= V= V= B D V = a A C Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S Hình chiếu vng góc S mặt đáy điểm H thuộc cạnh AD cho HA = 3HD Biết SA = 2a SC tạo với đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 3 A B V = 2a C V = 6a 6a V= D Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = AB = a Gọi N trung điểm SD , đường ABCD ) thẳng AN hợp với đáy ( góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 V= V= V= B A C V = a D Câu 34 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy, SD tạo với V= www.thuvienhoclieu.com Trang Giaovienvietnam.com SAB ) mặt phẳng ( góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 6a 3a V= V = V = V = a 18 3 A B C D S ABCD ABCD Câu 35 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , tam giác SBC vng S nằm mặt phẳng vng góc với SBC ) đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD V= V= B V = A C D V = Câu 36 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên với mặt đáy 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= 24 B 12 A C D Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SCD ) Đường thẳng SA vng góc đáy mặt bên ( hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 V= V = B A C V = a D Câu 38 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA vng góc với đáy mặt V= SBC ) phẳng ( tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 V= V= 3 3 A V = 3a B C V = a D Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SBD ) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng ( ABCD ) mặt phẳng ( 60 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 V= V= V= 12 B V = a A C D Câu 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , đường chéo AC = a , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng www.thuvienhoclieu.com Trang Giaovienvietnam.com SCD ) vng góc với đáy, góc ( đáy 45 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD a3 3a a3 a3 V= V= V= V= 12 A B C D Câu 41 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AD = DC = , AB = ; cạnh bên SA vng góc với đáy; mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt đáy ( ABCD ) góc 450 Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2 V= V= V= A V = B C D 2 Câu 42 Cho tứ diện ABCD có S ∆ABC = 4cm , S∆ABD = 6cm , AB = 3cm ο ABC ) ABD ) Góc hai mặt phẳng ( ( 60 Tính thể tích V khối tứ diện cho 3 3 V= cm V= cm 3 A B C V = 3cm V= 3 cm D Câu 43 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a AD = 4a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm cạnh BC , CD, BD Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 V = a3 V= a 3 A B V = 14a C D V = 7a Câu 44 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A.GBC A V = B V = C V = D V = Câu 45 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy khoảng cách ( SBC ) từ A đến mặt phẳng cho a3 V= A B V = a a Tính thể tích V khối chóp C V= a3 www.thuvienhoclieu.com D V= a3 Trang Giaovienvietnam.com Câu 46 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AC = a , SA = a vng góc với đáy ( ABC ) Gọi G trọng tâm tam α giác SBC Mặt phẳng ( ) qua AG song song với BC cắt SB , SC M , N Tính theo a thể tích V khối chóp S AMN 2a 2a a3 a3 V= V= V= V= 27 B 29 27 A C D Câu 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SH = a Tính thể tích khối chóp S CDNM 5a 5a 3 5a 3 5a 3 V= V= V= V= B 24 12 A C D Câu 48 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh 2a Mặt bên tạo với đáy góc 60 Gọi K hình chiếu vng góc O SD Tính theo a thể tích V khối tứ diện DKAC 2a 3 4a 3 4a 3 V= V= V= 15 C 15 A B D V = a · · · Câu 49* Cho hình chóp S ABC có ASB = CSB = 60 , ASC = 90 SA = SB = a, SC = 3a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 V= V= V= 12 12 A B C D S ABCD ABCD Câu 50 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a, SA = SB, SC = SD, ( SAB ) ⊥ ( SCD ) tổng diện tích hai tam giác SAB 7a SCD 10 Tính thể tích V khối chóp S ABCD V= A V= a3 B V= 4a 15 C V= 4a 25 D V= 12a 25 Vấn đề THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG Câu 51 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a www.thuvienhoclieu.com Trang Giaovienvietnam.com a3 a3 a3 a3 V= V= V= 12 A B C D V Câu 52 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a tổng diện tích mặt bên 3a V= a3 a3 a3 a3 V= V= V= 12 A B C D Câu 53 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có BB′ = a , đáy ABC tam giác vuông cân B AC = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho V= V= a3 V= a3 V= a3 A B C D V = a Câu 54 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác với · AB = a , AC = 2a , BAC = 1200 , AA ' = 2a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a 15 V = 3 A V = 4a B V = a 15 C 4a D Câu 55 Tính thể tích V khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ', biết AC ' = a 3 6a V = V = a3 3 A V = a B C V = 3a D Câu 56 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng cạnh 2a Tính thể tích V khối lăng trụ cho theo a , biết A ' B = 3a V= 5a 3 A D V = 12a V= B V = 5a C V = 5a Câu 57 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a , AD = a , AB ' = a Tính theo a thể tích khối hộp cho A V = a 10 D V = 2a 2a V= B www.thuvienhoclieu.com C V = a3 Trang 10 Giaovienvietnam.com Do ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC   SB ⊥ BC ; AB ⊥ BC , suy · , AB  = SBA · 600 = (· SBC ) , ( ABCD )  =  SB     SAB , Tam giác vng có · SA = AB.tan SBA = a Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD = AB AD = a Vậy thể tích khối chóp VS ABCD = S ABCD SA = a Chọn C SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD Câu 39 Vì S A B D Gọi O = AC ∩ BD , suy BD ⊥ AO BD ⊥ ( SAO ) ⇒ BD ⊥ SO Từ ( ) ( ) , suy ( SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD  SO ⊥ BD, AO ⊥ BD Do  , suy · , AO  = SOA · 600 = (· SBD ) , ( ABCD )  =  SO     a · SA = AO.tan SOA B= Tam giác vuông SAO , ta có Diện tích hình vng ABCD S ABCD = a C ( 1) ( 2) S A D O C a3 VS ABCD = S ABCD SA = Vậy Chọn C Câu 40 Gọi H trung điểm AB , suy SH ⊥ AB SAB ) ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ ( ABCD ) Mà ( theo giao tuyến AB nên CH ⊥ AB  → CH ⊥ CD S   AB a CH = =  2 Tam giác ABC cạnh a nên  ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD   SC ⊂ ( SCD ) , SC ⊥ CD  HC ⊂ ( ABCD ) , HC ⊥ CD Ta có  suy A D H B www.thuvienhoclieu.com C Trang 28 Giaovienvietnam.com · , HC = SCH · 450 = (· SCD ) , ( ABCD ) = SC a · SH = HC.tan SCH = Tam giác vng SHC , có a S ABCD = S ∆ADC = Diện tích hình thoi ABCD a3 VS ABCD = S ABCD SH = Chọn A Vậy thể tích khối chóp CI = AD = = AB Câu 41 Gọi I trung điểm AB , suy ABC C BC ⊥ AC Do tam giác vng Suy nên · · , AC = SCA · 45 = ( SBC ) , ( ABCD ) = SC 2 Ta có AC = AD + DC = · Tam giác vng SAC , có SA = AC tan SCA = ( AB + DC ) AD = S ABCD = 2 Diện tích hình thang S Vậy thể tích khối chóp Chọn C B C D VS ABCD I A = S ABCD SA = 8C AB.CK  → CK = cm Câu 42 Kẻ CK ⊥ AB Ta có Gọi H chân đường cao hình chóp hạ từ đỉnh C Xét tam giác vng CHK , ta có S ∆ABC = D A K H · CH = CK sin CKH = CK sin (·ABC ) , ( ABD ) = B 3 V = S∆ABD CH = cm 3 Vậy thể tích khối tứ diện Chọn D AB , AC Câu 43 Do AD đôi vuông góc với nênA 1 VABCD = AB AC AD = 6a.7 a.4a = 28a 6 P B S ∆MNP = S ∆BCD Dễ thấy M VAMNP = VABCD = 7a C Suy Chọn D www.thuvienhoclieu.com D N Trang 29 Giaovienvietnam.com S ∆GBC = S∆DBC Câu 44 Vì G trọng tâm tam giác BCD nên 1 VA.GBC = VABCD = 12 = 3 Suy Chọn B Câu 45 Gọi H hình chiếu A SB S ⇒ AH ⊥ SB H Ta có  SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC  A  AB ⊥ BC a AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d  A, ( SBC )  = AH = Suy SAB A, Tam giác vng có 1 = 2+ ⇒ SA = a AH SA AB a3 V = SA.S ABCD = 3 Chọn D Vậy Câu 46 Từ giả thiết suy AB = BC = a D B C a2 a3 S∆ABC = AB.BC = VS ABC = S∆ABC SA = 2 Do S Diện tích tam giác Gọi I trung điểm BC SG = N Do G trọng tâm ∆SBC nên SI BC P( α )  → BC song song với giao tuyến MNA M  → S ∆AMN = S ∆SBC  → ∆AMN ∽ ∆ABC theo tỉ số Vì G C I B 2a VS AMN = VS ABC = 27 Vậy thể tích khối chóp Chọn A Nhận xét 1) bạn đọc tham khảo cách giải khác tỉ số thể tích Bài ??? 2) Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k tỉ số thể tích k www.thuvienhoclieu.com Trang 30 Giaovienvietnam.com Câu 47 Theo giả thiết, ta có SH = a Diện tích tứ giác SCDNM = S ABCD − S∆AMN − S∆BMC S 1 a a 5a A = AB − AM AN − BM BC = a − − = N 2 8 H 5a D VS CDNM = SCDNM SH = 24 Vậy Chọn B CD Câu 48 Gọi M trung điểm , suy OM ⊥ CD nên · , OM = SMO · 600 = (· SCD ) , ( ABCD ) = SM S · SO = OM tan SMO = a SOM Tam giác vng , có KH ⊥ ( ABCD ) Kẻ KH ⊥ OD ⇒ KH PSO nên KH DK DO = = Tam giác vng SOD , ta có SO DS DS OD 2 2a =  → KH = SO = 2 SO + OD 5 S ∆ADC = AD.DC = 2a 2 Diện tích tam giác VDKAC C A D H M O B C 4a 3 = S∆ADC KH = 15 Chọn C Câu 49* Gọi M trung điểm AB ⇒ SM ⊥ AB  AB = a  SA = SB   → a ⇒ ∆ SAB · SM =   A Ta có  ASB = 60 2 Tam giác SAC , có AC = SA + SC = a 10 B K = Vậy M S ( 1) C M 2 · Tam giác SBC , có BC = SB + SC − SB.SC.cos BSC = aB AB + AC − BC 10 · cos BAC = = AB AC Tam giác ABC , có a 33 ·  → CM = AM + AC − AM AC.cos BAC = 2 2 → ∆SMC vuông M  → SM ⊥ MC Ta có SM + MC = SC = 9a  ( ) SM ⊥ ( ABC ) Từ ( ) ( ) , ta có www.thuvienhoclieu.com Trang 31 Giaovienvietnam.com Diện tích tam giác S ∆ABC = a2 · AB AC.sin BAC = 2 a3 VSABC = S ∆ABC SM = Vậy thể tích khối chop Chọn D Cách (Dùng phương pháp tỉ số thể tích-Bạn đọc hiểu rõ vấn đề Bài ??? đến Bài ???) Trên cạnh SC lấy điểm D cho SD = a  AB = CD = a, AD = a ∆ABD vuong can  →  ∆ SAD vuong can SA = SD = a , AD = a  Dễ dàng suy  Lại có SA = SB = SD = a nên hình chiếu vng góc S mặt phẳng S ( ABD ) trung điểm I AD a a a SI = S∆ABD = a a A D Ta tính I a3 VS ABD = S∆ABD SI = 12 Suy VS ABD SD = = V SC Ta có S ABC 2a B a3  →VS ABC = 3VS ABD = Cách Phương pháp trắc nghiệm '' Cho hình chóp S ABC có ·ASB = α , BSC · · = β , CSA = γ SA = a, SB = b, SC = c.'' Khi ta có: abc − cos α − cos β − cos γ − 2cos α cos β cos γ a3 VS ABC = Áp dụng công thức, ta VS ABC = Câu 50 Gọi M , N trung điểm AB CD S A M B D N H C www.thuvienhoclieu.com Trang 32 C Giaovienvietnam.com Tam giác SAB cân d = ( SAB ) ∩ ( SCD ) ( SAB ) ⊥ ( SCD ) Vì ( SMN ) ⊥ ( ABCD ) Kẻ Ta suy S suy ra SM ⊥ AB ⇒ SM ⊥ d , SM ⊥ ( SCD ) ⇒ SM ⊥ SN với SH ⊥ MN  → SH ⊥ ( ABCD ) có 2 7a 1 7a 7a ⇔ AB.SM + CD.SN =  → SM + SN = 10 2 10 2 2 Tam giác SMN vuông S nên SM + SN = MN = a Giải hệ 7a  3a 4a SM SN 12a  SM + SN = & SN =  → SH = = ⇔ SM =  5 MN 25  SM + SN = a  S∆SAB + S ∆SCD = 4a VS ABCD = S ABCD SH = 25 Vậy thể tích khối chóp Chọn C Vấn đề THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG Câu 51 Xét khối lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tất cạnh a a2 C' A' S= B' Diện tích tam giác cạnh a Chiều cao lăng trụ h = AA ' = a VABC A′B′C ′ = S h = a3 A C Vậy thể tích khối lăng trụ B Chọn D Câu 52 Xét khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác AA′ ⊥ ( ABC ) www.thuvienhoclieu.com Trang 33 Giaovienvietnam.com S = 3.S ABB′A′ Diện tích xung quanh lăng trụ xq ⇔ 3a = ( AA′ AB ) ⇔ 3a = ( AA′.a ) ⇒ AA′ = a a2 = lăng S ∆ABC Diện tích tam giác ABC Vậy thể tích khối a VABC A′B′C ′ = S ∆ABC AA′ = Chọn D Câu 53 Tam giác ABC vuông cân B , AC a2 BA = BC = = a ⇒ S ∆ABC = 2 suy Vậy thể tích khối lăng trụ Chọn C V = S ∆ABC BB′ = C' A' B' C A trụ B C' A' B' a3 A C B S∆ABC = a2 · AB AC.sin BAC = 2 Câu 54 Diện tích tam giác ABC Vậy thể tích khối lăng trụ VABC A ' B ' C ' = S∆ABC AA ' = a 15 Chọn B x x > 0) Câu 55 Đặt cạnh khối lập phương ( A' Suy CC ' = x; AC = x Tam giác vng ACC ' , có AC ' = AC + CC '2 ⇔ x = a ⇒ x = a Vậy thể tích khối lập phương V = a Chọn A Câu 56 Do ABCD A ' B ' C ' D ' lăng trụ đứng nên AA ' ⊥ AB A ' AB , Xét tam giác vuông ta có A ' A = A ' B − AB = a 2 Diện tích hình vng ABCD S ABCD = AB = 4a Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD A ' A = 5a Chọn B D' D C' C B A D' A' B' B' C' C D A B 2 Câu 57 Trong tam giác vuông ABB ' , có BB ' = AB ' − AB = 2a Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD = AB AD = a Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD BB ' = 2a Chọn D www.thuvienhoclieu.com Trang 34 Giaovienvietnam.com Câu 58 Xét hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình chữ C' D' nhật B' A'  S ABCD = 10cm  AB AD = 10    S ABB′A′ = 20cm ⇔  AB AA′ = 20 D C   AA′ AD = 32 S = 30cm  ′ ′ ADD A Theo ra, ta có  A AA′ AB AD ) = 6400 ⇒ AA′ AB AD = 80 Nhân vế theo vế, ta ( ′ Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = AA AB AD = 80cm Chọn A B Câu 59 Xét hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có độ dài kích thước ba ′ cạnh AA = a, AB = b, AD = c có đường chéo AC ′ Theo ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có cơng bội q = Suy b = a  c = 4a Mặt khác, độ dài đường chéo 2 2 2 AC ′ = 21 ⇒ AA′ + AB + AD = 21 ⇔ a + b + c = 21 Ta có hệ a = c = 2b = 4a c = 2b = 4a c = 2b = 4a  ⇔ ⇔ ⇔ b =  2 2 2 a + b + c = 21 a + ( 2a ) + ( 4a ) = 21 21a = 21 c =  ′ Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD A′B′C ′D′ = AA AB AD = abc = Chọn A AA ' ⊥ ( ABC ) Câu 60 Vì ABC A ' B ' C ' lăng trụ đứng nên , suy hình ABC ) chiếu vng góc A ' B mặt đáy ( AB C' A' 600 = · A ' B, ( ABC ) = ·A ' B, AB = ·A ' BA Do B' A ' AB , Tam giác vng ta có AA ' = AB.tan ·A ' BA = C A ABC Diện tích tam giác B 1 S ∆ABC = BA.BC = 2 V = S ∆ABC AA ' = Chọn C Vậy www.thuvienhoclieu.com Trang 35 Giaovienvietnam.com AA ' ⊥ ( ABCD ) Câu 61 Ta có nên · · A ' C , ( ABCD ) = A ' C , AC = ·A ' CA Tam giác vuông AC = AA '.cot α = a Tam giác vng A ' AC , có ABC , ta có ABCD nhật C' B' A' ta BC = AC − AB = 2a Diện tích hình chữ S ABCD = AB.BC = 2a D' D A C B Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD AA ' = 2a Chọn A Câu 62 Gọi M trung điểm đoạn thẳng B′C ′ Tam giác ABC cân A  → tam giác A′B′C ′ cân A′  → A′M ⊥ B′C ′ B′C ′ ⊥ ( AA′M )  → B′C ′ ⊥ AM Lại có B′C ′ ⊥ AA′ Từ suy Do A C · · · 60 = ( AB′C ′ ) , ( A′B′C ′ ) = ( AM ; A′M ) = AMA′ B Tam giác vuông A′B′M , có · ′B′ = a.cos 600 = a A′M = A′B′.cos MA C' A' ′ Tam giác vng AA M , có M a a AA′ = A′M tan ·AMA′ = tan 600 = 2 B' Diện tích tam giác a · S∆ABC = AB AC.sin BAC = 3a VABC A′B′C ′ = S ∆ABC AA′ = Chọn A Vậy Câu 63 Tương tự 62 Chọn B www.thuvienhoclieu.com Trang 36 Giaovienvietnam.com Câu 64 Ta có · · · 30 = A ' C , ( ABCD ) = A ' C , AC = A ' CA; 600 = (· A ' BC ) , ( ABCD ) = ·A ' B, AB = ·A ' BA A ' AB , Tam giác vng có AA ' AB = =a tan ·A ' BA A ' AC , Tam giác vng có AA ' AC = = 3a tan ·A ' CA ABC ,có Tam giác vng C' B' BC = AC − AB = 2a Diện tích hình S ABCD = AB.BC = 2a chữ D' A' B A C D nhật Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD AA ' = 2a Chọn A 0 · · Câu 65 Hình thoi ABCD có BAD = 120 , suy ADC = 60 Do tam giác ABC ADC tam giác Gọi N trung điểm A ' B ' nên C ' N ⊥ A ' B '   C ' N =   Suy C' D' · · · 30 = AC ', ( ADD ' A ' ) = AC ', AN = C ' AN A' B' N C ' NA , Tam giác vng có C'N C AN = = D · ' AN tan C AA ' N , Tam giác vng có B A AA ' = AN − A ' N = · S ABCD = AB sin BAD = Diện tích hình thoi VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD AA ' = Chọn C Vậy www.thuvienhoclieu.com Trang 37 Giaovienvietnam.com Vấn đề THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN Câu 66 Gọi O tâm hình vng ABCD , A ' O ⊥ ( ABCD ) suy Tam giác vng A ' OA , có A ' O = AA ' − AO = 4a − 2a = a Diện tích hình vuông S ABCD = 4a 2 B Vậy B A D có D' A' B H C D A a 3 S ∆ABC = C' B' Chọn Câu 68 Từ giả thiết suy BA = BC = a A ' HA , Tam giác vng có a A ' H = AA '2 − AH = ABC Diện tích tam giác S ∆ABC = BA.BC = a a3 V = S ∆ABC A ' H = Vậy Chọn C Câu 69 Diện tích tam giác A 'O = a C O Diện tích hình vng S ABCD = a VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD A ' H = D' A' Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S∆ABCD A ' O = 4a Chọn D Câu 67 Theo giả thiết, ta có A ' H ⊥ AB A ' HA , Tam giác vuông a A ' H = AA '2 − AH = C' B' C' A' B' A C H B a2 Chiều cao khối lăng trụ a3 Vậy thể tích khối lăng trụ Chọn A A' M , N AB , BC Câu 70 Gọi trung điểm Khi G = AN ∩ CM trọng tâm ∆ABC V = S∆ABC A ' O = C' B' A www.thuvienhoclieu.com M C G B N Trang 38 Giaovienvietnam.com A ' G ⊥ ( ABC ) Theo giả thiết, ta có Tam giác ABC cạnh 2a nên suy 2 AN = a  → AG = AN = a 3 Tam giác vuông A ' GA , có a A ' G = A ' A2 − AG = ( ) S ∆ABC = 2a = 2a Diện tích tam giác ABC Vậy thể tích khối lăng trụ VABC A ' B ' C ' = S ABC A ' G = 2a Chọn D Câu 71 Gọi I trung điểm BC Từ A ' A = A ' B = A ' C = a , suy hình ABC ) chiếu vng góc A ' mặt đáy ( tâm đường tròn ngoại tiếp ABC tam giác A ' I ⊥ ( ABC ) B' C' Suy A' 2 Tam giác ABC , có BC = AB + AC = a A ' IB , Tam giác vng có a A ' I = A ' B − BI = ABC Diện tích tam giác a S ∆ABC = AB AC = 2 I B C A a3 Vậy Chọn C H Câu 72 Gọi chân đường cao hạ từ B ∆ABC A ' H ⊥ ( ABC ) A' Theo giả thiết, ta có Tam giác vng ABC , có AB AH = = BC = AC − AB = ; AC VABC A ' B ' C ' = S∆ABC A ' I = A Tam giác vuông A ' HA , có Diện tích tam giác ABC Vậy A ' H = AA '2 − AH = S ∆ABC VABC A ' B ' C ' = S ∆ABC A ' H = = AB.BC = 2 7H C' B' C B 21 Chọn A www.thuvienhoclieu.com Trang 39 Giaovienvietnam.com VA A′B′C ′ = VABC A′B′C ′ Câu 73 Ta tích khối chóp 3 VA BCB′C′ = VABC A′B′C′  →VABC A′B′C ′ = VA BCB′C′ = 2a = 3a 2 Suy Chọn D Câu 74 Gọi S diện tích mặt đáy ABCD h chiều cao khối hộp Thể tích khối hộp VABCD A ' B ' C ' D ' = S h = 12cm Chia khối hộp ABCD A′B′C ′D′ thành khối tứ diện AB′CD′ khối chóp: A A′B′D′, C.B′C ′D′ , B′.BAC , D′.DAC (như hình vẽ) Ta thấy bốn khối chóp tích S h Suy tổng thể tích V ' = Sh khối chóp 1 VAB′CD′ = Sh − Sh = Sh = 12 = 4cm3 3 Vậy thể tích khối tứ diện Chọn C A ' O ⊥ ( ABCD ) B' C' Câu 75 Vì nên D' A' · ' AO 450 = · AA ', ( ABCD ) = ·AA ', AO = A Đường chéo hình chữ nhật AC AC = AB + AD = 2a ⇒ AO = =a B C O Suy tam giác A ' OA vuông cân O A D nên A ' O = AO = a Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB AD = a VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD A ' O = a 3 Vậy Chọn D www.thuvienhoclieu.com Trang 40 Giaovienvietnam.com Câu 76 Tam giác ABC cạnh A ' H ⊥ ( ABC ) nên AH = Vì nên hình AA ' chiếu vng góc mặt đáy ( ABC ) AH Do 450 = · AA ', ( ABC ) = ·AA ', AH = ·A ' AH Suy tam giác A ' HA vuông cân H nên A ' H = HA = A' B' C' A C H B Diện tích tam giác ABC S ∆ABC = Vậy V = S∆ABC A ' H = Chọn A ABC ) Câu 77 Gọi H hình chiếu C ′ mặt phẳng ( ABC ) Suy AH hình chiếu AC ′ mặt phẳng ( · ′ 600 = · AC ′, ( ABC ) = (·AC ′, AH ) = HAC Do C · ′ ′ ′ C H = AC sin HAC = ′ AHC Tam giác vng , có B' C' A' B H ′ Thể tích khối lăng trụ VABC A′B′C ′ = S ∆ABC C H = 16 VABCB′C′ = VABC A′B′C′ = 3 Suy thể tích cần tính Chọn D A Câu 78 Xét khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác ABC Gọi H hình chiếu A′ mặt A' ′ ABC ) ⇒ A H ⊥ ( ABC ) phẳng ( Suy C' AH hình chiếu AA′ mặt ABC ) A phẳng ( Do B H · · · 60 = AA′, ( ABC ) = ( AA′, AH ) = A′AH C Tam giác A′AH vng H , có A′H = AA′.sin ·A′AH = B' ′ Vậy V = S ∆ABC A H = 50 cm Chọn B Câu 79 Từ giả thiết suy tam giác ABD cạnh a Gọi H tâm tam giác ABD Vì A ' cách điểm A, B, D nên B' C' A ' H ⊥ ( ABD ) A' D' 600 = · AA ', ( ABCD ) = ·AA ', HA = ·A ' AH Do B www.thuvienhoclieu.com A H O C D Trang 41 Giaovienvietnam.com Ta có AH = 2 a a AO = = 3 · Tam giác vng A ' AH , có A ' H = AH tan A ' AH = a a2 S ABCD = S ∆ABD = Diện tích hình thoi Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD A ' H = a3 Chọn C AC a = 2 A' a ⇒ OA = Câu 80 Từ giả thiết, suy tam giác ABC cạnh A′O ⊥ ( ABCD ) 600 = · AA′, ( ABCD ) = (·AA′, AO ) = ·A′AO Vì nên B' a OA′ = OA.tan ·A′AO = A Tam giác vng A′AO , có Suy thể tích khối hộp Ta có V = VO ABC′D′ + VAA′D′.BB′C′ + VC′.BOC C' D 3a B + VD′ AOD + VO.CDD′C′ V = S ABCD OA′ = D' O C 1 1 V a3 = VO ABC′D′ + V + V + V + V ⇒ VO ABC′D′ = = 12 12 6 Chọn C www.thuvienhoclieu.com Trang 42 ... phẳng ( ABC ) góc 600 AC ′ = Tính thể tích V khối đa diện ABCB′C ′ 16 16 V= V= V= V= 3 3 A B C D Câu 78 Tính thể tích V khối lăng trụ biết đáy có diện tích V= S = 10cm , cạnh bên tạo với... Tính thể tích V khối đa diện OABC ′D′ a3 a3 a3 3a V= V= V= V= 12 A B C D ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Vấn đề THỂ TÍCH KHỐI CHĨP www.thuvienhoclieu.com Trang 14 Giaovienvietnam.com S Câu Diện tích hình... cao hạ từ B tam giác ABC Tính thể tích V khối lăng trụ cho 21 21 21 V= V= V= V= B 12 A C D Câu 73 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ biết thể tích khối chóp A.BCB′C′ 2a V= 5a 3