(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn giải bài toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp 6 theo hướng phân loại phương pháp giải

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN TRƢỜNG THCS SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hướng dẫn giải toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải Tác giả: Đơn vị công tác: Trƣờng THCS Chức vụ: Giáo viên NĂM HỌC - A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình học Tốn THCS học sinh cần phải biết tổ chức công việc cách sáng tạo, người giáo viên cần rèn luyện, hướng dẫn cho học sinh kĩ độc lập tư duy, sáng tạo sâu sắc Do địi hỏi người giáo viên phải lao động sáng tạo tìm tịi phương pháp để học sinh trau dồi tư lơgíc giải tốn Là giáo viên trường THCS trực tiếp giảng dạy tốn lớp tơi nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS khơng đơn giản đảm bảo kiến thức sách giáo khoa , mà điều kiện cần chưa đủ Muốn giải tốn cần phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải dạng toán đa dạng, giải toán tỉ mỉ khoa học, kiên nhẫn để tự tìm đáp số chúng Muốn người giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú học tập cho học sinh Phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt kiến thức đó, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước tốn khó mà dần tạo tự tin, gây hứng thú say mê môn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Một tốn có nhiều cách giải, toán thường nằm dạng tốn khác địi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực cách sáng tạo, học sinh phải biết sử dụng phương pháp cho phù hợp Trong chương trình Tốn THCS nói chung phần Số Học nói riêng có nhiều dạng toán hay Các dạng toán Số Học chương trình THCS thật đa dạng phong phú : Tốn chia hết; phép chia có dư; số ngun tố; số phương; luỹ thừa; dãy số viết theo quy luật… Đặc biệt với dạng toán “dãy số theo quy luật ” có chương trình số học có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp huyện, thi giải toán mạng internet … Song gặp tốn khơng khó khăn phức tạp Học sinh khó hiểu đứng trước dạng toán này, học sinh lúng túng, chưa định phương pháp giải tập (chưa tìm quy luật dãy số) Từ thuận lợi, khó khăn yêu cầu thực tiễn giảng dạy viết sáng kiến kinh nghiệm :“ Hướng dẫn giải toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải” B.PHẦN NỘI DUNG: Cơ sở lý luận vấn đề Trong thực tế có nhiều tốn tính tổng dãy số phức tạp Nhưng tìm quy luật việc tính tổng trở nên thuận lợi rễ ràng “ Hướng dẫn giải toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải”với mục đích định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải dãy số định Ngồi cịn đưa cho học sinh phương pháp phân tích tốn cách nhanh chóng, đọc quy luật dãy số nhanh nhất, hợp lí Nội dung sáng kiến góp phần nâng cao kiến thức, tư toán học, khả phân tích, tính tốn cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với bài, đối tượng học sinh, giúp giáo viên học sinh giải tốt vấn đề qua dạng toán Thực trạng vấn đề Khi tơi nhà trường phân cơng dạy Tốn lớp tơi chọn em có học lực giỏi khối để bồi dưỡng kiến thức nâng cao cho học sinh Trong trình giảng dạy nhận thấy học sinh gặp tốn dạng tính tổng dãy sốthì em bế tắc giải Từ thực tế tơi cho em học sinh giỏi làm đề tốn với dạng tính tổng dãy số để tơi đánh giá khả thực em với dạng toán ĐỀ KIỂM TRA :(120 phút ) Tính tổng A = + + + + … + 100 A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 A= + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 A = 12 + 32 + 52 + 72 + … + 992 A = 22 + 42 + 62 + …+ 1002 A = 12 + 22 + 32 + … + 992 A = 12 + 22 + 32 + … + 1002 A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 10 A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 98.100 11 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 12 A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 13 A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 14 A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.100.101 15 A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 1 2 16 A = 99 100 17 A = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + 100.100! Kết : Điểm Điểm từ - Điểm từ - 10 SL SL % SL % SL % 40 60 0 Từ kết đánh giá làm em học sinh nhận thấy học sinh chưa có cách tính tổng dãy số đạt hiệu , lời giải dài dịng khơng xác đơi ngộ nhận chưa hiểu đề Cũng với toán học sinh trang bị kiến thức phương pháp “ Tính tổng dãy số ” chắn cho ta kết cao Các giải pháp, biện pháp thực Từ thực trạng vấn đề với chút vốn hiểu biết, kinh nghiệm giảng dạy số năm hệ thống số kiến thức liên quan, hướng dẫn cho học sinh tơi phương pháp tính tổng dãy số, tốn liên quan tính chia hết sưu tầm tích luỹ số tập phù hợp mức độ nhận thức học sinh giúp cho học sinh phát triển tư duy, lực tốt 3.1.Phƣơng pháp tính tổng dãy số theo quy luật Bài tốn 1: Tính tổng dãy số:A = + + + + … + 100 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài tốn tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 Công thức tổng quát: A = + + + + … + n = n(n + 1) : Giải A = + + + + … + 100 A = 100(100 + 1):2 = 5050 Bài toán 2: Tính tổng dãy số:A = + + 22 + 23 + 24 + … + 210 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để trừ hai vế cho A loạt lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ hai số liền cách đơn vị, ta nhân hai vế với trừ cho A, ta tính A Giải A = + + 22 + 23 + 24 + … + 210 2A = + 22 + 23 + 24 + … + 210 + 211 =>2A – A = (2 + 22 + 23 + 24 + … + 210 + 211)- (1 + + 22 + 23 + 24 + … + 210) =>A = 211 – Bài toán tổng quát: A = + a + a2 + a3 + a4 + … + an Nhân hai vế A với a ta có: a.A = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 aA – A = ( a – 1)A = an+1 – Vậy A = + a + a2 + a3 + a4 + … + an A = (an + – 1): (a – 1) ; (a ≥ 2) Từ ta có cơng thức :an+1 – = ( a – 1)( + a + a2 + a3 + + an) Bài tập đề nghị: Tính tổng a) A 7 b) B 4 2 3 2007 100 c) Chứng minh : 1414 – Chia hết cho d) Chứng minh rằng: 20152015 – Chia hết cho 2014 Bài tốn 3: Tính tổng dãy số:A= + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để trừ cho A loạt lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 Ta có: 3 3 3 A Bài toán tổng quát: a 3 102 8 a 3 a a 100 102 100 a 102 2n a2A = a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n + a2n + Ta có: A = + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n a2A - A = a2n+2 - 1 a a 2n 2 a – : a a a A( a2 - 1) = a2n +2 - a 2n Bài tập đề nghị: Tính tổng: B = + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + + 2200 Bài tốn 4:Tính tổng dãy số:A = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Giải Tương tự ví dụ ta có: 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B - B = 7101 - , hay B( 72 - 1) = 7101 – Bài toán tổng quát: a a a a a 2n a2A = a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 + a2n + Ta có: A = + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 a2A - A = a2n+3 - a a 2n 3 a – : a a a A( a2 - 1) = a2n +3 - a 2n 1 Bài tập đề nghị: Tính tổng C = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + + 1399 Bài tốn 5: Tính tổng dãy số: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + 8.9 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ở tốn1 có thừa số số hạng nên ta nhân hai vế A với Khoảng cách hai thừa số số hạng dạng Nên ta nhân hai vế A với lần khoảng cách ta : Giải 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) 3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) 3A= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 3A = 9.10.11 = 990 A = 990:3 = 330 Ta ý tới đáp số 990 = 9.10.11, 9.10 số hạng cuối A 11 số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp n Công thức tổng quát: 2 n n n 1 n Bài tập đề nghị: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 98.100 Bài tốn 6: Tính tổng dãy số: B = 12 + 32 + 52 + 72 + … + 992 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khai thác từ toán5 Giải Nhận xét: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 A = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 A = 1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + … + 99.(98 + 100) A = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + … +99.99.2 = (12 + 32 + 52 + …9 + 92).2 A = (12 + 32 + 52 + …+ 992).2 Theo cách giải ví dụ ta có 99 2 9 0 1 Vậy ta có: 99 9 0 1 Công thức tổng quát: 2n 2 2n 2n 2n Bài tập đề nghị: Tính tổng: Q = 112 + 132 + 152 + … + 20092 Bài tốn 7: Tính tổng dãy số: B = 22 + 42 + 62 + …+ 1002 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khai thác từ toán5 Giải Nhận xét : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + + 100.101 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (99.100 + 100.101) = 2( + 3) + 4( + 5) + 6( + 7) + + 100( 99 + 101) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + + 100.200 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + + 2.100.100 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + + 2.1002 = 2.( 22 + 42 + 62 + + 1002) A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) Theo cách giải tốn5 ta có: 2 100 0 1 2 Vậy 2 100 0 1 2 Công thức tổng quát : 2 2 n n 2n 2n Bài tập đề nghị: 1.Tính tổng :A= 202 + 222 + … + 482 + 502 Cho n * Tính tổng :B= n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + …+ (n + 100)2 Bài tốn 8: Tính tổng dãy số:A = 12 + 22 + 32 + … + 1002 B = 12 + 22 + 32 + … + 992 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khai thác từ toán6, toán7 Giải * A = 12 + 22 + 32 + … + 1002 Cách 1: A = 12 + 22 + 32 + … + 1002 A = (12 + 32 + 52 + … + 992) + (22 + 42 + 62 + … + 1002) A = (99.100.101 + 100.101.102) : A = 100.101.(99 + 102):6 = 100.101.(2.100 + 1):6 Cách 2: A = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ 100² A = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + 100.100 A = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + … + …100[(100+1)-1] A = 1.2 – 1+ 2.3 – + 3.4 – + 4.5 – +…+ 100(100 + ) – 100 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 100( 100 + ) – ( + + +4 + … + 100 ) A = 100.101.102:3 – 100.101: =100.101.(102:3 – 1:2) =100.101.(2.100 + 1):6 * B = 12 + 22 + 32 + … + 992 Cách 1: B = 12 + 22 + 32 + … + 992 B = (12 + 32 + 52 + … + 992) + (22 + 42 + 62 + … + 982) B = (99.100.101 + 98.99.100) : B = 99.100.(98 + 101):6 = 99.100.(2.99 + 1):6 Cách 2: B = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ 99² B = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + 99.99 B = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + … + …99[(99+1)-1] B = 1.2 – 1+ 2.3 – + 3.4 – + 4.5 – +…+ 99(99 + ) – 99 B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 99( 99 + ) – ( + + +4 + … + 99 ) B = 99.100.101:3 – 99.100: =99.100.(101:3 – 1:2) =99.100.(2.99 + 1):6 Công thức tổng quát: 2 n n n 2n Bài tập đề nghị:Tính tổng: M = + 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 992 P = + + + 16 + 25 + 36 + + 10000 Q = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Bài tốn 9: Tính tổng dãy số: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Khoảng cách hai thừa số số hạng 2, Nhân hai vế A với lần khoảng cách Giải A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 6A=6.(1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7 + … + 97.99.6 = 1.3.(5+1) + 3.5.(7-1) + 5.7 (9-3) + … + 97.99.(101-95) =3+97.99.101 9 1 Nhận xét: Trong toán5 ta nhân A với 3, toán9 ta nhân A với Ta nhận thấy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách k hai thừa số hạng tử Bài tốn 10: Tính tổng dãy số: A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 7.8.9 + 8.9.10 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ở tốn hạng tử của tổng A có thừa số ta nhận với lần khoảng cách Ở tốn hạng tử tổng A có hai thừa số ta nhân A với lần khoảng cách hai thừa số Theo cách đó, ta nhân hai vế A với lần khoảng cách hạng tử có ba thừa số Giải A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + …– 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 1 Vậy Công thức tổng quát: 3 4 n – n n n n n n Bài tập đề nghị: Tính tổng: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.10 Thay đổi khoảng cách thừa số số hạng tổng A Ta có tốn sau: Bài tốn 11: Tính tổng dãy số:B=1.3.5+3.5.7 +…+5.7.9+…+95.97.99 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ta thấy khoảng cách thừa số số hạng tổng B ta nhân hai vế B với lần khoảng cách Giải B=1.3.5+3.5.7 +…+5.7.9+…+95.97.99 8B = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 8B= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) 8B=1.3.5.7+15+3.5.7.9 -1.3.5.7 +5.7.9.11- 3.5.7.9+…+95.97.99.101-93.95.97.99 8B = 15 + 95.97.99.101 15 9 9 1 Nhận xét: Trong toán10 ta nhân A với (4 lần khoảng cách ), toán11 ta nhân A với (4 lần khoảng cách) Như vật để giải toán dạng n n n k n với 4k (4 lần khoảng cách ),sau tách 2k n kn n k n 2k n n k n 2k n Bài tốn 12: Tính tổng dãy số sau: 3k n 1³ 2³ k n n 3³ 4³ k n 5³ 2k 100³ Hướng dẫn cách tìm lời giải: Trước hết ta chứng minh kêt sau đây: với n ta có: n2 – n = (n – 1)(n + 1) Thật vậy: n3 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) = n (n2 – n) + ( n – 1) = n n(n – 1) + ( n – 1) = (n – 1)n( n + 1) đpcm n3= n + (n – 1)n( n + 1) Áp dụng kết để ta tính A Giải Ta có 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ 100³ A = 13–1+ 23–2+33–3+ 43– 4+53 – 5+…+1003 – 100 + ( 1+ 2+ 3+…+100 ) A = +2(22 – 1)+3(32 – 1) + 4(42–1) +…+100(1002 – 1)+(1+2+ 3+4+…+100) A =0+1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+…+(100–1).100.(100+1)+(1+2+3+4+…+100) A= (100 ) 100 ( 100 ).( 100 2) 100 ( 100 1) 100 (100 1) Bài toán tổng quát: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ A = 13– + 23 – + 33 – + 43 – + 53 – +…+ n3 – n + ( + + + …+ n ) A = 0+ 2(22 – 1)+ 3(32 – 1) + 4(42 – 1)+…+n( n2 –1) + (1+2+ 3+ +…+ n) A = +1.2.3 +2.3.4 +3.4.5 +4.5.6 +…+ (n – 1)n(n + 1)+ (1+ 2+3+4 +…+ n ) n n n n n n n n n 1 n 1 2 n n n n n n 1 Nhận xét: Với n n = 1+2+3+4+…+ n , nên ta có cơng thức tổng qt sau 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ n³ (1 n )² Cách 2: Sử dụngn3= n + (n – 1)n( n + 1) Ta có:A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + 100³ A= 1+(2+1.2.3)+(3+2.3.4)+(4+3.4.5)+…+(100+99.100.101) A= (1+2+3+4+…+100)+ (1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+99.100.101) A=5050+ 101989800=101994850 Thay đổi khoảng cách số toán ta có tốn sau: Bài tốn 13: Tính tổng dãy số sau: 1³ 3³ 5³ 99³ Hướng dẫn cách tìm lời giải: Sử dụng (n-2)n(n+2)= n3-4n n3=(n-2)n(n+2)+4n Giải 1³ 3³ 5³ 99³ A=1+(1.3.5+4.3)+(3.5.7+4.5)+…+(97.99.101+4.99) A= 1+ (1.3.5+3.5.7+…+97.99.101)+4.(3+5+…+99) A=1+12487503+9996= 12497500 Tổng quát: Với khoảng cách a ta tách: (n-a)n(n+a)=n³-a2n Bài tốn 14: Tính tổng : A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Giải A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) Đưa dạng toán Với cách khai thác ta khai thác, phát triển toán thành nhiều toán hay mà q trình giải địi hỏi học sinh phải có linh hoạt, sáng tạo Bài tập đề nghị: Tính tổng sau: A = 12 + 42 + 72 + … +1002 B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992 A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + … + 97.101 C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 3.2.Phƣơng pháp khử liên tiếp Loại toán tìm tổng dãy số viết theo quy luật, thường có phân số đầu số cụ thể phân số sau cho dạng tổng quát Để làm dạng toán ta cần nhận xét, so sánh tử mẫu, tử (hay mẫu) với nhau, phân số cụ thể tổng quát để tìm cách viết phân số tìm cách giải Để làm dạng toán người ta dùng phương pháp khử liên tiếp số hạng Bài tốn 1: Tính tổng: S = 1 1 10 11 11 12 12 13 99 100 Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài tốn có tổng phân số có tử cịn mẫu phân số 1.2; 2.3; 3.4; 100.101 Như mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Cách giải toán biến đổi phân số cho thành hiệu phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng trừ Chẳng hạn: 1 =1 ; 1 3 ; … ; 100 101 Mục đích ta triệt tiêu số hạng đối Giải = 1 100 101 1 10 11 10 11 Ta có : Do : S = 1 11 12 11 12 1 1 99 100 99 100 , 10 11 S= , 11 12 12 13 99 100 1 1 99 100 10 100 100 10 11 11 12 Công thức tổng quát: Sn = 1 2 n (n 2 3 5 Bài tốn 2: Tính tổng: P= = 1- n 1) n n ( n> ) 99 101 Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy P tổng phân số có tử 2, mẫu phân số tích chữ số lẻ liên tiếp đơn vị, ta viết phân số hiệu phân số, phân số bị trừ có tử mẫu thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử mẫu thừa số thứ 2 1 3 VD: 1 5 ; 1 7 ; ; …; 1 99 101 99 101 Nên ta dễ dàng tính tổng cho Giải 2 3 5 P= = 99 101 1 1 1 3 5 1 99 101 100 101 101 =1 Bài tốn tổng qt: Tính tổng: 2 3 5 P= = 99 101 1 1 1 3 5 n n Bài tốn 3: Tính tổng A= 1 n a Công thức tổng quát: n ( n n a (n lẻ) 2) =1 n n n n n a 1 3 4 n(n )( n 2) Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy phân số tổng A có tử mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Ta viết số hạng tổng thành hiệu hai số cho số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử cịn mẫu số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cịn mẫu gồm có số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau) 1 1 1 2 3 2 3 Ta thấy: 1 1 1 23 4 2 3 4 1 n n n n 2 … n n n n n n 1 n n n n Giải Ta có: A = 1 A= 2 1 1 1 2 3 n(n 1) (n )( n 2) 1 A= 1 2 3 (n n (n n (n )( n 2) 4(n (n )( n 2) 3) )( n 2) 1 1 3 4 Bài toán 4: Tính tổng B= 1) 37 38 39 Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy phân số tổng B có tử cịn mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Ta viết số hạng tổng thành hiệu hai số cho số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử mẫu số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cịn mẫu gồm có số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau) 1 1 1 2 3 2 3 Ta thấy: 1 1 1 23 4 2 3 4 … 1 1 1 37 38 38 39 37 38 39 37 38 38 39 37 38 39 Tổng quát ta áp dụng: n(n 1) (n )( n Giải 2) n (n )( n 2) 1 1 3 4 B= B= B= 1 2 1 B= 37 38 39 1 2 3 +…+ 1 1 37 38 38 39 1 37 38 38 39 B= + 2 3 = 1 2 38 39 741 1 = 38 39 1 2 38 39 740 = 38 39 370 741 = 185 741 Bài tốn 5: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Giải Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! =( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - Bài tập đề nghị: Bài 1: Tính tổng sau: 1 A = 1 2 4 B = 99 100 7 C = 59 61 5 11 16 16 21 D = 3 1 E = 21 26 61 66 2005 1 M = n(n )( n 2) H = 4 98 99 100 1 4 n(n )( n )( n 3) Bài 2: Tìm x, biết: a) (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b) + + + + + x = 820 c) + 1 1989 10 x(x 1) 1991 Bài toán 6: a) Cho S 1 31 32 33 Chứng minh rằng: 60 b) Chứng minh rằng: 4 S 100 Hướng dẫn tìm lời giải: a) Chia S thành nhóm: Chứng minh S S 5 b) Ta thấy phân số có tử mẫu số bình phương số tự nhiên ( n ) 2 ; 1 Sử dụng tính chất: a b c d ; ; 100 a c 9 0 b d Giải a) 1 31 32 33 S * Chứng minh 60 S 1 31 32 33 S S 1 31 32 60 1 40 41 42 10 10 10 37 36 40 50 60 60 60 * Chứng minh S 1 50 51 52 60 1 31 32 33 S S 1 31 32 60 1 40 41 42 10 10 10 47 48 30 40 50 60 60 Từ (1) (2) 2 Vậy 2 4 2 2 52 60 2 9 0 1 2 1 9 0 1 99 100 100 1 100 51 1 100 100 2 ; ; 100 2 50 100 1 ; 2 2 Ta có: 2 S b) 1( 100 đpcm ) Bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng tỏ tổng: Bài 2: Chứng tỏ rằng: Bài 3: Cho S Bài 4: Cho A 9 11 409 17 2 2 45 n 2 số nguyên Chứng minh: S 12 305 Chứng minh: A 4 KẾT QUẢ THỰC HIỆN - Hs hứng thú với môn học - Biết cách khai thác tốn, học sinh biết tìm tịi quy luật dạng tốn tính tổng dãy số 5 BÀI HỌC KINH NGHIỆM Từ bước đầu nghiên cứu sáng kiến: “ Hướng dẫn giải toán dãy sốtheo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải ” thấy vấn đề cần thiết học sinh mà với giáo viên, giáo viên bồi dưỡng HSG Vì giáo viên cần tích cực, thường xuyên công tác bồi dưỡng tự bồi dưỡng để tích lũy chun mơn, nghiệp vụ cho thân thơng qua hình thức: học hỏi bạn bè đồng nghiệp, xem tài liệu, đọc sách báo C PHẦN KẾT LUẬN Qua thực tế nghiên cứu giảng dạy mơn tốn giảng dạy tốn “Dãy số viết theo quy luật” trường THCS, thể vấn đề qua SKKN “ Hướng dẫn giải toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải ” nhằm thể phương pháp giảng dạy cho giáo viên nâng cao chất lượng học tập nhận thức học sinh Trong nội dung sáng kiến tơi đưa dạng tốn “ dãy số viết theo quy luật ”, phương pháp tìm lời giải toán để đưa cách giải cụ thể cho để có tốn tổng quát cho dạng Qua sáng kiến tơi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải tốn sở kiến thức học, nhằm phối hợp lý thuyết với thực hành toán học Mỗi tốn tơi đưa ra: - Phương pháp tìm lời giải - Cách giải - Bài toán tổng quát Từ cách đưa phương pháp giải toán, giáo viên, học sinh nhận dạng tốn thật dễ dàng , đọc đáp số với tốn thuộc quy luật Tơi xin chân thành cảm ơn đồng chí ban giám hiệu nhà trường, cảm ơn đồng chí tổ chun mơn trường THCS Mỹ Hà giúp tơi hồn thành đề tài Tôi mong bảo đồng chí chun mơn Phịng Giáo dục Đào tạo, ý kiến đóng góp đồng nghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy phong phú Tôi xin chân thành cảm ơn ! ngày CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận) tháng năm TÁC GIẢ SÁNG KIẾN D TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán – NXB Giáo dục Sách giáo viên Toán – NXB Giáo dục Nâng cao phát triển toán ( tập 1, tập ) - Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục Toán nâng cao lớp (Phần phân số) - Tôn Thân - NXB Giáo dục Bài tập thực hành Toán ( tập 1, tập ) - Bùi Văn Tuyên, Nguyễn Tam Sơn, Nguyễn Đức Trường - NXB Đại học quốc gia Hà Nội Bồi dưỡng HSG toán ( tập 1, tập ) – Trần Thị Vân Anh - NXB Đại học quốc gia Hà Nội  ... tịi quy luật dạng tốn tính tổng dãy số 5 BÀI HỌC KINH NGHIỆM Từ bước đầu nghiên cứu sáng kiến: “ Hướng dẫn giải toán dãy s? ?theo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải. .. ràng “ Hướng dẫn giải toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải? ??với mục đích định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải dãy số định Ngồi... dạy tốn ? ?Dãy số viết theo quy luật? ?? trường THCS, thể vấn đề qua SKKN “ Hướng dẫn giải toán dãy số theo quy luật cho học sinh lớp theo hướng phân loại phương pháp giải ” nhằm thể phương pháp giảng