DĐGV TOÁNĐỀ và HƯỚNG dẫn GIẢI đề MINH họa 2020 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI THAM KHẢO THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2019 – 2020 MƠN THI: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, có cách chọn học sinh? Ⓐ 14 Ⓑ 48 Ⓒ.6 Ⓓ.8 Câu Cho cấp số nhân (𝑢𝑛 ) với 𝑢1 = 𝑢2 = Công bội cấp số nhân cho Ⓐ Ⓑ −4 Ⓓ Ⓒ.4 Câu Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh 𝑙 bán kính đáy 𝑟 Ⓐ 4𝜋𝑟𝑙 Ⓑ 2𝜋𝑟𝑙 Ⓓ 𝜋𝑟𝑙 Ⓒ.𝜋𝑟𝑙 Câu Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có bảng biến thiên sau Hàm số cho đồng biến khoảng đây? Ⓐ (1; +∞) Ⓑ (−1; 0) Ⓒ.(−1; 1) Ⓓ.(0; 1) Câu Cho khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phương cho Ⓐ 216 Ⓑ 18 Ⓒ.36 Ⓓ.72 Câu Nghiệm phương trình 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥 − 1) = là: Ⓐ 𝑥 = Ⓑ 𝑥 = Ⓒ.𝑥 = Ⓓ.𝑥 = Câu Nếu ∫1 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = −2 ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Ⓐ −3 Ⓑ −1 Ⓒ.1 Ⓓ.3 Câu Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có bảng biến thiên sau: Giá trị cực tiểu hàm số cho Ⓐ Ⓑ Ⓒ.0 Ⓓ.−4 Trang 1/29 - WordToan Câu Đồ thị hàm số có dạng đường cong đây? Ⓐ 𝑦 = −𝑥 + 2𝑥 Câu 10 Ⓑ 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 Ⓒ.𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 Ⓓ.𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 Với 𝑎 số thực dương tùy ý, 𝑙𝑜𝑔2 𝑎2 bằng: Ⓐ + 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Câu 11 Ⓑ + 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Ⓒ.2 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Ⓓ 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Họ nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 6𝑥 Ⓐ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶 Ⓑ − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 3𝑥 + 𝐶 Ⓒ.𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 6𝑥 + 𝐶 Ⓓ.− 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 Câu 12 Môđun số phức + 2𝑖 Ⓐ Ⓑ √3 Ⓒ.√5 Ⓓ.3 Câu 13 Trong khơng gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, hình chiếu vng góc điểm 𝑀(2; −2; 1) mặt phẳng (𝑂𝑥𝑦) có tọa độ Ⓐ (2; 0; 1) Ⓑ (2; −2; 0) Ⓒ.(0; −2; 1) Ⓓ.(0; 0; 1) Câu 14 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆): (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 + (𝑧 − 3)2 = 16 Tâm (𝑆) có tọa độ Ⓐ (−1; −2; −3) Ⓑ (1; 2; 3) Ⓒ.(−1; 2; −3) Ⓓ.(1; −2; 3) Câu 15 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt phẳng (𝛼): 3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + = Vectơ vectơ pháp tuyến (𝛼)? Ⓐ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 = (3; 2; 4) Câu 16 Ⓑ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛3 = (2; −4; 1) Ⓒ.𝑛 ⃗⃗⃗⃗1 = (3; −4; 1) Ⓓ.𝑛 ⃗⃗⃗⃗4 = (3; 2; −4) Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, điểm thuộc đường thẳng 𝑑: 𝑥+1 −1 = 𝑦−2 = 𝑧−1 ? Ⓐ 𝑃(−1; 2; 1) Câu 17 Ⓑ 𝑄(1; −2; −1) Ⓒ.𝑁(−1; 3; 2) Ⓓ.𝑃(1; 2; 1) Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy hình vng cạnh √3𝑎, 𝑆𝐴 vng góc với mặt phẳng đáy 𝑆𝐴 = √2𝑎 Góc 𝑆𝐶 mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) Trang 2/29 S A D B Ⓐ 450 Câu 18 C Ⓑ 600 Ⓒ.300 Cho hàm số 𝑓 (𝑥), bảng xét dấu 𝑓 ′ (𝑥) sau: Số điểm cực trị hàm số cho Ⓐ Ⓑ Câu 19 Ⓓ.900 Ⓒ.1 Ⓓ.3 Giá trị lớn hàm số 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 12𝑥 + đoạn [−1; 2]bằng: Ⓐ Ⓑ 37 Ⓒ.33 Ⓓ.12 Câu 20 Xét tất số dương 𝑎 𝑏 thỏa mãn 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔8 ( 𝑎𝑏) Mệnh đề đúng? Ⓐ 𝑎 = 𝑏2 Câu 21 Ⓑ 𝑎3 = 𝑏 Ⓓ.𝑎2 = 𝑏 Ⓒ.𝑎 = 𝑏 Tập nghiệm bất phương trình 5𝑥−1 ≥ 5𝑥 −𝑥−9 Ⓐ [−2; 4] Ⓑ [−4; 2] Ⓒ.−∞; −2 ∪ 4; +∞) Ⓓ.−∞; −4 ∪ 2; +∞) Câu 22 Cho hình trụ có bán kính đáy Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng qua trục, thiết diện thu hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho Ⓐ 18𝜋 Câu 23 Ⓑ 36𝜋 Ⓒ.54𝜋 Ⓓ.𝟐𝟕𝝅 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) có bảng biến thiên sau 𝒙 𝒇 (𝒙) −∞ ′ + 𝟐 𝟑 − +∞ + +∞ 𝒇(𝒙) −∞ Trang 3/29 Số nghiệm phương trình 3𝑓(𝑥) − = Ⓐ Ⓑ Ⓒ.3 Câu 24 Ⓓ.1 Họ tất nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = Ⓐ 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥 − 1) + 𝐶 𝑥+2 𝑥−1 khoảng (1; +∞) Ⓑ 𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥 − 1) + 𝐶 Ⓒ.𝑥 − (𝑥−1)2 + 𝐶 Ⓓ.𝑥 + (𝑥−1)2 + 𝐶 Câu 25 Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng cơng thức 𝑆 = 𝐴𝑒 𝑛𝑟 ; 𝐴 dân số năm lấy làm mốc tính, 𝑆 dân số sau 𝑛 năm, 𝑟 tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2017, dân số Việt nam 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất Thống kê, Tr 79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi 0,81%, dự báo dân số Việt nam năm 2035 người (kết làm tròn đến chữ số hàng trăm)? Ⓐ 109.256.100 Ⓑ 108.374.700 Ⓒ.107.500.500 Ⓓ.108.311.100 Cho khối lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷 ′ có đáy hình thoi cạnh 𝑎, 𝐵𝐷 = 𝑎√3 𝐴𝐴′ = 4𝑎 (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ cho Câu 26 Ⓐ 2√3𝑎3 Câu 27 Ⓑ 4√3𝑎3 2√3𝑎3 Ⓒ 4√3𝑎3 Ⓓ Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số 𝑦 = Ⓐ 𝟎 Ⓑ 𝟏 Ⓒ.𝟐 5𝑥 −4𝑥−1 𝑥 −1 Ⓓ.𝟑 Câu 28 Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 + 3𝑥 + 𝑑 (𝑎; 𝑑 ∈ ℝ) có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? Ⓐ 𝒂 > 𝟎, 𝒅 > 𝟎 Ⓑ 𝑎 < 0, 𝑑 > Ⓒ.𝑎 > 0, 𝑑 < Ⓓ.𝑎 < 0, 𝑑 < Trang 4/29 Câu 29 Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên 2 Ⓐ ∫−1(−2𝑥 + 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 Ⓑ ∫−1(2𝑥 − 2𝑥 − 4)𝑑𝑥 2 Ⓒ.∫−1(−2𝑥 − 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 Câu 30 Ⓓ.∫−1(2𝑥 + 2𝑥 − 4)𝑑𝑥 Cho hai số phức 𝑧1 = −3 + 𝑖 𝑧2 = − 𝑖 Phần ảo số phức 𝑧1 + 𝑧2 Ⓐ −2 Ⓑ 2𝑖 Ⓒ.2 Ⓓ.−2𝑖 Câu 31 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 𝑧 = (1 + 2𝑖)2 điểm đây? Ⓐ 𝑃(−3; 4) Ⓑ 𝑄(5; 4) Ⓒ.𝑁(4; −3) Ⓓ.𝑀(4; 5) Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho vectơ 𝑎 = (1; 0; 3) 𝑏⃗ = (−2; 2; 5) Tích vơ hướng 𝑎 (𝑎 + 𝑏⃗) Câu 32 Ⓐ 25 Ⓑ 23 Ⓒ.27 Ⓓ.29 Câu 33 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼 (0; 0; −3) qua điểm 𝑀(4; 0; 0) Phương trình (𝑆) Ⓐ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + (𝒛 + 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 Ⓒ.𝑥 + 𝑦 + (𝑧 − 3)2 = 25 Câu 34 Ⓑ 𝑥 + 𝑦 + (𝑧 + 3)2 = Ⓓ.𝑥 + 𝑦 + (𝑧 − 3)2 = Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, mặt phẳng qua điểm 𝑀(1; 1; −1) vng góc với đường thẳng 𝛥: 𝑥+1 = 𝑦−2 = 𝑧−1 có phương trình Ⓐ 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + = Ⓑ 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = Ⓒ.2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − = Ⓓ.𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 − = Câu 35 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, vectơ sau vectơ phương đường thẳng qua hai điểm 𝑀(2; 3; −1) 𝑁(4; 5; 3)? Trang 5/29 Ⓐ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢4 = (1; 1; 1) Ⓑ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢3 = (1; 1; 2) Ⓒ.𝑢 ⃗⃗⃗⃗1 = (3; 4; 1) Ⓓ.𝑢 ⃗⃗⃗⃗2 = (3; 4; 2) Câu 36 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp số có ba chữ số khác Xác suất để số chọn có tổng chữ số số chẳn Ⓐ 41 81 Ⓑ 16 Ⓒ Ⓓ 81 Câu 37 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy hình thang, 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐶𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy 𝑆𝐴 = 3𝑎 (minh họa hình bên) Gọi 𝑀 trung điểm 𝐴𝐵 Khoảng cách hai đường thẳng 𝑆𝐵 𝐷𝑀 Ⓐ Câu 38 3𝑎 Ⓑ 3𝑎 3√13𝑎 Ⓒ 13 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) có 𝑓 (3) = 𝑓 ′ (𝑥) = 6√13𝑎 Ⓓ 𝑥 13 , ∀𝑥 > Khi ∫3 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥+1−√𝑥+1 Ⓐ Câu 39 Ⓑ Cho hàm số 𝑓 (𝑥) = 197 29 𝑚𝑥−4 𝑥−𝑚 181 Ⓒ Ⓓ (𝑚 tham số thực) Có giá trị nguyên 𝑚 để hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? Ⓐ Ⓑ Ⓒ.3 Ⓓ.2 Câu 40 Cho hình nón có chiều cao 2√5 Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích 9√3 Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho Ⓐ 32√5𝜋 Ⓑ 32𝜋 Ⓒ.32√5𝜋 Ⓓ.96𝜋 Câu 41 Cho 𝑥, 𝑦 số thực dương thỏa mãn 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔6 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 (2𝑥 + 𝑦) Giá trị 𝑥 𝑦 Ⓐ Ⓑ Ⓒ.𝑙𝑜𝑔2 ( ) Ⓓ.𝑙𝑜𝑔3 2 Trang 6/29 Câu 42 Gọi 𝑆 tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số𝑓 (𝑥) = |𝑥 − 3𝑥 + 𝑚| đoạn[0; 3]bằng 16 Tổng tất phần tử 𝑆 là: Ⓐ −𝟏𝟔 Ⓑ 𝟏𝟔 Ⓒ.−𝟏𝟐 Ⓓ.−𝟐 Câu 43 Cho phương trình 𝑙𝑜𝑔22 (2𝑥) − (𝑚 + 2) 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑚 − = ( 𝑚 tham số thực) Tập hợp tất giá trị 𝑚 để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1; 2] Ⓐ (1; 2) Câu 44 Ⓑ [1; 2] Ⓒ.1; 2) Ⓓ.2; +∞) Cho hàm số 𝑓 (𝑥) liên tục ℝ Biết 𝑐𝑜𝑠 𝑥 nguyên hàm hàm số f ( x ) e x , họ tất nguyên hàm hàm số f  ( x ) e x là: Ⓐ − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 Ⓑ −2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 Ⓒ.−2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 Ⓓ.2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 Câu 45 Cho hàm số 𝑓 (𝑥)có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn [−𝜋; 2𝜋] phương trình 2𝑓 (𝑠𝑖𝑛 𝑥 ) + = Ⓐ Ⓑ Ⓒ.3 Ⓓ.8 Câu 46 Cho hàm số bậc bốn 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥 + 3𝑥 ) Ⓐ Ⓑ Ⓒ.7 Ⓓ.11 Câu 47 Có cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) thỏa mãn ≤ 𝑥 ≤ 2020 𝑙𝑜𝑔3 (3𝑥 + 3) + 𝑥 = 2𝑦 + 9𝑦 ? Ⓐ 𝟐𝟎𝟏𝟗 Ⓑ 𝟔 Ⓒ.𝟐𝟎𝟐𝟎 Ⓓ.𝟒 Trang 7/29 Câu 48 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) liên tục ℝ thảo mãn 𝑥𝑓 (𝑥 ) + 𝑓 (1 − 𝑥 ) = −𝑥 10 + 𝑥 − 2𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ Khi ∫−1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥? Ⓐ −17 20 Ⓑ −13 17 Ⓒ Ⓓ.−1 ̂= Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 tam giác vuông cân 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐵𝐴 ̂ = 900 , góc hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵 ) (𝑆𝐴𝐶 ) 600 Thể tích khối 𝑆𝐶𝐴 cho Câu 49 Ⓐ 𝑎3 Ⓑ 𝑎3 𝑎3 𝑎3 Ⓒ Ⓓ Câu 50 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) Hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥) có đồ thị hình bên Hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓 (1 − 2𝑥) + 𝑥 − 𝑥 nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2 𝟑 𝟏 Ⓐ (𝟏; ) Ⓒ.(−𝟐; −𝟏) Ⓑ (𝟎; ) 𝟐 𝟐 Ⓓ.(𝟐; 𝟑) HẾT -BẢNG ĐÁP ÁN A A A C C D D A A C B A D 3 A A C B B C B 1 A A C A B B D D D A A B C A B C C 4 C D B A C 2 B D C B A D B A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, có cách chọn học sinh? Ⓐ 𝟏𝟒 Ⓑ 𝟒𝟖 Ⓒ.𝟔 Lời giải Ⓓ.𝟖 Chọn A Số cách chọn 1học sinh từ nhóm gồm 14 học sinh 14 Câu Cho cấp số nhân (𝑢𝑛 ) với 𝑢1 = 𝑢2 = Công bội cấp số nhân cho Trang 8/29 Ⓐ 𝟑 Ⓑ −𝟒 𝟏 Ⓓ Ⓒ.𝟒 𝟑 Lời giải Chọn A Ta có 𝑢2 = 𝑢1 𝑞 ⇒ 𝑞 = 𝑢2 𝑢1 = = Câu Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh 𝑙 bán kính đáy 𝑟 Ⓐ 𝟒𝝅𝒓𝒍 Ⓑ 2𝜋𝑟𝑙 Ⓓ 𝜋𝑟𝑙 Ⓒ.𝜋𝑟𝑙 Lời giải Chọn C Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh hình nón Câu Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có bảng biến thiên sau Hàm số cho đồng biến khoảng đây? Ⓐ (1; +∞) Ⓑ (−1; 0) Ⓒ.(−1; 1) Ⓓ.(0; 1) Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; −1) (0; 1) Câu Cho khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phương cho Ⓐ 216 Ⓑ 18 Ⓒ.36 Lời giải Ⓓ.72 Chọn A Thể tích khối lập phương có cạnh 𝑉 = 63 = 216 Câu Nghiệm phương trình 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥 − 1) = là: Ⓐ 𝑥 = Ⓒ.𝑥 = Ⓑ 𝑥 = Ⓓ.𝑥 = 2 Lời giải Chọn B Điều kiện: 2𝑥 − > ⇔ 𝑥 > Ta có 𝑙𝑜𝑔3 (2𝑥 − 1) = ⇔ { 𝑥> 2𝑥 − = 32 ⇔{ 𝑥> 𝑥=5 ⇔ 𝑥 = Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = Trang 9/29 3 Câu Nếu ∫1 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = −2 ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Ⓐ −3 Ⓑ −1 Ⓒ.1 Ⓓ.3 Lời giải Chọn Ⓑ 3 Ta có ∫1 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫2 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = −2 + = −1 Câu Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có bảng biến thiên sau: Giá trị cực tiểu hàm số cho Ⓐ Ⓑ Ⓒ.0 Ⓓ.−4 Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực tiểu hàm số cho −4 Câu Đồ thị hàm số có dạng đường cong đây? Ⓐ 𝑦 = −𝑥 + 2𝑥 Ⓑ 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 Ⓒ.𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 Ⓓ.𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 Lời giải Chọn A Từ hình dạng đồ thị ta loại phương án C D Nhận thấy 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞ suy hệ số 𝑥 âm nên chọn phương án A 𝑥→±∞ Câu 10 Với 𝑎 số thực dương tùy ý, 𝑙𝑜𝑔2 𝑎2 bằng: Ⓐ + 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Ⓑ + 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Ⓒ.2 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Ⓓ 𝑙𝑜𝑔2 𝑎 Lời giải Chọn C Trang 10/29 Căn vào bảng biến thiên phương trinh 3𝑓(𝑥) − = ⇔ 𝑓(𝑥) = có 3 nghiệm phân biệt Câu 24 Họ tất nguyên hàm hàm số 𝑓(𝑥) = Ⓐ 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥 − 1) + 𝐶 𝑥+2 𝑥−1 khoảng (1; +∞) Ⓑ 𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥 − 1) + 𝐶 Ⓒ.𝑥 − (𝑥−1)2 + 𝐶 Ⓓ.𝑥 + (𝑥−1)2 + 𝐶 Lời giải Chọn A Trên khoảng (1; +∞) 𝑥 − > 0nên 𝑥+2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ (1 + ) 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 𝑥−1 𝑥−1 = 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥 − 1) + 𝐶 Câu 25 Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thức 𝑆 = 𝐴𝑒 𝑛𝑟 ; 𝐴 dân số năm lấy làm mốc tính, 𝑆 dân số sau 𝑛 năm, 𝑟 tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2017, dân số Việt nam 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất Thống kê, Tr 79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi 0,81%, dự báo dân số Việt nam năm 2035 người (kết làm tròn đến chữ số hàng trăm)? Ⓐ 109.256.100 Ⓑ 108.374.700 Ⓒ.107.500.500 Lời giải Ⓓ.108.311.100 Chọn B Lấy năm 2017 làm mốc, ta có 𝐴 = 93.671.600; 𝑛 = 2035 − 2017 = 18 0,81 ⇒ Dân số Việt Nam vào năm 2035 𝑆 = 93.671.600 𝑒 18 100 ≈ 108.374.700 Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷 ′ có đáy hình thoi cạnh 𝑎, 𝐵𝐷 = 𝑎√3 𝐴𝐴′ = 4𝑎 (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ cho Ⓐ 2√3𝑎3 Ⓑ 4√3𝑎3 2√3𝑎3 Ⓒ 4√3𝑎3 Ⓓ Lời giải Chọn A Trang 15/29 Gọi 𝐼 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 Ta có: 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷, 𝐵𝐼 = 𝐼: 𝐴𝐼2 = 𝐵𝐴2 − 𝐵𝐼2 = 𝑎2 − ( 𝑎√3 𝐵𝐷 = 2 ) = 𝑎2 − 𝑎√3 3𝑎2 Xét tam giác vuông 𝐵𝐴𝐼 vuông = 𝑎2 ⇒ 𝐴𝐼 = 𝑎 ⇒ 𝐴𝐶 = 𝑎 1 𝑎√3 2 Diện tích hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐼 𝐴𝐶 = Vậy: 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶 ′ 𝐷′ = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴′ = 𝑎2 √3 Ⓑ 𝟏 𝑎2 √3 4𝑎 = 2√3𝑎3 Câu 27 Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số 𝑦 = Ⓐ 𝟎 .𝑎 = Ⓒ.𝟐 Lời giải 5𝑥 −4𝑥−1 𝑥 −1 Ⓓ.𝟑 Chọn C Tiệm cận ngang: 5𝑥 −4𝑥−1 Ta có: 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥 −1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 (5− − ) 𝑥 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 (1− 2) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 5− − 𝑥 𝑥 𝑥→+∞ 1−𝑥2 = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 𝑦 = Tiệm cận đứng: 𝑥=1 Cho 𝑥 = ⇔ [ 𝑥 = −1 Ta có: 𝑙𝑖𝑚𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 5𝑥 −4𝑥−1 𝑥→1 𝑥 −1 = 𝑙𝑖𝑚 (5𝑥+1)(𝑥−1) 𝑥→1 (𝑥+1)(𝑥−1) = 𝑙𝑖𝑚 5𝑥+1 𝑥→1 𝑥+1 = = nên 𝑥 = 1không tiệm cận đứng 𝑙𝑖𝑚 +𝑦 = 𝑥→(−1) 𝑙𝑖𝑚 + 𝑥→(−1) 𝑥+1 { 𝑙𝑖𝑚 + 𝑥→(−1) 5𝑥 − 4𝑥 − 5𝑥 − 4𝑥 − = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→(−1) 𝑥→(−1)+ (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑥2 − 1 5𝑥 − 4𝑥 − = 𝑙𝑖𝑚 + ( ) = −∞ 𝑥→(−1) 𝑥+1 𝑥−1 𝑙𝑖𝑚 + = +∞ 5𝑥 −4𝑥−1 𝑥−1 = −4 < Khi đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = −1 Tổng cộng đồ thị hàm số có tiệm cận Trang 16/29 Câu 28 Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 + 3𝑥 + 𝑑 (𝑎; 𝑑 ∈ ℝ) có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? Ⓐ 𝒂 > 𝟎, 𝒅 > 𝟎 Ⓑ 𝑎 < 0, 𝑑 > Ⓒ.𝑎 > 0, 𝑑 < Lời giải Ⓓ.𝑎 < 0, 𝑑 < Chọn D Ta có: 𝑙𝑖𝑚 = −∞ ⇒ đồ thị nhánh hàm số hướng xuống nên hệ 𝑥→+∞ số 𝑎 < Giao điểm đồ thị hàm số với trục tung 𝑂𝑦: 𝑥 = 0là điểm nằm bên trục hoành nên 𝑥 = ⇒ 𝑦 = 𝑑 < Câu 29 Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên Ⓐ ∫−1(−2𝑥 + 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 Ⓒ.∫−1(−2𝑥 − 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 Ⓑ ∫−1(2𝑥 − 2𝑥 − 4)𝑑𝑥 Ⓓ.∫−1(2𝑥 + 2𝑥 − 4)𝑑𝑥 Lời giải Chọn A Dựa hình vẽ ta có diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên là: 2 ∫ [(−𝑥 + 2) − (𝑥 − 2𝑥 − 2)]𝑑𝑥 = ∫ (−2𝑥 + 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 −1 −1 Câu 30 Cho hai số phức 𝑧1 = −3 + 𝑖 𝑧2 = − 𝑖 Phần ảo số phức 𝑧1 + 𝑧2 Ⓐ −2 Ⓑ 2𝑖 Ⓒ.2 Ⓓ.−2𝑖 Lời giải Chọn C Ta có: 𝑧2 = + 𝑖 Do 𝑧1 + 𝑧2 = (−3 + 𝑖) + (1 + 𝑖) = −2 + 2𝑖 Trang 17/29 Vậy phần ảo số phức 𝑧1 + 𝑧2 Câu 31 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 𝑧 = (1 + 2𝑖)2 điểm đây? Ⓐ 𝑃(−3; 4) Ⓑ 𝑄(5; 4) Ⓒ.𝑁(4; −3) Lời giải Ⓓ.𝑀(4; 5) Chọn A Ta có 𝑧 = (1 + 2𝑖)2 = 12 + 2.1.2𝑖 + (2𝑖)2 = −3 + 4𝑖 Vậy mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 𝑧 = (1 + 2𝑖)2 điểm 𝑃(−3; 4) Câu 32 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho vectơ 𝑎 = (1; 0; 3) 𝑏⃗ = (−2; 2; 5) Tích vơ hướng 𝑎 (𝑎 + 𝑏⃗) Ⓐ 25 Ⓑ 23 Ⓒ.27 Lời giải Ⓓ.29 Chọn B Ta có 𝑎 + 𝑏⃗ = (−1; 2; 8) Suy 𝑎 (𝑎 + 𝑏⃗) = (−1) + 0.2 + 3.8 = 23 Vậy 𝑎 (𝑎 + 𝑏⃗) = 23 Câu 33: Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼 (0; 0; −3) qua điểm 𝑀(4; 0; 0) Phương trình (𝑆) Ⓐ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + (𝒛 + 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 Ⓑ 𝑥 + 𝑦 + (𝑧 + 3)2 = Ⓒ.𝑥 + 𝑦 + (𝑧 − 3)2 = 25 Ⓓ.𝑥 + 𝑦 + (𝑧 − 3)2 = Lời giải Chọn A Phương trình mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼 (0; 0; −3) bán kính 𝑅 là: 𝑥 + 𝑦 + (𝑧 + 3)2 = 𝑅2 Ta có: 𝑀 ∈ (𝑆) ⇒ 42 + 02 + (0 + 3)2 = 𝑅2 ⇔ 𝑅2 = 25 Vậy phương trình cần tìm là: 𝑥 + 𝑦 + (𝑧 + 3)2 = 25 Câu 34 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, mặt phẳng qua điểm 𝑀(1; 1; −1) vng góc với đường thẳng 𝛥: 𝑥+1 = 𝑦−2 = 𝑧−1 có phương trình Ⓐ 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + = = Ⓑ 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = Ⓒ.2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − Ⓓ.𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 − = Lời giải Chọn C 𝛥: 𝑥+1 = 𝑦−2 = 𝑧−1 𝛥 có vec-tơ phương 𝑢 ⃗ = (2; 2; 1) Gọi (𝛼)là mặt phẳng cần tìm Trang 18/29 Có 𝛥 ⊥ (𝛼), nên 𝑢 ⃗ = (2; 2; 1) vec-tơ pháp tuyến (𝛼) Mặt phẳng (𝛼) qua điểm 𝑀(1; 1; −1) có vec-tơ pháp tuyến 𝑢 ⃗ = (2; 2; 1) Nên phương trình (𝛼) 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − = Câu 35 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, vectơ sau vectơ phương đường thẳng qua hai điểm 𝑀(2; 3; −1) 𝑁(4; 5; 3)? Ⓐ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢4 = (1; 1; 1) Ⓑ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢3 = (1; 1; 2) Ⓒ.𝑢 ⃗⃗⃗⃗1 = (3; 4; 1) Lời giải Ⓓ.𝑢 ⃗⃗⃗⃗2 = (3; 4; 2) Chọn B Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 = (2; 2; 4), suy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑢3 Do ⃗⃗⃗⃗ 𝑢3 vectơ phương đường thẳng 𝑀𝑁 Câu 36 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp số có ba chữ số khác Xác suất để số chọn có tổng chữ số số chẳn Ⓐ 41 81 Ⓑ Ⓒ 16 Ⓓ 81 Lời giải Chọn A Gọi 𝐴 biến cố số chọn có tổng chữ số số chẳn Ta có 𝑛(𝛺) = 9.9.8 = 648 Vì số chọn có tổng chữ số số chẳn nên sãy trường hợp sau: Trường hợp 1: Ba chữ số chọn số chẳn Số cách chọn xếp ba chữ số chẳn 𝐴35 Số cách chọn xếp ba chữ số chẳn số đứng đầu 𝐴24 Vậy nên số số thỏa biến cố 𝐴 là: 𝐴35 − 𝐴24 = 48số Trường hợp 2: Ba chữ số chọn có chữ số số lẽ chữ số số chẳn Số cách chọn xếp chữ số số lẽ chữ số số chẳn 𝐶52 𝐶51 3! Số cách chọn xếp chữ số số lẽ chữ số chẳn số đứng đầu 𝐶52 2! Vậy nên số số thỏa biến cố 𝐴 là: 𝐶52 𝐶51 3! − 𝐶52 2! = 280số Do 𝑛(𝐴) = 280 + 48 = 328 Ta có 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝛺) = 328 648 = 41 81 Câu 37 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy hình thang, 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐶𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy 𝑆𝐴 = 3𝑎 (minh họa hình bên) Gọi 𝑀 trung điểm 𝐴𝐵 Khoảng cách hai đường thẳng 𝑆𝐵 𝐷𝑀 Trang 19/29 Ⓐ 3𝑎 Ⓑ 3𝑎 3√13𝑎 Ⓒ 13 6√13𝑎 Ⓓ 13 Lời giải Chọn A Ta có 𝑀 trung điểm 𝐴𝐵 Theo giả thiết suy 𝐴𝐵𝐶𝐷 nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính 𝐴𝐵 ̂ = 90°; 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 60° 𝐴𝐶𝐵 ⇒{ 𝐴𝐶 = 𝑎√3 Vì 𝐷𝑀//𝐵𝐶 ⇒ 𝐷𝑀//(𝑆𝐵𝐶 ) 1 2 Do 𝑑 (𝐷𝑀, 𝑆𝐵 ) = 𝑑(𝐷𝑀, (𝑆𝐵𝐶 )) = 𝑑(𝑀, (𝑆𝐵𝐶 )) = 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) (vì 𝑀𝐵 = 𝐴𝐵) Kẻ 𝐴𝐻 ⊥ 𝑆𝐶 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐶 Ta lại có { ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝐶 ) ⇒ 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶 𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐴 𝐴𝐻 ⊥ 𝑆𝐶 Khi { ⇒ 𝐴𝐻 ⊥ (𝑆𝐵𝐶 ) ⇒ 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) = 𝐴𝐻 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶 Xét tam giác 𝑆𝐴𝐶 vuông 𝐴, ta có 𝐴𝐻 = 𝐴𝐶 𝑆𝐴2 𝐴𝐶 +𝑆𝐴2 = (𝑎√3) (3𝑎)2 (𝑎√3) +(3𝑎)2 = 9𝑎2 ⇒ 𝐴𝐻 = 𝑎 1 3𝑎 2 Vậy 𝑑 (𝐷𝑀, 𝑆𝐵) = 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) = 𝐴𝐻 = Câu 38 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) có 𝑓 (3) = 𝑓 ′ (𝑥) = Ⓐ Ⓑ 197 𝑥 𝑥+1−√𝑥+1 29 Ⓒ , ∀𝑥 > Khi ∫3 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 181 Ⓓ Lời giải Trang 20/29 Chọn B Xét ∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑥+1−√𝑥+1 𝑑𝑥 Đặt 𝑡 = √𝑥 + ⇒ 𝑥 + = 𝑡 ⇒ 𝑥 = 𝑡 − ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 Khi đó, ∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑥+1−√𝑥+1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 −1 𝑡 −𝑡 ⋅ 2𝑡𝑑𝑡 = ∫ (𝑡−1).(𝑡+1) 𝑡.(𝑡−1) ⋅ 2𝑡𝑑𝑡 = ∫(2𝑡 + 2)𝑑𝑡 = 𝑡 + 2𝑡 + 𝐶 = (𝑥 + 1) + 2√𝑥 + + 𝐶 Mà 𝑓 (3) = ⇔ (3 + 1) + 2√3 + + 𝐶 = ⇔ 𝐶 = −5 ⇒ 𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 1) + 2√𝑥 + − = 𝑥 + 2√𝑥 + − 8 ⇒ ∫3 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫3 (𝑥 + 2√𝑥 + − 4)𝑑𝑥 = ( 197 𝑥2 + √(𝑥 + 1)3 − 4𝑥)| = 36 − 3 19 = Câu 39 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) = 𝑚𝑥−4 𝑥−𝑚 (𝑚 tham số thực) Có giá trị nguyên 𝑚 để hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? Ⓐ Ⓑ Ⓒ.3 Lời giải Ⓓ.2 Chọn D Tập xác định 𝐷 = ℝ\{𝑚} −𝑚2 +4 Đạo hàm 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥−𝑚)2 Hàm số đồng biến (0; +∞) 𝑓 ′ (𝑥) > 0∀𝑥 ∈ (0; +∞) ⇔ { −𝑚2 + > −2 < 𝑚 < ⇔{ ⇔ −2 < 𝑚 ≤ 𝑚 ∉ (0; +∞) 𝑚≤0 Do 𝑚 ∈ ℤ ⇒ 𝑚 = {−1; 0} Vậy có hai giá trị nguyên 𝑚 thỏa mãn đề Câu 40 Cho hình nón có chiều cao 2√5 Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích 9√3 Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho Ⓐ 32√5𝜋 Ⓑ 32𝜋 Ⓒ.32√5𝜋 Ⓓ.96𝜋 Lời giải Chọn A Trang 21/29 Theo giả thiết tam giác 𝑆𝐴𝐵 đều, 𝑆𝛥𝑆𝐴𝐵 = 9√3 𝑆𝑂 = 2√5 𝑆𝛥𝑆𝐴𝐵 = 9√3 ⇔ 𝐴𝐵2 √3 = 9√3 ⇔ 𝐴𝐵 = 𝛥𝑆𝐴𝐵 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = Xét 𝛥𝑆𝑂𝐴 vng 𝑂, theo định lý Pytago ta có: 𝑂𝐴 = √𝑆𝐴2 − 𝑆𝑂2 = √62 − (2√5) = 1 32√5 3 3 Thể tích hình nón 𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ = 𝜋 𝑂𝐴2 𝑆𝑂 = 𝜋42 2√5 = 𝜋 Câu 41 Cho 𝑥, 𝑦 số thực dương thỏa mãn 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔6 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 (2𝑥 + 𝑦) Giá trị 𝑥 𝑦 Ⓑ Ⓐ Ⓒ.𝑙𝑜𝑔2 ( ) 2 Ⓓ.𝑙𝑜𝑔3 2 Lời giải Chọn B 𝑥 = 9𝑡 Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔6 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 (2𝑥 + 𝑦) Khi {𝑦 = 6𝑡 ⇒ 9𝑡 + 6𝑡 = 4𝑡 ⇔ 2𝑥 + 𝑦 = 4𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 ( ) + ( ) − = ⇔ [ ( ) = −1 𝑡 2 () = 𝑥 𝑡 𝑡 𝑦 2 𝑡 2 ⇔( ) = Do đó: = ( ) = ( ) = Câu 42 Gọi 𝑆 tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3𝑥 + 𝑚| đoạn[0; 3]bằng 16 Tổng tất phần tử 𝑆 là: Ⓐ −𝟏𝟔 Ⓑ 𝟏𝟔 Ⓒ.−𝟏𝟐 Lời giải Ⓓ.−𝟐 Chọn A Trang 22/29 Xét 𝑢 = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑚 đoạn [0; 3]có 𝑢′ = ⇔ 3𝑥 − = ⇔ 𝑥 = ∈ [0; 3] max u = max{𝑢(0), 𝑢(1), 𝑢(3)} = max{𝑚, 𝑚 − 2, 𝑚 + 18} = 𝑚 + 18 [0;3] Khi { u = min{𝑢(0), 𝑢(1), 𝑢(3)} = min{𝑚, 𝑚 − 2, 𝑚 + 18} = 𝑚 − [0;3] |𝑚 + 18| = 16 |𝑚 + 18| ≥ |𝑚 − 2| Suy 𝑀𝑎𝑥 𝑓 (𝑥) = max{|𝑚 − 2|, |𝑚 + 18|} = 16 ⇔ [ ⇔ |𝑚 − 2| = 16 [0;3] { |𝑚 − 2| ≥ |𝑚 + 18| 𝑚 = −2 [ 𝑚 = −14 { Do tổng tất phần tử 𝑆 −16 Câu 43 Cho phương trình 𝑙𝑜𝑔22 (2𝑥) − (𝑚 + 2) 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑚 − = ( 𝑚 tham số thực) Tập hợp tất giá trị 𝑚 để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1; 2] Ⓐ (1; 2) Ⓑ [1; 2] Ⓒ.1; 2) Lời giải Ⓓ.2; +∞) Chọn C 𝑙𝑜𝑔22 (2𝑥) − (𝑚 + 2) 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑚 − =  1 + log ( x )  − ( m + ) log x + m − = (∗) Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑔(𝑥) ⇒ ≤ 𝑡 ≤ giá trị 𝑥 cho giá trị 𝑡 (∗)trở thành (1 + 𝑡 )2 − (𝑚 + 2)𝑡 + 𝑚 − = ⇔ 𝑡 + 2𝑡 + − 𝑚𝑡 − 2𝑡 + 𝑚 − = ⇔ 𝑡 − = 𝑚 (𝑡 − 1) ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 + − 𝑚) = ⇔[ 𝑡 = 𝑚 − 1  (1) 𝑡 = 1        (2) Với 𝑡 = phương trình có nghiệm 𝑥 = Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm 𝑡 ≠ 0≤𝑚−1 0, ∀𝑢 ∈ ℝ nên hàm số 𝑓 (𝑢) đồng biến ℝ Do (2) ⇔ 𝑓 (𝑡 ) = 𝑓 (2𝑦) ⇔ 𝑡 = 2𝑦 ⇒ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) = 2𝑦 ⇔ 𝑥 + = 9𝑦 ⇔ 𝑥 = 9𝑦 − Vì ≤ 𝑥 ≤ 2020 ⇒ ≤ 9𝑦 − ≤ 2020 ⇔ ≤ 9𝑦 ≤ 2021 ⇔ ≤ 𝑦 ≤ 𝑙𝑜𝑔9 021 (𝑙𝑜𝑔3 021 ≈ 3,464) Do 𝑦 ∈ ℤ ⇒ 𝑦 ∈ {0; 1; 2; 3}, có giá trị y nên có giá trị 𝑥 Vậy có cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) Cách 2: Ta có: 𝑙𝑜𝑔3 (3𝑥 + 3) + 𝑥 = 2𝑦 + 9𝑦 ⇔ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 + = 2𝑦 + 32𝑦 Xét hàm số 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 + với 𝑥 ∈ [0; 2020] Ta có 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥+1) 𝑙𝑛 + > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑥 ∈ [0; 2020] ⇒ Hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến đoạn [0; 2020] Suy 𝑓 (0) ≤ 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 + ≤ 𝑓 (2020) ⇔ ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑙𝑜𝑔2 021 + 2021 ⇒ ≤ 2𝑦 + 9𝑦 ≤ 𝑙𝑜𝑔3 021 + 2021 < 2028 Nếu 𝑦 < ⇒ 2𝑦 + 9𝑦 < 9𝑦 < 90 = ⇒ 𝑦 ≥ Khi 𝑦 ∈ ℕ ⇒ (2𝑦 + 9𝑦 ) ∈ ℕ ⇒ 2𝑦 + 9𝑦 ≤ 2027 ⇒ 9𝑦 ≤ 2027 − 2𝑦 ≤ 2027 ⇒ 𝑦 ≤ 𝑙𝑜𝑔9 027 ≈ 3,465 ⇒ 𝑦 ≤ ⇒ ≤ 𝑦 ≤ ⇒ 𝑦 ∈ {0; 1; 2; 3} Do 𝑓 (𝑥) hàm số đồng biến nên với giá trị 𝑦 cho giá trị 𝑥 Trang 26/29 +) 𝑦 = ⇒ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 + = ⇔ 𝑥 = +) 𝑦 = ⇒ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 + = 11 ⇔ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 = 10 ⇔ 𝑥 = +) 𝑦 = ⇒ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 + = 85 ⇔ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 = 84 ⇔ 𝑥 = 80 +) 𝑦 = ⇒ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 + = 735 ⇔ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 1) + 𝑥 = 734 ⇔ 𝑥 = 729 Vậy có cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) Câu 48 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) liên tục ℝ thảo mãn 𝑥𝑓 (𝑥 ) + 𝑓 (1 − 𝑥 ) = −𝑥 10 + 𝑥 − 2𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ Khi ∫−1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥? Ⓐ −17 20 Ⓑ −13 17 Ⓒ Ⓓ.−1 Lời giải Chọn B Ta có 𝑥𝑓 (𝑥 ) + 𝑓 (1 − 𝑥 ) = −𝑥 10 + 𝑥 − 2𝑥 ⇒ 𝑥 𝑓 (𝑥 ) + 𝑥𝑓 (1 − 𝑥 ) = −𝑥 11 + 𝑥 − 2𝑥 Lấy tích phân hai vế cận từ đến ta được: 1 3) 2) ∫ 𝑥 𝑓 (𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑓 (1 − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥 11 + 𝑥 − 2𝑥 ) 𝑑𝑥 0 1 1 ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑 (𝑥 ) − ∫ 𝑓 (1 − 𝑥 )𝑑 (1 − 𝑥 ) = − 1 ⇒ ∫ 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡 − ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 = − ⇔ 1 1 5 ⇔ ∫0 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡 + ∫0 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 = − ⇔ ∫0 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡 = − ⇔ ∫0 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡 = − 8 Suy ∫0 𝑓 (𝑥)𝑑 𝑥 = − Lấy tích phân hai vế cận từ −1 đến ta được: 0 3) 2) ∫ 𝑥 𝑓 (𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑓 (1 − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥 11 + 𝑥 − 2𝑥 )𝑑𝑥 −1 −1 −1 1 17 ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑 (𝑥 ) − ∫ 𝑓 (1 − 𝑥 )𝑑 (1 − 𝑥 ) = − −1 −1 24 1 17 ( ) ∫ ⇒ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡 = − −1 24 1 17 ⇔ ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 − ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 = − −1 24 1 17 ⇔ ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 = − + ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 −1 24 ⇔ ⇒ ∫−1 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = −17 24 1 + ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −17 24 13 12 − =− ⇒ ∫−1 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = −13 Trang 27/29 ̂= Câu 49 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 tam giác vng cân 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐵𝐴 ̂ = 900 , góc hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵 ) (𝑆𝐴𝐶 ) 600 Thể tích khối 𝑆𝐶𝐴 cho Ⓐ 𝑎3 Ⓑ 𝑎3 𝑎3 𝑎3 Ⓒ Ⓓ Lời giải Chọn D S I A C a a B Hai tam giác vuông 𝑆𝐴𝐵 𝑆𝐴𝐶 chung cạnh huyền 𝑆𝐴 Kẻ 𝐵𝐼 vng góc với 𝑆𝐴 suy 𝐶𝐼 vng góc với 𝑆𝐴 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 𝑆𝐴 ⊥ 𝐼𝐶, 𝑆𝐴 ⊥ 𝐼𝐵 ⇒ 𝑆𝐴 ⊥ (𝐼𝐵𝐶 ) 𝐼 1 3 1 3 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝐴.𝐼𝐵𝐶 + 𝑉𝑆.𝐼𝐵𝐶 = 𝑆𝛥𝐼𝐵𝐶 𝐴𝐼 + 𝑆𝛥𝐼𝐵𝐶 𝑆𝐼 = 𝑆𝛥𝐼𝐵𝐶 (𝐴𝐼 + 𝑆𝐼) = 𝑆𝛥𝐼𝐵𝐶 𝑆𝐴 ̂ = 600 𝐵𝐼𝐶 ̂ = 1200 ((𝑆𝐴𝐵), (𝑆𝐴𝐶 )) = (𝐼𝐵, 𝐼𝐶 ) ⇒ (𝐼𝐵, 𝐼𝐶 ) = 60 ⇒ 𝐵𝐼𝐶 Ta có 𝐼𝐶 = 𝐼𝐵 < 𝐴𝐵 = 𝑎 mà 𝐵𝐶 = 𝑎√2 nên tam giác 𝐼𝐵𝐶không thể suy ̂ = 1200 𝐵𝐼𝐶 Trong tam giác 𝐼𝐵𝐶 đặt 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝑥 (𝑥 > 0) có: 𝑐𝑜𝑠 200 = 2𝑥 −(𝑎√2) 2𝑥 ⇒𝑥= 𝑎√6 ⇒ 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶 = 𝐼𝐵2 +𝐼𝐶 −𝐵𝐶 2𝐼𝐵.𝐼𝐶 𝑎√6 Trong tam giác 𝐴𝐵𝐼 vng 𝐼 có: 𝐴𝐼 = √𝐴𝐵2 − 𝐼𝐵2 = √𝑎2 − ( 𝑎√6 ) = Trong tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông 𝐵 đường cao 𝐵𝐼 có: 𝐴𝐵2 = 𝐼𝐴 𝑆𝐴 ⇒ 𝑆𝐴 = 𝑎2 𝑎√3 ⇒− = 𝑎√3 𝐴𝐵2 𝐼𝐴 = = 𝑎√3 11 32 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 == 𝑆𝛥𝐼𝐵𝐶 𝑆𝐴 = ̂ = (𝑎√6) 𝑎 √3 𝑠𝑖𝑛 200 = 𝑎 𝐼𝐵 𝐼𝐶 𝑆𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝐵𝐼𝐶 6 Câu 50 Cho hàm số 𝑓 (𝑥) Hàm số 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) có đồ thị hình bên Hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓 (1 − 2𝑥) + 𝑥 − 𝑥 nghịch biến khoảng ? Trang 28/29 y –2 O x –2 𝟑 𝟏 Ⓐ (𝟏; ) Ⓒ.(−𝟐; −𝟏) Ⓑ (𝟎; ) 𝟐 𝟐 Ⓓ.(𝟐; 𝟑) Lời giải Chọn A Ta có : 𝑔(𝑥) = 𝑓 (1 − 2𝑥) + 𝑥 − 𝑥 ⇒ 𝑔′ (𝑥) = −2𝑓 ′ (1 − 2𝑥) + 2𝑥 − 2𝑥−1 Do :𝑔′ (𝑥) ≤ ⇔ −2𝑓 ′ (1 − 2𝑥) + 2𝑥 − ≤ ⇔ 𝑓 ′ (1 − 2𝑥) ≥ Đặt 𝑡 = − 2𝑥 𝑥 Vẽ đường thẳng 𝑦 = − đồ thị hàm số 𝑓 ′ (𝑥) hệ trục y –2 O x –2 −2 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡≥4 ≤ 𝑥 ≤ −2 ≤ − 2𝑥 ≤ ⇔[ ⇔ [2 ≤ − 2𝑥 𝑥≤− 𝑡 Hàm số 𝑔(𝑥) nghịch biến ⇒ 𝑔′ (𝑥) ≤ ⇒ 𝑓 ′ (𝑡 ) ≥ − ⇒ [ Như 𝑓 ′ (1 − 2𝑥) ≥ 1−2𝑥 −2 2 Vậy hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓(1 − 2𝑥) + 𝑥 − 𝑥 nghịch biến khoảng ( ; ) 2 (−∞; − ) 3 Mà (1; ) ⊂ ( ; )nên hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓(1 − 2𝑥) + 𝑥 − 𝑥 nghịch biến 2 khoảng(1; ) - HẾT - Trang 29/29 ... [0; 20 20] Suy