BỘ 65 đề HSG 6 và HƯỚNG dẫn GIẢI

BỘ 65 ĐỀ HSG VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ A = + + + 11 + + 2012       1        b/ B = 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷1 − ÷ 2011 2012 Bài (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1 + + + + < 2 (2 n) 2n + 3n − 4n − + − Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : A = n −3 n−3 n −3 b/ Chứng minh : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A phân số tối giản Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab − ba số phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10) o với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC a o Bài (3.0 điểm) : Cho A = 102012 + 10 2011 + 102010 + 102009 + a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương Hết Trang 1/109 ĐÁP ÁN CÂU NỘI DUNG a/ A = + + + 11 + + 2012 ĐIỂM A = (2 + 2012) [ (2012 − 2) : + 1] : = 675697    1           2012       2011 B =  − ÷ − ÷ − ÷  − − ÷ ÷  2  3  4   2011 2011  2012 2012  2010 2011 B = 2011 2012 B= 2012 2.0  b/ B = 1 − ÷1 − ÷ − ÷  − ÷1 − ÷ 2011 2012 Câu 2.0 a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x + = −55 (1) 3y − Để x nguyên 3y – ∈ Ư(-55) = { 1;5;11;55; −1; −5; −11; −55} +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = => 3y = => y = 2.0 +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = Câu +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = −53 (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : 1 1 + + + + < 2n Ta có 1 1 + + + + (2n) 1 1 A= + + + + 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1 1 1  1 1 1  A =  + + + + ÷ <  + + + ÷ 42 n   1.2 2.3 3.4 (n − 1) n  A= Câu 1 1 1 1 1 A <  − + − + − + + − ÷ 1 2 3 ( n − 1) n  1 1 A <  − ÷< (ĐPCM) 4 n 2n + 3n − 4n − + − Cho biểu thức : A = n −3 n−3 n −3 2.0 1.0 a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên Ta có : 2n + 3n − 4n − (2n + 1) + (3n − 5) − (4n − 5) 2n + + 3n − − 4n + n + + − = = = n −3 n −3 n −3 n −3 n−3 n−3 n −3+ 4 A= = 1+ (2) n −3 n −3 A nguyên n – ∈Ư(4) = { 1; 2; 4; −1; −2; −4} => n ∈ { 4;5;7; 2;1; −1} A= b/ Tìm n để A phân số tối giản n +1 (Theo câu a) n−3 Xét n = ta có phân số A = phân số tối giản −3 Ta có : A = Xét n ≠ ; Gọi d ước chung (n + 1) (n – 3) => (n + 1) Md (n – 3) Md => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho d => d = ± ; ± 2; ± => d lớn => A phân số tối giản Kết luận : Với n = A phân số tối giản Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab − ba số phương Ta có : 1.0 ab − ba = (10a + b) − (10b + a ) = 10a + b − 10b − a = 9a − 9b = 9(a − b) = 32 (a − b) Vì => a,b ∉ { 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} => ≤ a- b ≤ Câu Câu Để ab − ba số phương a – b = 1; +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện tốn 43 73 Hình vẽ D C y (a+20)o (a+10)o x 22o ao 48o A B O E Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc a o, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10) o với tia OB góc (a + 3.0 2.0 20)o.Tính ao Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB · · COD > COA (a + 10 > a ) Nên tia OC nằm hai tia OA v OD · · => ·AOC + COD + DOB = ·AOB => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v OB · Ta có : ·AOy = 180o − BOy = 180o − 48o = 132o > ·AOx = 22o Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy · · · => ·AOx + xOy = ·AOy => 22o + xOy = 132o => xOy = 132o − 22o = 110o c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên 1.0 o ·AOC + COD · = ·AOD => ·AOD = a o + ( a + 10 ) = 2a o + 10o = 2.50o + 10o = 110o 1.0 · Vì AOx < ·AOD(22o < 110o ) nên tia Ox nằm hai tia OA OD · · · · => AOx + xOD = ·AOD => 22o + xOD = 110o => xOD = 110o − 22o = 88o Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o Cho A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có : ( ) ( ) A = 103 102009 + 102008 + 102007 + 10 2006 + = 8.125 102009 + 102008 + 10 2007 + 10 2006 + ( ) A = 125 102009 + 102008 + 102007 + 102006 + 1 M (1) Câu Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên A = 10 2012 + 10 2011 + 10 2010 + 102009 + có chữ số tận Vậy A số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; ĐỀ SỐ Bài 1: Thực phép tính: 1.5 1.5  9 1) −3 +  − + ÷;  4 ( −9 ) 11 + 32 ( −9 ) 2) ; ( −43) 15 + 12 ( −43) 3) 2011 x + x − x với x = 2012 Bài 2: Tìm x, biết: x−2 x+ = 1; 1) 2) x −1 = 3) ( x − 1) ( x + ) ≤ Bài 3: 1) Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 2) Chứng tỏ a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn k chia hết cho Bài 4: 1) Cho đường thẳng phân biệt cắt O Hỏi có tất góc đỉnh O tạo thành từ đường thẳng khơng kể góc bẹt 2) Cho góc xOy tia Oz nằm hai tia Ox Oy Gọi Ot Ot’ hai tia phân giác · ' = xOy · góc xOz zOy Chứng tỏ rằng: tOt Bài 5: Chứng tỏ với số tự nhiên n A = 16n − 15n − chia hết cho 15 - Hết - ĐÁP ÁN Bài 1(6đ) 1) -7/4; 2) 1/3; Hướng dẫn chấm 3) Điểm 6.0đ (4.5đ) 3(3đ) x (5đ)t Mỗi câu cho 2.0 điểm 1) x = 2; 2) x = -1/2; x = 9/2; Mỗi câu cho 1.5 điểm 1) Gọi số abc;0 ≤ a; b; c ≤ 9, a ≠ Ta có abc = 100a + 10b + c = ( 98a + 7b ) + ( 2a + 3b + c ) M7 ⇒ 2a + 3b + c M7 Mặt khác a + b + c M7 nên suy b − c M7 ⇒ b – c = -7; 0; - Với b – c = -7 c = b + a + b + c M7 nên ta có số thỏa mãn: 707; 518; 329 - Với b – c = ta có số 770; 581; 392 - Với b – c = ⇒b = c mà a + b + c M7 nên a + 2bM7 Do ≤ a + 2b ≤ 27 nên a + 2b nhận giá trị 7; 14; 21 Từ ta có số thỏa mãn: 133; 322; 511; 700; 266; 455; 644; 833; 399; 588; 777; 966 Vậy có tất 18 số kể 2) Vì a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn nên số lẻ không chia hết cho 3, ta có: a + k – a = k chia hết cho Mặt khác chia số cho tồn số có số dư: - Nếu a a + k có số dư a + k – a = k chia hết cho - Nếu a a + 2k có số dư a + 2k – a = 2k chia hết cho 3, mà (2, 3) = nên k chia hết cho - Nếu a + k a + 2k có số dư a + 2k – a + k = k chia hết cho Vậy trường hợp ta ln có k chia hết cho mà (2, 3) = nên k chia hết cho 2.3 = 1) đường thẳng cắt O tạo thành 10 tia gốc O Mỗi tia tạo với tia lại thành góc đỉnh O Do ta có 10.9 = 90 góc tạo thành góc tính lần có góc bẹt nên có 90 : – = 40 góc đỉnh O khơng kể góc bẹt 2) Vì Ot, Ot’ phân giác góc xOz, zOy nên ta có: z t’ y O (1.5đ) 3) -2 ≤ x ≤ · ¶ = xOz · ; zOt · ' = t· ' Oy = zOy · xOt = tOz 2 1· ¶ + zOt · ' = xOz · ⇒ tOz + zOy 2 · 1· · = xOz + zOy = xOy 2 ( 4.5đ 1.5đ 1.5đ 3.0đ 2.0đ ) Chứng minh phương pháp quy nạp Với n = ta có A = chia hết cho 15 Giả sử toán với n = k tức A = 16k − 15k − chia hết cho 15 k +1 ta chứng minh với n = k + 1, tức A = 16 − 15 ( k + 1) − chia hết cho 15 Thật vậy, ta có 16k − 15k − = 15q, q ∈ N ⇒ 16 k = 15k + 15q + ⇒ 16k +1 − 15 ( k + 1) − = 16.16 k − 15k − 16 = 16 ( 15k + 15q + 1) − 15k − 16 = 15 ( 16k + 16q − k ) M 15 1.5đ ĐỀ SỐ Bài ( 4,0 điểm): 7 + − a, Tính M = 2012 − − 2012 b, So sánh A B biết A = 2010 2011 2012 1 1 + + B = + + + + 2011 2012 2010 17 Bài ( 4,0 điểm):     a, Tìm x biết  + − 2, 75 ÷x − =  + 0,65 + ÷: 0,07 200  8  2 b, Tìm số tự nhiên x, y cho ( x, y ) = x+ y = 2 x +y 25 Bài ( 4,0 điểm): a, Tìm chữ số tận số 14 P = 1414 + 99 + 23 b, Tìm ba số nguyên dương biết tổng ba số nửa tích chúng Bài 4( 2,0 điểm): Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd Chứng minh A = a n + bn + cn + dn hợp số với số tự nhiên n Bài 5( 6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a, Chứng tỏ OA < OB b, Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O c, Lấy điểm P nằm đường thẳng AB Cho H điểm nằm tam giác ONP Chứng tỏ tia OH cắt đoạn NP điểm E nằm N P Hết ĐÁP ÁN Bài Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm a, Câu a : 2,0 điểm N= N= Bài 4,0 đ N= N= 0,5 đ 1  + − .2012.9.2   2012  1 5 − .2012.9.2  −  2012  7.9.2 + 7.2012.2 − 1006.9 5.2012.2 − 3.9.2 − 2012.9 7.2021 − 503.9 5.2012 − 3.9 − 1006.9 9620 979 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b, Câu b: 2,0 điểm       A = 1 −  + 1 −  + 1 +   2011   2012   2010    1   A = 3+ − − +   2010 2011   2010 2012  A>3 1  1 1 1 1 B =  +  +  + +  +  + +    10 17  3 4 5 1 B < + + 8 B B a, Câu a:( 2,0 điểm) Bài (4,0đ) 437 x−7 = : 200 100 437 100 x−7 = 200 437 x= +7 14 535 x= 14 535 x= : 14 x = 61 0,75 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ Câu b: 2,0 điểm Vai trò x, y bình đẳng Giả sử x ≥ y, ta có 0, 25 đ 7(x2+y2)=25(x+y) x(7x – 25) = y(25-7y) Suy 7x – 25 25 – 7y dấu x, y số tự nhiên a, Nếu 7x – 25 < 25 – 7y < Suy x < 4, y > ( trái với điều giả sử) b, Nếu 7x – 25 > 25 – 7y > Vậy x ≥ 4, y < Thử số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta x = 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ x+ y = 2 x +y 25 Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò x, y nên (x,y) = (3,4) 0, 25 đ a, Câu a: 2,0 điểm 14 P = 1414 + 99 + 23 - Tìm chữ số tận 1414 - Tìm chữ số tận 9 - Tìm chữ số tận Chữ số tận P chữ số tận tổng (6+9+2): b, Câu b: 2,0 điểm Gọi số nguyên dương cần tìm a, b, c Ta có a + b + c = abc/2 Giả sử a ≤ b ≤ c a + b + c ≤ 3c 14 Bài (4,0đ) Do 0, đ 0, đ 0, đ 0, đ 0, 25 đ 0, 25 đ abc ≤ 3c hay ab ≤ 0, 25 đ Có trường hợp sau 1, ab = suy c = 3,5 ( loại ) 2, ab = Suy a = 1, b = , c = ( Loại) 3, ab = Suy a = 1, b = , c = 5( thỏa mãn) a =2, b = 2, c = (Thỏa mãn) 4, ab = Suy a = 1, b = 3, c = ( thỏa mãn) 5, ab = ( Không thỏa mãn) 6, ab = ( Không thỏa mãn Vậy ba số cần tìm 1, 4, 1, 3, Bài 4: 2,0 điểm Giả sử t = (a,c) Đặt a = a1t; c = c1t với (a1,c1) = ab = cd suy a1bt = c1dt , Suy a1b = c1d Mà (a1,c1) = suy b chia hết c1 , đặt b c1k Do d = a1k Ta có A = a1n tn + c1n.kn + c1n.tn + a1n.kn A = ( a1n + c1n)(kn + tn) Vì a1; c1; t; k nguyên dương nên A hợp số a, Câu a: 2,0 điểm 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ P Bài 6,0 điểm E H O M A N Hai tia AO AB hai tia đối Suy điểm A nằm điểm O điểm B Vậy OA < OB b, Câu b : 2,0 điểm Vì M, N trung điểm OA OB Suy OM = (1/2) OA, ON = (1/2) OB Theo câu a OA < OB nên OM < ON M, N thuộc tia OB nên M nằm O N Suy OM + MN = ON 10 B 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ b m + n = | m| + | n| với m n dấu c m + n = | m| + | n| với m n trái dấu d m + n = | m| + | n| với m n dương x ; tìm x: 10 63 10 a b c 25 21 1 1 − − − − − là: Bài 3: Kết tổng A = 10 90 72 b a c 10 Bài 2: Biết d d Bài 4: Chứng minh :A = (2005 +20052 + + 200510) 2006 Bài 5: Tìm hai số nguyên dương biết tích hai số gấp đơi tổng hai số 23 32 Bài 6: So sánh số: 22 Bài 7: Tìm x biết: 4| x - 5| + | 3x - 4| +12 = Bài 8: Cho điểm O đường thẳng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy vẽ tia Oz cho góc xOz nhỏ 900 a Vẽ tia Om; On phân giác góc xOz góc zOy b Tính số đo góc nhọn hình số góc mOz 300 ĐÁP ÁN Bài 1: Chọn câu d: Bài 2: Chọn câu a: Bài 3: Chọn câu d: Bài 4: Ta có: A = (2005 +20052 + + 20059 + 200510) = = 2005 (1 + 2005) +20053 (1 + 2005)+ + 20059 (1+ 2005) = 2006 (2005 + 20053 + + 20059 )  2006 Vậy A  2006 Bài 5: Gọi số nguyên dương phải tìm a b Ta có: (a + b) = ab (1) Do vai trò a b nhau; ta giả sử a< b nên a + b < 2b Do (a + b) < 4b (2) Từ (1) (2) suy ra: ab < 4b Chia vế cho b > ta a ≤ Thay a = vào (1) ta 2b + = b loại Thay a = vào (1) ta + 2b = 2b loại Thay a = vào (1) ta + 2b =3 b ⇒ b = Thay a = vào (1) ta + 2b =4 b ⇒ b = Vậy có cặp số thoả mãn 6; Bài 6: Ta có 32 = 38 = 94 > 84 = 212 > 210 Từ đó: 23 > 22 = 22 = > 32 = 32 điểm điểm điểm điểm điểm 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm 23 23 Suy ra: 23 > 32 10 9 32 32 95 1.0 1.0 Bài 7: Khơng tìm x vế trái ln lớn với x Bài 8: a Vẽ hình (1đ) m z n x O điểm điểm y 0.5 b Vì Om phân giác góc xOz nên ∠xOm = ∠mOz = 1/2∠xOz mà ∠mOz = 300 Suy ra: ∠xOm = 300 ∠xOz = 600 + góc ∠xOz ∠zOy kề bù nên ∠xOz = ∠zOy = 1800 Suy ra: ∠zOy = 1800 - ∠xOz = 1800 - 600 = 1200 + Vì On phân giác góc zOy nên ∠zOn = ∠nOy = 1/2 ∠zOy = 1/2 1200 = 600 Kết luận: ∠xOm = 300 ∠xOm = ∠nOy = 600 0.5 0.5 0.5 ĐỀ SỐ 57 Khoanh tròn chữ a,b,c,d câu Bài 1: Cho số nguyên m n: a m n = | m| | n| vói m n b m n = | m| | n| với m n dấu c m n = | m| | n| với m n trái dấu d m n = | m| | n| với m n âm Bài 2: Với a số nguyên: Tổng: a a a3 + + số nguyên Khẳng định là: a Đúng Bài 3: Qua ba điểm A,B,C ta có: a AB + BC = AC b AB + BC > AC Bài 4: Chứng minh rằng: A= b sai c AB + BC ≥ AC b AB + BC ≤ AC 1 1 + + + + 99 < 3 3 Bài 5: Tìm số nguyên tố p cho số p + p + Cũng số nguyên tố Bài 6: Tìm ssó tự nhiên nhỏ có tính chất sau: Số chia cho dư 1; chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 13 Bài 7: Tìm x biết: | x- 1| = 2x + 96 Bài 8: Cho đoạn thẳng Ab = 7cm Điểm C nằn Avà B cho AC = 2cm Các điểm D,E theo thứ tự trung điểm AC CB Gọi I trung điểm DE tính DE CI ĐÁP ÁN Bài 1: Chọn câu a: Bài 2: Chọn câu b: Bài 3: Chọn câu c: Bài 4: điểm điểm điểm điểm 0,5 1 + + + 98 3 Nên 3A - A = - 99 1 1 Hay 2A = - 99 ⇒ A = − 99 < 2.3 Ta có: 3A = + + 0.5 0.5 Vậy A < ẵ Bài 5: Số p có dạng 3k; 3k + 1; 3k + với k ∈ N * Nếu p = 3k p = ( p số ngun tố) Khi p + =5; p + =7 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k +3 chia hết cho lớn nên p +2 hợp số trái với đề Nếu P = 3k +2 p +4 = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số; trái với đề Vậy p = giá trị phải tìm Bài 6: Gọi x số phải tìm x + chia hết cho 3; 4; 5; nên x +2 bội chung 3; 4; 5; BCNN (3,4,5,6) = 60 nên x + = 60n Do x = 60n - (n = 1,2,3 ) Do x số nhỏ có tính chất x phải chia hết cho 13 Lần lượt cho n = 1,2,3 ta thấy đến n = 10 Thì x = 598 chia hết cho 13 Số nhỏ cần tìm 598 Bài 7: | x - 1| = 2x + ta có: x - = 2x + x - = -(2x + 3) * x - = 2x +3 2x - x = -1 - x=-4 * x - = -(2x + 3) x + 2x = -3 + x = -2/3 Vậy x = -4; x = -2/3 0.5 điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 8: Vẽ hình A D C điểm I E B 97 0.5 0.5 điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 + Ta có: AC + CB = AB ( C nằm AB) nên CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + Vì D E nằm A,B nên AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vì D trung điểm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vì E trung điểm BC) Vậy DE = - - 2,5 = 3,5 (cm) + Vì I trung điểm DE Nên DI = 1/2 DE = 1/2 3,5 = 1,75(cm) Suy AI = AD + DI = + 1,75 = 2,75 + Ta thấy AD < AC < AI nên (nằm D I) nên DC + CI = DI Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - = 0,75 (cm) Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ĐỀ SỐ 58 Đề Olimpic huyện năm học 2005 2006 (Thời gian làm 120 phút) Bài Thực phép tính: 20 27 − 915 25 29.125 − 39 1519 Bài Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; có số dư Bài Một Đoàn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính toán cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, không thiếu người thuyền Đoàn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ? Bài Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ? Bài Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 HƯỚNG DẪN Bài (4 điểm) Thực phép tính: 27 − 25 20 27 − 330 518 = = 29.125 − 39 1519 29 518 − 310 319 519 20 15 29 20 − 331 518 29 518 (5 − ) = = 29 18 = (Mỗi bước đ) 29 518 − 29 519 (7 − 5) Bài (5 điểm) Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; có số dư Theo suy ra: (359** - 1) chia hết cho BCNN (5; 6; 7); BCNN (5; 6; 7) = 210 (1 đ) Hay 359ab = 35700 + 200 + ab (a ; b ∈ N; ≤ a ; b ≤ 9) (1 đ) => 359ab - = 210 170 + 199 + ab (1 đ) 98 => 199 + ab chia hết cho 210 => ab = k 210 - 199 (k ∈ N ) (1,5 đ) k = => ab = 11 Vậy số cần tìm 35911 (1,5 đ) Bài (4 điểm) Một Đoàn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách khơng thừa, khơng thiếu người thuyền Đồn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ? Giả sử thuyền chở 30 người 11 thuyền chở được: 30 11 = 330 (người) (1 đ) Nên số thuyền người lái chở 24 người / thuyền (330 - 300): (30 - 24) = (thuyền) (1 đ) Giả sử thuyền có người láI, số người láI thuyền là: 11 = 22 (người) (1 đ) Nên số thuyền người láI chở 30 người là: 22 -19 = (thuyền) Suy số thuyền người láI chở 30 người / thuyền là: 11 - (3 + 5) = (thuyền) (1 đ) Bài (4 điểm) Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ? Nhận xét: Số a có n chữ số khi: 10 n −1 ≤ a ≤ 10 n (1 đ) (1) Ta thấy: 50 = 216 34 = 216 (2 ) = 216 512 128 (0,5 đ) 1016 = 216 516 = 216 (5 ) = 216 625 (2) 50 16 Từ (1) (2) suy ra: < 10 (0.5 đ) 50 15 35 15 15 (3) Mặt khác: = = (2 ) = 128 (0,5 đ) 15 15 15 15 15 10 = = (5 ) = 125 (4) 15 50 10 < Từ (3) (4) suy ra: (0.5 đ) 15 50 16 Vậy ta có: 10 < < 10 ; Nên số 250 có 16 chữ số viết hệ thập phân (1đ) Bài (3 điểm) Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 77  = 777777.1045 +777777 1039+ + 777777 103+777 (0.5 đ) Ta có: 51chu sơ = 777777(1045 + 1039 + + 103) + 777 (0.5 đ) 77  chia cho 777 777 dư 777 Suy ra: 51chu sô (0.5 đ) 77  = A ; 777 777 = B; 1045 + 1039 + + 103 = C Đặt 51chu sô (0.5 đ) Ta có A = B.C + 777 hay A - B C = 777 Từ ước chung A B ước 777 Mặt khác 777 ước số A B (0.5 đ) 48 45 ( A = 777.(10 +10 + + 1); B = 777 1001) Vậy 777 ƯCLN A B (0.5 đ) ĐỀ SỐ 59 Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số abc , biết rằng: b = ac abc − cba = 495 Bài 2: a)Tính nhanh: b)Rút gọn: 52.611.162 + 62.126.152 2.612.104 − 812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 1978.1979 + 1980.21 + 1958 1980.1979 − 1978.1979 6n + 99 3n + 99 a)Có giá trị số tù nhiên b)Là phân số tối giản n 11 + + + + n +1 + + 12 với n ∈ N 5 5 Bài 4: Cho A = Chứng minh A < 16 Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 a) Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy HƯỚNG DẪN Bài 1: Ta có abc − cba = (100a + 10b + c ) − (100c + 10b + a ) = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 99a − 99c = 99( a − c ) = 495 ⇒ a − c = 495 : 99 = Vì b = ac ≤ b ≤ mà a - c = Nên ta có: Với a = Mc = b2 = 9.4 = 36 Mb = (Nhận) Với a = Mc = b2 = 8.3 = 24 Mkhơng có giá trị b Với a = Mc = b2 = 7.2 = 14 Mkhơng có giá trị b Với a = Mc = b2 = 6.1 = Mkhơng có giá trị b Bài 2: 1978.1979 + 1980.21 + 1958 1978.1979 + 1979.21 + 21 + 1958 = 1980.1979 − 1978.1979 1979.(1980 − 1978) 1979.(1978 + 21) + 21 + 1958 1979.(1978 + 21 + 1) = = 1979.2 1979.2 1979.2000 = = 1000 1979.2 a) ( ) ( ) ( )( ) 52.611.162 + 62.126.152 52.( 2.3) + ( 2.3) 22.3 ( 3.5) = 12 2.612.10 − 812.9603 2.( 2.3) ( 2.5) − 34 26.3.5 11 b) ( ) 52.219.311 + 214.310.53 52.310.214 25.3 + 25.3 + = 17 12 11 18 = 17 11 = − 5 ( 5.3 − ) 23.5.3.12 32.3 + 96 + 101 = = = 8.15.12 120.12 1440 6n + 99 6n + + 91 2( 3n + ) + 91 2( 3n + ) 91 = = = + = 2+ Bài 3: Đặt A = 3n + 3n + 3n + 3n + 3n + 91 3n + a) Để A số tù nhiên 91⋮ 3n + ⋮ 3n + ước 91 hay 3n + thuộc {1; 7; 13; 91} Với 3n + = n = -1 Loại n số tù nhiên Với 3n + = n = Nhận A = + 13 = 15 Với 3n + = 13 n = Nhận A = + = Với 3n + = 91 n = 29 Nhận A = + = b) Để A phân số tối giản 91 không chia hết 3n + hay 3n + không ước 91 Suy 3n + không chia hết cho ước nguyên tố 91 Từ suy ra: 100 3n + khơng chia hết cho suy n ≠ 7k +1 3n + không chia hết cho 13 suy n ≠ 13m + Bài 4: n 11 + + + n + + 11 Suy ra: 5 5 Xét A = + n 11   n 11  1 A = A − A =  + + + + n + + 11 ÷−  + + + + n +1 + + 12 ÷ 5  5 5 5  5 5 1 1 11 A = + + + + n + + 11 − 12 5 5 5 11 A = B − 12 Với 1 1 + + + + n + + 11 5 5 1 1 ⇒ B = + + + + + n −1 + + 10 5 5  1 1 1   1 ⇒ B = B − B = 1 + + + + + 10 ÷−  + + + + n + + 11 ÷  5 5 5   5 B= 511 − 511 − = ⇒ B = 511 511 4.511 511 − 11 512 − − 44 512 − 49  49  ⇒ 4A = − = ⇒ A = • = • 1 − 12  < 11 12 12 12 16 16   16 4.5 4.5 ⇒ 4B = − Bài 5: Hình vẽ t y z 970 x' 540 400 x O a)Theo đề ta có góc x’Ox = 180 mà góc x’Oy góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 40 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b)Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 540) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy 101 ĐỀ SỐ 60 Phòng GD huyện Ngọc Lạc Trường Cao Thịnh năm 2006 2007 Thời gian làm bài:120 phút Bài (4 điểm) : Tính giá trị biểu thức : a/ A = + (-2) +3 + (-2) + + 2003 + (-2004) + 2005 b/ B = - + 13 - 19 + 25 - 31 + (B có 2005 số hạng) Bài 2(5 điểm) : a/ Chứng minh : C = ( 2004 + 2004 + 2004 + +2004 10 ) chia hết cho 2005 b/ Tìm số nguyên n cho n + chia hết cho n + Bài 3(4 điểm) : Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư chia hết cho 13 Bài 4(2 điểm) : Tìm x số nguyên biết : x − + x − = Bài (5 điểm): Cho đoạn thẳng AB = cm ; điểm C nằm A b cho AC = cm ; điểm D, E theo thứ tự trung điểm AC CB ,Gọi I trung điểm DE.Tính độ dài DE CI ĐÁP ÁN Bài : a/ A = + (-2+3) + (-3+4) + + (-2002+2003) + (-2004 + 2005) = 1+ + + + 1+ + ( có 1002 số hạng) = 1003 b/ B = – +13 – 19 + 25 – 31 + (B có 2005 số hạng) = +C C = (-7+13) + (-19+25) + (-31+37) + (C có 1002 cặp) = + 6+ + = 6012 Vậy B = 6013 Bài : a/ C = (2004 + 20042) + (20043+20044) + +( 20049+200410) = 2004.2005 + 20043.2005 + + 20049.2005 = 2005.( 2004 +20043+ + 20049) 2005 b/ n + = (n + 1) + ⇒ ⇔ n+4 = 1+ ∈Z n +1 n +1 ∈ Z ⇔ n + ∈ Ư(3) = { ± 1;±3 } n +1 Vậy n ∈{-4;-2;0;2} Bài : Gọi số phải tìm a (a nguyên dương) Theo gt : chia cho dư 1, chia cho dư ,chia cho dư ,chia cho dư suy a +2 chia hết cho 3,4,5,6 BCNN(3;4;5;6) = 60 suy a+2 60 hay a = 60k -2 (k ∈N) Mặt khác a 13 suy 60k -2 13 hay 8k-213 Do a nhỏ suy k nhỏ nhất.Vậy 8k-2 = 78 ⇒ k = 10 suy a = 598 Bài : x − + x − = Nếu x ≥ : x-5+x-5=0 ⇔ x=5 (TM) Nếu x ⇔ a>b ⇔ a+m > b+n a+n b+n >1 a+n b + n = a −b a+n Mà b + n có phần thừa so với b+n a −b a có phần thừa so với , b b TH3: a b a b a b < (0,5 điểm) =1 (0 , ,5 điểm) a −b b +n < a −b a a+n nên b + n < b (0,25 điểm) b x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho  (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu2: a Gọi dlà ước chung 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 12n + phân số tối giản 30n + 1 1 b Ta có < = 2.1 2 1 1 = < 2.3 3 (0,5đ) 1 1 = < 99.100 99 100 100 Vậy (0,5đ) 1 1 1 1 + - + + + + + < 99 100 100 2 1 99 = 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì a số tự nhiên với a ∈ Z nên từ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5 x + + x + + x + + + x + 100 107 = 5750 => ( + + + + 100) + ( x + x + x + x ) = 5750 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = Câu a) abc deg = 10000ab + 100 cd + eg = 9999 ab + 99 cd + ab + cd + eg M11 b) 10 28 + M9.8 ta có 10 28 + M8 (vì có số tận 008) nên 10 28 + M 9.8 10 28 + M72 Câu Gọi số giấy lớp thu x (Kg) ( x-26) M11 ( x-25) M10 Do (x-15) ∈ BC(10;11) 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235 Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + = 20 hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + = 22 hs ( ) 21 : = (số thứ hai) 11 22 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 22 22 + 21 + 27 70 Tổng số (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 21 27 Số thứ hai : 210 : = 66 ; số thứ là: 66 = 63 ; số thứ là: 66 = 81 22 22 22 Câu Số thứ bằng: Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng hai nửa mặt phẳng Xét trường hợp a) Nếu điểm A, B, CD thuộc nửa mặt phẳng a khơng cắt đoạn thẳng b) Nếu có điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD c) Nếu có điểm chẳng hạn (A B) thuộc nửa mặt phẳng hai điểm (C D) thuộc mặt phẳng đối a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ĐỀ SỐ 65 Thời gian làm 120 phút Bài (3đ): a) So sánh: 222333 333222 b) Tìm chữ số x y để số 1x8 y chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 2002 chia cho a có số dư 28 Bài (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S  Bài (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư chia cho 31 dư 28 Bài (3đ): Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD HƯỚNG DẪN Bài (3đ): 108 a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222 b) Để số 1x8 y  36 ( ≤ x, y ≤ , x, y ∈ N ) (0,5đ) (1 + x + + y + 2) 9 ⇔ (0,5đ)  y 4 y 4 ⇒ y = {1;3;5;7;9} (x+y+2)  => x+y = x+y = 16 => x = { 6;4;2;0;9;7} (0,25đ) Vậy ta có số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 )  a => 42  a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài (2đ): a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) Suy ra: 8S = 32004 - => S = 2004 − (0,25đ) (0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 ) = 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S  (0,25đ) Bài (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p ≥ (0,75đ) Vì a nhỏ hay q - p = => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm 121 (0,25đ) Bài (3đ): a) theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) OD tia đối tia OC nên C, O, D hàng Do góc DOA + góc AOC = 1800 kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 góc AOD = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD thẳng (hai góc 450 109 => ... + + …….+ + = + 41 42 59 60 61 62 79 80 1 1 1 > > … > Vì > >…> 41 42 60 61 62 80 1 1 1 1 + + ….+ + Ta có + + +….+ + 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 + + = + = = = (3) 60 80 12 12 b, (1,5 điểm)... 30 36. 37 = 66 6 +) Với n+1 = 37 ( thoả mãn) Vậy n = 36 a =6 Ta có: 1+2+3+… + 36 = 66 6 Bài : A, 1,5 điểm Vì tia với tia lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia lại tạo thành góc Làm với tia ta 5 .6 góc... 0,5 ¶ = 160 0 + Ot Oz không nằm nửa mp bờ xy: tOz Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa 98 5 16 = (32)8 5 16 = 3 16. 5 16 = (3.5) 16 = 15 16 (1) Mµ : 15 16 < 1520 1520 < 1920 (V× 16 < 20)