BỘ 65 ĐỀ HSG 6 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

BỘ 65 ĐỀ HSG VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ A     11   2012 � 1� � 1� � 1�� � � � 1 � 1 � 1 � � 1 1 b/ B  � � � � � � � 2� � 3� � � � 2011 � � 2012 � Bài (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1      2 (2n) 2n  3n  4n    Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : A  n 3 n3 n 3 b/ Chứng minh : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A phân số tối giản Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba số phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10) o với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC a o Bài (3.0 điểm) : Cho A  102012  102011  102010  102009  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương Hết Trang 1/110 ĐÁP ÁN CÂU NỘI DUNG a/ A     11   2012 ĐIỂM 2.0 A  (2  2012)  (2012  2) :  1 :  675697 � 1� � 1� � 1�� � � � 1 � 1 � 1 � � 1 1 b/ B  � � � � � � � 2� � 3� � � � 2011 � � 2012 � Câu 1 � � �2 � �3 � �4 � �2011 �2012 B�  � �   � � � � � � � �2 � �3 � �4 � �2011 2011 � �2012 2012 � 2010 2011 B  2011 2012 B 2012 2.0 a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x   55 (1) 3y  Để x nguyên 3y –  Ư(-55) =  1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = => 3y = => y = 2.0 +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = Câu +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = 53 (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : 1 1      2n Ta có 1 1     (2n) 1 1 A     2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) �1 1 � �1 1 � A  �     � �    � �2 n � 4� 1.2 2.3 3.4 ( n  1) n � A 1� 1 1 1 1� A  �         � 4� 2 3 ( n  1) n � 1� 1� A �  � (ĐPCM) 4� n� 2.0 Cho biểu thức : A  2n  3n  4n    n 3 n3 n3 a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên Ta có : 2n  3n  4n  (2n  1)  (3n  5)  (4n  5) 2n   3n   4n  51.0 n  A      n 3 n 3 n 3 n3 n3 n3 n 3 4 A  1 (2) n 3 n3 A nguyên n – Ư(4) =  1; 2; 4; 1; 2; 4 => n   4;5;7; 2;1; 1 b/ Tìm n để A phân số tối giản Câu n 1 (Theo câu a) n3 Xét n = ta có phân số A = phân số tối giản 3 Ta có : A  Xét n  ; Gọi d ước chung (n + 1) (n – 3) => (n + 1) Md (n – 3) Md => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4 => d lớn => A phân số tối giản Kết luận : Với n = A phân số tối giản Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba số phương Ta có : 1.0 ab  ba  (10a  b)  (10b  a)  10a  b  10b  a  9a  9b  9( a  b)  32 ( a  b) Vì => a,b � 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 =>  a- b  Câu Để ab  ba số phương a – b = 1; +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện toán 43 73 3.0 Hình vẽ D C y (a+20)o (a+10)o x 22o ao 48o A B O E Câu 2.0 Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc a o, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10) o với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB �  COA � (a  10  a ) Nên tia OC nằm hai tia OA v OD COD �  DOB � � => � AOC  COD AOB o o => a + (a + 10) + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v OB �  180o  48o  132o  � Ta có : � AOy  180o  BOy AOx  22o Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy � � �  132o  xOy �  132o  22o  110o => � AOx  xOy AOy  22o  xOy c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên 1.0 o � � � AOC  COD AOD  � AOD  a o   a  10   2a o  10o  2.50o  10o  110o 1.0 � � Vì AOx AOD(22o  110o ) nên tia Ox nằm hai tia OA OD �  xOD � � �  110o  xOD �  110o  22o  88o => AOx AOD  22o  xOD Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o Cho A  102012  102011  102010  102009  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có  A  10 10 2009  10 2008  10  2007    8.125  10  10   1� M (1) �  10 A  � 125 102009  102008  10 2007 � 2006 : 2009  10 2008  10 2007 2006 Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên A  102012  102011  102010  102009  có chữ số tận Vậy A khơng phải số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; Câu   102006  1.5 1.5 ĐỀ SỐ Bài 1: Thực phép tính: �3 9�   � 1) 3  � ; �8 4�  9  11  32  9  2) ;  43 15  12  43 3) 2011 x  x  x với x  2012 Bài 2: Tìm x, biết: x2 x  1; 1) 2) x 1  3)  x  1  x   �0 Bài 3: 1) Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 2) Chứng tỏ a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn k chia hết cho Bài 4: 1) Cho đường thẳng phân biệt cắt O Hỏi có tất góc đỉnh O tạo thành từ đường thẳng khơng kể góc bẹt 2) Cho góc xOy tia Oz nằm hai tia Ox Oy Gọi Ot Ot’ hai tia phân giác � '  xOy � góc xOz zOy Chứng tỏ rằng: tOt Bài 5: Chứng tỏ với số tự nhiên n A  16n  15n  chia hết cho 15 - Hết - ĐÁP ÁN Bài 1(6đ) (4.5đ) 3(3đ) Hướng dẫn chấm 1) -7/4; 2) 1/3; 3) Mỗi câu cho 2.0 điểm 1) x = 2; 2) x = -1/2; x = 9/2; 3) -2  x  Mỗi câu cho 1.5 điểm 1) Gọi số abc; �a; b; c �9, a �0 Ta có abc  100a  10b  c   98a  7b    2a  3b  c  M7 � 2a  3b  c M7 Mặt khác a  b  c M7 nên suy b  c M7  b – c = -7; 0; - Với b – c = -7 c = b + a  b  c M7 nên ta có số thỏa mãn: 707; 518; 329 - Với b – c = ta có số 770; 581; 392 - Với b – c = b = c mà a  b  c M7 nên a  2b M7 Do  a + 2b  27 nên a + 2b nhận giá trị 7; 14; 21 Từ ta có số thỏa mãn: 133; 322; 511; 700; 266; 455; 644; 833; 399; 588; 777; 966 Vậy có tất 18 số kể 2) Vì a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn nên số lẻ khơng chia hết cho 3, ta có: a + k – a = k chia hết cho Mặt khác chia số cho tồn số có số dư: - Nếu a a + k có số dư a + k – a = k chia hết cho Điểm 6.0đ 4.5đ 1.5đ 1.5đ x (5đ)t - Nếu a a + 2k có số dư a + 2k – a = 2k chia hết cho 3, mà (2, 3) = nên k chia hết cho - Nếu a + k a + 2k có số dư a + 2k – a + k = k chia hết cho Vậy trường hợp ta ln có k chia hết cho mà (2, 3) = nên k chia hết cho 2.3 = 1) đường thẳng cắt O tạo thành 10 tia gốc O Mỗi tia tạo với tia lại thành góc đỉnh O Do ta có 10.9 = 90 góc tạo thành góc tính lần có góc bẹt nên có 90 : – = 40 góc đỉnh O khơng kể góc bẹt 2) Vì Ot, Ot’ phân giác góc xOz, zOy nên ta có: z t’ y O (1.5đ) �  tOz �  xOz � ; zOt � '  t�' Oy  zOy � xOt 2 �  zOt � '  xOz �  zOy � � tOz 2 � �  xOy �  xOz  zOy 2  3.0đ 2.0đ  Chứng minh phương pháp quy nạp Với n = ta có A = chia hết cho 15 Giả sử toán với n = k tức A  16k  15k  chia hết cho 15 k 1 ta chứng minh với n = k + 1, tức A  16  15  k  1  chia hết cho 15 Thật vậy, ta có 16k  15k   15q, q �N � 16k  15k  15q  � 16 k 1  15  k  1   16.16 k  15k  16  16  15k  15q  1  15k  16  15  16k  16q  k  M 15 1.5đ ĐỀ SỐ Bài ( 4,0 điểm): 7   a, Tính M = 2012   2012 b, So sánh A B biết A = 2010 2011 2012 1 1   B =     2011 2012 2010 17 Bài ( 4,0 điểm): � �1 � �3 a, Tìm x biết �   2, 75 �x   �  0, 65  �: 0, 07 200 � � � � x y b, Tìm số tự nhiên x, y cho  x, y   2  x y 25 Bài ( 4,0 điểm): a, Tìm chữ số tận số 14 P  1414  99  23 b, Tìm ba số nguyên dương biết tổng ba số nửa tích chúng Bài 4( 2,0 điểm): Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd Chứng minh A = a n + bn + cn + dn hợp số với số tự nhiên n Bài 5( 6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a, Chứng tỏ OA < OB b, Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O c, Lấy điểm P nằm đường thẳng AB Cho H điểm nằm tam giác ONP Chứng tỏ tia OH cắt đoạn NP điểm E nằm N P Hết ĐÁP ÁN Bài Tóm tắt nội dung hướng dẫn a, Câu a : 2,0 điểm N= N= Bài 4,0 đ N= N= Điểm 0,5 đ 1    .2012.9.2   2012  1 5  .2012.9.2    2012  7.9.2  7.2012.2  1006.9 5.2012.2  3.9.2  2012.9 7.2021  503.9 5.2012  3.9  1006.9 9620 979 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b, Câu b: 2,0 điểm       A 1    1    1    2011   2012   2010    1   A 3         2010 2011   2010 2012  A3 1  1 1 1 1 B                10 17  3 4 5 1 B    8 B 3 0, đ 0, 25 đ 0,2 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0,2 đ 0,25 đ Từ suy A > B a, Câu a:( 2,0 điểm) Bài (4,0đ) 437 x7  : 200 100 437 100 x7  200 437 x 7 14 535 x 14 535 x : 14 x  61 0,75 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ Câu b: 2,0 điểm Vai trò x, y bình đẳng Giả sử x  y, ta có 0, 25 đ 7(x2+y2)=25(x+y) x(7x – 25) = y(25-7y) Suy 7x – 25 25 – 7y dấu x, y số tự nhiên a, Nếu 7x – 25 < 25 – 7y < Suy x < 4, y > ( trái với điều giả sử) b, Nếu 7x – 25 > 25 – 7y > Vậy x 4, y  Thử số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta x = Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò x, y nên (x,y) = (3,4) 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ 0, 25 đ x y  2 x y 25 a, Câu a: 2,0 điểm 14 P  1414  99  23 - Tìm chữ số tận 1414 - Tìm chữ số tận 9 - Tìm chữ số tận Chữ số tận P chữ số tận tổng (6+9+2): 14 10 0, đ 0, đ 0, đ 0, đ ... � = 160 0 + Ot Oz không nằm nửa mp bờ xy: tOz c Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa 98 5 16 = (32)8 5 16 = 3 16. 5 16 = (3.5) 16 = 15 16 (1) Mà : 15 16 < 1520 1520 < 1920 (Vì 16