Tự chọn Toán 11 64 tiết

giáo án ôn tập Toán 11 bao gồm 64 tiết đầy đủ các dạng bài tập luyện tập Hình học và Giải tích cho học sinh. Biên soạn: Trần Minh Đức thành phố Uông Bí tỉnh Quảng Ninh năm 2020 2021. Tài liệu có tham khảo từ nhiều nguồn khác nhau, kính mong các thầy cô giáo và đọc giả đóng góp ý kiến qua địa chỉ gmail ductran3396gmail.com

Ngày soạn: 4/9/2021 Tiết 1, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I MỤC TIÊU: Về kiến thức: - Nắm kiến thức, công thức lượng giác từ lớp 10 Về kĩ năng: - Vận dụng công thức tính sin, cosin, tang, cotang tổng, hiệu hai góc, cơng thức góc nhân đơi để giải tốn: tính giá trị lượng giác góc, rút gọn biểu thức lượng giác đơn giản Về thái độ: - Tự giác, tích cực hoạt động học tập - Cẩn thận, xác - Tích cực hoạt động; rèn luyện tư khái quát, tương tự Các lực, phẩm chất chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh: - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức phương pháp giải tập tình huống - Năng lực giải vấn đề, suy luận logic: Học sinh huy động kiến thức học để giải câu hỏi Biết cách giải tình huống giờ học - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả báo cáo, thuyết trình trước tập thể Nội dung tích hợp: không II CHUẨN BỊ: Học sinh: Chuẩn bị kiến thức học lớp dưới, tiết trước Giáo viên: Giáo án, SGK, PHT III PHƯƠNG PHÁP: - Gợi mở, vấn đáp, thuyết trình, giảng giải, nêu vấn đề - Hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm nhỏ IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY: 1.Tổ chức: Ổn định lớp, kiểm tra sĩ sớ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Sử dụng công thức lượng giác cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu giá trị lượng giác góc khơng đặc biệt đưa giá trị lượng giác đặc biệt Các ví dụ minh họa 7p 5p cos7950, sin180, tan ,cot 12 Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác sau: Lời giải: 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 Vì nên 2 6- cos7950 = cos750 = cos300 cos450 - sin300 sin450 = - = 2 2 Vì Mà 540 + 360 = 900 sin540 = cos360 nên cos360 = cos( 2.180 ) = - 2sin2 180 sin540 = sin( 180 + 360 ) = sin180 cos360 + sin360 cos180 = sin180.( - 2sin2 180 ) + 2sin180 cos2 180 = sin180.( - 2sin2 180 ) + 2sin180 ( 1- sin2 180 ) = 3sin180 - 4sin3 180 3sin180 - 4sin3 180 = - 2sin2 180 Û ( sin180 - 1) ( 4sin2 180 + 2sin180 - 1) =0 Do sin180 = Û sin18 = sin180 = 5+1 5- sin180 = 0 < sin18 < Vì nên p p tan + tan ỉ 7p p p÷ = + = - 2tan = tan ỗ + ữ = ỗ ữ ỗ 12 ố3 ứ p p 1- 1- tan tan cot ổp p 5p p = cot ỗ + ữ = - tan ữ ỗ ữ ỗ ố2 ø p 2tan ỉ p p = tan = tanỗ ữ ữ ỗ ữ= ỗ 8ø è p - tan2 Ta lại có - tan2 Û tan tan Do 5- p p p p = 2tan Û tan2 + 2tan - = 8 8 p = - 18 p >0 cot suy nên 5p = 18 tan p = - 1+ p tan = - + Vậy Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin22 30'cos202 30' p 2p sin - sin 15 C = p 2p cos - cos 15 c) Lời giải: B = 4sin4 b) D = sin d) p p + 2cos 16 p 5p 7p - sin + sin 9 cos202030' = cos( 1800 + 22030') = - cos22030' a) Cách 1: Ta có A = - sin22030'cos22030' = - Do A= sin450 = 1é sin( 22030'+ 202030') + sin( 22030'- 202030') ù = é sin2250 + sin ( - 1800 ) ù ë û ë û 2 Cách 2: 1 = é sin( 1800 + 450 ) - sin1800 ù = - sin450 = ë û 2 b) ỉ pư ộ ổ pữ ửự p p ữ B =ỗ 2sin ÷ú + 2cos ÷ + 2cos = ê1 - cosỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 16ứ ê è 16øú ë û p p p = - 2cos + cos2 + 2cos = + 8 p 1+ = 1+ = 6+ 2 + cos 1æp 2p 1ổp p 2p 2cos ỗ + ữ sin ç ÷ ç ç - sin ÷ ç ç 15 è ø è 15 = C = p 2p 1ỉp 2p 1ỉp cos - cos - 2sin ỗ + ữ sin ỗ ữ ỗ ç ÷ ç 15 ø 2è ç5 15 2è sin 2p p ÷ ÷ cos ÷ 15 ø = - cot p = =2p ö p ÷ sin ÷ ÷ 15 ø c) æ p 7p ö 5p 4p p 5p 4p 5p D =ỗ sin + sin ữ - sin = 2sin cos - sin = sin - sin =0 ữ ỗ ữ ỗ ố 9ứ 9 9 d) Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: 1 A= + cos290 3sin2500 a) 0 B = ( + tan200 ) ( + tan250 ) b) D = sin2 p 2p p 2p + sin2 + sin sin 9 9 C = tan9 - tan27 - tan63 + tan81 c) d) Lời giải: cos2900 = cos( 1800 + 900 + 200 ) = - cos( 900 + 200 ) = sin200 a) Ta có sin2500 = sin( 1800 + 900 - 200 ) = - sin ( 900 - 200 ) = - cos200 C = sin200 =4 3cos200 = 3sin200 - sin200 3sin200.cos200 sin600 cos200 - cos600 sin200 b) Cách 1: Ta có 3sin400 = cos200 - sin200 =4 3.2.sin20 cos200 4sin400 3sin400 = 3 æ sin200 ÷ ưỉ sin250 ÷ sin200 + cos200 sin250 + cos250 ỗ B =ỗ + + = ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố cos200 ữ øè cos250 ÷ ø cos200 cos250 sin200 cos450 + cos200 sin450 sin250 cos450 + cos250 sin450 cos200 cos250 = =2 sin650 sin700 =2 cos200 cos250 tan450 = tan( 200 + 500 ) = tan200 + tan250 - tan200 tan250 Cách 2: Ta có tan200 + tan250 1= Û tan200 + tan250 + tan200 tan250 = 0 - tan20 tan25 Suy Û ( + tan200 ) ( + tan250 ) = B =2 Vậy C = tan90 + tan810 - ( tan270 + tan630 ) c) sin90 cos810 + sin810 cos90 sin270 cos630 + sin630 cos270 = cos90 cos810 cos270 cos630 = 2( sin540 - sin180 ) 1 2 = = cos90 sin90 cos270 sin270 sin180 sin540 sin180 sin540 = 4cos360.sin180 =4 sin180.sin540 p 2p p 2p ỉ p 2p p 2p D = sin + sin2 + sin sin =ỗ sin + sin ữ - sin sin ữ ỗ ữ ỗ 9 9 è 9ø 9 d) æ p p 1ổ p pử p 1ổ1 pử =ỗ 2sin cos ữ + ỗ cos - cos ữ = cos2 + ỗ - cos ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ÷ ÷ ç ç ç2 è 18ø 2è 9ø 18 2è 9÷ ø p + cos pử + 1ổ ỗ = - cos ữ ữ ỗ ữ= 2ỗ 9ứ ố2 Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên sử dụng é1 ù ú= 2sin(x ± p) sin x ± 3cosx = ê sin x ± cos x ê2 ú ê ú ë û é ù ú= 2sin(x ± p) 3sin x ± cosx = ê sin x ± cos x ê2 ú ê ú ë û sin x ± cosx = é1 ù ê sin x ± cosx ú= ê ú ë û Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: p 2sin(x ± ) A = sin a) p p p p cos cos cos 32 32 16 b) p 3p C = cos + cos 5 B = sin10o.sin 30o.sin50o.sin70o D = cos2 p 2p 3p + cos2 + cos2 7 d) c) Lời giải: a) 1ỉ p pư p p p p p p p p A= ỗ 2sin cos ữ cos cos = sin cos cos = sin cos = sin = ữ ỗ ữ 2ỗ ố 32 32ứ 16 16 16 8 8 16 B = cos200 cos400 cos80o b) Ta có 0 0 16sin20 B = 8sin20 cos20 cos40 cos80o = 4sin400 cos400 cos80o = 2sin800 cos800 = sin1600 B = Suy sin1600 = 16 16sin20 p 2p C = 2cos cos 5 sin p ¹ c) Ta có Vì nên p p p 2p 2p 2p 4p 2sin C = 4sin cos cos = 2sin cos = sin 5 5 5 C = Suy 2p 4p 6p + cos + cos 2p 4p 6p ö + + = + 1ổ ỗ cos + cos + cos ữ ữ ỗ ữ 2 2 2ỗ 7 7ứ ố + cos D= c) T = cos Xét 2p 4p 6p + cos + cos 7 sin nên p p 2p p 4p p 6p 2sin T = 2sin cos + 2sin cos + 2sin cos 7 7 7 ỉ 3p ỉ ỉ p p p 5p =ỗ sin - sin ữ +ỗ sin - sin ữ +ỗ sin p - sin ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ 7ứ ỗ 7ứ ỗ 7ứ ố ố ố p = - sin T =- Suy , vì p ¹ D= 1ổ + ỗ ỗ2 2ỗ ố Vy Bai rèn luyện 1÷ = ÷ ÷ 2ø Bài 1: Tính giá trị lượng giác sau Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) p p 11p sin , sin , cot 16 12 B = ( - cot230 ) ( - cot220 ) A = 4sin450 cos120 cos30 - sin540 - sin360 b) p p + 2sin 20 D= p p 2cos - 2sin 20 2sin p 5p 7p C = cos + cos + cos 9 c) Bài 3: Tính: d) p 12 a) Tính giá trị lượng giác góc cos360 - cos720 c) Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau: A = cos2 730 + cos2 470 + cos730 cos470 a) p 4p 5p C = cos cos cos 7 c) cos4 b) d) b) p p - sin4 24 24 sin100 sin500 sin700 B = sin60 sin420 sin660 sin780 D= d) - 4sin700 sin100 Ngày tháng TTCM ký duyệt Trần Thanh Huyền năm 2021 Ngày soạn: 07/09/2021 Tiết: 3-9 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (7 TIẾT) I MỤC TIÊU: Về kiến thức: - Ghi nhớ kiến thức học phần PTLG học Về kĩ năng: - Giải thành thạo dạng phương trình lượng giác: PTLG bản, PT bậc nhất, PT bậc hai đối với hàm số LG, phương trình bậc đối với sinx cosx - Giải PT chứa ẩn mẫu, số dạng PTLG đưa dạng - Học sinh làm quen với sớ dạng tốn lượng giác đề thi THPT Quốc gia Về thái độ: - Tự giác, tích cực hoạt động học tập - Cẩn thận, xác - Tích cực hoạt động; rèn luyện tư khái quát, tương tự Các lực, phẩm chất chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh: - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức phương pháp giải tập tình huống - Năng lực giải vấn đề, suy luận logic: Học sinh biết cách huy động kiến thức học để giải câu hỏi Biết cách giải tình huống giờ học - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả báo cáo trước tập thể, khả thuyết trình - Năng lực tính tốn Nội dung tích hợp: không II CHUẨN BỊ: Học sinh: chuẩn bị kiến thức học lớp dưới, tiết trước Giáo viên: Giáo án, SGK, STK, phiếu học tập, … III PHƯƠNG PHÁP: - Gợi mở, vấn đáp, thuyết trình, giảng giải, nêu vấn đề - Hoạt động nhóm, cặp đơi IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY: Tổ chức: Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số Tiết – Chủ đề 1: Tập xác định và tập giá trị hàm số Phương pháp • Hàm sớ y = f(x) có nghĩa ⇔ f(x) ≥ f(x) tồn y= f(x) có nghĩa ⇔ f(x) ≠ f(x) tồn • Hàm sớ • sinu(x) ≠ ⇔ u(x) ≡ kπ , k ∈ ¢ π cosu(x) ≠ ⇔ u(x) ≠ + kπ , k ∈ ¢ • • −1≤ sinx, cosx ≤ GV: Đưa số ví dụ minh họa, yêu cầu HS hoạt động nhóm bàn tìm đáp án Yêu cầu số HS lên bảng trình bày HS: Hoạt động nhanh nhóm bàn, trình bày vào vở 2 Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: π y = tan(x − ) Lời giải: π π π 2π cos(x − ) ≠ ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ 6 Điều kiện:  2π  D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢    TXĐ: Điều kiện: sin( 2π 2π 2π π − 3x) ≠ ⇔ − 3x ≠ kπ ⇔ x ≠ −k 3  2π π  D = ¡ \  + k , k∈¢    TXĐ: Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: y= tan2x π + cot(3x + ) sin x + y= tan5x sin4x − cos3x Lời giải:  π sinx ≠ −1 x ≠ − + k2π  ⇔  π sin(3x + ) ≠ x ≠ − π + kπ   18 Điều kiện:  π π nπ  D = ¡ \  − + k2π , − + ;k,n ∈ ¢  18   Vậy TXĐ: π  sin4x − cos3x = sin 4x − sin  − 3x ÷ 2  Ta có: x π  7x π  = 2cos + ÷sin  − ÷  4  4   π π  x ≠ 10 + k cos5x ≠    x π π  cos + ≠ ⇔  x ≠ + k2π  ÷     π k2π   7x π   + ÷ ≠ x ≠ − 14 + sin   4 Điều kiện:    π kπ π π 2mπ  D=¡ \  + , + n2π , − +  14   10 Vậy TXĐ: Bài tập luyện tập Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y= 1− sin2x cos3x − y= 1− cos3x 1+ sin4x y = cot2( 2π − 3x) π y = tan(2x − ) 4 Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y= 1+ cot2 x 1− sin3x y= sin2x − cos3x y= cotx 2sin x − π π y = tan(x − ).cot(x − ) 4 y= tan2x 3sin2x − cos2x Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y = tan3x.cot5x π y = tan(2x + ) + sinx y= tan2 x y= π y = tan3x + cot(x + ) sin3x sin8x − sin5x y= tan4x cos4x + sin3x Tiết 2, 3, - Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (4T) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Dạng Phương trình lượng giác Phương trình: sinx = m (1) * Nếu: m >1 ⇒ Phương trình vô nghiệm  π π m ≤ 1⇒ ∃α ∈  − ;  sin α = m  2 * Nếu:  x = α + k2π  ⇒ (1) ⇔ sinx = sin α ⇔  x = π − α + k2π ( k∈¢ )  π π − ≤ α ≤  sin α = m α Chú ý: * Nếu thỏa mãn  thì ta viết α = arcsin m *Các trường hợp đặc biệt: sinx = ⇔ x = π + k2π sinx = −1 ⇔ x = − π + k2π 2 sinx = ⇔ x = kπ Phương trình: cosx = m (2) * Nếu: * Nếu: m > 1⇒ phương trình vô nghiệm m ≤ 1⇒ ∃α ∈ [0; π]:cosα = m ⇒ (2) ⇔ cosx = cosα ⇔  x = α + k2π   x = −α + k2π ( k ∈ Z ) 0 ≤ −α ≤ π  cosα = m Chú ý: * Nếu α thỏa mãn  thì ta viết α = arccosm * Các trường hợp đặc biệt: cosx = ⇔ x = k2π cosx = −1 ⇔ x = π + k2π cosx = ⇔ x = π + kπ Phương trình: tanx = m (3)  π π ∀m ⇒ ∃α ∈  − ; ÷:  2  tan α = m Với ⇒ (3) ⇔ tanx = tan α ⇔ x = α + kπ Chú ý: * Nếu α thỏa mãn * Các trường hợp đặc biệt: tanx = 1⇔ x =  π π − < α < 2   tan α = m  thì ta viết α = arctanm π + kπ tanx = −1⇔ x = − tanx = ⇔ x = kπ π + kπ 4 Phương trình: cotx = m (4) π π ∀m ⇒ ∃α ∈ (− ; ) : 2 cot α = m Với ⇒ (4) ⇔ cotx = cot α ⇔ x = α + kπ  π π − < α <  cot α = m α Chú ý: * Nếu thỏa mãn  thì ta viết α = arccotm * Các trường hợp đặc biệt: cotx = ⇔ x = π + kπ cotx = −1 ⇔ x = − cotx = ⇔ x = Ghi chú: π + kπ π + kπ  u = v + k2π sinu = sinv ⇔   u = π − v + k2π (k ∈ ¢ ) * * cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π (k ∈ ¢ ) u = v + kπ  tanu = tanv ⇔  π u,v ≠ + nπ  * u = v + kπ cotu = cotv ⇔  u,v ≠ nπ * (k,n ∈ ¢ ) (k,n ∈ ¢ ) Lời giải: lim f(x) = lim Ta + có: x→1 x→1+ lim f(x) = lim x→1− x→1− limf(x) = Vậy x→1 3x + = 3 x + 3x + 5 = ⇒ lim f(x) = lim f(x) = + − 3 x +2 x→1 x→1 lim f(x) = lim (2x2 + 3x + 1) = + x→0+ Ta có: x→0 lim f(x) = lim (−x2 + 3x + 2) = ⇒ lim f(x) ≠ lim f(x) x→0− x→0− x→0+ x→0− Vậy hàm số f(x) giới hạn x → Ví dụ Tim m để hàm số:  x2 + mx + 2m + x ≥   x+ f(x) =   2x + 3m − x <  1− x + có giới hạn x →  x2 + x − + mx +  f(x) =  1− x 3mx + 2m −  Lời giải: lim f(x) = lim Ta có: x→0+ x→0+ x < x ≥ có giới hạn x → x2 + mx + 2m + = 2m + x+1 2x + 3m − 3m − = 1− x + x→0− lim f(x) = lim x→ 0− Hàm sớ có giới hạn x → ⇔ 2m + = lim f(x) = lim f(x) x→0+ x→0− 3m − ⇔ m= − 3 lim f(x) = lim (3mx + 2m − 1) = 5m − Ta có: x→1+ x→1+  x2 + x −  lim f(x) = lim  + mx + 1÷  ÷ 1− x x→1− x→1−   ( ) = lim −(x + 2) 1− x + mx + = m + x→1− Hàm sớ có giới hạn x → ⇔ 5m − = m + ⇔ m = Bài tập luyện tập Bài Tìm giới hạn hàm số sau: lim f(x) = lim f(x) x→1+ x→1− B = lim x2 − x + A = lim x→1 x + 1 C = lim x+ 2− x+1 3x + x→0 Bài Tìm giới hạn sau: x→−2 x2 + x + C = lim D = lim x→1 2tanx + sinx + 7x + + x− sin2 2x − 3cosx π tanx x→ B = lim x+1 A = lim π x→ 2x2 − x + − 2x + D = lim 3x + − x→1 3x + − 2 x→1 3x − Bài Xét xem hàm sớ sau có giới hạn điểm hay không ? Nếu có tìm giới hạn ? 3x3 − 5x2 + x ≥ f(x) =  x < 3x − 1 x →  x3 −  f(x) =  x − 2x +  x > x ≤ x → Bài Xét xem hàm sớ sau có giới hạn điểm hay không ? Nếu có tìm giới hạn ? 3x2 − 5x + x ≥ f(x) =  x < −3x + x =  x3 −  f(x) =  x − 2x +  x > x ≤ x = Bài Tìm a để hàm sớ sau có giới hạn x → x2 + ax + x > f(x) =  2x − x + x ≤ Tìm a để hàm sớ sau có giới hạn x =  5ax2 + 3x + 2a +  f(x) =  1+ x + x2 + x + f(x) x→ x0 g(x) A = lim Loại Tìm x ≥ x < f(x0) = g(x0) = 0 Dạng này ta gọi là dạng vô định Để khử dạng vô định ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức: x = x0 Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm thì ta có: f(x) = (x − x0)f1(x) f(x) = (x − x0)f1(x) g(x) = (x − x0)g1(x) *Nếu f(x) g(x) đa thức thì ta phân tích Khi A = lim f1(x) , giới hạn có dạng thì ta tiếp tục trình x1,x2 ax2 + bx+c x→x0 g1(x) Chú ý:Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) có hai nghiệm thì ta ln có phân tích * Nếu f(x) g(x) hàm chứa thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển đa thức, phân tích đa thức Các lượng liên hợp: ( a − b)( a + b) = a − b 3 3 ( a ± b)( a m ab + b ) = a − b n n −1 n n − n n−1 n n ( a − b)( a + a b + + b ) = a − b * Nếu f(x) g(x) hàm chứa thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n u(x), m v(x) → c thì ta phân tích: n u(x) − m v(x) = (n u(x) − c) − (m v(x) − c) Trong nhiều trường hợp việc phân tích không đến kết ta phải phân tích sau: n u(x) − m v(x) = (n u(x) − m(x)) − (m v(x) − m(x)) , m(x) → c * Một đẳng thức cần lưu ý: an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + + abn−2 + bn−1) Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau: xn − x→1 x − A = lim Lời giải: B = lim x5 − 5x3 + 2x2 + 6x − x→1 x3 − x2 − x + n n−1 n− Ta có: x − = (x − 1)(x + x + + x + 1) xn − n−1 n−2 =x +x + + x + Suy ra: x − Do đó: ( ) A = lim xn−1 + xn−2 + + x + = n x→1 2 Ta có: x − 5x + 2x + 6x − = (x − 1) (x + 2)(x − 2) x3 − x2 − x + = (x − 1)2(x + 1) (x + 2)(x2 − 2) =− x→1 x+1 B = lim Do đó: Ví dụ Tìm giới hạn sau: C = lim x→0 (1+ mx)n − (1+ nx)m x2 (1+ 2x)2(1+ 3x)3 − x→0 x D = lim Lời giải: (1+ mx)n = 1+ mnx + Ta có: Với A = C3n + mxC 4n + + ( mx) m2n(n − 1)x2 + m3x3.A n− Cnn ( 1+ nx) m = 1+ mnx + n m(m2 − 1)x Với B = C 3m + nxC 4m + + ( nx) m− + n3x3B Cm m  m2n(n − 1) − n2m(m − 1) C = lim  + x m3A − n3B x→0   Do đó: ( =  )  m2n(n − 1) − n2m(m − 1) mn(n − m) = 2   ( 1+ 2x) ( 1+ 3x) − = ( 1+ 2x ) ( 1+ 3x) − 1 + x Ta có: + x ( ) (1+ 2x)2 − = ( 1+ 2x) + 27x + 27x2 − (4 + 4x) x D = lim ( 1+ 2x)  x→0  ( + 27x + 27x ) − (4+ 4x) = Suy ra: Ví dụ Tìm giới hạn sau: 2x − − x A = lim x −1 x→1 Lời giải: 2x − 1− x2 A = lim x→1 (x − 1)(x + 1)( Ta có: B = lim x→2 Ta có: 2x − + x) B = lim x→2 −(x − 1) = lim x→1(x + 1)( 2x − + x) 3x + − x 3x − − =0 (3x + − x3)( 3x − + 2) 3(x − 2)( (3x + 2)2 + 23 3x + + 4) = lim x→2 −(x2 + 2x + 1)( 3x − + 2) 3(3 (3x + 2)2 + 23 3x + + 4) = −1 Bài tập luyện tập Bài Tìm gới hạn sau: A = lim x3 − 3x2 + x→1 x2 − 4x + (1+ 3x)3 − (1− 4x)4 x→0 x C = lim Bài Tìm gới hạn sau: A = lim x→2 B = lim x→2 x3 − (1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) − x→0 x D = lim 2x2 − 5x + x3 − 3x − x4 − 5x2 + B = lim x4 − 3x + x→1 x3 + 2x − 3 2x + − 2 x→0 x m x→0 N = lim 10 ( 1− x ) ( 1− x ) ( 1− x ) K = lim 11 x→0 1+ ax n 1+ bx − x (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − x F = lim 1+ 4x − 1+ 6x M = lim G = lim x + 1− x→0 2x + − 4x − − x + x→7 3 D = lim x→ x2 − 4x + E = lim 2x + − x C = lim m x→0 1+ ax − n 1+ bx x n m 1+ mx) − ( 1+ nx) ( V = lim x2 x→0 n ( 1− x) n−1 x→1 n n  1+ x2 + x −  1+ x2 − x   ÷  ÷    L = lim  x→0 x 12 Bài Tìm gới hạn sau: x3 − x→2 2x + − C = lim x→3 x2 − 4x + E = lim 2x2 − 5x + A = lim x→7 M = lim x→0 1+ 4x − 1+ 6x 1− cos3x x3 + 2x − x→1 F = lim x + 1−1 2x + − x→0 2x + − x4 − 3x2 + D = lim 4x − − x + B = lim n (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − x x→0 N = lim m x→0 1+ ax − n 1+ bx 1+ x − ( 1− x ) ( 1− x ) ( 1− x ) K = lim ( 1− x ) 10 V = lim ( 1+ mx) n − ( 1+ nx) m 1+ 2x − 1+ 3x Bài Tìm giới hạn sau x→0 A = lim x→0 C = lim 4x + − 2x + x x+ 2−1 Bài Tìm giới hạn sau x→0 1+ 2x − 1+ 3x x2 f(x) x→±∞ g(x) B = lim n−1 x→1 5x + − D = lim 4x + − B = lim 2x + + + 3x x→−1 A = lim x→1 n x− x+ x→2 x − 3x + B = lim x→−1 + 4x − + 6x x3 + x2 − x − ∞ f(x),g(x) → ∞ , , dạng ta cịn gọi dạng vơ định ∞ Loại Tìm Phương pháp Tương tự cách khử dạng vô định dãy số Ta cần tìm cách đưa giới hạn: lim x2k +1 = +∞ (−∞ ) lim x2k = +∞ x→+∞ (x→−∞ ) * lim * x→+∞ (x→−∞ ) ; k x→+∞ xn (x→−∞ ) = (n > 0;k ≠ 0) k = (k ≠ 0) x→x0 f(x) lim f(x) = +∞ (−∞) ⇔ lim * x→x0 Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau: A = lim (4x + 1)3(2x + 1)4 (3 + 2x)7 x→+∞ Lời giải: 4x2 − 3x + + 3x B = lim x→−∞ x2 + x + − x  1  1  4+ x ÷  2+ x ÷    =8 A = lim  x→+∞ 3   x + 2÷   Ta có: + +3 x x2 B = lim = x→−∞ 1 − 1+ + −1 x x − 4− Ta có: Ví dụ Tìm giới hạn sau: 2x2 + − x2 + 2x + A = lim x→+∞ Lời giải: x 2+ A = lim Ta có: x 3− x→−∞ x − x 1+ x(2 + ) x x→+∞ B = lim  x   3x2 − + x + B = lim 2 x = lim x→+∞ x→−∞ 2+ x x2 + − − 1+ 2+ x x2 = − 1 1 + − 3− − + 2 x x x x2 x x = lim = x→−∞  1 1 1+ − ÷ −  1+ − ÷  x2 x ÷ x2 x ÷    +x Ta có: Bài tập luyện tập Bài Tìm giới hạn sau: C = lim 2x − 3x2 + x→+∞ 5x + x2 + E = lim ( x2 − x + − x) x→+∞ M = lim ( x2 + 3x + − x2 − x + 1) x→±∞ D = lim x→−∞ 1+ x4 + x6 1+ x3 + x4 F = lim x( 4x2 + − x) x→−∞ N = lim  8x3 + 2x − 2x÷ x→+∞   H = lim  16x4 + 3x + − 4x2 + ÷ x →+∞   K = lim  x2 + + x2 − x − 2x ÷ x→+∞   Bài Tìm giới hạn sau: A = lim 3x2 + 5x + 1 Bài Tìm giới hạn sau: A = lim 3x3 + − 2x2 + x + x→−∞ B = lim 4x + Bài Tìm giới hạn sau: A = lim C = lim D = lim 5x − x + Bài Tìm giới hạn sau: 2x3 − + x2 + x + − x x→−∞ 4x2 − 3x + − 2x x→−∞ 2x + 3x2 + x→+∞ B = lim (3 − 2x)7 (a0b0 ≠ 0) x x2 + − 2x + x→+∞ (2x + 1)3(x + 2)4 x→+∞ b0xm + + bm−1x + bm x→+∞ 2x2 + x + x→+∞ a0xn + + an−1x + an B = lim 1+ x4 + x6 1+ x3 + x4 A = lim  x2 + x + − 2x3 + x − 1÷ B = lim  x − x2 + x + 1÷ x →+∞ x→−∞     C = lim  4x2 + x + − 2x ÷ x→+∞   3 D = lim  x3 + x2 + + x2 + x + 1÷ x→−∞   Bài Tìm giới hạn sau: A = lim  x2 + x + − x2 − x + x ÷ x→+∞   B = lim x( x2 + 2x − x2 + x + x) x→+∞ Loại Dạng vô định: ∞ − ∞ 0.∞ Phương pháp ∞ Những dạng vô định ta tìm cách biến đổi đưa dạng ∞ Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau: Lời giải: A = lim ( x3 − 3x2 + x2 − 2x) x→−∞ 3 3 2 2 Ta có: x − 3x + x − 2x = ( x − 3x − x) + ( x − 2x + x) = −3x2 3 3 2 (x − 3x ) + x x − 3x + x −3 ⇒ A = lim x→−∞ 2 (1− 32 3 ) + 1− + x x + lim x→−∞ + −2x x − 2x − x −2 − 1− − x =0 Ví dụ Tìm giới hạn sau: Lời giải: B = lim x( x2 + 2x − x2 + x + x) x→+∞ x2 + 2x − x2 + x + x = 2x2 + 2x + 2x x2 + 2x − 4x2 − 4x x2 + 2x + x2 + x + x Ta có: x2 + 2x − x − = 2x = x2 + 2x + x2 + x + x −2x 2 ( x + 2x + x + x + x)( x2 + 2x + x + 1) ⇒ B = lim x→+∞ −2x ( x2 + 2x + x2 + x + x)( x2 + 2x + x + 1) −2 B = lim x→+∞ ( 1+ 2 + 1+ + 1)( 1+ + 1+ ) x x x x =− Bài tập luyện tập Bài Tìm giới hạn sau: A = lim  x2 − x + − x÷ x→+∞   B = lim  2x + 4x2 − x + 1÷ x→−∞   C = lim [n (x + a1)(x + a2) (x + an ) − x] x→+∞ Bài Tìm giới hạn sau: A = lim ( x2 − x + − x) x→+∞ C = lim ( x2 − x + − x2 + x + 1) x→±∞ E = lim ( 16x4 + 3x + − 4x2 + 2) x→+∞ B = lim x( 4x2 + − x) x→−∞ D = lim ( 8x3 + 2x − 2x) x→+∞ F = lim (x − 1− x3 ) x→−∞ Loại Dạng vô định hàm lượng giác Phương pháp Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau: sinx x tanx x = lim =1 lim = lim =1 x→0 sinx x→0 tanx • x→0 x , từ suy x→0 x lim • Nếu sinu(x) tanu(x) =1 lim =1 x→x0 u(x) x→x0 u(x) lim u(x) = ⇒ lim x→x0 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa • Cho hàm sớ y = f(x) xác định khoảng K x0 ∈ K x0 ⇔ lim f(x) = f(x0) x→x0 1) Hàm số y = f(x) liên tục x x 2) Hàm số y = f(x) khơng liên tục ta nói hàm sớ gián đoạn • y = f(x) liên tục khoảng kiên tục điểm khoảng • y = f(x) liên tục đoạn a;b liên tục ( a;b) lim f(x) = f(a) lim f(x) = f(b) x→a+ − , x→b Các định lý Định lý 1: a) Hàm số đa thức liên tục tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng x Định lý Các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục Khi tổng, hiệu, tích liên tục tai x 0, y= thương f(x) g(x) liên tục g(x0 ) ≠ a;b Định lý Cho hàm số f liên tục đoạn   c ∈ ( a;b) Nếu f(a) ≠ f(b) M sớ nằm f(a) ,f(b) thì tồn số cho f(c) = M a;b Hệ quả: Cho hàm số f liên tục đoạn   ( ) cho f(c) = Nếu f(a) f(b) < thì tồn sớ Chú ý: Ta phát biểu hệ theo cách khác sau: c ∈ a;b a;b Cho hàm số f liên tục đoạn   Nếu f(a) f(b) < thì phương trình f(x) = có nghiệm thuộc (a;b) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp • Tìm giới hạn hàm số y = f(x) x → x0 tính f(x0) lim f(x) lim f(x) f(x0 ) • Nếu tồn x→x0 thì ta so sánh x→x0 với Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 thì trước hết hàm số phải xác định điểm lim f(x) = l ⇔ lim f(x) = lim f(x) = l x→x0 + x→x0 − x→x0 f(x) x ≠ x0 y= x = x0 ⇔ lim f(x) = k k x = x0  x→x0  Hàm số liên tục Hàm số f (x) x ≥ x0 f(x) =  f2(x) x < x0 liên tục điểm x = x0 lim f1(x) = lim f2(x) = f1(x0) + x→x0 − x→x0 Chú ý: f(x) x ≠ x0 y= x = x0 k • Hàm sớ liên tục x = x0 lim f(x) = k x→x0 f(x) x > x0 y= g(x) x ≤ x0 liên tục x = x0 • Hàm sớ lim f(x) = lim g(x) + x→ x0 − x→ x0 Các ví dụ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau x =  x3 − 27 x ≠   f ( x) =  x − x −  10 x =   x− x <  f ( x) =  2x + −  x ≥  ( x − 1) Lời giải: Hàm sớ xác định ¡ Ta có f(3) = x3 − 27 (x − 3)(x2 + 3x + 9) 10 lim f(x) = lim = lim x→3 x2 − x − x→3 (x − 3)(x + 2) x→3 x2 + 3x + 27 = ≠ f(3) x→ x+ = lim Vậy hàm số không liên tục x = Ta có f(3) = lim f(x) = lim x→ 3− x→ 3− lim f(x) = lim (x − 1)2 = x→3+ x− 2x + − x→3+ = lim x→ 3− ; 2x + + = ≠ lim f(x) x→ 3+ Vậy hàm số gián đoạn x = Ví dụ Xét tính liên tục hàm sớ sau điểm  x2 + x ≠ f(x) =  x =  2 điểm x0 =  x2 − x −  x ≠ −1 f(x) =  x+1  x = −1 1 Lời giải: Ta có f(1) = limf(x) = lim(x2 + 1) = = f(1) x→1 x→1 Vậy hàm số liên tục điểm x = Ta có f(−1) = lim f(x) = lim x→−1+ x+ x→−1+ lim f(x) = lim x→−1− (x + 1)(x − 2) x→−1+ (x + 1)(x − 2) x→−1− = lim (2 − x) = x+ = lim (x − 2) = −3 ≠ lim f(x) x→−1− x→−1+ Suy không tồn giới hạn hàm số y = f(x) x → −1 Vậy hàm số gián đoạn x = −1 Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x =  x4 − 5x2 + x <  f ( x) =  x3 −  x ≥  ax + x +  4x −  x ≠ f ( x) =  x − a x =  Lời giải: Ta có f(2) = a lim f(x) = lim x→ Hàm số liên tục điểm lim f(x) = lim Ta có: x→2− x→ 4x − = lim = x→ x− (4x)2 + 23 4x + x = ⇔ limf(x) = f(2) ⇔ a = x→2 x4 − 5x2 + x3 − x→ 2− ( = lim x→ 2− (x2 − 1)(x + 2) x2 + 2x + =1 ) lim f(x) = lim ax2 + x + = 4a + = f(2) x→2+ x→2+ x = ⇔ lim f(x) = lim f(x) = f(2) x→2+ Hàm số liên tục ⇔ 4a + = ⇔ a = − x→2− Bài tập luyện tập Bài Xét tính liên tục hàm sớ y = f(x) điểm  x−2 x ≠  f(x) =  x − 1 x =  x =  x2 − 3x + + x >  f(x) =  x−1  x ≤ 3x + x −  πx x ≤  cos f ( x) =   x − x >  x = x = 1và x = −1 Bài Chọn giá trị f(0) để hàm số sau liên tục điểm x = f(x) = 2x + − x(x + 1) f(x) = 2x + − 3x + − 2 Bài Xét tính liên tục hàm sớ sau điểm x+ x +  x > −1 f(x) =  x + 2x + x ≤ −1  x0 = −1  x + 1+ x −  x ≠ f(x) =  x 2 x = x =0  3x −1 x ≠   f(x) =  x − 1 x =  3 x0 =  x2 − x − + 2x x >  f(x) =  x −  x ≤ x =2 x − x + Bài Tìm a để hàm số sau liên tục điểm   x + 2a x < f ( x) =   x + x + x ≥ x =  4x + − x ≠  f(x) =  ax + (2a + 1)x  x = 3 x =  3x + − x >   x2 − f(x) =   a(x2 − 2) x ≤  x − 3 x = Dạng Xét tính liên tục hàm số tập Phương pháp Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức thì ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Các ví dụ Ví dụ Xét tính liên tục hàm sớ sau tồn trục sớ: f(x) = tan2x + cosx Lời giải: π π  D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢  4  TXĐ: Vậy hàm số liên tục D f(x) = x − 1+ 2 x − 3x + x > x − 1≥ ⇔  x − 3x + ≠ x ≠ 2 Điều kiện xác định:  Vậy hàm số liên tục ( 1;2) ∪ ( 2;+∞ ) Ví dụ Xác định a để hàm số Lời giải: Hàm số xác định ¡ Với x < ⇒ hàm số liên tục Với x > ⇒ hàm số liên tục Với x = ta có x→ 2− x→ 2− liên tục ¡ lim f(x) = lim (1− a)x = 2(1− a) = f(2) x→2+ a2(x − 2) lim f(x) = lim  a2 ( x − 2)  x < f ( x) =  x + −  1− a x x ≥ ) ( x+ 2− x→2+ = lim a2( x + + 2) = 4a2 x→ 2− Hàm số liên tục ¡ ⇔ hàm số liên tục x = ⇔ lim f(x) = lim f(x) ⇔ 4a2 = 2(1− a) ⇔ a = −1,a = x→ 2− x→ 2+ a = −1,a = giá trị cần tìm Vậy Bài tập luyện tập Bài Xác định tính liên tục hàm số sau ¡ f(x) = x+ 2 x − x−6 f(x) = 3x − Bài Xét tính liên tục hàm sớ sau ¡ f(x) = 2sinx + 3tan2x 3x −1 x >   x2 − 5x +  x−1 f(x) = x <   f ( x) =  2x3 − 16  1− x + x ≤  − x x ≥  x +  Bài Xét tính liên tục hàm số sau ¡  x2 − 3x + x ≠  f ( x) =  x−  a x =   2x + −  x ≠ f ( x) =  x  x =  2x + x ≤   2x2 + x + x ≤ f(x) = (x − 1)3 < x < f(x) =   x > x − x ≥  3x −   Bài Xác định a,b để hàm số sau liên tục ¡  x3 − 3x2 + 2x x(x − 2) ≠   x(x − 2)  π  f(x) = a x =  sinx x ≤ b f ( x) =  x =  ax + b x > π   2 m ¡ Bài Tìm để hàm số sau liên tục  x − + 2x −  x ≠ f(x) =  x−1 3m − x =   x + 1− x >  f(x) =  x 2x2 + 3m + x ≤   2x − + x ≥  f(x) =  x+1 x <   x − 2mx + 3m + Ngày tháng 03 Chuyên môn ký duyệt năm 2021 Trần Thanh Huyền ... + mπ ⇔ x = +m 22 11 π π kπ k+2 +m = ⇔ + 4m = 11k ⇔ m = 3k − 22 11 4 • Ta có: Vì m,k ∈ ¢ ⇒ k+2 = t ⇒ k = 4t − ⇒ m = 11t − π mπ nπ + = ⇔ + 14m = 22n ⇒ 22n − 14m = • Ta có: 22 11 Vì 22n − 14m... 6.5.4.3.2.1 cách chọn Vậy có 6.5.4.3.2.1 = 115 20 sớ thỏa u cầu toán A = { 0,1,2,3,4,5,6} Ví dụ Cho tập Từ tập A ta lập số tự nhiên lẻ gồm chữ sớ đơi khác Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ... abcd , Chọn a: có cách; chọn b,c,d có 6.5.4 Vậy có 720 sớ e∈ { 0,5} ,a ≠ Gọi x = abcde sớ cần lập, • e = ⇒ e có cách chọn, cách chọn a,b,c,d : 6.5.4.3 Trường hợp có 360 sớ e = ⇒ e có cách chọn,