Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội

Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội Đề thi HSG môn Toán thành phố hà nội

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9, Chúng giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi toán lớp thành phố Hà Nội qua năm có hướng dẫn số đề Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy cô dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp thành phố Hà Nội giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi toán lớp thành phố Hà Nội Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC MỤC LỤC Phần 1: Đề thi Đề số 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Đề thi Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2018- 2019 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2017- 2018 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2008- 2009 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2007- 2008 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2006- 2005 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2004- 2005 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2003- 2004 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2002- 2003 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2001- 2002 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2000- 2001 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1999- 2000 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1998- 1999 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1997- 1998 Trang Phần 2: Hướng dẫn giải Đề số 10 Hướng dẫn Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2018- 2019 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2017- 2018 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010 Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 Trang TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu 1: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: − x = 1− x−      b) Cho S −= 1 −1 − 1  tích 2019 thừa số Tính S  2.3  3.4   2020.2021  (kết để dạng phân số tối giản) Câu 2: (5,0 điểm) a) Biết a; b số nguyên dương thỏa mãn a − ab + b chia hết cho 9, chứng minh a b chia hết cho b) Tìm tất số nguyên dương n cho 9n + 11 tích k ( k ∈ , k ≥ ) số tự nhiên liên tiếp Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho x; y; z số thực dương nhỏ Chứng minh số 1 1 1 + , + , + ln tồn số lớn x 4− y y 4− z z 4− x b) Với số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c + 2abc = , tìm giá trị lớn biểu thức P = ab +bc + ca − abc Câu 3: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Gọi S giao điểm AI DE a) Chứng minh tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS b) Gọi K trung điểm AB O trung điểm BC Chứng minh ba điểm K , O, S thẳng hàng c) Gọi M giao điểm KI AC Đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC cắt đường thẳng DE N Chứng minh AM = AN Câu 4: (1,0 điểm) Xét bảng vng cỡ 10 ×10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HÀ NỘI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN THI: TỐN Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số (Đề thi có trang) Câu 1: (5,0 điểm) a) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2018 Tính giá trị biểu thức: P = 1 2017 + + = b + c c + a a + b 2018 a b c + + b+c c+a a+b b) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình: x− y = 2 x + xy + y 13 Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x + x + = x x +  x3 + x + = y −3 y +4 y b) Giải hệ phương trình:  x + = y +  Câu 3: (3,0 điểm) a) Chứng minh không tồn số dương m, n, p với p nguyên tố thỏa mãn: m 2019 + n 2019 = p 2018 b) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z P= + + y + 16 z + 16 x + 16 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC < BC, nội tiếp đường trịn (O) Gọi H hình chiếu A BC, M trung điểm AC P lầ điểm thay đổ đoạn thẳng MH (P khác M P khác H) ∠ = HAC a) Chứng minh ∠BAO o b) Khi ∠APB = 90 chứng minh ba điểm B, O, P thẳng hàng c) Đường tròn ngoại tiếp AMP đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt Q (Q khác P) Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định P thay đổi Câu 3: (3,0 điểm) Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn (O) Chia 2n đỉnh thành n cặp điểm, cặp điểm tạo thành đoạn thằng (hai đoạn thẳng số n đoạn thẳng tạo khơng có đầu mút chung) a) Khi n = 4, cách chia cho bốn đoạn thẳng tạo khơng có hai đoạn thẳng có độ dài b) Khi n = 10, chứng minh mười đoạn thẳng tạo ln tồn hai đoạn thẳng có độ dài Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Bài (5.0 điểm) a) Chứng minh n + 5n - 6n chia hết cho 30 với số nguyên dương n ( ) b) Tìm tất số nguyên dương x; y cho x + 8y y + 8x số phương Bài (5.0 điểm) a) Giải phương trình 2x - + x  4x =   5y b) Giải hệ phương trình   5y  x = - 2x = + x 2x x+y - x-y x+y + x-y Bài (3.0 điểm) Với số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = a) Chứng minh x + y + z ≤ + xy b) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = y x z + + + yz + zx + xy Bài (6.0 điểm) Cho tam giác ABC (BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Đường  trịn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác góc ABC điểm thứ hai M Gọi P trực tâm tam giác BMC a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, P huộc đường tròn b) Đường thẳng qua H song song với AO cắt cạnh BC E Gọi F điểm cạnh BC cho CF = BE Chứng minh ba điểm A, F, O thẳng hàng c) Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM Chứng minh PN = PO Bài (1.0 điểm) Trên bàn có 100 thể đánh số từ đến 100.Hai người A B chọn lấy tẩm thẻ bàn cho người A lấy thẻ đánh số n đảm bảo người B chọn thẻ đánh số 2n + Hỏi người A lấy nhiều bào nhiêu thẻ bàn thỏa mãn yêu cầu toán Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN THI: TỐN Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (5.0 điểm) ( ) a) Cho nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b3 = c - 8d Chứng minh a + b + c + d chia hết cho b) Tìm tất số nguyên tố x cho x + x2 số nguyên tố Câu (5.0 điểm) a) Giải phương trình 2x + 11x + 19 + 2x2 + 5x + = ( x + ) x + y + z =  1 1 b) Tìm tất ba số x; y; z thỏa mãn  + + = x y z  x2 + y2 + z2 = 17  ( ) Câu (3.0 điểm) a) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn < x, y, z < 3 xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 4y 4x 4z + + 2 - 4x - 4y - 4z b) Cho a, b, c đồ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a 2016 b 2016 c 2016 + + ≥ a 2015 + b 2015 + c 2015 b+c-a c+a-b a+b-c Câu (6.0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Lấy điểm Q cạnh BC (Q khác B C) Trên tia đối tia BA lấy điểm P cho CQ.AP = a Gọi M giao điểm AQ CP a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, M thuộc đường tròn b) Gọi I, J, K hình chiếu M AB, BC, CA Xác định vị trí Q để IK có độ dài lớn Chứng minh MI + MJ + MK không đổi Q di chuyển cạnh BC Câu (1.0 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 vng có kích thước 1x1 Điền vào ô vuông bảng số nguyên dương không vượt 10 cho hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng ô vng cho có số xuất 17 lần Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HÀ NỘI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014– 2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu 1: (5,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn abc = a + b + c = 1 + + a b c Chứng minh ba số a, b, c b) Cho n nguyên dương Chứng minh A = 23n +1 + 23n −1 +1 hợp số Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x − x = x −6 x +4  x3 + xy + 12 y = b) Giải hệ phương trình:  2 + = x y 12  Bài 3: (2,0 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn 1 + + = a b c Tìm giá trị lớn của: P = a − ab + b 2 + b − bc + c 2 + c − ca + a 2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H  + cos2 CBA  + cos2 ACB  nên A hợp số Câu 2: 1) Do vế phải phương trình ln dương nên x > x + x + − 2x VP = ( x 1)− 1+ 1,≥ VT =x.x ( x ) − ≤ =1 Dấu “=” xảy x = nên phương trình có nghiệm x = 2) Thay phương trình (2) vào phương trình (1) được: x3 + xy + y ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) = ⇔ x = − y ` Thay x = -2y vào phương trình (2) ta được: 4y2 + 8y2 = 12 nên y = ± Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (1; - 2) , (-1; 2) Câu 3: Ta có: a − ab + b = 2 ( a + b) 3( a − b) + a+b ≥ ⇒ a − ab + b 2 11 1 ≤  ≤  a+b 2 a b + Chứng minh tương tự ta được: 11 1 ≤  + ; 2b c b − bc + c 2 11 1 ≤  +  2a c c − ac + a 2   1  ⇒ P ≤ 2  + +  =   a b c  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 4: S  AE  Chứng minh: ∆AEF  ∆ABC ⇒ AEF =   S ABC  AB  cos = BAC Chứng minh tương tự ta được: S + S BFD + SCED cos BAC + cos ACB + cos BAC = AEF S ABC < a) Dựng đường kính AK Dẫn đến ∠APK = 90o (góc nội tiếp chắn đường kính) Dẫn đến KP vng góc AP Sau chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành M trung điểm HK Suy MI đường trung bình tam giác HPK Thành MI song song với PK Suy điều phải chứng minh Câu 5: p2 − p − = a , hay a) Từ giả thiết suy tồn số tự nhiên a cho 2 p ( p − 1) = ( a 1+ ) ( a a− 1+) Nếu p = a = thoả mãn Nếu p > p lẻ Từ giả thiết suy p ước (a + 1) p ước (a2 – a + 1) Giờ xét trường hợp Nếu p ước (a + 1) a < p nên a + = p thay vào phương trình p ( p − 1) = ( a 1+ ) a a− 1+ ta phương trình 2a2 − 3a + = 0, vô nghiệm ( ) Nếu p ước a2 – a + ta chọn số nguyên dương k cho a2 – a + = kp Cũng thay trở lại phương trình p(p − 1) = 2(a + 1)(a2 – a + 1) cho ta p – = 2(a + 1)k, hay p = 2(a + 1)k + Bây thay vào phương trình a2 – a + = kp cho ta a2 − (2k2 + 1)a + − 2k2 – k = Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55 Coi phương trình bậc hai ẩn a, tính biệt thức cho ta Δ = 4k2 + 12k2 + 4k − Ta cần tìm k cho Δ số phương viết theo k Chú ý bất đẳng thức: (2k2 + 2)2 < 4k4 + 12k2 + 4k – < (2k2 + 4)2 Từ đó, 4k4 + 12k2 + 4k – = (2k2 + 3)2 Do đó, k = dẫn đến p = 127 Vậy p = 2, p = 127 b) Giả sử năm số a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0.Ta phải có b + c ≤ ngược 2 lại b + c > ta có 2a > b + c > dẫn đến a > Cái dẫn đến điều vô lý a + b + c > 3 1 Vậy nên bc ≤ ( b + c ) = Mặt khác = a + b + c + d + e ≥ a + 3d + e ≥ a + 3d ≥ a.3d 1 Thành ra, ad ≤ Dẫn đến ae ≤ ad ≤ < Ta xếp số a,d,c,b,e đường tròn 12 12 1 1 theo thứ tự thuận kim đồng hồ Ta có ad < , dc < ad < , bc ≤ , be ≤ bc ≤ , ea ≤ ad ≤ 9 9 Số số nhỏ ĐỀ SỐ (2013-2014) Câu 1: 1) Từ giả thiết ta có: a+b a+b 1 1 + + − =0⇔ + =0 a b c a+b+c ab c ( a + b + c ) =  a + b = 0; c 2014  ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = ⇒ b + c = 0; a = 2014 c + a = 0; b 2014 = ⇒M = 20142013 2) Ta có 2n − 6n + =  n ( n 3) −1 + Vì n(n – 3) chẵn nên n(n – 3) + = 2k +1 với k ∈ N ∪ {−1} Suy 52 n Vì 52 n −6 n + − 12 = 252 k +1 13 + 13 − −6 n + − 12 nguyên tố hay 52 n −6 n + − 12 = 13 nên n(n – 3) + = , suy n = n = Câu 2: Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 56 1) Điều kiện: x ≥ − Đặt t − = x 1, +t ≥ta có 2 x − x = 2t ; t −2t =2 x ⇒( x −t )( x +t ) =0 ⇔x =t ( x t+ 0>)  x ≥1 ⇒ x − = x + ⇔2 x − 4x = x⇔ 4.= 2) Từ phương trình thứ suy z − = ( x −y ) ≥0 ⇒z ≥ Từ phương trình thứ hai suy ( z − )( z − 1) ≤ ⇒ ≤ z ≤ Do z = ⇒ x = y =0 Câu 3: Do vai trò a, b, c nhau, giả sử a = max {a, b, c} , , ≤ a ≤ a + b + c + ( a + b + c ) a + b + c + 36 = Ta có: P = 2 Mặt khác, bc ≥ nên a + b + c = a +( b + c ) − 2bc ≤ a +( − a ) = 2a −12a +36 =2 ( a −2 )( a −4 ) +10  ≤20 2 Suy a + b + c đạt giá trị lớn 20 a ≥ b; a ≥ c; bc =  ⇔  ( a − )( a − ) = ⇔ ( a, b, c )= ( 4, 2, ) , ( 4, 0, )  a+b+c =  Vậy giá trị lớn P 20 chẳng hạn a = , b = 2, c = Câu 4: a) Ta có ∠ABC ∠BAC + ; 2 ∠ABC ∠BAC ∠BIM = ∠IAB + ∠IBA = + 2 ∠IBM = ∠IBC + ∠CBM = Suy ∠IBM = ∠BIM ⇒ ∆IBM cân M Tương tự, tam giác MIC cân M b) Ta có sin ∠BAC = sin ∠ BCM = Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 MP = MC MP (1) (do MP ⊥ BC MI = MC); MI TÀI LIỆU TỐN HỌC 57 ∆MBN vng B, có MP MI c) Ta có AB + AC = 3BC AB + AC − BC ⇔ = BC ⇔ MP.MN = MB ∆IAE  ∆MCP ( g g ) ⇒ MI=2 MP CP = = ⇒ IE AE MI ⇒ ( )= MN MPI  MIN ⇒ ∆( c.g c ) ∆ MI MN IP 3) (⇒ IN AE = BC ; IE = MP ∆ = MIF ( c.g c ) Gọi F trung điểm IK, ∆MCP MC = MI ∠ ; PMC ∠= ∠= EIA MP = IF = MIF ; IE ⇒ ∠IFM = ∠MPC = 90° Suy ∆IMK cân M nên MK = MI Tương tự MH = MI Suy MB = MC = MH = MK = MI Vậy B, C, H, K thuộc đường tròn Câu 5: 1) ta có x − y = 1⇔ y= −5 x ( Với x = 2k + 1, k ∈ N ta có y = 52 k 52 k+−1 +5 +1) + Nếu y < PT vơ nghiệm Nếu y = x = (thỏa mãn) Nếu y > PT vơ nghiệm VT chia hết cho 8, cịn VP khơng chia hết cho Với x = 2k , k N ta∈có 5k − = 2a y = ( 5k −1)( 5k +1) ⇒  k , a, b ∈ N , ≤ a < b; a + b = y ⇒ 2b − 2a = 2a ( 2b − a −1) vô lý b 5 + = ( ) Nếu a ≥ 2a 2b − a −  , vô lý Nếu a = ; a = 5k = 3;5k , =vô lý Vậy (x; y) = (1; 2) 2) Nhận xét: nhiều trường hợp, M 1M M M M M suy biến khơng cịn lục giác nên sau ta thống gọi đa giác M M Gọi O tâm lục giác ABCDEF (kí hiệu L ) Nếu P ≡ O đa giác M1 M ≡ L ta có đpcm Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC = 58 Nếu P thuộc ba đường chéo lớn L , P ≠ O P thuộc sáu đoạn OA, OB, OC, OD, OE, OF Giả sử P ∈ OD hai tia AP, DP qua đỉnh D, đỉnh A L ta có M ≡ D, M ≡ A Còn lại tia, cắt nhiều cạnh L Như tồn hai cạnh AB, AF L không chứa điểm M , , M Xét tam giác có cạnh AB cạnh M M i đa giác M M ln có ∠M BM i > 90o ⇒ M M i > AB = gần AB ( M ≡ A ) , ta Nếu P không thuộc ba đường chéo lớn L P nằm trong sáu tam giác L mà ba đường chéo lớn chia Giả sử P nằm ∆ODE Như vậy, tồn cạnh AB L không chứa điểm M , , M Khi M M cạnh đa giác M ABM M tứ giác ln có M > 90o ⇒ M M > AB = ∠ABM > 90o ; ∠ BAM 4 ĐỀ SỐ (2012-2013) Bài 1: 1) ( ) Đặt f ( x ) = x −11x3 −2ax +5bx −6 = x 2−x 3− q ( x ) (=x 1)(+ x 3)−q ( x )  f ( −1) =  2a + 5b = ⇔ Từ  18a − 15b = 91  f ( 3) = a + b = 2) Nhận xét  nên a, b nghiệm phương trình x − x + 11 =  ab = 11 Ta có: P = ( a 2013 −8a 2012 +11a 2011 ) +( b 2013 −8b 2012 +11b 2011 ) =( a 8−a 11 + ) a 2011 (+b 8−b 11 + ) b 2011 0= Bài 2: (1) ( 2) Ta có: (1) ⇔ ( x − y + 3)( x + y − ) = 2 6 x − y − xy + x + y − = 1) Hệ  2  20 x − y − 28 x + = Rút y theo x vào phương trình (2) ta giải hệ 2) Nhân vào hai vế ta ( x + y ) + ( y − ) + ( x − 1) 2 + 10 x − 14 = ⇒x ≤1 ⇒x ∈{ −1;0;1} ( x ∈Z ) Thay x = - 1; 0; vào phương trình tìm y Bài 4: a) Sử dụng dấu hiệu chứng minh tứ giác nội tiếp ta có IE IF = IB.IC = IM.IA nên tứ giác AMFE nội tiếp Mặt khác tứ giác AFHE nội tiếp Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 59 Vậy A, M, F, H, E nằm đường trịn b) Vì tứ giác AMHE nội tiếp nên HM vng góc với AM M Sử dụng bổ đề HN kéo dài cắt (O) D A,O, D thẳng hàng, tức H, M, N thẳng hàng c) Sử dụng định lý Ptoleme cho tứ giác AMBC Bài 5: Đặt x = ; y = ; z = ⇒x +y +z =3 a b c Khi ta cần chứng minh: z3 x3 y3 + + ≥ 2 2 2 x +z y +x z +y z3 zx zx x = z− 2 ≥ z− = z− Ta có: 2 x +z x +z zx Chứng minh tương tự cộng lại ta được: z3 x3 y3 x+ y+z + + ≥ (x + y + z) − (x + y + z) = 2 2 x +z y +x z +y 2 = ) ( dpcm Bài 5: Kẻ đường kính DE ( DA1 + DA2 + + DA2013 ) + ( EA1 + EA2 + + EA2013 ) ≥ 4026 + + DA + 2013 , S Đặt P = DA1 DA EA = EA+2 +EA+2013 Nếu P ≥ 2013 D điểm M cần tìm Nếu P < 2013 E điểm cần tìm ĐỀ SỐ (2011-2012) Bài 1: 1) Ta có: n5 − n = n ( n +1) ( n −1)( n +1) =n ( n −4 +5 ) ( n 1−)( n + 1) = ( n − )( n −1) n ( n +1)( n + ) + 5n ( n −1)( n +1) ( ) ( Do n ∈ N * nên n5 − n  30 Từ suy A = a 2017 a a 2) Ta có: x = + 2 ( + 7− 2 ⇒ x3 = 14+ 3x − ) −x 29 = − Do f ( x ) = 2−x 21 Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 ) 2012 ( =1) 2012 − b 2007 +( b5 b ) c−2007 +( c5 c ) 30 − 72 ⇒ x3 − 21x − 28 = TÀI LIỆU TỐN HỌC 60 Bài 2: 1) Ta có: x + + x = x 12+ 5+ ⇔ x + − + x − − x + 12 + = ⇔ x2 − x2 + + + 3( x − 2) − x2 − x + 12 + =0  x+2  x+2 ⇔ ( x − 2)  +3−  = x + 12 +   x +5 +3 Từ đặc điểm PT suy x > ⇔ x > ; x+2 x +5 +3 > x+2 x + 12 + ;vì biểu thức ngoặc dương Suy x − ⇔ x = 2) Viết phương trình thứ hệ thành: x + ( y + 1) x − y − y = Có ∆ = ( y 1)+ 4+( y 2+y ) 9=y y −1 (+3 y = 1) − Do x = y x = - 2y – Với x = y thay vào PT thứ hai tìm x = ⇔ x = Với x = -2y – 1, thay vào PT thứ hai tìm y + y − = ⇔ y = 1, y = Vậy hệ có ba nghiệm (x, y) = (3; 3) , (-3; 1), (-5; 2) Bài 3: Viết PT thành dạng: (2x – 3y + 3)(x – y – 2) = -2 Xảy trường hợp 2x – 3y + x–y-2 -1 -1 -2 -2 Vậy có bốn cặp số (x, y) thỏa mãn (4; 3), (16; 12), (2;2), (14; 11) Bài 4: 1)   Gọi OA ∩ MN = K Ta có OAC = ACB   = = sdMC          ° OA ⊥ MN Nên OAC + ANM = ACB + ABC =° 90 Suy AKN = 90 , tức  = ABC  (vì OA = OC); AMN Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC JI // AO (cùng vng góc với MN); JO // AH (cùng vng góc với BC) nên tứ giác AIJO hình bình hành, suy ra: OJ = AI AH = 2 BC cm = ;OB = 2 ( ) Do BJ = OB + OJ 2  7  =     = cm ( )  2 +      =cm ( ) Bài 5: + S 2S S + a b b S 2S 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: + = S a b a 1) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với Tương tự: S 2S + a b 1 + = 2S S 2S 3S + + c c a a+b+c 1 9S + + ≥ b b  a + 2b S 2S 9S S 2S 9S Do đó: + ≥ ; + ≥ b c b + 2c c a c + a + S 2S + b c + S 2S + c a ≤ a+b+c = 3S 3S a+b+c Đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác ABC 2) Trong 8045 điểm ln tìm điểm đỉnh tam giác có diện tích lớn nhất, giả sử A, B, C với S ABC ≤ Dựng đường thẳng qua A song song với BC, qua B song song với AC, qua C song song với AB, chúng đôi cắt M, N, P Khi S MNP = S ABC ≤ Ta chứng minh 8045 điểm cho nằm cạnh tam giác MNP Thật vậy, giả sử ∃D ∉ ∆MNP (chẳng hạn D Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 62 B thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa AC) S DAC > S ABC (mâu thuẫn với cách chọn tam giác ABC) Tam giác MNP chia thành tam giác nhỏ ANC, AMB, ABC, BCP Ta có 8045 = 4.2011+ Theo nguyên tắc Dirichlet tồn 2011 + = 2012 điểm phải nằm cạnh tam giác nhỏ có diện tích khơng lớn ĐỀ SỐ (2010-2011) Bài 1: Rút gọn A * Phân tích 4x3 - 16x2 + 21x - = (2x - 3)2(x - 1) * Điều kiện: x > * A=|2x-3|  2x x − ≤  * A= 3 − 2x 1 ( *) Thật bất đẳng thức (*) tương đương với: x3 + y − xy ( x + y ) ≥ ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) − xy ( x + y ) ≥ ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y ) ≥ ⇔ ( x + y )( x − y ) ≥ Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên bất đẳng thức (*) chứng minh Dấu “=” xảy x = y Áp dụng (*) ta được: x + y + = x + y + xyz ≥ xy ( x + y ) + xyz = xy ( x + y + z ) ⇒ Chứng minh tương tự ta được: 1 ≤ ; y + z + yz ( x + y + z ) 1 ≤ x + y + xy ( x + y + z ) 1 ≤ z + x + zx ( x + y + z ) Cộng theo vế bất thức ta được: B= = 1 1 1 + 3 + ≤ + + 3 x + y + y + z + z + x + xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) zx ( x + y + z ) x+ y+z = xyz ( x + y + z ) xyz Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Vậy giá trị lớn B x = y = z = Câu 4: (Các bạn tự vẽ hình) a) Nhiều cách làm Xin giới thiệu cách dễ nghĩ đến Kẻ DP’ vng góc BC Suy P’, M, N thẳng hàng (Đường thẳng Sim son) Dẫn tới P P’ trùng (do MN BC có mọt giao điểm nhất) b) Dễ chứng minh được: OI2 = R2 – 2Rr (Hệ thức Ơ – le) Từ suy kết Câu 5: x3 y + xy C thuộc Z y C = xy − (x = y + x + y ) ( xy − 1) + ( x + y ) xy − (x y − x y ) + ( x y − x ) + ( xy − y ) + ( x + y ) = xy − x+ y = x y x+ y+ + Z∈ xy − ⇒ x + y ≥ −1 + xy ⇔ ( x − 1)( y − 1) ≤ Với x = y = Với x > y − ≤ ⇒ ≤ y ≤ ⇒ y ∈ {1; 2;3} Nếu y = x + y x +1 = = 1+ ∈ Z⇒ x= 3; (do >x 1) xy − x − x −1 Nếu y = x+ y x+2 = += xy − x − 1 ∈ 4x − Z từ tìm x Nếu y = x+ y x+3 = += xy − x − 1 ∈ 4x − Z từ tìm x Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 2014 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010 Đề thi HSG thành phố. .. 2004 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2002- 2003 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2001- 2002 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2000- 2001 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1999- 2000 Đề thi HSG thành phố. .. 2018 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015 Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014 Đề thi HSG thành phố