chinh phuc cac dang toan dai so 9 luong anh nhat

CHINH PHỤC CÁC DẠNG TOÁN GV LƯƠNG ANH NHẬT ĐẠI SỐ NỘI DUNG BÁM SÁT SÁCH GIÁO KHOA PHONG PHÚ BÀI TẬP THỰC TIỄN CHUYÊN SÂU PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC TEA LƯƠNG ANH NHẬT Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA BÀI 1: CĂN BẬC HAI I Các định nghĩa: Căn bậc hai: _ Căn bậc hai số a số có bình phương a Ví dụ: Căn bậc hai 49 –7 ( −7 ) = = 49 CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI Căn bậc hai = Số −36 khơng có bậc hai khơng có số bình phương −36 Nhận xét: _ Số dương có hai bậc hai hai số đối _ Số có bậc hai _ Số âm khơng có bậc hai Căn bậc hai số học _ Căn bậc hai số học số a  số x  cho x = a Ví dụ: Căn bậc hai số học 49  = 49 _ Căn bậc hai số học số a  kí hiệu Như a  x  a =x  x = a Chú ý: _ a có nghĩa a  _ Với số thực a  ta ln có Ví dụ: ( ) = (− ) 2 ( a ) = (− a ) 2 =a = Căn thức bậc hai _ Khi A biểu thức đại số, người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu _ A có nghĩa (hay xác định) A  Ví dụ: 3x − có nghĩa 3x −   x  − 2x − 2x xác định   − 2x   x  2 II Công thức A2 = A • Với A biểu thức đại số, ta có: • Với A  0, B  ; ta có: AB = A B • Với A  0, B  ; ta có: A = B A B Ví dụ 1: Tính HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|1 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 (4 − ) a) (2 − ) + Rèn luyện Toán – Đại số 26 − 10 + 19 − 10 b) Giải a) (4 − ) b) 26 − 10 + 19 − 10 = + (2 − ) ( ) = 4− + 2− = 4− − 2− = ( − 10 ) ( − 10 ) + = − 10 + − 10 = Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức b) B = 2x + x4 − 2x2 + Giải  A = x − + x − 2, x   A = 3x − 3, x  = 2x − + x −     A = x + 1, x   A = x − − ( x − ) , x  a) A = 2x − + x2 − 4x + ( x − 2) a) A = x − + b) B = x + (x ) −1 2 = 2x + x2 −  B = x + x − 1; x  −1  x   B = x + x − 1; x  −1  x    2  B = − ( x − 1) , −1  x   B = x − x − ; −1  x  Ví dụ 3: Tính ( a) a) b) − 10 − 10 ( + ) ) + 15 − −1 15 − −1 = ( b) ( 3− ( ) + 5( ) ) ( ) 3+ − 2+3 − Giải ) = 3− −1 −1 5+ 5=3 + − + − = + 12 − − + = 22.3 − + = − + = Ví dụ 4: Tính a) 45 20 + − 36 b) 28 63 + − 25 Giải c) 156 108 − + 13 25 a) 45 20 32.5 2.5 + − = + − = 5+ 5− 5=2 2 36 6 b) 28 63 2.7 32.7 123 + − = + − = 7+ 7− 7= 2 25 7 70 c) 156 108 2.3 2.3 − + = − + = 12 3−2 3+ 3= 2 13 25 15 Ví dụ 5: Giải phương trình a) x = b) x = c) x2 = + Giải a) x2 =  x =  x = −3 b) x2 =  x =  x = − | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư d) x2 = 14 − Rèn luyện Toán – Đại số c) x2 = +  x2 = Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 ( ) +  x = + 1 x = − ( d) x2 = 14 −  x2 = − ) ( ) +1  x = −  x = −3 + Ví dụ 6: So sánh a) b) ( )  (5 ) a) Giả sử   Giải + c)  36.5  25.6  180  150 (đúng) Vậy  CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI Vậy ) (  ) 12  18 (vô lý) 2 3 +36  3 c) Giả sử Vậy ( 2               b) Giải sử ( )  32   (vô lý) +  Bài tập 25 1.1 Tìm bậc hai số học số: 16, ,0.36, ,19, −1 49 121 1.2 Tính: 1.3 Tính ( b ( a 108 , 256 , )( )( ) 2) 5+ 5− 7− 7+ 27 , 16 ( −4 )( −64 ) , ( d ( )( + 1)( 0.81 ) e ( + )( − ) − 1) f ( + )( − ) c + − 1.4 a Tính cạnh hình vng có độ dài đường chéo b Tam giác có cạnh 1.5 Giải phương trình đường trung tuyến có chiều dài bao nhiêu? a x2 − 10 = e ( x − ) = 11 + i x2 + 3x = − b x2 − = f x − 10 x + 25 = 27 − 10 j x − 12 x + 10 = 33 c x + 2 x + = g 4x2 + 4x = 27 − 10 k x + + = 12 x d x2 − 3x + = 1.6 So sánh h x2 + 5x = 16 − l 3x2 − 30x + 26 + = a − b − −3 c + b 48 13 − 35 c 31 − 19 − 17 −3 +1 1.7 So sánh a 17 + 26 d − 58 80 − 59 e − 21 + − 1.8 Với giá trị x thức có nghĩa: HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|3 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 a 5x + 1 + 2x b e Rèn luyện Toán – Đại số c x−2 + x−3 −2 −3x + d −5x5 + 5x2 13 h 2x + − −2x + d 5x − x − f g −3x 1.9 Với giá trị x thức xác định: a b x2 − x + 14 c 35 − x2 + x 9x + 6x + e 3x + x−2 x −1 − f g h x−3 +1 x2 + x + 1.10 Tính a c ( ( 3 −2 2− ) ) − ( b (2 −3 ) 3− ) − ( −6 ) 2 1.11 Rút gọn biểu thức sau a − − 14 − d 3x − x + x + g x2 − 2x + x+ x +1 b 32 − 10 − 43 − 12 e x2 − 10 x + 25 x−5 h x −1 y −1 (y − ) y +1 ( x − 1) c 13 − − 16 − f ( x − 2) i ( 3x − ) + x2 − x + + x−2 x2 − 12 x + 3x − 1.12 Rút gọn tính giá trị biểu thức a 9x2 − 12x + − x − với x = b x + y + x2 − 2xy + y với x = − y = − Ôn tập Câu Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa: x−2 + x −1 + x+3 x + 4x + Câu Tính a − + − + − 12 2+ 3+ b + 17 − + Câu Rút gọn biểu thức : A = x + 3x − + x − 3x − Câu Giải phương trình: x2 − x + x2 + x − = - | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Khai phương tích – thương 1.13 Rút gọn ( )( a − + + − 3 +7 f 21 ( 2− ) )  b +  + +   − +     4+ 2+ 2+ 2− 2+ c e ( ) g 56 − d (5 47 + − + + + +2 )( −3 30 ) h 6 − 12 + − 2 +1 CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI 1.14 Rút gọn a 13 + + − d 3+ ( b )( 10 + − ) + + 14 −   e  + −    ( 23 + 10 + 47 + 10 c 10 − ) 1.15 Thu gọn biểu thức A= 7+ + 7− + 11 B= − 3−2 2 +2−2 +1 +1 1.16 Thu gọn biểu thức A= x2 + y − xy x x + x − y2 x − y2 1.17 Cho a = B = 3y + xy − xy 9x2 y ; x, y  C = x−4 x−4 1+ 1− ,b = Tính a3 + b3 2 1.18 Cho biểu thức A = x+4 x−4 + x−4 x−4 1− 16 + x x2 a Tìm x để A xác định b Rút gọn A c Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|5 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Rèn luyện Toán – Đại số BÀI 2: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I Đưa thừa số dấu A2 B = A   A B ; A  0, B  B=  − A B ; A  0, B  Ví dụ 1: Đưa thừa số ngồi dấu a b 50 45 3x2 − xy + y c Giải b) 50 = 2.52 = 2.5 = 10 a) 45 = 32.5 = c) 3x2 − 6xy + 3y = x2 − 2xy + y = ( x − y ) = x − y ( Ví dụ 2: Tính ) 75 + 12 − 300 Giải 75 + 12 − 300 = + − 10 = II Đưa thừa số vào dấu  A2 B ; A  0, B  A B= − A2 B ; A  0, B  Ví dụ 1: Đưa thừa số vào dấu b a c ( x − 1) Giải a) = 22.7 = 28 b) = 2.3 = 147 c)  x − ,x  ( )  ( x − 1) =   − ( x − 1) , x  Ví dụ 2: So sánh Giải Giải sử   42.3  52.2  48  50 (vô lý) Vậy > A = B III Khử mẫu số biểu thức dấu AB với AB  B  B Ví dụ 1: Khử mẫu biểu thức dấu a b c 11 12 Giải a) 3.5 15 = = 5 Ví dụ 2: Tính b) 6.7 42 = = 7 c) 21 14 + + Giải 21 14 42 42 42 + + = + + = 42 6 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư 11 11.12 132 = = 12 12 12 Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta biế đổi biểu thức dấu cho mẫu số biến đổi thành bình phương số khai phương đưa dấu 10 10 … = = 16 2 = = 75 25 IV Trục thức mẫu số Trường hợp thứ Chẳng hạn như: A B 7 7 , = Trường hợp thứ hai Ví dụ: = CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI M Ví dụ : A B với B  B = = A B ( 5− = M ( A B ) với A  0, B  A  B ( A−B ), = 7+ ) 7− 5+ Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta viết tử số dạng tích có chứa thừa số mẫu số rút gọn Chẳng hạn như: 3+2 3 = ( +2 )= 3+2 , 10 − 5− = ( 5− 5− )= ,… Bài tập 2.1 Đưa thừa số dấu 125a4 b3 ( 10 x2 y − ) 3x2 − xy + y 2.2 Đưa thừa số vào dấu a b3 ; a , b dấu, a  b b a x+y x−y ; x  x  y x−y x+y 2.3 Khử mẫu biểu thức lấy a (2 − ) b −4 x ,x   y x2 y c − x − ( x − 1) 2.4 Trục thức mẫu a 3− 8− b 4− −2 c x+a x a x d x x −3 y 2.5 Tính a 20 + 45 − 80 − 98  1  c  − 20 + +  : +1  20    b 162 − − 15 − 10 − 3   d  −2 −4 − 12 −   2      HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|7 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Rèn luyện Tốn – Đại số 2.6 Tính a 3−2 − 3+2   5− 3  5− c  + : − 1    +   +    12 15  e  − +  + 11 +1  −2 3− ( g 3− − 7+ b − − 40 + d ) f −1 − +1 −2 + 5 +2 12 − 140 + − +2 −2 + − 60 − 10 + 84   1 h 23  −  2+ 3+ 6  2+ 3− + 21 2 + 10 i + + 14 + 2.7 Thu gọn 2+ a ( + 2+ b − c ) 2− + − 2+ ( 26 + 15 − + 45 + 27 + 45 − 27 5+3 − 5−3 2.8 Thu gọn biểu thức − ) 26 − 15 3+ + 3− 3+ − 3−  x + x  x − x  A =  + 1−   với x  x    x + x −    ( B = a+ b ) −4 a− b ab + a b +b a ab với a , b  a  b  1  a +1 C =  với a  a  + : a − a a − a − a +     x − x +2  D =  + −  với x  x    x   x − x + x +     x y x x   x :  với x , y  x  y E =  − −  x + y x − y   x + y x + y + xy      3  1  1 x + y x + x y + y  + + + : F =  với x , y   x y  x + y x y  x3 y + xy  a+b a b   b − ab  G =  − −  với a , b  a  b  :  a + ab ab + b ab − a a + b     H = a + b −1 a + ab + a− b b b  +   với a , b  a  b ab  a − ab a + ab  | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054   1 K =  với x  x  + :  x x + x + x x + x +1 x − x  x+2 x +1  10 L = :  + −  với x  x   x x −1 x + x +1 x −    2x x + x − x x + x  x −1 x 11 M =  với x  0, x  x  − +   x −  2x + x − x − x x −1   x −4  x  12 N =  − +  x −   với x  0, x  x   x+2 x x−2 x x−4  x −    CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI  x +2 x +1 x −1    13 P =  − + : 1−   với x  0, x  x   x −1   x − x − x + x −     x−3 x   x −3 x −2 9−x  2.9 Cho biểu thức Q =  − : + −   với x  0, x  4, x   x −   − x + x x + x −   a Thu gọn biểu thức Q b Tìm giá trị x để Q = 2.10 a Tìm giá trị nhỏ A = x2 − x + b Tìm giá trị lớn B = −5 + − x2 + x HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|9 Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054  a = 2b  a = 2b  a = 2b a = Như vậy, ta có hệ phương trình:     9a − 9b = 27 18b − 9b = 27 9b = 27 b = Các số a b thỏa điều kiện Vậy số tự nhiên cần tìm 63 Bài tập 3.1 Bình có 450 sách Nếu Bình cho An 50 sách số sách An số sách Bình Hỏi số sách ban đầu bạn An bao nhiêu? CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI 3.2 Một hình tam giác có diện tích 18 cm2 Tính cạnh đáy tam giác, biết tăng chiều dài cạnh đáy lên cm giảm chiều cao tương ứng 1cm diện tích không đổi 3.3 Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc cố định Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thời gian giảm giờ, vận tốc giảm bớt 10 km/h thời gian tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định ô tơ 3.4 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, tổng chữ số 17, chữ số hàng chục 4, đổi chỗ chữ số hàng trăm hàng đơn vị số thu nhỏ số ban đầu 99 đơn vị HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|47 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Rèn luyện Toán – Đại số -Ôn tập Câu 1.Giải hệ phương trình x +1 y − 5x  + y = a)   y − 5x + = y + 27 − x   3x x +1 − y + =  b)   2x + =  x +1 y + 3 x + y − x − y = c)  7 x + y + 2 x − y = 32 x + y + z =  d)  x + y + z = 17  x + y + z = 34  2 x − y = Câu Giải biện luận hệ phương trình:  mx + y = Câu Một ô tô từ A đến B khoảng thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đường thời gian dự định lúc đầu 48 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 HƯỚNG DẪN MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG III BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 1.1 a Ta có: 3x − y =  y = 3x − y Vậy nghiệm tổng quát phương trình ( x  ; y = 3x − ) Biểu diễn tập nghiệm phương trình 3x − y = đường thẳng qua hai điểm ( 0; ) ( 2; ) O 3+ x quát CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI b Ta có: y − x =  y = x -4 y Vậy nghiệm tổng phương trình  3+ x x ; y =    Biểu diễn tập nghiệm phương trình y − x = đường thẳng qua hai điểm ( 1; ) ( −3; ) -3 O Vậy nghiệm tổng quát phương trình 0x + y =  3 đường thẳng qua điểm  0;  song song với trục  2 hồnh x y c Ta có: x + y =  y =  3 x ; y =    Biểu diễn tập nghiệm phương trình 0x + y = O x HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|49 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Rèn luyện Toán – Đại số Vậy nghiệm tổng quát phương trình 0x + y = d Ta có: 3x + y = −5  x = − y  3 x ; y =    Biểu diễn tập nghiệm phương trình 3x + y = −5 đường   thẳng qua điểm  − ;  song song với trục tung   1.2 a Ta có: m.3 + ( m − 1) = 2m  m = - O 3 x − y =  2x − y =  y = 2x + 3 Vậy nghiệm tổng quát phương tình cho ( x  ; y = 2x + ) Phương trình cho b Ta có: 2m.1 + ( m + ) = m −  m = −3 Phương trình cho x + y =  y = − x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho ( x  ; y = − 6x ) 4x − 24 x + 24 = x− 5 x + 24 x + 24 Đặt t = , t   x = 5t − 24  y = x − = 4t − 24 5 Vậy cặp số ( x; y ) = ( 5t − 24; 4t − 24 ) , t  nghiệm nguyên phương trình cho 1.3 a Ta có: 4x − 5y = 24  y = −9 − 4x 9+x = −x − 3 9+x 9+x Đặt = t , t   x = 3t −  y = x − = 4t − 3 Vậy cặp số ( x; y ) = ( 3t − 9; 4t − ) , t  nghiệm nguyên phương trình cho b Ta có: 4x + 3y = −9  y = 673 + x −x 673 + x 673 + x Đặt = t , t   x = 2t − 673  y = − x = 673 − t 2 Vậy cặp số ( x; y ) = ( 2t − 673; 673 − 2t ) , t  nghiệm ngun phương trình cho c Ta có: 3x + y = 2019  x + y = 673  y = − 5x + x = − 2x 3 2+x 2+x Đặt = t , t   x = 3t −  y = − 2x = −5t + 3 Vậy cặp số ( x; y ) = ( 3t − 2; −5t + ) , t  nghiệm nguyên phương trình cho d Ta có: 5x + 3y =  y = 1.4 Thay cặp số ( 2m + 1; 3m + 1) vào phương rình cho, ta có: 3x − y =  ( 2m + 1) − ( 3m + 1) =  = (luôn đúng) Vậy ( 2m + 1; 3m + 1) nghiệm phương trình 3x − y = 50 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư x Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 2.1  x − y = −5  x = y −  x = 3.3 −  x =  x = y −     a)  2 x + y = 23 2 ( y − ) + y = 23 11y = 33 y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 4; )  19  19 x = x =   5x − y = y = − 2x  y = − x   13 13 b)      − 4 − = x x + = 13 = 19 19 x y x ( )     y = −  y = 14   13 13 CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI  19 14  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;   13 13   x = + ( −3 )  x = 5x + y =  x = + y x = + y     c)  y y + + = x y y − = 13 = − 39 ( ) y = −      y = −3   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 2; −3 ) x 3x − ( 10 − x ) = 3 x − y =  5x = 20 x = x =  = d)  y       y = 10 − x   y = 10 − x  y = 10 − y =   y = 10 − x  x + y − 10 = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 4; ) 2.2 2 x + y = 11 5x = 20 x = x =    a)  3x − y = 2 x + y = 11 2.4 + y = 11  y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 4; ) 4 x − y = 6 x = 18 x = x =    b)  2 x + y = 12 4 x − y = 4.3 − y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 3; ) 5x + y = 15 x + y = 21 5 x + y = x = x =     c)  8 x + y = 12 16 x + y = 24 x = 5.3 + y =  y = −4 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 3; −4 ) 3x + y = 6 x + y = 0 =   d)  (vô lý) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm 6 x + y = 6 x + y = 3x + y = HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|51 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Rèn luyện Toán – Đại số 2.3 0, x + 1, y = −1 1,8 x + 7,8 y = −6 10 y = −10   a)  1,8 x − 3, y = 1,8 x − 3, y = 0, x + 1, y = −1  x =  y = −1   0, 3x + 1, ( −1) = −1  y = −1  Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −1) ( )( )  −1 +1 x 4 x + − y =  4 x + − y = x + = +    b)   +1 x   +1 x  + x − 3y = y =  −   y = − 3 3  ( ( ( ( ) ) ) ) ( ) ( −1 ) Như hệ trở thành:   2x − −2  −2 = 4 x + x = x = 3 14    14    +1 −2 +1 x    y = −57 + 3 y = − y = −    42 3.14 3   ( ) ( )( )  − −57 + 3  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;   14 42    4x −  x + y = 5 x + y = x −  x + y = −3 14 x + 70 y = −42 c)     14 x + 42 y = 15 − y 14 x + 51y = 15 14 x + 51y = 15  x + y = 15 − y  14  x + y = −3  x + ( −3 ) = −3  x = 12   Như  19 y = −57  y = −3  y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (12; −3 ) xy + 3x − y − = xy 3 x − y = ( x − )( y + ) = xy   d)  2 2 x + y = ( x + ) − ( y − ) = ( x − y )( x + y ) x + x − y + y − 12 = x − y    x =  x = 3x − y = 4 x = Như     x + y = x + y =  + 2y = y =   9 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  4 8 52 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 x +1 y + ( x + 1)( y + 1) = ( x − 1)( y + ) =  xy + x + y + = xy + 3x − y −   e)  x − y +    3x + y + = 3x + y + = 3x + y + =     x= x=   2 x − y = 5x =   5 Như hệ trở thành:     3x + y = −2 x − y = 2 − y = y = − 5    2 8 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; −  5 5 CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI 2.4  x − + y + = −  a)   −1 + =  x − y + 2 Đặt 1 = a, = b Hệ phương trình trở thành x−5 y+2     a=− 2a + 3b = − 15b =   a + b = −     10 2      − a + 6b = −2a + 12b = −a + 6b = b =     2 30  =−   3 x − 15 = −10 10 x − x = Như     y + = 30  =  y = 28   y + 30  5  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; 28  3     b)     x x Đặt a = + + 10 y y x = 13 36 =1 ,b = y với a , b  Hệ phương trình trở thành:  11   13  13 11b = a=   4a + 3b = 12a + 9b =   12 36  36   12    13 6a + 10b = 12a + 20b = 4a + 3b = b =    36 12 HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|53 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054    Như     Rèn luyện Toán – Đại số   x = 1296 x 36  x = 36   1  y = 144  y = 12 =  y 12 = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1296;144 )  10 + =1  12 x − y +  c)   + =1  12 x − y +  Đặt a = 12 x − ,b = 4y + với a , b   a= 10a + 5b = 80a + 40b = 45a =  15 Hệ phương trình trở thành     7 a + 8b = 35a + 40b = 7 a + 8b = b =  15  1 =  12 x − = 225  x = 19  12 x − 15  x − = 15    Như  4 y + = 225  y = 56   y + = 15 = 15  y + Vậy hệ phương trình có nghiệm (19; 56 ) 2 2 x − y = −1 d)  2 3x + y = 18 Đặt a = x , b = y với a , b  2a − 3b = −1 4a − 6b = −2 13a = 52 a =    Hệ phương trình trở thành  3a + 2b = 18 9 a + 6b = 54 2 a − 3b = −1 b = x = x =   x =   x = −2  x = −2 Như      y =  y =  y = −  y = −  y =  ( )( )( ) ( ) Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm 2; , 2; − , −2; −2; − ( x + )2 − ( y − 1)2 =  e)  2  2 ( x + ) − ( y − 1) = −1 Đặt a = ( x + ) , b = ( y − 1) với a , b  2 54 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 a − b =  a − 2b = a − b = a =    Hệ phương trình trở thành  2 a − 3b = −1 2 a − 3b = −1 b = b = ( x + )2 = x + =  x + = x + = −  x + = −    Như          y −1 =  y −1 = −  y −1 = − = y    ( )    y − = −   x = −  x = −  x = − −  x = − −    Ta  y = + y = − + y = +     y = − + ( )( )( ) Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm − 2; + , − 2; − + , −7 − 2; + ( −7 − ) 2; − + CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI 2.5 x + y = m −  ( m + ) x = m2 + 4m − 12 (1)  4 x + y = 4m − a)    2 ( m + ) x − y = m − ( m + ) x − y = m − x + y = m −    Xét phương trình ( m − ) x = m2 + 4m − 12  ( m + ) x = ( m + )( m − )  ( m + )( x − m + ) = ( m + )( x − m + ) = Như hệ phương trình trở thành   x + y = m − TH1: m + =  m = −6 0 ( x + ) = x   Hệ tương đương với:   x + y = −8  y = −x − Vậy hệ phương tình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát ( x  ; y = −x − ) TH2: m +   m  −6 x − m + = x = m − x = m −   Hệ tương đương với   x + y = −2  y = −2 − x  y = −m Vậy hệ phương trình có nghiệm ( m − 2; −m) với m  −6 2mx + y = 2mx + y = 2mx + y =   b)  ( m + 1) x + y = 3 ( m + 1) x + y = ( m + ) x = TH1: m + =  m = −3 Khi đó: x = (vơ lý) Vậy hệ phương tình vơ nghiệm TH2: m +   m  −3 HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|55 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Rèn luyện Toán – Đại số 1   2mx + y = 2m x= + 3y =     m+3 m+3 Hệ tương đường với:    1 x = m + x = y = m +    m+3 m+3  m+5 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  , với m  −3  m+3 m+3 ( ) mx + y = m + 2mx + y = 2m +  m − y = m − ( m − ) ( m + ) x − 1 =    c)    2mx + m y = 3m 2 x + my = 2 x + my = 2 x + my = TH1: m − =  m = x  0 ( x − 1) =   Hệ tương đương với:   − 2x y=   2 x + y =   − 2x  Vậy phương trình có vơ số nghiệm với nghiệm tổng qt  x  ; y =   TH2: m −   m  ( m + ) x = Hệ tương đương với:  2 x + my = Khi đó, ta xét hai trường hợp cụ thể là: 0 x = TH2.1: m = −2   (vô lý) 2 x − y = Vậy hệ phương trình vơ nghiệm   x= x =  m+2   m+2 TH2.2: m  −2    3m +  − 2y = y = − ( m + 2)   m +  3m +  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;−  với m  m  −2  m + 2 ( m + 2)    2.6*   2x − + y + =  2x − + y + =  2x − + 2x − =  2x − =     x = a)      2 x − y =  y = 2x −  y = 2x −  y = 2x −       y = −1 1  Vậy hệ phương tình có nghiệm  ; −1  2  56 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 A = Cách khác: A + B =   B =   x = x = 2 x − =      y = −1 Áp dụng cho hệ trên, ta có:  y + =   y = −1 2 x − y =  2 =  2 − ( −1) =    1  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; −1  2  CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI 2 x + y = 13 2 x + y = 13 2 x − y = 13 , y  ( 1)   , y  (2)  b)  3x − y = 3x − y = 3x − y = 2 x + y = 13 11x = 22 x =   Xét ( 1)   (nhận) x − y = x + y = 13 y =    Vậy hệ phương tình có nghiệm ( 2; )   x = − 2 x − y = 13 −7 x = Xét ( )   (nhận)   9 x − y = 2 x − y = 13  y = − 33   33  Vậy hệ phương trình có nghiệm  − ; −     y − x + =  y − x = −3  c)  (I)  y + x − =  y + x = TH1: x , y   y − x = −3 ( I )  y + x =  3x = x =   (nhận) y = 2x − y = Vậy hệ phưng trình có nghiệm ( 2;1) TH2: x  0; y   y − x = −3 ( I )  − y + x =  − x = x =   (nhận)  y = 2x −  y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 0; −3 ) TH3: x  0; y  HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|57 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054  y + x = −3 ( I )  y + x =  Rèn luyện Toán – Đại số  x = −6  x = −6   (nhận)  y = −2 x − y = Vậy hệ phưng trình có nghiệm ( −6; ) TH2: x , y   y + x = −3 ( I )  − y + x =  3x = x =   (nhận)  y = −2 x −  y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 0; −3 ) Vậy hệ phương trình cho có ba nghiệm ( 2;1) , ( −6; ) ( 0; −3 ) (   x + y =  x + y = x + y x+y = x + y   d)   x + y =  x + y =  x + y = )  xy = xy   x + y = Ta có: xy = xy  xy   x, y   x, y  TH1: x , y  Ta có: x + y =  y = − x x + y =  x    x  Hệ phương trình có vơ số nghiệm khơng âm với nghiệm tổng qt (1  x  0; y = − x ) TH2: x , y   xy = x =  y =   Ta có:   x + y = −1  y = −1  x = −1 Hệ phương trình có hai nghiệm ( 0; −1) ( −1; ) 2.7   x y =   x − y = xy 5x − y = 5xy 4 x − y =  x = y a)       x + y = 5xy  x + y = 5xy  x + y = 5xy  y + y − y.y = −3 y + y =   2   x =  x = y  x =  Như    y = y = y =  y = 3   1 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( 0; )  ;  2 3 58 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054  x = 4 x − y = 4 x = y 4 x = y 4 x = y       3 y + z =  3 y + z =   y =   y = b) 3 y + z = 4 x + y + 5z = 10 y + 5z = 4 y + z =  z = −3  z = −3       3  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; 2; −3  2  2.8 a) Ta có: x − y =  y = x − Phương trình có nghiệm tổng quát ( x  ; y = x − 3) x + y = −1  y = −x − Phương trình có nghiệm tổng quát ( x  ; y = −x − 1) CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI b) Biểu diễn tập nghiệm phương trình x − y = đường thẳng qua hai điểm ( 0; −3 ) ( 3; ) Biểu diễn tập nghiệm phương trình x + y = −1 y x + y = -1 đường thẳng qua hai điểm ( 0; −1) ( −1; ) Nhìn vào đồ thị ta thấy nghiệm chung hai phương O trình (1; −2 ) x Kiểm tra phép toán: -2 x − y = 2 x = x = x =      x + y = −1  x − y = 1 − y =  y = −2 x-y=3 Vậy nghiệm chung hai phương trình (1; −2 ) 2mnx + 10ny = 5n ( 5m − 2mn − ) x = − 5n 2mx + 10 y =   2.9  ( m − 1) x + 2ny = 5 ( m − 1) x + 10ny = 2mx + 10 y = n = 5m − 2mn − =  Hệ phương trình vơ số nghiệm khi:   − = 5 n = m    ( 3m − 1) x = −n − mx − y = −2n  2.10  ( 2m − 1) x + y = n − mx − y = −2n Thỏa đề 3m −   m  n tùy ý  −n −  −n −  −n − x= x=   x =   3m − 3m − Hệ tương đương với:   3m −   − n − 5mn − 3n   − y = −2n  y = mx − y = −2n m  3m −  3m − HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|59 Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Rèn luyện Toán – Đại số BÀI 3: GIẢI TỐN ẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 3.1 Gợi ý: Gọi x số sách lúc sau Bình, y số sách lúc sau An Ta có: x = 450 − 50 = 400  y 4 =  y = x = 360 x 5 Như ban đầu, An có 310 sách 3.2 Gợi ý: Gọi x chiều dài đáy, y chiều dài chiều cao Điều kiện: x y hai số dương 1  xy = 18  xy = 36 x = y  x = 12 Ta có:      xy − x + y − = 36  xy = 36 y =  ( x + )( y − 1) = 18  3.3 Gợi ý: Gọi t thời gian dự định xe, v vận tốc ban đầu Điều kiện: t v số dương  vt  v  v v t − v + 20 = 1 − v + 20 = t 1 − v + 20 = −1 + v − 10 ( 1) Ta có:     vt − t = −1 + v = 1 − v = ( 2) v − 10 t  v − 10   v + 20 t Xét (1)  v v + =  ( v + 20 )( v − 10 ) = v ( v + 20 ) + v ( v − 10 )  10v = 400  v = 40 v + 20 v − 10 Thay vào ( ) ta t = 3.4 Gợi ý: Gọi a4b số cần tìm Điều kiện:  a , b  9; a , b  a + b = 13 a = a + + b = 17   Ta có:  a − b = b = 100a + 40 + b − ( 100b + 40 + a ) = 99 Vậy số cần tìm 746 60 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư Rèn luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054 Ôn tập Câu  ( x + 1) 21y ( y − 5x ) y − 5x x +1 +y= + =   22 x + y = −7  x = −1   21 21 21 a)     4 x + y = 21 y =  y − 5x + = y + 27 − x  ( y − 5x ) 60 ( y + 27 ) 24 x + = −     12 12 12 12 CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI  3x  x a= x +1 − y + =   3a − 2b = a =  x = −2   x+1 b)  với      y = −3 2a + 5b = b = b =  2x + = y+4   x + y +   3a − 5b = a = 3 x + y − x − y = a = x + y c)  với    7 a + 2b = 32 b =   7 x + y + 2 x − y = 32 b = x − y 4 x + y = 16 x =   2 x − y = y = x + y + z = z = − x − y x =    d)  x + y + z = 17  3 x + y =   y =  x + y + z = 34  z =  4 x + y = 10  Câu 2 x − y = 4 x − y = ( 3m + ) x =   Ta có:  mx + y = 3mx + y = 2 x − y = TH1: 3m + =  m = − Hệ phương trình vơ nghiệm 0.x = TH2: 3m +   m  −  −3m +  Hệ phương trình có nghiệm  ;   3m + 3m +  Câu Gợi ý: tương tự 3.3 ta giải s = 350 km t = 43,75 HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|61 ... luyện Toán – Đại số Gv Lương Anh Nhật – ĐT: 096 8 373 054  a = 2b  a = 2b  a = 2b a = Như vậy, ta có hệ phương trình:     9a − 9b = 27 18b − 9b = 27 9b = 27 b = Các số a b thỏa... = 24  y = ? ?9 − 4x 9+ x = −x − 3 9+ x 9+ x Đặt = t , t   x = 3t −  y = x − = 4t − 3 Vậy cặp số ( x; y ) = ( 3t − 9; 4t − ) , t  nghiệm nguyên phương trình cho b Ta có: 4x + 3y = ? ?9  y = 673... x + + = 12 x d x2 − 3x + = 1.6 So sánh h x2 + 5x = 16 − l 3x2 − 30x + 26 + = a − b − −3 c + b 48 13 − 35 c 31 − 19 − 17 −3 +1 1.7 So sánh a 17 + 26 d − 58 80 − 59 e − 21 + − 1.8 Với giá trị x