Một xe lửa đi từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ ga Trị Bình ra ga Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nh[r]
(1)CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA I CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI 1 Căn bậc hai số học
Căn bậc hai số không âm a số x cho
x2a.
Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a, số âm kí hiệu a.
Số có bậc hai số 0, ta viết 0 .
Với số dương a, số a bậc hai số học a Số bậc hai số học của 0
Với hai số khơng âm a, b, ta có: a < b a b. 2 Căn thức bậc hai
Với A biểu thức đại số, ta gọi A thức bậc hai A. A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị khơng âm.
A nếu A A2 A A neáu A00
DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CĨ NGHĨA Phương pháp:
A có nghĩa A0 A
1
có nghĩa A > f(x)
g(x) có nghĩa g(x)≠ √ f(x)
g(x) có nghĩa f(x)
g(x)≥0 g(x)≠
Chú ý: Nếu yêu cầu tìm TXĐ sau tìm điều kiện x, em biểu diễn dưới dạng tập hợp.
Nếu |f(x)| ≥ a f(x) ≥ a f(x) ≤ -a ( với a>0) Nếu |f(x)| ≤ a -a ≤ f(x) ≤ a ( với a>0)
Bài 1. Với giá trị x thức sau có nghĩa:
a) √−3x b) √4−2x c) 3x2
d) 3x1 e) 9x f) 6x
HD:
(2)b) x ≤ c) x ≤2/3 d) x ≥−1/3 e) x ≥2/9 f) x ≥1/6 .
Bài 2. Với giá trị x thức sau có nghĩa:
a)
x
x−2+√x−2 b)
x x
x2 c)
x x
x2 4 2
d) √
1
3−2x e) x
4
2 3 f) x
2
HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi: {xx−2−2≠≥00=¿{x ≠2
x ≥2 óx2 b) Biểu thức có nghĩa khi: {x+2≠0
x−2≥0=¿{ x ≠−2
x ≥2 =¿x ≥2 c) Biểu thức có nghĩa : {x2−4≠0
x−2≥0=¿{ x ≠±2
x ≥2=¿x>2 d) x
3
e) x
f) Biểu thức có nghĩa khi: x+1<0 ó x 1
Bài 3. Với giá trị x thức sau có nghĩa:
a) x21 b) 4x23 c) 9x2 6x1
d) x22x e) x5 f) 2x21
HD:
a) Biểu thức có nghĩa :x2+1≥ (luôn đúng) Suy ra: x R b)x R c) x R d) x1 e) x5
f) Vì -2x2-1 <0 với x nên khơng có giá trị x để biểu thức có nghĩa
Bài 4. Với giá trị x thức sau có nghĩa:
a) 4 x2 b) x2 16 c) x2 3
d) x2 2x e) x x( 2) f) x2 5x6
HD:
(3)Bài 5. Với giá trị x thức sau có nghĩa:
a) x b) x 3 c) 4 x
d) x x e) x x2
1
9 12 4 f) x x
2
HD:
a) x 1b) x2 x4 c) x 4 d) x1 e) x
f) x1
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng đẳng thức đẳng thức, biến đổi biểu thức trong đưa dạng √A2 áp dụng công thức:
A neáu A A2 A A neáu A00
Bài 1. Thực phép tính sau:
a) 0,8 ( 0,125) b) ( 2) c)
2 2
d)
2
2 3 e)
2 1
2
f)
2
0,1 0,1
Bài 2. Thực phép tính sau:
a)
2
3 2 2 b) 5 6 2 5 6 2
c)
2
2 1 d) 3 22 1 22
e)
2
5 5 f) 1 2 5 2 Bài 3. Thực phép tính sau:
a) 6 6 b) 10 10 c) 3 3 d) 24 5 5 e) 17 12 2 2 f) 2 22 12 2
Bài 4. Thực phép tính sau:
(4)d) 5 13 3 3 13 3 e) 1 3 13 3 1 3 13 3
ĐÁP SỐ Bài 1:
a)-0,8 √(−0,125)2 = -0,8|-0,125|=-0,8.0,125= 0,1
b) 8 c) 2 d) 3 2 e)
1
2 f) 0,1 0,1 Bài 2:
a) √(3−2√2)2+√(3+2√2)2=|3−2√2|+|3+2√2|=(3−2√2)+(3+2√2)=6 b) 4 c) 1 d) 4 e) 2 f) 2 4 Bài3:
a) √(√3+√2)2−√(√3−√2)2=|√3+√2|−|√3−√2|=¿ 2 b) −2√2 Chú ý: √7−2√10=√(√5−√2)2
c) 2√3 Chú ý: √4−2√3=√(√3−1)2
d) 3√5 Chú ý: √24+8√5=√(2+2√5)2 ; √9−4√5=√(√5−2)2 e) Chú ý: √17−12√2=√(3−2√2)2 ; √9+4√2=√(1+2√2)2 . f) 2√2 Chú ý: √6−4√2=√(2−√2)2 ; √22−12√2=√(3√2−2)2 Bài 4:Ta thực từ ngoài:
a) √5−√3−¿2√5−3∨¿
√√5−√3−√29−12√5=√√5−√3−√(2√5−3)2=√¿
√5−¿√5−1∨¿=1
¿√√5−√6−2√5=√√5−√(√5−1)2=√¿ b)
√13+30√2+√9+4√2=√13+30√2+√(2√2+1)2=√13+30√3+2√2=√13+30√(√2+1)2=√13+30|√2+1|=√43+30√2=√(3√2+5)2=¿ 3√2+5 .
c) ( √3−√2¿√(√3+√2)2 = ( √3−√2¿.(√3+√2)=1 . d) √5−√(2√3+1)2
+√3+√(2√3+1)2=√4−2√3+√4+2√3=√(√3−1)2+√(√3+1)2=2√3 e) √2+√3+√2−√3
DẠNG 3: SO SÁNH CĂN BẬC 2 Phương pháp:
(5)- Đưa vào (đưa ) dấu căn.
- Dựa vào tính chất: a>b≥0 √a>√b BÀI TẬP: So sánh:
Bài 1: √22v à√27 ; 11 √121 ; √50 ; √33 ;
Bài 2:
a) b) -3 - c) 21, , 15 , -
d) e) - f) g) \f(,2 h) - \f(,2 - i) - j) - k) \f(,3 \f(3,4
l) \f(1,4 , \f(1,2 , - , , \f(15,5
m) - - n) - o) 28, , 2, 36 q) - r) - p) - 27, 4, 16 , 21
DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng đẳng thức đẳng thức, biến đổi biểu thức trong căn đưa dạng √A2 áp dụng cơng thức:
A nếu A A2 A A neáu A00
Chú ý: Xét trường hợp A ≥ 0, A < để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:
a) x 3 x2 6x9 (x3) b) x24x4 x2 ( 2 x 0)
c)
x x x
x 2
1 ( 1)
d)
x x
x x
x
2 4 4
2 ( 2)
2
Bài 2. * Rút gọn biểu thức sau:
a) A= 4 a4a2 2a b)B=x 2y x2 4xy4y2 c)C=x2 x4 8x216
d)D=
x x
x
x
2 10 25
5
e) E=
x x
x
4
2
4
2
f)F=
x x
x x
2
4 ( 4)
8 16
Bài 3. Cho biểu thức A x22 x21 x2 x21 a) Với giá trị x A có nghĩa?
b) Tính A x 2.
Bài 4. Cho số dương x y z, , thoả điều kiện: xy yz zx 1 Tính:
y z z x x y
A x y z
x y z
2 2 2
2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1 1
(6)ĐÁP SỐ Bài 1:
a) x+3+ √(x−3)2 = x+3+|x-3|=x+3-(x-3)=6 (vì x≤ nên |x-3|=-(x-3) )
b) 2 c) 1 d) 1 x
Bài 2:
a) A=√(1−2a)2 -2a =|1-2a|-2a.
Nếu 1-2a ≥ ó a ≤ 1/2 A=(1-2a)-2a=1-4a Nếu 1-2a<0 ó a>1/2 A=-(1-2a)-2a=-1. b)B=x-2y-|x-2y|: B=0 x≥ 2y; B=2x x<2y. c)C=x2+|x2-4|: C=2x2-4 |x|≥ 2; C=4 |x|≤2. d)D=2x-1- ¿x−5∨x−5¿
¿
: Nếu x>5 D=2x-2; Nếu x<5 D=2x.
e) E= ¿x
−2∨ ¿ x2−2 ¿
; Nếu x2>2 hay |x|> √2 E=1 Nếu x2<2 hay |x|< √2 thì E=-1.
f) F= |x-4| + ¿xx−4∨−4 ¿ ¿
; Nếu x>4 F= x-3; Nếu x<4 F=3-x. Bài 3: a) x1 x1 b) A2
Bài 4: A2 Chú ý: 1y2(xy yz zx )y2(x y y z )( ), z2 y z z x
1 ( )( ), 1x2 (z x x y)( ) Nên A=x(y+z)+z(x+y)+y(x+z)=2(xy+yz+zx)=2.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp:
A2B2 AB;
A A B 0 B00
A hay B A B A B0 ( 0)
B A B
A B2
A A
A B A B0 hay A0B
B
A B A B hay A0 B
A B A B hay A B
A A B 0 B00
Chú ý: √A2
(7)a) (x 3)2 3 x b) 4x2 20x25 2 x5 c) 12 x36x2 5
d) x2 x1 2 e) x x 1 x1 1 f) x x x
2 1
2 16
Bài 2. Giải phương trình sau:
a) 2x5 1 x b) x2 x 3 x c) 2x2 3 4x
d) 2x1 x1 e) x2 x x f) x2 x 3x
Bài 3. Giải phương trình sau:
a) x2x x b) 1 x2 x c) x2 4x3 x
d) x21 x2 1 e) x2 4 x 2 f) 2 x2 x
Bài 4. Giải phương trình sau:
a) x2 2x 1 x2 b) 4x2 4x 1 x c) x4 2x2 1 x
d) x x x
2
4
e) x4 8x216 2 x f) 9x26x 1 11 2 Bài 5. Giải phương trình sau:
a) 3x 1 x b) x2 x c) 9x2 12x4 x2
d) x2 4x4 4x2 12x9 Bài 6. Giải phương trình sau:
a) x2 1 x 1 b) x2 8x16 x2 0 c) 1 x2 x 1
d) x2 4 x24x4 0
ĐÁP SỐ Bài 1:
a) x3 b) x
c) x x 1;
3
d) x2 e) x2 f) x
Bài 2: a) x
4
b) x c) x2 d) vô nghiệm e) x3 f) vô nghiệm Bài 3:
a) x0 b) x 1 c) vô nghiệm d) x1;x e) x2 f) vô nghiệm Bài 4:
a) x1;x2 b) vô nghiệm c) x1 d) vô nghiệm e) x2;x3;x1
f) x x
2 2;
3
(8)Bài 5: a) x x
1 0;
2
b) x 3;x 1; x 1 c) x x 1;
2
d) x x 1;
3
Bài 6:
a) x1 b) vô nghiệm c) x1 d) x2
II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA Phương pháp:
Khai phương tích: A B A B A ( 0,B0) Nhân bậc hai: A B A B A ( 0,B0)
Khai phương thương:
A A A B
B B ( 0, 0)
Chia hai bậc hai:
A A A B
B
B ( 0, 0)
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài 1. Thực phép tính sau:
a) 12 27 75 48 b) 3( 27 48 75) c)
2
2 2
d) 1 3 1 3 2 e)
2 3 5 3
f)
2 11 11 Bài 2. Thực phép tính sau:
a) 2 3 2 b) 21 12 3
c) 6 2 2 2 d) 4 15 10 4 15
e) 13 160 53 90 f) 2 2 12 18 128
Bài 3. Thực phép tính sau:
a) 5 125 80 605 b) 15 216 33 12 6 c)
(9)d) 2 3 6 2 e) 3 5 3 f)
3
2 1 1
Bài 4. Thực phép tính sau:
a)
10 10
5
b)
2 12 27
18 48 30 162
c)
2 3
2 3
d)
3 5
10
e)
1
2 2 2 2 f)
22 5
Bài 5. Thực phép tính sau:
a) A 12 7 12 7 b) B 4 10 5 4 10 5
c) C 3 3
ĐÁP SỐ Bài 1:
a) 13 b) 36 c) 11 6 d) 2 3 e) 10 f) 2 √11−4 Bài 2:
Chú ý:
2
4 3
2
2 2
a) b) 3 c) 2 d) 2 e) 4 f) 1
Bài 3:
a) 4 b) c) 0 d) 2 e) 10 f) 14
Bài 4:
a) –2 b)
c) 4 d) 1
Bài 5:
Chứng tỏ A0,B0,C0 Tính A B C2, ,2 2 A 6; B 1 , C 10
DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1. Rút gọn biểu thức:
a)
15 35 14
b)
10 15 12
c)
2 15 10 10
d)
2 16
2
e)
x xy y xy
f)
a a b b b a ab
(10)Bài 2. Rút gọn biểu thức sau:
a)
x x y y x y
x y
2
b)
x x x
x x
2 1 ( 0)
2
c)
y y
x x y y
y x
2
2
1 ( 1, 1, 0)
1 ( 1)
Bài 3. Rút gọn tính:
a)
a b
b a
1:
1
với a7,25;b3,25b) 15a2 15 16a với a
3
5
c) 10a2 10 4a với a
2
5
d) a22 a21 a2 a21với a ĐÁP SỐ Bài 1: a) b) c) 2
d) 1 2 Tách 16 4
e) x y f) a b ab Bài2:
a) xy b) x x
1
c) x
1
1 0y1 x
1
y1
Bài 3: a) a b
1 5;
b) 4 c) 5 d) 2
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Giải phương trình sau:
a)
x x
2 3 2 b) x x
2 3 2
c) 4x2 2 x3
d)
x x
x
9 7 5
7
e)
x
x x
4 20 45
9
ĐS: a) x
b) vô nghiệm c) x x 3;
2
(11)Bài 1. So sánh số:
a) 7 b) 8 7 c) 2005 2007 2006
Bài 2. Cho số không âm a, b, c Chứng minh: a)
a b ab
b) a b a b c) a b a b
1
d) a b c ab bc ca e)
a b a b
2
Bài 3. Tìm giá trị lớn biểu thức sau:
a) A x 2 4 x b) B 6 x x2 c) C x 2 x
ĐÁP SỐ Bài 1:
Bài 2: Bài 3:
a) A 2 x3 b) B 4 x2 c) C 2 x1
III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Với A ≥ B ≥ A B A B2 + Với A < B ≥ A B2 A B Với A ≥ B ≥ A B A B2 + Với A < B ≥ A B A B2
Với A.B ≥ B
A AB
B B + Với B >
A A B B B
Với A ≥ A B 2
C C A B
A B A B2
( )
Với A ≥ 0, B ≥ A B
C C A B
A B
A B
( )
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài 1. Thực phép tính sau:
(12)c)
27 48 75
4 16 d)
9 49 25
3
8 18
e)
5 5
1
1 5
f)
1
3 3 Bài 2. Thực phép tính sau:
a)
7
2 7 4 7
b)
2
6 2 2
c)
1
3 2 3 2 d)
6 :
1 5
e)
1 1
12
3 2 f)
2 3 13 48
ĐÁP SỐ: Bài 1:
a) 5 b) 22 c)
6 d)
5 12
e) 4 f) 2 Bài 2:
a)
32 20 b) 17 6 c) 30
6 d) 3 e)
2 f) 1
DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp: Đơn giản biểu thức thay số.
Bài 1. Rút gọn tính giá trị biểu thức:
a) x A x 11
, x23 12 3 b)
a B
a a a
2
1
2(1 ) 2(1 )
, a
c) a a C a a 4 12 27
, a 3 d) D
h h h h
1
2
, h3
e) x x E x x 2
2
4
, x2( 1) f)
F a
a a2
3 1 : 1
(13)ĐS: a) A x 3 b) B
a a2
1
7
c)
a C
a
2 69
d)
h D
h
2 1 2
e)
E x
1
2
f) F 1 a 1 DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải phương trình sau:
a) x1 4x 4 25x 25 0 b)
x
x x
1 1 9 9 24 17
2 64
c) 9x218 2 x22 25x250 0 d) 2x x 2 6x212x7 0
e) (x1)(x4) 3 x25x2 6
ĐS: a) x2 b) 290 c) vô nghiệm d) x 1 2 e) x2;x7
DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1. Cho biểu thức: Sn( 1) n( 1) n (với n nguyên dương) a) Tính S S2; 3.
b) Chứng minh rằng: Với m, n nguyên dương m n , ta có: Sm n S Sm n Sm n
c) Tính S4.
Bài 2. Cho biểu thức: Sn( 3 2)n( 3 2)n (với n nguyên dương).
a) Chứng minh rằng: S2nSn2 b) Tính S S2,
Bài 3. Cho biểu thức: Sn(2 3)n(2 3)n (với n nguyên dương) a) Chứng minh rằng: S3n3Sn Sn3 b) Tính S S3,
ĐÁP SỐ: Bài 1:
a) S26;S310 b) Chứng minh Sm n Sm n S Sm n c) S4 34
Bài 2:
(14)a) Sử dụng đẳng thức a3b3(a b )3 (ab a b ) Chứng minh S3n Sn3 3Sn. b) S14; S361; S9 226798.
IV RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, khử ở mẫu trục thức mẫu để làm xuất thức bậc hai có biểu thức dưới dấu căn.
Trong tất toán rút gọn, chưa cho điều kiện x em phải tìm điều kiện trước thực rút gọn.
Chú ý: Sau rút gọn biểu thức A, ta thường có câu hỏi kèm sau:
1 Tính giá trị A x= x0: Thông thường em phải biến đổi x0 thay vào A. 2 Tìm x để A=a; A>a; A<a: Với toán này, ta cho A=a ; A<a……rồi tìm x, em ý
phải so sánh x với điều kiện trước kết luận. 3 Tìm GTLN, GTNN:
4 Chứng minh A>a; A<a ( so sánh A với a): Các em biến đổi tương đương để đưa biểu thức đúng.
5 Tìm x nguyên để A nguyên:
Bài 1.Cho biểu thức:
x x x
A
x
x x
1 2
4
2
.
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A2.
ĐS: a) x0,x4 b)
x A
x
2
c) x16
Bài 2.Cho biểu thức:
x x x
A
x x x
2
2 .(1 )
1 2 1
.
a) Rút gọn A x0,x1.b) Tìm x để A dương c) Tìm giá trị lớn A
ĐS: a) A x x b) 0x1 c) A khi x
1
max
4
.
Bài 3.Cho biểu thức:
x x x
A
x x x x
2
5
.
a) Rút gọn A b) Tìm x để A1.
ĐS: a)
x A
x
b) 0x9;x4.
Bài 4.Cho biểu thức:
a a a a a a
A a
a a a a a a a
1 1 1
1
.
(15)ĐS: a)
a a
A
a 2 2
b) a a 4;
4
c) a0,a1.
Bài 5.Cho biểu thức:
x x x
A
x x x x
15 11 2
2 3
.
a) Rút gọn A b) Tìm x để A
1 ĐS: a) x A x
b) x
1 121
.
Bài 6.Cho biểu thức:
x x x x
A
x x x x x
3 2
1 :
1
.
a) Rút gọn A b) Tìm x để A0.
ĐS: a) x A x
b) 0 x 4.
Bài 7.Cho biểu thức:
a a a a
A
a a a
2 2 1 .
a) Rút gọn A b) Tìm a để A2. c) Tìm giá trị nhỏ A.
ĐS: a) A a a b) a4 c) A khi a
1
min
4
.
Bài 8.Cho biểu thức:
a a a
A
a a a
2
1 1
2 2 1 1
.
a) Rút gọn A b) Tìm a để A0. c) Tìm a để A2.
ĐS: a) a A a 1
b) a1 c) a 3 2.
Bài 9.Cho biểu thức:
a a a a a a a a
A
a a a a
2
1
1 1 2 1
.
a) Rút gọn A b) Tìm a để
A
1
. c) Chứng minh A
2
ĐS:
Bài 10. Cho biểu thức:
x x x x x
A
x x x x x
5 1 : 25
25 2 15 5 3
.
a) Rút gọn A b) Tìm x để A1.
ĐS: a) A x
(16)Bài 11. Cho biểu thức:
a a
A
a a a a
1 :
1
.
a) Rút gọn A b) Tìm a để A
1 ĐS: a) a A a
b) a16.
Bài 12. Cho biểu thức:
x x x
A
x x x2 x x
1 :
1 1 1
.
a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x 3 c) Tìm x để A
ĐS: a) 1
4
x x
b) x2 c)
x ; x 5
.
Bài 13. Cho biểu thức:
y xy x y x y
B x
x y : xy y xy x xy
.
a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x3,y 4
ĐS: a) B y x b) B1.
Bài 14. Cho biểu thức:
x x x
B
xy y x x xy y x
3 2 1
2 2
.
a) Rút gọn B b) Tìm tất số nguyên dương x để y625 B0,2
ĐS: a) x B
y
b) x2;3;4 .
Bài 15. Cho biểu thức:
x y x x y y B
x y
x y x y x y xy
3
3
1 . 1 :
.
a) Rút gọn B b) Cho x y 16 Xác định x, y để B có giá trị nhỏ
ĐS:
Bài 16. Cho biểu thức:
ab ab a b
B
a b a a b b a b a a b b a ab b
1 . :
a) Rút gọn B b) Tính B a16, b4.
ĐS:
Bài 17. Cho biểu thức:
x y xy
x y
x y B
y x
x y x y
2 3 : .
a) Rút gọn B b) Chứng minh B0.
(17)Bài 18. Cho biểu thức:
a ab a a ab a
B
ab ab ab ab
1 1 : 1
1 1
.
a) Rút gọn B b) Tính giá trị B a 2 3 b
3 1
.
c) Tìm giá trị nhỏ B a b 4. ĐS:
V CĂN BẬC BA
Căn bậc ba số a số x cho x3a. Mọi số a có bậc ba.
A B 3A 3B 3A B 3 A B.3 Với B ta có:
A A
B B
3
3
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Phương pháp: Áp dụng công thức: 3a a; a a
3
đẳng thức: (a b )3a33a b2 3ab2b3, (a b )3a3 3a b2 3ab2 b3 a3b3(a b a )( 2 ab b 2), a3 b3(a b a )( 2ab b 2)
Bài 1. Thực phép tính sau:
a) 3( 1)(3 2) b) 3(4 3)( 1) c) 364 31253216
d)
3
34 1 34 1
e) 39 3634 3332 Bài 2. Thực phép tính sau:
a) A32 32 b) B39 5 39 5
c) C (2 3) 26 15 33 d) D
33 9 125 3 9 125
27 27
ĐÁP SỐ: Bài 1:
(18)a) A1 Chú ý:
3 5
2
b) B3 Chú ý:
3
2
c) C1 Chú ý: 26 15 (2 3)3
d) D1 Đặt
a 33 9 125
27
,
b 3 9 125
27
a3 b3 6,ab
Tính D3.
DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1. Chứng minh rằng, nếu: ax3by3cz3 x y z
1 1 1
thì 3ax2by2cz2 3a3b3c
Bài 2. Chứng minh đẳng thức:
x y z 33xyz 3x 3y 3z x 3y 3y 3z 3z 3x
2
ĐÁP SỐ: Bài 1:
Đặt ax by cz t
3 3
t t t
a b c
x3, y3, z3
Chứng tỏ VT VP 3t
Bài 2: Khai triển rút gọn ta vế trái
DẠNG 3: SO SÁNH HAI SỐ
Phương pháp: A B 3A3B Bài 1. So sánh:
a) A2 33 B323 b) A33 B3 1333 c) A5 63 B6 53 ĐS: a) A B b) A B c) A B
Bài 2. So sánh:
(19)ĐS: a) A B Chú ý:
20 14 2 2 .
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp: 3A B A B Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 32x 1 b) 32 3 x 2 c) 3x 1 x
d) 3x 9x2 x e) 35x x 5
ĐS: a) x13 b) x 10
3
c) x0;x1;x2 d) x1 e) x5;x4;x6 Bài 2. Giải phương trình sau:
a) 3x 2 x 1 b) 313 x322x 5 c) 3x 1 x
ĐS: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa hệ phương trình. a) x3 b) x14;x5 c) x7
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:
a) 20 45 18 72 b) ( 28 3 7) 7 84
c)
2
6 120 d)
1 2 200 :1
2 2
Bài 2. Rút gọn biểu thức sau:
a)
1
5 3 5 b)
4
c)
1 2
2 3 3 Bài 3. Chứng minh đẳng thức sau:
a)
2
2 2 2 9 b) 2 3 2
c)
2
4 8
2 5
d) 11 2 11 6
Bài 4. So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
(20)Bài 5. Cho biểu thức:
x x x
A
x x x2
2 11
3 9
với x3.
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 6. Cho biểu thức:
x x x x x
A
x x x x
2
1 . 2003
1 1
.
a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài 7. Tìm giá trị lớn biểu thức:
A
x x
1
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A 6 x9x2 9x212x4
Bài 9. Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
x A
x
Bài 10. Cho biểu thức:
x x x
Q
x
x x x
2 .
1
2
.
a) Rút gọn Q b) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên
Bài 11. Cho biểu thức
a M
a a a a a
1 :
1
với a0,a1
a) Rút gọn biểu thức M b) So sánh giá trị M với
Bài 12. Cho biểu thức
x x
P
x x x x x x
1 2
1 2
.
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị P với x 3 2.
Bài 13. Cho biểu thức:
x x x
B x
x x x
x
3
2 .
1 1
với x0 x1.
a) Rút gọn B b) Tìm x để B =
Bài 14. Cho biểu thức:
x y x x y y A
x y
x y x y x y xy
3
3
1 . 1 :
với x0,y0 a) Rút gọn A
(21)Bài 15. Cho biểu thức:
x P
x x x
1
.
a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P
x
ĐÁP SỐ: Bài 1:
a) 15 2 b) 21 c) 11 d) 54
Bài 2:
a) b)
2 c)
3
3
Bài 3:
Biến đổi VT thành VP. Bài 4:
a) 2 3 10 b) 2003 2005 2004 c) Bài 5:
a)
x A
x
3
b) 6x3;x3 c) x { 6; 0; 2; 4; 6; 12} . Bài 6:
a) x0;x1 b) x A
x 2003
c) x { 2003;2003}. Bài 7:
A max
3
x
. Bài 8:
Sử dụng tính chất a b a b, dấu "=" xảy ab0 A khi x
1
min
3
. Bài 9:
x{49;25;1;16;4} Chú ý: A x
4
3
Để A Z x Z x 3 ước 4. Bài 10:
a) Q x
1
b) x{2;3}.
Bài 11:
a)
a M
a a
1 1
(22)a) x1;x2;x3 b)
x P
x 2
c) P 1 . Bài 13:
a) B x b) x16. Bài 14:
a)
x y
xy
b) minA 1 x y 4
Bài 15: a)
x P
x 1
b) P 3 2.
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT I KHÁI NIỆM HÀM SỐ 1 Khái niệm hàm số
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x, ta luôn xác định giá trị tương ứng y y hàm số x, x biến số.
Ta viết: y f x y g x ( ), ( ),
Giá trị f x( ) x0 kí hiệu f x( )0 .
Tập xác định D hàm số y f x ( ) tập hợp giá trị x cho f x( ) có nghĩa. Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị khơng đổi hàm số y hàm hằng.
2 Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y f x ( ) tập hợp tất điểm M x y( ; ) mặt phẳng toạ độ Oxy cho x, y thoả mãn hệ thức y f x ( ).
3 Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y f x ( ) xác định tập R.
a) y f x ( ) đồng biến R Û (x x1 2, R x: 1x2 f x( )1 f x( )2 ) b) y f x ( ) nghịch biến R (x x1 2, R x: 1x2 f x( )1 f x( )2 )
Bài 1. Cho hai hàm số f x( )x2 g x( ) 3 x
a) Tính f f f g g g
1
( 3), , (0), (1), (2), (3)
. b) Xác định a để 2 ( )f a g a( ).
ĐS: b) a a 1;
2
(23)Bài 2. Cho hàm số
x f x
x ( )
1
.
a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính f4 3 f a( )2 với a 1.
c) Tìm x nguyên để f x( ) số nguyên d) Tìm x cho f x( )f x( )2
ĐS: a) x0,x1 b) f4 3 3 3 ,
a f a
a
2
( )
1
c) x{0;4;9} d) x0
Bài 3. Cho hàm số
x x
f x
x x
1
( )
1
.
a) Tìm tập xác định D của hàm số b) Chứng minh f x( ) f x( ), x D
ĐS: a) D R \ {0}
Bài 4. Tìm tập xác định hàm số sau:
a) y x 3 2x2 x b)
x y
x x
1 ( 1)( 3)
c) y x2 x
1
2
d)
x y
x
3
2
e) y x 5 x3 f) y x2 2 x ĐS: a) x R b) x1;x3 c) x R d) x1;x2 e) x5 f) x 2
Bài 5. Chứng tỏ hàm số y f x ( )x2 4x3 nghịch biến khoảng ( ;2) đồng biến khoảng (2;)
HD: Xét f x( )1 f x( )2 .
Bài 6. Chứng tỏ hàm số y f x ( )x3 luôn đồng biến
HD: Xét f x( )1 f x( )2 .
Bài 7. Chứng tỏ hàm số
x y f x
x ( )
2
nghịch biến khoảng xác định nó. HD: Xét f x( )1 f x( )2 .
Bài 8. Chứng tỏ hàm số y f x ( ) 3 x2 2 x nghịch biến khoảng xác định
HD: y f x ( ) 2 x1 Xét f x( )1 f x( )2 .
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y f x ( ) x3x2 x6 đoạn [0;2]
HD: Xét f x( )1 f x( )2 Chứng tỏ hàm số ln nghịch biến R Þf(2)f x( )f(0)
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số
x y f x
x ( )
1
(24) f( 3) f x( )f( 2)
Bài 11. Vẽ đồ thị hai hàm số y x y x
2 ; 1
3
hệ trục toạ độ Có nhận xét hai đồ thị
HD: Hai đồ thị song song với nhau, cách đơn vị. Bài 12. Cho hàm số y f x ( ) x
a) Chứng minh hàm số đồng biến
b) Trong điểm A(4;2), (2;1), (9;3), (8;2 2)B C D , điểm thuộc điểm không thuộc đồ thị hàm số
HD: a, Xét f x( )1 f x( )2
b, Các điểm thuộc đồ thị là: A; C; D.
II HÀM SỐ BẬC NHẤT 1 Khái niệm hàm số bậc nhất
Hàm số bậc hàm số cho công thức y ax b với a0. 2 Tính chất
Hàm số bậc y ax b xác định với x thuộc R có tính chất sau: a) Đồng biến R a0 b) Nghịch biến R a0. 3 Đồ thị
Đồ thị hàm số y ax b (a0) đường thẳng: – Cắt trục tung điểm có tung độ b.
– Song song với đường thẳng y ax b0; trùng với đường thẳng y ax b0. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b (a0):
– Khi b0 y ax Đồ thị hàm số y ax đường thẳng qua gốc toạ độ O(0; 0) và điểm A a(1; ).
– Nếu b0 đồ thị y ax b đường thẳng qua điểm A b(0; ), b B
a;0
. 4 Đường thẳng song song đường thẳng cắt nhau
Cho hai đường thẳng ( ) :d y ax b ( ) :d y a x b (aa 0):
a a
d d b b
( ) ( )
P
a a
d d b b
( ) ( )
(d) cắt (dÂ) a ạ a ( ) ( )d d a a 1
(25) Gọi a góc tạo đường thẳng y ax b a ( 0) với tia Ox: + a 900 a > 0 + a >900 a < 0.
Các đường thẳng có hệ số góc tạo với trục Ox góc nhau. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm A(x1;y1) B(x2; y2) là:
k= y2−y1
x2−x1
Dạng 1: Kiểm tra đồ thị hàm số có phải hàm số bậc khơng? đồng biến hay nghịch biến?
-Đồ thị y=ax+b bậc a ≠ 0, đồng biến a >0; nghịch biến a<0
Bài 1. Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc nhất? Với hàm số bậc nhất, cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến?
a) y 5 2x b) y x 1 c) y2(x1) 2 x
d) y3(x 1) x e) y x
2
f) y x x
1
ĐS:
Các hàm số bậc là:a,b,d, e,
Với: a, nghịch biến b, đồng biến d, đồng biến e, nghịch biến Bài 2. Cho hàm số y3 2x2
a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến R?
b) Tính giá trị tương ứng y x nhận giá trị sau: 0; 1; 3 2; 3 c) Tính giá trị tương ứng x y nhận giá trị sau: 0; 1; 5 2; 5
ĐS: a, Đồng biến
b, y={2; 5- √2 ; 9; 13-6 √2 ;}
Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm hai đồ thị.
1. Để vẽ đồ thị hàm số, ta tìm hai điểm mà đồ thị hàm số qua nối chúng lại ( thường tìm giao với hai trục tọa độ).
Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. a) Vẽ đồ thị hàm số y=|f(x)|:
Cách 1: Dùng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối vẽ. Cách 2:
- Vẽ đồ hàm số y=f(x)
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trục Ox y=f(x) (P1).
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía trục Ox y=f(x) lên phía Ox ta P2. - Đồ thị y=|f(x)| P1 P2.
b) Vẽ đồ thị hàm số y=f(|x|): - Vẽ đồ hàm số y=f(x)
(26)2. Để tìm giao điểm đồ thị hàm số y=f(x) với y=g(x) Ta xét phương trình hồnh độ giao điểm : f(x)=g(x), tìm x0 tính y0=f(x0) suy giao điểm A(x0;y0).
Dạng 3: Các dạng lập phương trình đường thẳng
a) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A( x1, y1¿ ; B( x2, y2¿ Cách 1: Phương trình đường thẳng là: x−x1
x2−x1
= y−y1 y2−y1 Cách 2: giả sử phương trình đường thẳng y=a.x+b (1)
- Thay tọa độ A( x1, y1¿ ; B( x2, y2¿ vào (1) ta hệ phương trình ta được:
{y1=a x1+b
y2=a x2+b từ hệ phương trình tìm a,b thay vào (1) ta phương trình đường thẳng.
b) Lập phương trình đường thẳng qua A( x1, y1¿ có hệ số góc k
- Phương trình đường thẳng là: y=k(x- x1¿+y1
c) Lập phương trình đường thẳng qua A( x1, y1¿ song song với y=a.x+b
- Phương trình đường thẳng có dạng: y=a.x+c ( với c chưa biết) thay tọa độ điểm A( x1, y1¿ vào đường thẳng ta : y1=a x1+c , từ tính c.
d) Lập phương trình đường thẳng qua A( x1, y1¿ vng góc với y=a.x+b
- Phương trình đường thẳng có dạng: y= −1a .x+c ( với c chưa biết) thay tọa độ điểm A( x1, y1¿ vào đường thẳng ta : y1=−1
a x1+c , từ tính c. Dạng 4: Khoảng cách
- Khoảng cách từ điểm A( x1, y1¿ đến đường thẳng ax+by+c=0 là: d= │ a x1+b y1+c │
√a2 +b2
- Khoảng cách điểm A( x1, y1¿ B( x2, y2¿ là: AB= √(x2−x1)2+(y2−y1)2 - Tọa độ trung điểm AB I( x2+x1
2 ; y2+y1
2 )
Dạng 5: Phương pháp chung chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến: - Giả sử x1<x2 , tính f(x2)−f(x1)
x2−x1 - Nếu f(x2)−f(x1)
x2−x1 >0 , hàm số đồng biến - Nếu f(x2)−f(x1)
x2−x1 <0 , hàm số nghịch biến
Chú ý: Hàm số y=ax+b đồng biến a>0, nghịch biến a<0
Dạng 6: Tìm điểm cố định y=f(x,m)(chứng minh đồ thị qua điểm cố định): Phương pháp: Đưa phương trình y=f(x,m) dạng:
f(x,m)-y=0 <=> m.f(x)+g(x,y)=0
- Gọi I(x,y) điểm cố định, suy { f(x)=0 g(x , y)=0≤¿{
x=?
(27)Dạng 7: Chứng minh điểm tọa độ không thẳng hàng(thẳng hàng)
Phương pháp: viết phương trình đường thẳng qua điểm, thay tọa độ điểm thứ vào, nếu thỏa mãn điểm thẳng hàng, khơng thỏa mãn điểm khơng thẳng hàng.
Dạng 8: Tìm m để đường thẳng đồng quy:
Phương pháp: tìm giao điểm đường thẳng( đường thẳng khơng chứa m) để đường thẳng đồng quy giao điểm thay vào đường thẳng số 3, từ tìm m;
Dạng 9: Tìm a để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ nhất: Dạng 10: Tìm a để đồ thị cắt hai trục tọa độ A B cho diện tích tam giác OAB=S. Bài 3. Cho hàm số y x d y ( ),1 2 ( ),x d2 yx3 ( )d3
a) Vẽ hệ trục đồ thị ( ),( ),( )d1 d2 d3 .
b) Đường thẳng ( )d3 cắt đường thẳng ( ),( )d1 d2 A B Tính toạ độ điểm A, B diện tích tam giác OAB
ĐS: b) A B SOAB
3 3; , (1;2), 0,75 2
.
Bài 4. Cho hàm số y(a 1)x a
a) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm A( 1;1) với giá trị a
b) Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Vẽ đồ thị hàm số trường hợp
c) Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ –2 Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng
ĐS: a) Thay A(-1;1) vào đồ thị b) a3 c) a2. Bài 5. Vẽ đồ thị hàm số:
a) yx b) y2x1 c) y x 1
Bài 6. Cho hàm số y x 1 2 x a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 2 x m
ĐS: b) m < 1: vô nghiệm; m = 1: nghiệm; m > 1: nghiệm.
Bài 7. Tìm cặp đường thẳng song song cặp đường thẳng cắt số đường thẳng sau:
a) y 3x b) y 2 x c) y0,3x
d) y0,3x e) y 3 3x f) yx3
ĐS: a // e; c // d; b // f.
Bài 8. Cho hàm số y mx Xác định m trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y3x
b) Khi x 1 y
(28)Bài 9. Xác định hàm số y ax b , biết đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hồnh điểm có hồnh độ –3
ĐS: y x 5
.
Bài 10. Cho đường thẳng y(a1)x a
a) Xác định a để đường thẳng qua gốc toạ độ
b) Xác định a để đường thẳng song song với đường thẳng y 1 x4
ĐS: a) a0 b) a 3.
Bài 11. Xác định hàm số trường hợp sau, biết đồ thị đường thẳng qua gốc toạ độ và:
a) Đi qua điểm A(2;4) b) Có hệ số góc a 2.
c) Song song với đường thẳng y5x
ĐS: a) y2x b) y 2x c) y5x. Bài 12. Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ và:
a) qua điểm A(–3; 1) b) có hệ số góc –2
c) song song với đường thẳng y2x
ĐS: a) y x
b) y2x c) y2x Bài 13. Viết phương trình đường thẳng qua điểm B(–1; –4) và:
a) có hệ số góc
1 2.
b) song song với đường thẳng y3x1 c) có hệ số góc k cho trước
ĐS: a) y x
1
2
b) y3x c) y k x ( 1) 4 . Bài 14. Cho hàm số y mx 3m
a) Định m để đồ thị hàm số qua gốc toạ độ
b) Tìm toạ độ điểm mà đường thẳng qua với m
ĐS: a) m
b) A( 3; 1) . Bài 15. Cho điểm A(1; –2), B(–4; 3)
a) Tìm hệ số góc đường thẳng AB b) Lập phương trình đường thẳng AB
ĐS: a) k1 b) yx 1.
(29)b) Tìm giao điểm (d1) (d2)
c) Tìm M để (d3) : (m-1)x+(m-2) y + m+1 = đồng quy với (d1) (d2)
Bài 17. Cho hai đường thẳng (d1) : y = (
3m
2 −1 )x + – 2n (d2) : y = (m+2)x +n –
Tìm m , n để (d1)//(d2) ; (d1) ¿ (d2)
Bài 18. Cho hai đường thẳng (d1) : y = (k+1)x +3 (d2) : y = (3- 2k)x + Tìm k để (d1)//(d2) , (d1) cắt (d2) , (d1) cắt (d2)
Bài 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;5) ; B(-1;-1) C(4;9) a) Viết pt đường thẳng BC suy ba điểm A,B,C thẳng hàng
b) Chứng minh ba đường thẳng BC ; 3x- y -1= x-2y +8 = đồng quy
Bài 20. Cho đường thẳng (d1) : y = mx – (d2) : y = 2mx +1 – m
a) Vẽ hệ trục toạ độ (d1) (d2) với m = Tìm toạ độ giao điểm B chúng? b) Viết pt đường thẳng qua O ¿ với (d1) A Xác định toạ độ điểm A tính diện tích
tam giác AOB
c) Chứng tỏ (d1) (d2) qua điểm cố định Tìm điểm cố định
Bài 21. Cho hai đường thẳng (d) : mx – y =2 (d’) : (2 – m)x + y = m a) Tìm giao điểm (d) (d’) với m =
b) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố đinh B (d’) qua điểm cố định C
c) Tìm m để giao điểm A hai đường thẳng thoả mãn điều kiện góc BAC vng
Bài 22. Cho hàm số : y= (m-2)x+n (d) Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4)
b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- √2 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
bằng 2+ √2
c) Cắt đường thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đường thẳng 3x+2y=1
Bài 23. Cho đường thẳng (d) y=
3 4x−3
a)Vẽ (d)
b)Tính diện tích tam giác tạo thành (d) hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 24. Với giá trị m hai đường thẳng : (d) y=(m−1)x+2 (d') y=3x−1
a) Song song với c) Cắt c) Vng góc với
Bài 25. Tìm giá trị a để ba đường thẳng : ( )d y1 2x (d y2) x ( )d y3 a x 12
(30)Bài 26. Cho A(2;-1); B(-3;-2)
1 Tìm phương trình đường thẳng qua A B
2 Tìm phương trình đường thẳng qua C(3;0) song song với AB
Bài 27. Cho hàm số y = (m – 2)x + m +
1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy
Bài 28. Cho hàm số y = (m – 1)x + m +
1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m
4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích (đvdt)
Bài 29. Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB
2) Tìm giá trị m để đt y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đt AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
Bài 30. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ x = 1 . Bài 31. Cho hàm số y = f(x) =
2
1 x
1) Với giá trị x hàm số nhận giá trị : ; ;
-1 9; 2.
2) A B hai điểm đồ thị hàm số có hồnh độ -2 Viết pt đường thẳng qua A B
Bài 32. Cho hàm số : y = x + m (D)Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A(1; 2003)
b) Song song với đường thẳng x – y + = c)Tiếp xúc với parabol y = -
2
1 x .
Bài 33. a)Tìm giá trị a , b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm
A( ; - ) B (
(31)b)Với giá trị m đồ thị hàm số y = mx + ; y = 3x –7 đồ thị hàm số xác định câu ( a ) đồng quy
Bài 34. Cho hàm số y = ( m –2 ) x + m +
a) Tìm điều kiệm m để hàm số ln nghịch biến
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hành độ
c) Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + ; y = 2x –1và y = (m – )x + m + đồng quy
Bài 35. Cho hai đường thẳng y = 2x + m – y = x + 2m a) Tìm giao điểm hai đường thẳng nói b) Tìm tập hợp giao điểm
Bài 36. Cho hàm số : y = ( 2m + )x – m + (1)
a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; )
b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua với giá trị m
Bài 37. Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( ; 0) đường thẳng x – 2y = -
a) Vẽ đồ thị đường thẳng Gọi giao điểm đường thẳng với trục tung trục
hoành B E
b) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng x – 2y = -2
c) Tìm toạ độ giao điểm C hai đường thẳng Chứng minh EO EA = EB
EC tính diện tích tứ giác OACB
Bài 38. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)
a) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; ) b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -
Bài 39. Cho đường thẳng d có phương trình y=ax+b Biết đường thẳng d cắt trục hồnh điểm có hồnh song song với đường thẳng y=-2x+2003
a Tìm a vầ b b Tìm toạ độ điểm chung (nếu có) d parabol y=
−1
2 x
2
Bài 40. Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)
a) Xác định giá trị m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 2004 b) Với giá trị m góc tạo đường thẳng (d) với tia Ox góc tù?
Bài 41. Với giá trị k, đường thẳng y = kx + 1: a) Đi qua điểm A(-1; 2) ?
b) Song song với đường thẳng y = 5x?
(32)a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ Oxy
b) Đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục Oy điểm có tung độ 6, cắt đồ thị A B Tìm tọa độ điểm A B Tính chu vi diện tích tam giác OAB
ĐS: b) A(6;6), (2;6)B ; AB4,OA6 2,OB2 10. Bài 2. Cho hai hàm số y2x
1
y x
a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ Oxy
b) Qua điểm (0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox, cắt đồ thị A B Chứng minh tam giác AOB tam giác vng tính diện tích tam giác
ĐS:
Bài 3. Cho hàm số: y(m4)x m 6 (d)
a) Tìm giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến
b) Tìm giá trị m, biết đường thẳng (d) qua điểm A(–1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm m
c) Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) ln ln qua điểm cố định
ĐS: b) m0 c) (1;10).
Bài 4. Cho hàm số: y(3 –2) –2m x m
a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ b) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ
c) Xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị ứng với giá trị m tìm câu a, câu b
ĐS:
Bài 5. Cho ba đường thẳng ( ) :d1 yx1, ( ) :d2 y x 1 ( ) :d3 y1 a) Vẽ ba đường thẳng cho hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 A, giao điểm đường thẳng ( )d3 với hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 theo thứ tự B C Tìm tọa độ điểm A, B, C
c) Tam giác ABC tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC
ĐS:
Bài 6. Cho hàm số sau: ( ) :d1 yx 5;
1 ( ) :
4
d y x
; ( ) :d3 y4x.
a) Vẽ đồ thị hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm đường thẳng ( )d1 với đường thẳng ( )d2 ( )d3 A B Tìm tọa độ điểm A, B
c) Tam giác AOB tam giác gì? Vì sao? Tính diện tích tam giác AOB
ĐS:
Bài 7. Cho hàm số: ( ) :d1 y2x2,
1
( ) :
2
d y x
a) Vẽ đồ thị hai hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy
(33)trục Ox B, giao điểm đường thẳng ( ), ( )d1 d2 C Tam giác ABC tam giác gì? Tìm
tọa độ điểm A, B, C
c) Tính diện tích tam giác ABC
ĐS:
Bài 8. Cho hai đường thẳng: ( ) :d1 y x 3 ( ) :d2 y3x7 a) Vẽ đồ thị hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm đường thẳng ( )d1 ( )d2 với trục Oy A B Tìm tọa độ trung
điểm I đoạn AB
c) Gọi J giao điểm hai đường thẳng ( )d1 ( )d2 Chứng minh tam giác OIJ tam giác vng Tính diện tích tam giác
ĐS:
Bài 9. Cho đường thẳng (d): y2x3
a) Xác định tọa độ giao điểm A B đường thẳng (d) với hai trục Ox, Oy Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d)
b) Tính khoảng cách từ điểm C(0; –2) đến đường thẳng (d)
ĐS:
Bài 10. Tìm giá trị k để ba đường thẳng sau đồng quy: a) ( ) :d1 y2x7,
1
( ) :
3
d y x
,
2
( ) :d y x
k k
ĐS:
Bài 11. Cho hai đường thẳng: ( ) :d1 y(m1)x 3và ( ) :d2 y(2m1)x4 a) Chứng minh
1
m
hai đường thẳng cho vng góc với b) Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng cho vng góc với
ĐS: b) m m 0;
2
.
Bài 12. Xác định hàm số y ax b trường hợp sau:
a) Khi a 3, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ 3.
b) Khi a5, đồ thị hàm số qua điểm A(–2; 3).
c) Đồ thị hàm số qua hai điểm M(1; 3) N(–2; 6)
d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 7x qua điểm 1;7 7
ĐS: a) y 3x b) y5x 7c) yx4 d) y 7x7. Bài 13. Cho đường thẳng: y4x (d)
a) Viết phương trình đường thẳng ( )d1 song song với đường thẳng (d) có tung độ gốc bằng
10
(34)có hồnh độ –
c) Viết phương trình đường thẳng ( )d3 song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox A, cắt trục Oy B diện tích tam giác AOB
ĐS:
Bài 14. Cho hai đường thẳng: y(k 3)x 3k3 ( ) d1 y(2k1)x k 5 ( ) d2 Tìm giá
trị k để:
a) ( )d1 ( )d2 cắt nhau. b) ( )d1 ( )d2 cắt điểm trục
tung
c) ( )d1 ( )d2 song song
ĐS: a) k4 b) k
c) k 4
Bài 15. Cho hàm số ( ) :d y(m3)x n m ( 3) Tìm giá trị m, n để đường thẳng (d): a) Đi qua điểm A(1; –3) B(–2; 3)
b) Cắt trục tung điểm có tung độ 1 3, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 3 c) Cắt đường thẳng 3y x 0
d) Song song với đường thẳng 2x5y1
CHƯƠNG III
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1 Khái niệm phương trình bậc hai ẩn
Phương trình bậc hai ẩn x, y hệ thức dạng: ax by c (1) trong a, b, c số biết (a ¹ b 0).
Nếu x y0 0, thoả (1) cặp số ( ; )x y0 nghiệm phương trình (1).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nghiệm (1) biểu diễn điểm Nghiệm x y0 0
( ; )
được biểu diễn điểm ( ; )x y0 . 2 Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn
Phương trình bậc hai ẩn ax by c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax by c (d).
Nếu a b đường thẳng (d) đồ thị hàm số
a c
y x
b b
.
Nếu a b = phương trình trở thành
c ax c x
a
(35)song trùng với trục tung.
Nếu a = b phương trình trở thành
c by c y
b
đường thẳng (d) song song trùng với trục hoành.
Bài 13. Trong cặp số (0; 4), (–1; 3), (1; 1), (2; 3), (4; 6), cặp số nghiệm phương trình:
a) 5x 3y2 b) 2x y 7 c) 2x y 2
ĐS:
Bài 14. Tìm nghiệm tổng quát vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm nó:
a) 3x y 1 b) x 2y5 c) 2x 3y5
d) 3y x 2 e) 4x0y12 f) 0x 3y6
ĐS:
Bài 15. Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m 1)x(3m 4)y2m Tìm m để:
a) (d) song song với trục hoành b) (d) song song với trục tung
c) (d) qua gốc toạ độ d) (d) qua điểm A(2; –1)
ĐS:
Bài 16. Tìm tất nghiệm nguyên phương trình:
a) 2x y 0 b) 3x 2y5 c) 2x5y15
d) 5x11y4 e) 7x5y143 f) 23x53y109
ĐS: a)
x t t Z y 2t( ) b) x t y 12 1t
c)
x t y 52 3t
d)
x t
y 11 35 1t
e) x t y 47 23t
f)
x t
y 53 1623 9t
Bài 17. Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình:
a) 11x8y73 b) 5x7y112 c) 5x19y674
d) 2x 3y7 e) 7x13y71
ĐS: a) x y 35
b)
x x x
y 117 ; y 146 ; y 121
c) x y 1731
;
x y 3626
;
x y 2155
;
x y 1674
;
x y 1193
;
x y 1126
;
x y 1311
d)
x t t Z t y 2(2 1t , 1)
e) khơng có nghiệm nguyên dương.
II HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1 Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
(36)a x b y c a x b y c12 12 12
(I)
Nếu hai phương trình có nghiệm chung ( ; )x y0 ( ; )x y0 nghiệm hệ (I).
Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm. Giải hệ phương trình tìm tập nghiệm nó.
2 Minh hoạ hình học tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
Tập nghiệm hệ phương trình (I) biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng ( ) :d1 a x b y c1 1 ( ) :d2 a x b y c2 2.
Nếu ( )d1 cắt ( )d2 hệ (I) có nghiệm nhất. Nếu ( )d1 // ( )d2 hệ (I) vơ nghiệm.
Nếu ( )d1 º( )d2 hệ (I) có vơ số nghiệm. 3 Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình tương đương chúng có tập nghiệm.
Bài 1. Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình sau giải thích sao: a)
x y x y
2
3
b)
x y x y
3
2
c)
x y x y
3
2
d)
x y x y
0
e)
x y x y
2
f)
x y x y 11 2
ĐS: a) nghiệm b) nghiệm c) nghiệm d) nghiệm e) vô nghiệm f) vô số nghiệm.
Bài 2. Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình sau ln có nghiệm với giá trị
a:
a)
x a x y
b)
x y y a
Bài 3. Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình:
x y ax y
3
2
a) Có nghiệm với a2 b) Vơ nghiệm với a6.
Bài 4. Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình:
x y a
x y
3
15 10
a) Có vô số nghiệm với a1. b) Vô nghiệm với a1.
(37)a)
x y x y
mx y m
2 2
ĐS: a) m1
Bài 6. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương: a)
x y x y
2
4 và x y x y a
2
12 b) x y x y
3
ax y x ay
2
2
ĐS: a) a9 b) a1
III GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1 Phương pháp
Bước 1: Từ phương trình hệ cho (coi PT (1)), ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, vào phương trình thứ hai (PT (2)) để phương trình (chỉ cịn ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình để thay cho PT (2) hệ (PT (1) thường được thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn kia).
2 Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (giữ nguyên phương trình kia).
Chú ý:
Trong phương pháp cộng đại số, trước thực bước 1, nhân hai vế
phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn
hai phương trình hệ đối
Đơi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình cho hệ
phương trình với hai ẩn mới, sau sử dụng hai phương pháp giải
Bài 1. Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: a)
x y x y
4
8
b)
x y x y
3 11
4
c)
x y x y
5
2 d) x x y y x y 15 14 e)
x y x y x y5 13 f) x y y x
5 19 21
ĐS: a) ;14
b) (7;5) c)
19 14; 13 13
d) (12; 3) e) (8;2) f) (9; 10) Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x
x 2y 4(x y1)
5 ( )
b)
x y
x y x y
9
3(4 )
(38)c)
x y x
x y x y
3( 1)
5( )
d)
x y x y
x y y x
2(2 ) 3(2 ) 10
4 4(6 )
e) x y x y
( 2)
( 2)
f)
x y x y
x y x y
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
ĐS: a) vô số nghiệm b) vô nghiệm c) vô nghiệm d) 25 ;1
e) vô nghiệm f) (7;5) Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x y
2 13
3 b) x y x y
3 2
2 c) x y x y
2 1
1
d)
x y x y
x y x y
4 5
1
3
1
e)
x y x y x y x y
2 3
1 1
f) x y x y 2
( 1) 2
3( 1)
ĐS: a) 33 (2;3), ; 7
b) (0;1) c) (2;2) d)
10 19; 3
e)
77 63; 20 20 f)
2
1 ;
Bài 4. Giải biện luận hệ phương trình sau: a)
mx y m x my m2
4
b)
mx y m x my m3 11
ĐS: a
) m2 m2 m2
b
) m1 m1 m1
m m m m 3; 2 x R y 2x
vô nghiệm m m m m
3 1;
1 x R y x vơ nghiệm
Bài 5. Tìm m ngun để hệ phương trình sau có nghiệm nghiệm ngun:
a)
mx y m x my2 m
2
b)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2
ĐS: a) m { 1; 3;1; 5} b) m { 1;0;2;3} Bài 6. Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a)
x y x y
4 13
5 31
b) x y x y
7 19
3 31
c) x y x y
7
3 10 62
d) x y x y
3 11
e) x y x y
3
4 12
f) x y x y
2
3
(39)a)
x y x
x y x y
3( 1)
5( )
b)
x x y
x y y
2 ( )
6 10
c)
x y x
x y x y2( 1)
7
d)
x y
x y
2
3
e)
x y
x y
2
2 10
f)
x y
x y
( 1)
( 1)
ĐS: a) vô nghiệm b) vô số nghiệm c) vô nghiệm d)
2 1;
3
e)
2 10;
5
f)
Bài 8. Xác định a b để đồ thị hàm số y ax b qua hai điểm A B trường hợp sau:
a) A(2; 1), B(1; 2) b) A(1; 3), B(3; 2) c) A(1; –3), B(2; 3)
d) A(–1; 1), B(2; 3) e) A(2; –2), B(–1; –2) f) A(1; 0), B(1; –6)
ĐS: a) yx3 b) y x
1
2
c) y6x d) y x
2
3
e) y2 f) x1
Bài 9. Chứng tỏ m thay đổi, đường thẳng có phương trình sau ln qua điểm cố định:
a) ( 5 m4)x(3m 2)y3m 0 b)
m2 m x m2 m y m2 m
(2 4) ( 1) 13 0 ĐS: a) (3;4) b) (3;1)
IV GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bước 1: Lập hệ phương trình:
+ Chọn hai ẩn đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thích
hợp với toán (thoả mãn điều kiện bước 1) kết luận
Dạng 1: Toán quan hệ số
Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số cho tổng hai chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
ĐS: 47
Bài 2. Tìm số tự nhiên có ba chữ số cho tổng chữ số 17, chữ số hàng chục 4, đổi chỗ chữ số hàng trăm hàng đơn vị cho số giảm 99 đơn vị
ĐS: 746
(40)thương tổng chữ số số bị chia
ĐS: 198
Bài 4. Tìm hai số biết tổng hai số 17 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị tích chúng 105 đơn vị
ĐS: 12 hoặc 13
Dạng 2: Tốn làm chung cơng việc
Bài 1. Hai vòi nước chảy vào bể sau 48 phút đầy bể Nếu vịi I chảy giờ, vòi
II chảy hai vịi chảy
3
4 bể Tính thời gian để vịi chảy riêng một
mình đầy bể
ĐS: 8 12
Bài 2. Để hoàn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ II đ-ược điều làm việc khác, tổ I hồn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau xong cơng việc
ĐS:
Bài 3. Hai lớp 9A 9B tham gia lao động vệ sinh sân trường cơng việc hồn thành sau 20 phút Nếu lớp chia làm nửa công việc thời gian hồn tất Hỏi lớp làm phải thời gian
ĐS:
Dạng 3: Toán chuyển động
Bài 1. Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc định Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thời gian giảm Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thời gian tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định ô tô
ĐS: 40 km/h; giờ
Bài 2. Hai địa điểm A B cách 85 km Cùng lúc, canơ xi dịng thừ A đến B canơ ngược dịng từ B đến A, sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật canơ, biết vận tốc canơ xi dịng lớn vận tốc canơ ngược dịng km/h vận tốc dòng nước km/h (vận tốc thật canô không đổi)
ĐS: 27 km/h; 24 km/h
Bài 3. Quãng đường AB dài 200 km Cùng lúc xe máy từ A đến B ô tô từ B đến A Xe máy ô tô gặp điểm C cách A 120 km Nếu xe máy khởi hành sau ô tô gặp điểm D cách C 24 km Tính vận tốc tơ xe máy
ĐS: 60 km/h; 40 km/h
Bài 4. Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20 km/h Do xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đường AB dài 100 km
(41)Bài 5. Một người xe máy từ A đến B Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định 45 phút nên người tăng vận tốc lên 10 km Tính vận tốc mà người dự định đi, biết quãng đ-ờng AB dài 90 km
ĐS:
Bài 6. Một người xe máy từ A tới B Cùng lúc người khác xe máy từ B tới A với
vận tốc
4
5 vận tốc người thứ Sau hai người gặp Hỏi người cả
quãng đường AB hết bao lâu?
ĐS:
Bài 7. Một canơ ngược dịng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau lại xi từ bến B trở bến A Thời gian canơ ngược dịng từ A đến B nhiều thời gian canơ xi dịng từ B trở A 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h, vận tốc riêng canô lúc xuôi dòng lúc ngược dòng
ĐS:
Dạng 4: Tốn có nội dung hình học
Bài 1. Một tam giác có chiều cao
3
4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm đi
3 dm diện tích tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác
ĐS: Cạnh đáy 20 dm, chiều cao 15 dm.
Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần chiều dài lên ba lần chu vi khu vườn 162 m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu
ĐS:
Bài 3. Người ta muốn làm thùng tơn hình trụ khơng nắp có bán kính đáy 25 cm, chiều cao thùng 60 cm Hãy tính diện tích tơn cần dùng (khơng kể mép nối) Thùng tơn chứa đầy nước thể tích nước chứa thùng
ĐS:
Bài 4. Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m2 Tính độ dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên m giảm chiều dài ruộng m diện tích ruộng tăng thêm m2.
ĐS:
Dạng 5: Các Dạng khác
Bài 1. Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách
giá thứ hai
4
5 số sách giá thứ Tính số sách giá. ĐS: 300; 150
(42)hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, hai xí nghiệp làm 404 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm theo kế hoạch
ĐS:
Bài 3. Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian định Nhng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù người làm thêm sản phẩm so với dự kiến, thời gian hồn thành cơng việc chậm so với dự định 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm người Biết người làm khơng q 20 sản phẩm
ĐS:
Bài 4. Theo kế hoạch, công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm thời gian định Nhưng cải tiến kĩ thuật nên người cơng nhân làm thêm sản phẩm Vì vậy, hồn thành kế hoạch sớm dự định 30 phút mà vượt mức sản phẩm Hỏi theo kế hoạch, người phải làm sản phẩm
ĐS:
Bài 5. Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 ngày công thợ (nghĩa công việc có người làm phải 420 ngày) Hãy tính số cơng nhân đội biết đội tăng thêm người số ngày để đội hồn thành cơng việc giảm ngày
ĐS:
Bài 6. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm qui định Vì đội có xe phải điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0,7 hàng Tính số xe đội lúc đầu
ĐS:
Bài 7. Người ta dự kiến trồng 300 thời gian định Do điều kiện thuận lợi nên ngày trồng nhiều so với dự kiến, trồng xong 300 trước ngày Hỏi dự
kiến ban đầu ngày trồng cây? (Giả sử số dự kiến trồng ngày bằng
nhau)
ĐS:
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x y
5
7
b)
x y x y
2 11
5
c)
x y x y
3
6
d)
x y
x y
2
2 2
e)
x y x y 16
4
5 11
f)
x y
x y
3
5
ĐS:
(43)a)
x y x y 18 51 b) x y x y
10 1
1
25 2
1 c)
x y x y x y x y
27 32 7
2
45 48 1
2 d) x y x y
2
5 1
e)
x y x y x y x y
2
3 17
f)
x y x y x y x y
4
3
ĐS:
Bài 3. Giải biện luận hệ phương trình sau: a)
mx m y m
x my
( 1)
2
b)
mx m y
m x m( 2)y
( 2) ( 1)
c)
m x y m
m x y m
( 1)
( 2)
d)
m x m y
m x m y m
( 4) ( 2)
(2 1) ( 4)
e)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2
f)
mx y m x my2 m
2
ĐS:
Bài 4. Trong hệ phương trình sau hãy:
i) Giải biện luận ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên
a)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2 b) mx y x 4(m 1)y 14m
c)
mx y
x my 32m
ĐS:
Bài 5. Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m
a)
mx y m x my2 m1
2
b)
mx m y
m x my
6 (2 )
( 1)
c)
mx m y m
x my
( 1)
2 ĐS:
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y z x y z x y z
3
2
2 b)
x y z x y z x y z
3
2 6 c)
x y z x y z x y z
3
2
3 ĐS:
Bài 7. Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn chiều rộng m, diện tích 300 m2 Tính chiều dài chiều rộng khu vườn
ĐS:
Bài 8. Cho hình chữ nhật Nếu tăng độ dài cạnh lên cm diện tích hình chữ nhật tăng thêm 13 cm2 Nếu giảm chiều dài cm, chiều rộng cm diện tích hình chữ nhật giảm 15 cm2 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cho.
ĐS:
Bài 9. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m diện tích mảnh đất tăng thêm 195 m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất.
(44)Bài 10. Một tam giác có chiều cao
2
5 cạnh đáy Nếu chiều cao giảm dm cạnh đáy tăng
thêm dm diện tích giảm 14 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác.
ĐS:
Bài 11. Hai xe máy khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 90 km, ngược chiều gặp sau 1,2 (xe thứ khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB
ĐS:
Bài 12. Một xe lửa từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi) Sau giờ, xe lửa khác từ ga Trị Bình ga Hà Nội với vận tốc lớn vận tốc xe thứ km/h Hai xe gặp ga quãng đường Tìm vận tốc xe lửa, biết quãng đường sắt Hà Nội – Trị Bình dài 900km
ĐS:
Bài 13. Hai ôtô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài120 km Mỗi ôtô thứ
chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trớc ôtô thứ hai
2
5 Tính vận tốc mỗi
ơtơ?
ĐS:
Bài 14. Một canơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B canô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực canơ
ĐS:
Bài 15. Cùng thời điểm, ôtô XA xuất phát từ thành phố A hướng thành phố B khác XB xuất phát từ thành phố B hướng thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi gặp lần đầu điểm cách A 20 km Cả hai chiéc xe sau đến B A tương ứng, quay trở lại chúng gặp lần thứ hai điểm C Biết thời gian xe XB từ C đến B 10 phút thời gian hai lần gặp Hãy tính vận tốc ơtơ
ĐS:
Bài 16. Một xuồng máy xi dịng sơng 30 km ngược dịng 28 km hết thời gian thời gian mà xuồng 59,5 km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ biết vận tốc nước chảy sông km/h
ĐS:
Bài 17. Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/ đến sớm giờ, giảm vận tốc km/ đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định
ĐS:
Bài 18. Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 120 km, 45 phút Tính vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/ h
(45)Bài 19. Một canơ xi dịng 48 km ngược dòng 22 km Biết thời gian xi dịng lớn thời gian ngược dịng vận tốc xi lớn vận tốc ngược km/h Tính vận tốc canơ lúc ngược dịng
ĐS:
Bài 20. Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 55 phút bể đầy nước Nếu mở riêng vịi vịi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở riêng vịi vòi chảy đầy bể?
ĐS:
Bài 21. Nếu hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 bể đầy Sau hai vịi chảy người ta khố vịi I, cịn vịi II tiếp tục chảy Do tăng cơng suất vịi II lên gấp đơi, nên vòi II chảy đầy phần lại bể rưỡi Hỏi vòi chảy với cơng suất bình thờng phải đầy bể?
ĐS:
Bài 22. Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ II đ-ược điều làm việc khác, tổ I hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc đó?
ĐS:
Bài 23. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch?
ĐS:
Bài 24. Có đội xây dựng làm chung cơng việc Làm chung ngày đội III điều động làm việc khác, đội lại làm thêm 12 ngày hồn thành công việc Biết suất đội I cao suất đội II; suất đội III trung bình cộng suất đội I suất đội II; đội làm một phần ba cơng việc phải tất 37 ngày xong Hỏi đội làm ngày xong cơng việc
ĐS:
Bài 25. Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Người ta dự tính dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh phải điều dùng loại xe nhỏ hai Biết xe lớn có nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, loại xe huy động
CHƯƠNG IV
HÀM SỐ y=ax2(a≠0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN I HÀM SỐ y=ax2(a≠0)
1 Tập xác định hàm số
(46)2 Tính chất biến thiên hàm số
Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < 0 đồng biến x > Nếu a < thì hàm số đồng biến x < 0 nghịch biến x > 3 Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y ax a ( 0)là đường cong qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong parabol với đỉnh O.
Nếu a > thì đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị. Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị.
Vì đồ thị y ax a ( 0) qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng nên để vẽ đồ thị hàm số này, ta cần tìm điểm bên phải trục Oy lấy điểm đối xứng với chúng qua Oy.
Bài 18. Cho hàm số y f x ( )x2
a) Chứng minh f a( ) f a( ) 0 với a b) Tìm aỴ R cho f a( 1) 4
ĐS: b) a1;a3.
Bài 19. Cho hàm số y(m2)x m2 ( 2) Tìm giá trị m để: a) Hàm số đồng biến với x <
b) Có giá trị y4 x1.
c) Hàm số có giá trị lớn d) Hàm số có giá trị nhỏ
ĐS: a) m 2 b) m2 c)m 2 d) m 2.
Bài 20. Cho hàm số y x
2 10
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không: A B C
9
3; , 5; , ( 10;1)
10
?
ĐS: b) A, B Ỵ (P).
Bài 21. Cho parabol y x
2
Xác định m để điểm sau nằm parabol:
a) A 2;m b) B 2;m c) C m
3 ;
4
ĐS: a) m
b) m
c) m 3.
(47)ĐS: m2. Bài 23.
a) Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ O điểm M(2;4) b) Viết phương trình parabol dạng y ax qua điểm M(2;4)
c) Vẽ parabol đường tăhngr hệ trục toạ độ tìm toạ độ giao điểm chúng
ĐS: a) y2x b) y x c) (0;0),(2;4).
Bài 24. Trên hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị hàm số y f x ( )x2 y g x x
1 ( )
2
Dựa vào đồ thị giải bất phương trình:
a) f x( )g x( ) b) f x( )g x( )
ĐS:
Bài 25. Cho hàm số y ax a ( 0)
a) Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm A( 1;2) b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm
c) Tìm điểm đồ thị có tung độ
d) Tìm điểm đồ thị cách hai trục toạ độ
ĐS: a) a2 b) y2x2 c) 2;4 , 2;4 d) O A B
1 1
(0;0), ; , ;
2 2
Chú ý: Tập hợp điểm cách hai trục toạ độ hai đường thẳng y x y ; x. Bài 26. Cho hàm số y2x2
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Dựa vào đồ thị (P) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x2 1 m.
II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1 Định nghĩa
Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax2bx c 0, x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a0.
2 Công thức nghiệm phương trình bậc hai
Đối với phương trình bậc hai ax2bx c 0 (a0) biệt thức b2 4ac:
Nếu D > phương trình có nghiệm phân biệt
b b
x x
a a
1 2 ; 2 .
Nếu = phương trình có nghiệm kép
b x x
a 1 2
(48) Nếu < phương trình vơ nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình có a c trái dấu > Khi phương trình có nghiệm phân biệt.
3 Cơng thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình bậc hai ax2bx c 0 (a0) b2b, b2 ac:
Nếu D¢ > phương trình có nghiệm phân biệt
b b
x x
a a
1 ; 2 .
Nếu ¢ = phương trình có nghiệm kép
b x x
a
. Nếu ¢ < phương trình vơ nghiệm.
4 Hệ thức Viet
Định lí Viet: Nếu x x1 2, nghiệm phương trình ax2bx c 0 (a0) thì:
b c
x x x x
a a
1 ;
Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số là: S2 4P0). 5 Dấu nghiệm số phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai: ax2bx c 0 (a0) (1) (1) có hai nghiệm trái dấu ÛP0
(1) có hai nghiệm dấu P
0
(1) có hai nghiệm dương phân biệt P S
0 0
(1) có hai nghiệm âm phân biệt P S
0 0
Chú ý: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm:
Nếu nhẩm được: x1x2 m n x x; mn phương trình có nghiệm x1m x, 2n.
Nếu a b c 0 phương trình có nghiệm
c
x x
a 11, 2
.
Nếu a b c 0 phương trình có nghiệm
c
x x
a 11,
.
Bài 1. Giải phương trình sau:
(49)d) x2 4x 3 e) x26x16 0 f) 7x212x 5 ĐS:
Bài 2. Giải phương trình sau:
a) 3x2 5x 8 b) 5x2 3x15 0 c) x2 4x 1
d) 3x27x2 0 e) x x
2 10
5
7 49
f) 5 2x210x 5 0 ĐS:
Bài 3. Giải phương trình sau:
a) 10x217 3 2(2x x1) –15 b) x27 3 (x x x1) 1 c) 2x2 3 (x x1)(x1) 3 d) 5x2 x 3 ( x x 1) 1 x2
e) 6x2 x 33 (x x1) –11 f) x4 2x x ( 1) 3 x x( 3) 5 g) x2 3(2 3) x x x x( 2) –1 h) x2 4 3(2 7)x x 2 (x x2) 7 i) 8x2 3 (2 3)x x x x x( 2) k) 3(2 3)x x x( 2) 1
ĐS:
Bài 4. Tìm m để phương trình sau:
i) có nghiệm ii) có nghiệm phân biệt iii) có nghiệm kép iv) vô nghiệm
a) 9x2 6mx m m ( 2) 0 b) 2x2 10x m 1 0 c) 5x212x m 0
d) 3x2 4x2m0 e) (m 2)x2 2(m1)x m 0 ĐS:
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y y x2 x
2
4
b)
x y xy x y
3
3( )
c)
x y xy x y
2
6
ĐS: a) (1;3),(5; 5) b)
5 11
3; , ;3
2
c)
5 (4; 3), ;
2
Bài 6. Cho phương trình: x 2 2(3 m2) 2x m 2 5 0m a) Giải phương trình với m2.
b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm –1 c) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép
ĐS:
Bài 7. Cho phương trình: x m2 2( 2) x m 2 5 0m a) Giải phương trình với m3.
b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm –4 c) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép
(50)Bài 8. Cho phương trình: x2 2(m3)x m 2 3 a) Giải phương trình với m1 m3.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
ĐS:
Bài 9. Xác định m để cặp phương trình sau có nghiệm chung: a) x2mx 2 0 x22x m 0
b) x2 (m4)x m 5 x2 (m2)x m 1
ĐS:
Bài 10.Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau:
a) x210x16 0 b) x215x50 0 c) x2 6x 5
d) x2 7x10 0 e) x2 3x 0 f) x2 x 20 0
g) x25x 0 h) x25x6 0 i) x2 5x6 0
ĐS:
Bài 11. Lập phương trình bậc hai có nghiệm cặp số sau:
a) 10 b) 10 –8 c)
1
d)
3
2
e) 2 3 2 f)
1
10 72 10 2 ĐS:
Bài 12. Với phương trình sau, tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tìm
nghiệm lại:
a) 3x27x m 0; x01 b) x mx x
2
0
15 0;
3
c) x 2 2(3 m1) 2x m 2 m 5 0; x01 d) x m2 2( 1) x m m 2 5 2 0; x01
ĐS:
Bài 13. Cho phương trình: (m1) x24mx4m1 0 a) Giải phương trình với m2.
b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 2x2
ĐS:
Bài 14. Cho phương trình: 2x2 6x m 7 0 .
a) Giải phương trình với m3.
(51)ĐS:
Bài 15. Cho phương trình: x2 2(m1) x m 1 a) Giải phương trình với m4.
b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 2, thoã mãn điều kiện x1 3x2
ĐS:
Bài 16. Giả sử x x1 2, nghiệm phương trình sau tính giá trị biểu thức:
A x 12x22
; B x 13x23; C
x1 x2 1
;
x x D
x x 2 2 2
a) x2mx 1 b) x26x m 0 c) x2 (m 3)x2m 1
ĐS:
Bài 17. Cho phương trình: x2 2(m4) x m 2 8 0
a) Tìm m để biểu thức A x 12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ b) Tìm m để biểu thức B x x 1 2 3x x1 2 đạt giá trị lớn nhất.
c) Tìm m để biểu thức C x 12 x22 x x1 2 đạt giá trị lớn nhất. ĐS:
Bài 18. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x1, thoả hệ thức cho:
a) mx2 2(m 2)x m 0 ; x x
2
1 1.
b) x2 2(m 2)x m 22m 0 ;
1
1
2
x x x x
c) x2 2(m1)x m 2 3m0; x x
2
1 8.
ĐS:
Bài 19. Cho phương trình: x2 2(m1)x m 2 3 0 m
a) Tìm m để phương trình có nghiệm –2 Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, thoả mãn x12 8x22
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 12 x22
ĐS:
Bài 20. Cho phương trình: x2 (2a 1) 4x a 0
(52)c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 12 x22
ĐS:
Bài 21. Cho phương trình: mx2 2(m1)x m 0
a) Xác định m để phương trình có nghiệm x x1, thoả mãn x14x2 3 b) Tìm hệ thức x x1, mà không phụ thuộc vào m
ĐS:
Bài 22. Cho phương trình: mx2 (m3) 2x m 1
a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm x x1, b) Tìm hệ thức liên hệ x x1, 2 không phụ thuộc m. ĐS:
Bài 23. Với phương trình sau, tìm m để phương trình:
i) Có hai nghiệm trái dấu ii) Có hai nghiệm dương phân biệt
iii) Có nghiệm dương
a) x2 2(m1)x m 1 b) x2 2(m1)x m 2 3m0 c) 2x2(2m 1)x m 0 d) (m 4)x2 2(m 2)x m 0
ĐS:
Bài 24. Cho phương trình: 2x2(2m1)x m 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả mãn 3x1 4x2 11 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
c) phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức x x1 2, khơng phụ thuộc vào m
ĐS:
III PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương phương trình có Dạng ax4bx2 c 0 (a0) Cách giải: Đặt t x t ( 0), đưa phương trình bậc hai at2bt c 0. 2 Phương trình bậc bốn dạng: (x a x b x c x d )( )( )( )m với a b c d
Cách giải: Đặt t x 2(a b x ) , đưa phương trình bậc hai (t ab t cd )( )m. 3 Phương trình bậc bốn dạng: (x a )4(x b )4 c
Cách giải: Đặt
a b t x
2
(53)4 Phương trình bậc bốn dạng: ax4+b x3+cx2±bx+a=0 Cách giải:
– Nhận xét x 0 nghiệm phương trình.
– Với x0, chia vế phương trình cho x2 ta được:
a x b x c
x x
2
1 0
.
Đặt t x x
, đưa phương trình bậc hai theo t. 5 Phương trình chứa ẩn mẫu thức
Cách giải: Thực bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho. 6 Phương trình tích
Phương trình tích phương trình có dạng A B 0.
Cách giải:
A A B 0 B00
7 Phương trình chứa thức
g x f x g x
f x g x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
t f x t af x b f x c
at2 bt c
( ),
( ) ( )
0
8 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải: Có thể dùng phương pháp sau để bỏ giá trị tuyệt đối: · Dùng định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối.
· Đặt ẩn phụ.
9 Phương trình dạng A2B2 0 Cách giải:
A A2B2 0 B00
10 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt:
- Nhẩm nghiệm x0 đưa phương trình dạng: (x-x0)(ax2+bx+c)=0 Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt : f(x) = ax2+bx+c=0 phải có hai nghiệm phân biệt khác x0 Suy ra:
{ ∆a≠>00 f(x0)≠0
=> m
11 Tìm m để phương trình ax4+bx2+c=0 (1) có nghiệm:
(54){a ≠−0b; ∆>0
a >0 c a>0
=> m
Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 4x48x2 12 0 b) 12x4 5x230 0 c) 8x4 x2 0
d) x x
4
5
16
e) 4x47 –2 0x2 f) x4–13x236 0
g) 2x45x2 2
ĐS: a, x=1,-1 b, vô nghiệm c, x=1,-1 d, x=1/2; -1/2; √
20 ; - √ 20 e,
Bài 2. Giải phương trình sau:
a) x x( 1)(x2)(x3) 24 b) (x1)(x4)(x25x6) 24 c) (x1)4(x3)4 2 d) (x2) (2 x24 ) 5x
e)
2
1
3 x 16 x 26
x x
f)
2
1
2 x x
x x
HD:
a, (x2+3x)(x2+3x+2)=24 Đặt t= x2+3x (1) Suy t(t+2)=24 ó t=-6 t= Thay t=-6 vào (1) ta được: x2+3x=-6 (vô nghiệm)
Thay t=4 vào (1) ta x2+3x=4 ó x=1; -4; b, x= 0; x= -5;
c, Đặt t=x+2 suy : (t-1)4+(t+1)4=2 ó ( t4-4t3+6t2-4t+1) +( t4+4t3+6t2+4t+1)=2 ó 2t4+12t2=0 ó t=0 Suy x+2=0 ó x=-2
d, Đặt x2+4x=t Đ/S: x=
√5−2;−√5−2;
e, Đặt x+1
x=t=¿(x+ x)
2
=t2=¿x2+ x2+2=t
2
hay x2+ x2=t
2−2
Thay vào
2
1
3 x 16 x 26
x x
Ta phương trình: 3(t2-2) -16t+26=0 t=10/3 t=2 Với t=10/3 suy :
x+1 x=
10
3 => x=3; 1/3 Tương tự với t=2 em tự giải. d,
Bài 3. Giải phương trình sau:
(55)c) ( – ) –8( – ) 12 0x2 x x2 x d) (2x1) –8(24 x1) –9 02
e) (x44x24) –4(x22) –77 0 f)
2
2
4
2
x x
x x
ĐS:
Bài 4. Giải phương trình sau:
a)
x x
x x
2
1
b)
x x
x x
4
2
c)
x
x x x2 x
2 5
2 3 5 6
d)
1
1
4
3x 27 x e)
3
2
x x
x x
f)
2
3
2
x x
x x
ĐS:
Bài 5. Giải phương trình sau:
a) (4x2 25)(2x2 7x 9) 0 b) (2x2 3)2 4(x 1)20 c) (3x x1)2 9x2 1 d) x33x2 x e) x35x27x 3 f) x3 6x211x 0 ĐS:
Bài 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
a) x3 (2m1)x23(m4)x m 12 0 b) x3(2m 3)x2(m2 2m2)x m 0
HD:
a, (x-1)(x2-2mx+m+12)=0 (1) để phương trình (1) có nghiệm f(x)= x2-2mx+m+12=0 phải có nghiệm phân biệt khác Suy ra:
{ ∆ 'a≠>00
f(1)≠0 ó { m2
−m−12>0
1−2m.1+m+12≠0 ó {
m>4ho cặ m←3 m ≠13 Bài 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
a) x4 (2m1)x2m2 0 b) (x21)(x3)(x5)m
ĐS:
Bài 8. Giải phương trình sau:
a) 3x2 14 x 0 b) x1x2 x c) x2 2 x 1 x22x3 d) x2 1 x2 4x4 3 x
ĐS:
Bài 9. Giải phương trình sau:
a) x 5 x b) x 2 x 2 c) 3x 7 x 1
d) x2 x2 3x5 3 x7 e) x2 4x x14 f) 2x26x 1 x
ĐS: a) x9 b) c) x1;x3
(56)a)
x y z xy yz zx
2 2 27 27
b)
x y z x2 y2 z2
6 12
ĐS:
a, Nhân phương trình với trừ cho ta được:
2x2+2y2+2z2-2xy-2xz-2zy=0; suy (x-y)2+(x-z)2+(z-y)2=0 ó x=y=z Thay vào x2+y2+z2=27 ta được: 3x2=27 ó x=y=z = ±3
b, Nhân (x+y+z)=6 với ta được: 2x+2y+2z=12 lấy x2+y2+z2=12 trừ theo vế ta được: x2+y2+z2-(2x+2y+2z)=12-12
ó( x2-2x+1)+(y2-2y+1)+(z2-2z+1)=0
IV GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Lập phương trình
a) Chọn ẩn số nêu điều kiện thích hợp ẩn số. b) Biểu thị kiện chưa biết qua ẩn số.
c) Lập phương trình biểu thị tương quan ẩn số kiện biết. Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Đối chiếu nghiệm phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời
Dạng 1: Toán quan hệ số
Bài 1. Tìm hai số biết hai lần số thứ ba lần số thứ hai hiệu bình phương chúng 119
ĐS: (12;5), ( 19,2; 15,8)
Bài 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
ĐS:
Bài 3. Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư
ĐS:
Bài 4. Nếu tử số phân số tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số
1
Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số 24
5
Tìm phân số
ĐS:
(57)tử mẫu phân số tăng
3
Tìm phân số
ĐS:
Dạng 2: Tốn chuyển động
Bài 1. Một canơ xi dịng 45 km, ngược dịng 18 km Biết thời gian xi dịng lâu thời gian ngược dòng vận tốc xuôi lớn vận tốc ngược km/h Tính vận tốc canơ lúc ngược dịng
ĐS: x12; x9
Bài 2. Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qng đường AB thời gian dự định lúc đầu
ĐS:
Bài 3. Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau
3 1
quãng đường AB, người tăng vận tốc thêm 10 km/h qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút
ĐS:
Bài 4. Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B trở A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngược
ĐS:
Bài 5. Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xi dịng sơng nhiều thời gian ngược dịng vận tốc xi dịng vận tốc ngược dòng km/h Hỏi vận tốc canơ lúc xi lúc ngược dịng
ĐS:
Dạng 3: Tốn làm chung cơng việc
Bài 1. Hai đội đào mương Nếu đội làm mương thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm chung cơng việc hồn thành Tính xem đội làm xong mương bao lâu?
ĐS: 10 giờ 15 giờ
Bài 2. Hai người thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu người thứ
nhất làm người thứ hai làm hai người làm
3
(58)ĐS:
Bài 3. Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 55 phút đầy bể Nếu mở riêng vịi vịi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở riêng vịi vịi chảy đầy bể?
ĐS: 5 giờ 7 giờ.
Bài 4. Nếu vòi A chảy vịi B chảy
4
hồ Nếu vòi A chảy
và vòi B chảy 30 phút
1
hồ Hỏi chảy mỗI vịi chảy đầy hồ (giả thiết hồ ban đầu khơng có nước0
ĐS:
Bài 5. Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể?
ĐS:
Dạng 4: Tốn có nội dung hình học
Bài 1. Một đa giác lồi có tất 170 đường chéo Hỏi đa giác có cạnh?
ĐS: 20 cạnh Số đường chéo n-giác
n n( 3)
.
Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256 m2
ĐS:
Bài 3. Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu
ĐS:
Bài 4. Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vng lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vng
ĐS:
Dạng 5: Các Dạng khác
(59)ghế dãy ghế xếp người ngồi?
ĐS: 10 dãy ghế dãy ghế xếp 8 người.
Bài 2. Một phịng học có số dãy ghế tổng cộng 40 chỗ ngồi Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm dãy ghế dãy ghế thêm chỗ Hỏi lúc đầu phịng có dãy ghế?
ĐS: 4;10.
Bài 3. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy?
ĐS:
Bài 4. Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 4.045.000 người Tính số dân tỉnh năm ngối năm nay?
ĐS:
V HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (*)
Dạng 1: Hệ bậc hai giải phương pháp cộng đại số · Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn kia.
· Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn. · Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai này. Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y
x y 4 8
2 b) x xy x y 24
2
c) x y x y ( ) 49 84
d)
x xy y x y
x y
2 3 2 3 6 0
2
e)
x y xy x y
3
3( )
f)
x y xy x y
2
6 g)
y x x
x y 4
2
h)
x y x2 y2 y
2
3
i)
x y x2 xy y2
2 ĐS:
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x y
x y
2( ) 3( ) 5
b)
x y x y
x y
5( ) 3( ) 12
c)
x y x2 xy
1 d) x y y x2
2
2 e) x y x y 0 f) x y x2 y2
2
40 g) x y x y
3 36
( 2)( 3) 18
h)
x x y y
x x y y
( 8) ( 1)
2 ( 8) ( 1) 14
ĐS:
(60)a)
xy x x
x xy y x
2
2 4
2
b)
x y xy
xy y x2 11
c)
x y xy
x y xy y
2
2 22
2 2
d)
xy x y xy 3x y 15
e)
x y x y
x y x y
2
2 44 44 08 0 f)
xy x y
xy 32x 2y 00
ĐS:
Dạng 2: Hệ đối xứng loại 1
Hệ có Dạng: (I)
f x y g x y( , ) 0( , )
(với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi).
· Đặt S = x + y, P = xy.
· Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P. · Giải hệ (II) ta tìm S P.
· Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X2 SX P 0.
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x2 y2 xy x y 11
2( )
b)
x y x2 xy y2
4 13 c)
xy x y x2 y2 x y
5 d) x y y x x y 13 6 e)
x x y y x y xy
3 3 17
f)
x x y y x xy y
4 2 2 37481 ĐS:
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y xy x2 y2 x y
11
3( ) 28
b)
x y x y
x y xy 2
2 7
c)
x xy y x xy y
2 4
2 d)
xy x y x y xy2
19 84 e)
x xy y x xy y
2
2
3 13
f) x y
x x y y xy
( 1)( 1)
( 1) ( 1) 17
ĐS:
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y
x y xy
2
( 1)( 1) 10 ( )( 1)
b)
x xy y x2 y2
2 c)
x xy y x y
x xy y x y
2 2
2 19(7( )) d)
x y x y
x y xy
2 2
( ) ( )
5( )
e)
x y y x x x y y
30 35 ĐS:
(61)Hệ có Dạng: (I)
f x y
f y x( , ) 0( , ) (1)(2)
(Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại). · Trừ (1) (2) vế theo vế ta được:
(I)
f x y f y x
f x y( , )( , ) 0( , ) (3)(1)
· Biến đổi (3) phương trình tích:
(3) (x y g x y ) ( , ) 0
x y g x y( , )
.
· Như vậy, (I)
f x y x y
f x y g x y
( , ) ( , ) ( , )
.
· Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I).
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2 33 22 b)
x y x y
y x y x
2
2 22 22 c)
x y y
xy x
2
2 22 d) x y y x 2 31 3 e)
x xy y x xy y
2
2 11 f)
x y x y
y x y x
2
2 22 22 ĐS:
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y
y x
3
3 21 2 b)
x x y
y y x
3
3 33 88 c)
x x y
y y x
3 22 d)
x x y
y y x
3 22 e)
x x y
y y x
3
3 77 33 ĐS:
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
(62)BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Cho phương trình: x2 2m1xm 40 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt x x1 2, với m c) Chứng minh biểu thức M =x11 x2x21 x1 không phụ thuộc vào m
ĐS:
Bài 2. Tìm m để phương trình:
a) x2 x2(m 1) 0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x22xm10 có hai nghiệm âm phân biệt.
c) (m21)x2 2(m1)x2m 0 có hai nghiệm trái dấu
ĐS:
Bài 3. Cho phương trình: x2 a1x a2a 20
a) Chứng minh với a, phương trình có nghiệm trái dấu b) Gọi hai nghiệm phương trình x x1 2, Tìm giá trị a để 22
2
1 x
x đạt giá trị nhỏ nhất ĐS:
Bài 4. Cho phương trình: x24xm10.
a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x x1 2, thoả mãn 22 10
1 x
x .
ĐS:
Bài 5. Cho phương trình: x2 2(m1)x2m10 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 2,
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x x1, 2, tìm hệ thức liên hệ x x1,
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị m để biểu thức A = 22
2
10xx x x đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS:
Bài 6. Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung:
a)
x m x
x m x
2
2 (3 2) 12
4 (9 2) 36
b)
x mx
x x m
2
2 00
c)
x m x
x m x
2
2 (3 1)
6 (7 1) 19
ĐS:
Bài 7. Cho parabol (P):
x y
đường thẳng (d): y x m a) Vẽ parabol (P)
(63)c) Xác định phương trình đường thẳng (d¢) song song với đường thẳng (d) cắt (P) điểm có
tung độ –4
ĐS:
Bài 8. Cho parabol (P):
x y
điểm M (1; –2)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m
b) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi
c) Gọi xA;xB hoành độ A B Xác định m để xA2xB xAxB2 đạt giá trị nhỏ
và tính giá trị
ĐS:
Bài 9. Giải phương trình sau:
a) x4x3 4x2x 1 b) x x( 21)(x2) 0 c)
x x
x x
2
16 10
9 3
d) x x x
1 1
( 2) ( 1) 12 e) 2x3
+x2−13x+6=0 f) x4−2x3−x2+8x−12=0
g) 2x3−3x2−11x+6=0 h)
ĐS:
Bài 10. Giải phương trình sau: a)
2
x+3−
x+2
3x−x2=
10
x(x2−9) b)
5 x−1−
4
3−6x+3x2=3 ĐS:
Bài 11. Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngược chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B
ĐS:
Bài 12. Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi từ B A người đường khác dài km, với vận tốc 12km/h, nên thời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB?
ĐS:
Bài 13. Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km, ngược chiều gặp sau 40 phút Tính vận tốc riêng ca nô biết vận tốc ca nô xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng km/h (có vận tốc dịng nước) vận tốc dòng nước km/h
ĐS:
Bài 14. Có hai thùng đựng dầu Thùng thứ có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít Sau lấy thùng thứ nhát lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy thùng thứ hai, lượng dầu cịn lại thùng thứ hai gấp đơi lượng dầu cịn lại thùng thứ Hỏi lấy lít dầu thùng?
ĐS:
(64)riêng tỉ lệ đỗ trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi trường có HS lớp dự thi vào lớp 10
ĐS:
Bài 16. Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ cần thời gian vịi thứ hai Tính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể
ĐS:
Bài 17. Hai tổ làm chung cơng việc hồn thành sau 15 Nếu tổ làm giờ, tổ hai làm 30% cơng việc Hỏi làm riêng tổ hồn thành