Nhóm Tốn VD - VDC Chun đề: TÍCH PHÂN CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN NHĨM TỐN VD – VDC NĂM HỌC: 2018 - 2019 Câu 1: Cho é ù a2 ln2- bcln3+ c ê ú x ln x + + d x = ( ) , với a, b, cẻ Ơ Tớnh T = a + b+ c ò êë x + 2ú û A T = 13 B T = 15 C T = 17 D T = 11 Lời giải Chọn A Phân tích: Biểu thức tích phân có tổng hàm logarit hàm phân thức nên ta tách thành tích phân dạng thường gặp Một tích phân hàm đa thức hàm logarit ta dùng tích phân phần, tích phân hàm phân thức bậc bậc 1 é ù x údx = ò x ln( x + 2) dx + ị dx Ta có I = ò x êln( x + 2) + ê x + 2ú x +2 ë û 0 1 ỉ ỉ 2 ÷ ÷ ç = ò ln( x + 2) dç x + ữ ữ ỗ ỗ ũ ữ ố ữdx ç2 ç x + 2ø è ø 0 x2 - = ln( x + 2) =- ln3+ 2ln22 1 x2 - ò x + dx +( x - 2ln( x + 2) ) 0 ỉx2 7 ỗ =ln3 + 4ln2 + ữ + 2ln3 + 2ln2 ỗ - xữ ữ ữ ỗ è4 ø0 42 ln2- 2.7ln3+ Ta có a= , b= , c= Vậy T = a+ b+ c = + 2+ = 13 = Câu 2: Cho æ abcln2- bln5- c ữ I = ũ xỗ ln( x +1) - dx = , ữ ỗ ữ ỗ ố x +1ứ a, b, cẻ ¥ với Tính T = a+ b+ c A T = 13 B T = 15 C T = 10 D T = 11 Lời giải Chọn C 3 ổ ữ ỗ ln( x +1) - Ta cú I = ũ xỗ ữ ữdx = ũ x ln( x +1) dx ỗ ố x +1ứ 0 ổx2 = ũ ln( x +1) dỗ ç ç è 3 ịx 1ư d( x +1) x2 - ÷ ÷ = ln( x +1) ÷ ÷ ị x2 +1 ø 0 3 Trang x dx +1 3 x- 1 ò dx - ln( x +1) 0 Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN 5.2.3ln2- 2ln5- - ln10 = 4 Vậy T = a+ b+ c = 10 = 4ln4- ỉ abln2+ bc ln3- c ÷ ln( x + 2) - dx = Câu 3: Cho I = ũ xỗ , vi a, b, cẻ Ơ Tớnh T = abc ữ ỗ ữ ỗ è x +1ø A T =- 18 B T = 16 C T = 18 D T =- 16 Lời giải Chọn A 1 æ ữ ỗ ln( x + 2) - Ta cú I = ũ xỗ ữ ữdx = ũ x ln( x + 2) dx ỗ ố x +1ứ 0 ổx2 = ũ ln( x + 2) dỗ ç ç è 1 x2 - = ln( x + 2) =- òx x dx +1 4ö d( x +1) ÷ ÷ ÷ ÷ ò x2 +1 ø 1 x2 - 1 ò x + dx - ln( x +1) 0 3 3.2ln2+ 2.( - 3) ln3- ( - 3) ln3+ 2ln2+ - ln2 = 4 = 3.2.( - 3) =- 18 Vậy T = abc Câu 4: Cho f ( x) hàm liên tục a> Giả sử với x Ỵ [ 0; a] , ta có a f ( x) > f ( x) f ( a- x) = Tính I = ị A a dx 1+ f ( x) C aln( a+1) B 2a D a Lời giải Chọn D f ( a- x) dx I =ò =ò dx Ta có: f ( a- x) +1 1+ f ( a- x) a a Đặt: a- x = t dx =- dt Ta được: I =- ị a a Do đó: 2I = ị f ( t) f ( x) dt = ò dx f ( t) +1 f ( x) +1 a f ( x) a dx + ò dx = ò dx = a Vậy: I = f ( x) +1 f ( x) +1 0 a Câu 5: Cho f ( x) hàm liên tục a [ 0;1] Giả sử f ( x) > f ( x) f ( 1- x) = Tính dx ò 2+ f ( x) Trang với x Ỵ [ 0;1] , ta có Nhóm Tốn VD - VDC Chun đề: TÍCH PHÂN A B C D Lời giải Chọn D f ( 1- x) dx =ò dx Ta có I = ị 2+ f ( x) 2( 2+ f ( 1- x) ) 0 1 Đặt t = 1- x Þ dt =- dx , đổi cận : x = Þ t = 1; x = 1Þ t = f ( t) f ( x) ò 2( 2+ f ( t) ) dt = ò 2( 2+ f ( x) ) dx I =- 1 Þ 2I = ò f ( x) dx 1 +ị dx = Þ I = 2+ f ( x) 2( 2+ f ( x) ) é p pù Câu 6: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn ê- ; ú f ( - x) - f ( x) = tan x Tính ê ú ë 4û p ò f ( x) dx - p A 1- p B p - C 1+ p D 2- p Lời giải Chọn D Theo đề bài, ta có f ( - x) - f ( x) = tan x ( 1) 2 Thay x =- x Þ f ( x) - f ( - x) = tan ( - x) = tan x ( 2) Từ ( 1) ( 2) suy ra: f ( x) = tan x p p p p 0 I = ò f ( x) dx = ò tan2x dx = 2ò tan2x dx = 2ò é 1+tan2x) ê ë( - p - p 1ù dx ú û p p ỉ px3 + 2x + e.x3.2x 1 e ữ dx = + lnỗ p+ Câu 7: Biết ò với m, n , p l cỏc s nguyờn ữ ỗ x ữ ỗ ố ø p + e m eln n e + p I = 2( tan x - x) 04 = 2- dương Tính tổng S = m+ n + p A S = B S = C S = Lời giải Chọn Trang D S = Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN Câu 8: Cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm cấp hai [ 0;1] thỏa ò x f ¢¢( x) dx = 12 f( 1) - ¢( 1) =- Tính A 10 ò f ( x) dx C Lời giải B 14 D Chọn D ìï u = x2 ïìï du = 2x dx ù  ị I = x f x ( ) ị 2x f ¢( x) dx Đặt í Khi đó: í ïï dv = f ¢¢( x) dx ùù v = f Â( x) ợ î 1 ïìï u = 2x ïìï du = 2dx  ị x f x d x = x f x ( ) ( ) ò f ( x) dx Đặt í Suy ra: ò í ïï dv = f ¢( x) dx ïï v = f ( x) 0 ợ ợ 1 Do ú: 12 = fÂ( 1) - ( 1) + 2ò f ( x) dx Û ò f ( x) dx = Câu 9: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ( x) ị x f ¢( x) e dx = f ( 3) = ln3 Tính A C 8- ln3 Lời giải B 11 Chọn A ìï u = x Þ Đặt ïí ïï dv = f ¢( x) ef ( x) dx ỵ f( 3) Suy ra: = 3.e - ịe ïì du = dx f ( x) I = x e Khi đó: íï ïï v = ef ( x) ỵ ( x) dx Û f ( x) òe f ( x) òe dx D 8+ ln3 f ( x) òe dx dx = 9- = Câu 10:Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( - x) + 2018 f ( x) = x sin x p Tính I = ị f ( x) dx - A p 2 2019 B 2019 1009 Lời giải C D Chọn A Đặt: t =- x Þ dt =- dx , đổi cận: x =- Þ I =- p p p p p Þ t = , x = Þ t =- 2 2 p ò f ( - t) dt = ò f ( - x) dx p - p Trang 2018 Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN p p p Suy ra: 2019.I = ò f ( - x) dx + 2018ò f ( x) dx = ò x sin x dx = Þ I = - p - p - p 2 2019 Cho hàm số f ( x) xác định khoảng ( 0;+¥ ) \ { e} thỏa mãn Câu 11: f Â( x) = ổ1 1ữ ữ= ln6 f ( e2 ) = Giá tr ca biu thc fổử ỗ , fỗ ữ ỗ ç 2÷ ÷ ÷+ ç ç x( ln x - 1) èe ø èeø A 3( ln2+1) C 3ln2+1 Lời giải B 2ln2 ( e3) D ln2+ Chọn A Ta có: f ¢( x) = Þ x( ln x - 1) ị f ¢( x) dx = ò x( ln x - 1) dx Þ f ( x) = ln ln x - +C ìï ln( ln x - 1) +C1 x > e Þ f ( x) = ïí ïï ln( 1- ln x) +C2 < x < e ợ ổ1 ữ= ln6 ị C = ln2 f ( e2 ) = Þ C = M f ỗ ỗ 2ữ ữ ỗ ốe ứ ổử 1ữ Vy fỗ ữ ỗ ữ+ ( e ) = 2ln2+ ln2+ = 3( ln2+1) ỗ ốeứ Cõu 12: C h o h m hàm số y = f ¢( x) với đồ thị hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y = f ( x) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ âm Khi đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ A - B C D Lời giải Chọn A Ta có f ¢( x) = ax( x + 2) , mà f Â( - 1) =- 3ị a = 3ị f ¢( x) = 3x + 6x Þ f ( x) = ị f ¢( x) dx = x3 + 3x2 +C Gọi x0 ( x0 < 0) hoành độ tiếp điểm ïì f ( x0 ) = Þ ïí Û ïï f ¢( x0 ) = ỵ ìï x0 =- Þ f ( x) = x3 + 3x2 - íï ïïỵ C =- Đồ thị hàm số cắt trục tung tai điểm có tung độ - Trang s ố Nhóm Tốn VD - VDC Chun đề: TÍCH PHÂN Câu 13: Cho y = f ( x) hàm số chẵn, liên tục ¡ biết đồ thị hàm số y = f ( x) A I = 10 ỉ1 - ;4÷ qua im M ỗ ữ ỗ ữv ỗ ố ứ ¢ Tính I = ị sin2x f ( sin x) dx f t d t = ( ) p ò - B I =- C I = Lời giải D I =- Chọn B p Þ t =- , x = Þ t = ỡù du = 2dt ùỡ u = 2t  ị ïí Do đó: I = ị 2t f ( t) dt Đặt: ïí ïï dv = f ¢( t) dt ïï v = f ( t) ỵ ỵ Đặt: t = sin x Þ dt = cos x dx , đổi cận: x =- ỉ 1ư ÷ I = ( 2t f ( t) ) - 2ũ f ( t) dt = fỗ ữ ỗ ữ ũ ( t) dt =- (Do f ( x) l hm chn) ỗ ố ø 2 0 - Câu 14: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ò ù f = 1, ( 2) > Giá trị f ¢( x) ln é ëf ( x) ûdx = ( ) f ( 2) A f ( 2) = B f ( 2) = C f ( 2) = e Lời giải D f ( 2) = e Chọn C ìï ¢ ïï du = f ( x) dx 2 ïí f ( x) ù¢ f x Khi đó: I = f ( x) ln é ( ) ë û1 ò1 f ( x) dx ïï ïïỵ v = f ( x) ù é ù Suy ra: f( 2) ln é ë ( 2) û- f( 2) + ( 1) = Û f( 2) ln ë ( 2) û= f( 2) Û ( 2) = e ìï u = ln éf ( x) ù ï ë ûÞ Đăt í ïï dv = f Â( x) dx ùợ Cõu 15: Cho hm s f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn ò ( ) f ( 2) = Tính I = ò f ¢ x dx B I = A I = C I = Lời giải D I = Chọn A ïì x = ® t = Đặt t = x ® t2 = x ® 2tdt = dx i cn: ùớ ùùợ x = đ t = ìï u = 2t ìï du = 2dt Þ ïí Khi đó: I = ị 2t f ¢( t) dt Đặt ïí ïï dv = f ¢( t) dt ïï v = f ( t) ỵ ỵ 2 Suy ra: I = 2t f ( t) - 2ò f ( t) dt = f( 2) - 2ò Trang ( x) dx = 8- = f ( x) dx = Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN Câu 16: y = f ( x) Cho hàm số f ( 4- x) = f ( x) Biết ò xf ( x) dx = Tính B I = Chọn Câu 17: thỏa I = ò f ( x) dx C I = Lời giải D I = 11 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn ¡ A I = liên tục ò x( f ¢( x) - 2) dx = f ( 1) Giá trị A B I = ò f ( x) dx C - Lời giải D - Chọn C ïì u = x Þ Đặt ïí ïï dv = ( f ¢( x) - 2) dx ỵ ïìï du = dx í ïï v = f ( x) - 2x ỵ 1 Khi f ( 1) = ị x( f ¢( x) - 2) dx = x( f ( x) - 2x) 0 ò( f ( x) - 2x) dx = f ( 1) - 2- I +1 Suy I =- Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] Câu 18: 1 0 thỏa mãn ị x( f ¢( x) - 4) dx = f ( 1) Giá trị I = ò f ( x) dx A B - C - Lời giải D Chọn B ìï u = x Þ Đặt ïí ïï dv = ( f ¢( x) - 4) dx ỵ ìï du = dx ïí ïï v = f ( x) - 4x ỵ 1 Khi f ( 1) = ị x( f ¢( x) - 4) dx = x( f ( x) - 4x) 0 Suy I =- Trang ò( f ( x) 4x) dx = f ( 1) - 4- I + Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN Câu 19: Cho hàm số y = f ( x) liên tục thỏa mãn ¡ ị( x +1) f ¢( x) dx = 10 f( 1) - ( 0) = Tính I = ị f ( x) dx 0 B I = A I =- 12 C I = 12 Lời giải D I =- Chọn D ìï u = x +1 ị t ùớ ùợù dv = f Â( x) dx ì ïíï du = dx ïï v = f ( x) ỵ 1 Khi 10 = ò( x +1) f ¢( x) dx = ( x +1) f ( x) 0 ò f ( x)dx = f( 1) - ( 0) - I Suy I =- Biết hàm số y = f ( x) liên tục ¡ Câu 20: f ( 2) = 16; ò f ( x) dx = Tính A I = 13 thỏa mãn I = ò xf ¢( 2x) dx C I = 20 Lời giải B I = 12 D I = Chọn D ìï u = x Þ Đặt ïí ùợù dv = f Â( 2x) dx ùỡù du = dx íï ïï v = f ( 2x) ïỵ 1 1 1 Khi I = ị xf ¢( 2x) dx = xf ( 2x) - ò f ( 2x)dx = f( 2) - ò ( x) dx = 8- 1= 40 20 0 Suy I = Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn điều Câu 21: kiện f ( x) + f ( 1- x) = 3x - 6x , " x Ỵ [ 0;1] Tính tích phân I = ị f ( 1- x ) dx A I =- 15 C I =- B I = Lời giải Chọn C Trang 15 D I = 15 Nhóm Tốn VD - VDC Chun đề: TÍCH PHÂN Đặt t = 1- x , " x Î [ 0;1] " t Î [ 0;1] Ta có f ( x) + f ( 1- x) = 3x - 6x Û f ( x) + f ( 1- x) = 3( x - 1) - Û f ( 1- t) + f ( t) = 3t2 - Û f ( x) + f ( 1- x) = 3x2 - ìï f ( x) + f ( 1- x) = 3x2 - 6x ìï f ( x) + f ( 1- x) = 3x2 - 6x ï Û ïí Xét hệ phương trình: í ïï f ( x) + f ( 1- x) = 3x - ïï f ( x) + f ( 1- x) = 6x2 - ỵ î Þ f ( x) = 3x2 + 6x - Û f ( x) = ( x +1) - , " x Ỵ [ 0;1] 2 Khi f ( 1- x2 ) = ( 2- x2 ) - = x4 - 4x2 +1 1 ỉx5 4x3 =÷ + x÷ Suy I = ò f ( 1- x ) dx = ũ( x - 4x +1) dx = ỗ ỗ ữ ữ ỗ 15 ố ứ 0 Phân tích: + Bước 1: Từ f ( x) + f ( 1- x) = 3x - 6x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f ( x) 2 + Bước 2: Xác định trực tiếp hàm f ( 1- x ) tính I = ị f ( 1- x ) dx Bài tập tương tự Cho hàm số y = f ( x) liên tục với x ¹ thỏa mãn Câu 22: e+1 ổx +1ử ữ fỗ ữ ỗ ữ= x + 3, x ¹ Tính I = ị f ( x) dx ỗ ốx - 1ứ A I = 4e- B I = e+ C I = 4e- D I = e+ Lời giải x +1 t +1 t +1 Û xt - t = x +1Þ x = + 3= 4+ , suy f ( t) = hay x- t- t- t- f (x) = + x- Đặt t = e+1 e+1 ỉ ÷ 4+ dx = ( 4x + 2ln x - 1) = 4e- Ta cú I = ũ ỗ ữ ỗ ữ ỗ è x - 1ø Cho hàm số y = f ( x) liên tục với x ¹ thỏa mãn Câu 23: f ( x) ỉ1ư I = dx ÷ ị f ( x) + f ç = x , x ¹ Tính ữ ỗ x ữ ỗ ốxứ 2 A I = B I = C I = Trang D I = Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN Lời giải Tương tự ta xác định f ( x) =- x + x Þ I =ị 2 ỉ ỉ f ( x) 2ử 2ử dx = ũỗ - 1+ ữ dx = ỗ - x- ữ = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố è x x ø xø1 2 2 Trang 10 ... Chọn C Trang 15 D I = 15 Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN Đặt t = 1- x , " x Ỵ [ 0 ;1] " t Ỵ [ 0 ;1] Ta có f ( x) + f ( 1- x) = 3x - 6x Û f ( x) + f ( 1- x) = 3( x - 1) - Û f ( 1- t) + f (... ( 1) - 4- I + Nhóm Tốn VD - VDC Chun đề: TÍCH PHÂN Câu 19 : Cho hàm số y = f ( x) liên tục thỏa mãn ¡ ò( x +1) f ¢( x) dx = 10 f( 1) - ( 0) = Tính I = ị f ( x) dx 0 B I = A I =- 12 C I = 12 ... S = Nhóm Tốn VD - VDC Chuyên đề: TÍCH PHÂN Câu 8: Cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm cấp hai [ 0 ;1] thỏa ò x f ¢¢( x) dx = 12 f( 1) - ¢( 1) =- Tính A 10 ò f ( x) dx C Lời giải B 14 D Chọn