Phân loại và hướng dẫn giải đề thi Đại học Cao đẳng môn Toán (Tái bản lần thứ ba, có chỉnh lí, bổ sung)

Trang 1

TRAN DUC HUYEN - NGUYEN DUY HIẾU!

PHAN LOAI VA HUONG DAN

GIAI DE THI

ĐẠI HỌC - CAO BANG

MƠN TỐN

(Tái bản lần thứ ba, cĩ chỉnh lí, bổ sung)

Trang 2

Cơng tỉ CPDV xuất bản Giáo dục Gia Định -

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền cơng bố tác phẩm

Trang 3

LỜI NĨI ĐẦU

Để tạo điều kiện cho các em học sinh lớp 12 chuẩn bị tốt

cho kì thi Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng, Cơng tỉ cổ phần Dịch vụ xuất bản Giáo dục Gia Định - Nhà

xuất bản Giáo dục Việt Nam kết hợp với nhĩm tác giả là

những giáo viên giàu kinh nghiệm, đa số đang giảng dạy tại Trường Trung học phổ thơng chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, tổ chức biên soạn bộ sách “Phân loại và hướng dẫn giải để thi Đại học - Cao đắng” Bộ sách gồm 8 mơn : Tốn,

Lí, Hố, Sinh, Văn, Sử, Địa và tiếng Anh

Trên cơ sở nghiên cứu để thi của nhiều năm, căn cứ vào “cấu trúc đề thi” của Bộ Giáo dục và Đào tạo, với kinh nghiệm

giảng dạy và mong muốn thí sinh đạt điểm cao trong các kì thi

Đại học — Cao đẳng, chúng tơi biên soạn cuốn sách này, gồm

ba nội dung chính :

A Cấu trúc để thi Đại học — Cao đẳng năm 2014 mơn Tốn,

gồm ba phần :

Phân 1 Giới thiệu cấu trúc để thi mới nhất của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Phân 2 Phân tích cấu trúc để thi Đại học - Cao đẳng năm

2014

Phan 3 Phương pháp ơn tập và luyện thi

B Phân loại và hướng dẫn giải đề thi mơn Tốn theo chú đề : gồm 10 chủ đề, mỗi chủ đề cĩ hai phần : Tĩm tắt lí thuyết và Đề thi minh hoạ

Trang 4

Sách giúp học sinh tự học, tự kiểm tra, đánh giá Đặc biệt qua việc tìm hiểu cấu trúc để thi, chúng tơi coi trọng việc hình

thành phương pháp học tập từng phân mơn sao cho cĩ hiệu

quả để các em chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học — Cao đẳng Hi vọng bộ sách sẽ là tài liệu hữu ích trong quá trình ơn tập

Chúc các em đạt kết quả tốt

Trang 5

A CẤU TRÚC BE THI BAI HOC - CAO DANG

NAM 2014 MON TOAN

Phổn 1

GIỚI THIỆU CẤU TRÚC ĐỀ THỊ MỚI NHẤT

CUA BO GIAO DUC VA DAO TAO

Dé thi được ra theo chương trình trung học phổ thơng (THPT) hiện hành, chủ yếu nằm trong chương trình lớp 12, gồm 2 phần :

— Phần chung cho tất cả thí sinh, ra theo nội dung giống nhau giữa chương trình

chuẩn và chương trình nâng cao ;

~— Phần riêng ra theo từng chương trình : chương trình chuẩn và chương trình nâng cao Thí sinh chỉ được chọn một phần riêng thích hợp để làm bài ; nếu làm cả bai phần riêng thì cả hai phần riêng đều khơng được chấm

Trong đề thi tốn kì thi Đại học ~ Cao đẳng năm 2014, phần chung (gồm 5 câu) đành cho tất cả thí sinh chiếm bảy điểm, phần riêng (gồm 2 câu) chiếm ba điểm Đề thi yêu cầu nhiều kiến thức mở rộng hơn so với kì thi tốt nghiệp

Cấu trúc đề thi cụ thể như sau :

i PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7 diém) Cau I (2 diém)

Nội dung kiến thức

— Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

~ Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hầm số : 1 Chiều biến thiên của hàm

2 Cực trị Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ;

3 Tiếp tuyến ;

4 Tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số ; 5 Tìm trên đồ thị những điểm cĩ tính chất cho trước ;

Trang 6

Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge — Oao đẳng

Câu II (2 điểm)

Nội dung kiến thức : ~ Phương trình ;

~ Bất phương trình ;

~ Hệ phương trình đại số ; ~ Cơng thức lượng giác ; ~— Phương trình lượng giác

Câu II (1 điểm)

Nội dung kiến thức : ~ Tìm giới hạn ; ~ Tìm nguyên hàm ; ~ Tính tích phân ;

~ Ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Câu IV (1 điểm)

Nội dung kiến thuức : Hình học khơng gian (tổng hợp)

1 Quan hệ song song, quan hệ vuơng gĩc của đường thẳng, mặt phẳng ;

2 Tính diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay, hình trụ trịn xoay ; tính diện

tích mặt cầu ;

3 Tính thể tích khối lăng trụ, khối chĩp, khối nĩn trịn xoay, khối trụ trịn xoay và thể tích khối cầu

Câu V Bài tốn tổng hợp (1 điểm)

DD puan rite 6 aiém

Thi sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI-a (2 điểm) :

Nội dung kiến thức : Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong khơng gian ~ Xác định toạ điểm, vectơ ;

— Đường trịn, clip, mặt cầu ;

Trang 7

Céiu trie dé thi Page ~ Cao déng nam 2014

— Tinh géc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường

thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu VILa (1 điểm) Nội dung kiến thức : = Số phức;

~_ Tổ hợp, xác suất, thống kê ;

~ Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số 2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

Nội dung kiến thức : Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong khơng gian

Xác định toa độ của điểm, vectở ;

Đường trịn, ba đường cơnic, mặt cầu ;

Viết phương trình mặt phẳng, đường thing ;

Tính gĩc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng ; khoảng cách

giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu VILb (1 điểm) Nội dụng kiến thức : ~ Số phức ;

~— Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y= ¬ và một số yếu tố liên quan ; x+e

Sự tiếp xúc của hai đường cong ;

Hệ phương trình mũ và lơgarit ; 'Tổ hợp, xác suất, thống kê ;

Trang 8

ũ Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge — Oao đẳng

Phản 2

PHÂN TÍCH CẤU TRÚC ĐỀ THỊ

DAI HOC - CAO DANG NAM 2014 BB pun cnune cuo 181 cA THI siINE

Đây là phần cơ bản và quan trọng vì nĩ chiếm 7 điểm trên tổng số 10 điểm của đề

thi đại học và cao đẳng Sau đây là phân tích chỉ tiết và cụ thể của từng câu

Caul

~ Thí sinh cần ơn tập kĩ năng khảo sát và vẽ đồ thị của 3 loại hàm số « Hàm bậc 3 aX + bxƯ+ cx + d « Hàm bậc 4 trùng phương ® Hàm phân thức hữu tỉ +bx+c dx+e

Chú ý : Hàm phân thức hữu t dạng y=“ khơng hỏi trong câu I mà chỉ cĩ thể hỏi trong câu VIIb

—_ Đối với các bài tối

số, thí sinh cần chứ ý liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm n4 vấn đề sau :

'Vấn đề 1 Cực trị, giá trị lớn nhết và nhỏ nhết của hẻm số

1 Ngồi câu 1 vấn đề cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số cịn cĩ thể được sử dụng trong các câu 2, 4, 5, 7a, 7b

2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số cĩ thể tìm bằng nhiều cách, đặc biệt là cách dùng bất đẳng thức Cơ-s¡ và bất ding thite Bu-nhi-a-c6p-xki (BCS)

'Vốn đẻ 2 Tiếp tuyến

1 Trọng tâm là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số với hai dạng sau : + Tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị ;

+ Tiếp tuyến cĩ phương cho trước

2 Cần nắm vững định lí : Hệ số gĩc của tiếp tuyến thì bằng giá trị đạo hàm tại tiếp điểm 3, Nếu từ một điểm, kẻ được nhiều tiếp tuyến đến đồ thị thì cần quan tâm đến mối

Trang 9

Vốn để 3 Tìm trên đồ thị những điểm cĩ tính chốt cho trước 1 Cần lưu ý c

c loại điểm sau :

+ Điểm cực trị;

s Tâm đối xứng của đồ thị ;

+ Điểm cố định mà họ đồ thị luơn đi qua : + Điểm mà từ đĩ kẻ được I, 2, 3,

p tuyến đến đồ thị

2 Kĩ năng chung để tìm các điểm trên như sau :

® Giả sử đã tồn tại điểm M(x ; y) thoả mãn đề bài ;

s Ứng với mỗi tính chất của M ta cĩ các phương trình ;

® Giải hệ phương trình ta xác định được diém M(x ; y)

'Vốn để 4 Tương giao giữo hoi đỏ thị

Cần lưu ý các dạng câu hỏi sau về tương giao giữa hai đồ

1, Tìm số giao điểm của hai đồ thị ;

2 Chứng minh hai đồ thị luơn giao nhau tại một số điểm ; 3 Tìm điều kiện để hai đồ thị luơn tiếp xúc

Câu II

Vốn để 1 Phương trình, bốt phương trình

Thi sinh cần chú ý các loại phương trình và bất phương trình sau :

1 Phương trình và bất phương trình chứa căn ;

2 Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối ;

3 Phương trình và bất phương trình mũ ; 4 Phương trình và bất phương trình lơgarit

Trong mỗi ai phương trình, ngồi kĩ năng giải phương trình, tìm nghiệm, cần chú ý ơn tập và rèn luyện các đạng tốn sau :

1 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng đơn giản ;

2 Dùng min, max tìm điều kiện để phương trình cĩ nghiệm ; 3 Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình

Vốn để 2 Hệ phương trình đợi số

Trang 10

10 Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge — Cao ddng

2 Hệ phương trình đối xứng loại I và loại 2 ;

3 Hệ phương trình chứ

4 Hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Khi giải hệ phương trình cần lưu ý rèn luyện các phương pháp sau :

1 Phương pháp thế ;

2 Phương pháp cộng đại số ;

3 Đưa về tổng, tích, dùng định lí Vi-ét đảo ; 4 Dùng bất đẳng thức ;

5 Dùng min, max ; 6 Dùng đồ thị

Vốn để 3 Cơng thức lượng giác

‘Thi sinh cần chú ý ơn tập các kĩ năng dùng cơng thức lượng giác giải các dạng tốn sau : 1 Nhân dạng tam giác ;

2 Bất đẳng thức lượng giác ;

3 Tìm min, max của biểu thức lượng giác Vốn dé 4, Phuong trình lượng giác

Khi giải phương trình lượng giác cần lưu ý rèn luyện các phương pháp sau :

1 Phương pháp tích số ; 2 Phương pháp hạ bậc ; 3 Phương pháp mi 4 Phương pháp đặt ẩn phụ ; 5 Phương pháp đồ thị 1, MAX ; Cau II 'Vến để 1 Tìm nguyên hèm

Để tìm nguyên hàm cần lưu ý rèn luyện các phương pháp sau :

1 Phương pháp phân tích :

® Tích thành tổng ;

+ Căn thành mũ ;

Trang 11

ấu trúc đề tủ ⁄9agc ~ Cao ddng nam 2014

2 Phương pháp đổi biến

3 Nguyên hàm từng phần

'Vến để 2 Tính tích phan

Cũng tương tự như phần nguyên hàm, khi tính tích phân cần lưu ý các phương pháp sau : 1 Phương pháp phân tích : ® Tích thành tổng ; + Căn thành mũ ; s Dùng cơng thức hạ « Chia đa thức ;

2 Phương pháp đổi biến số ;

3 Tích phân từng phần

Bên cạnh đĩ cũng cần lưu ý các phương pháp đặc trưng riêng của tích phân, cụ thể là :

+ Dùng tính chất của tích phân ;

+ Giải phương trình (xem tích phân như mội s Dùng cơng thức truy hồi

Van dé 3 Ứng dụng của tích phân

Cĩ hai ứng dụng của tích phá 1 Tính diện tích

« Hình thang cong giới hạn bởi 4 đường : y = Í(x) ; y =

ần lưu ý là :

2 Tính thể tích s Khối + Khối trịn xoay Chú ý yết kì ;

¿ Các ứng dụng trên cĩ thể kết hợp hỏi trong câu I (Khảo sát hàm số)

CâuIV

'Vốn để 1 Quan hé song song, quan hé vuơng gĩc của đường thẳng, mặt phẳng

Trang 12

Dhan loại ồ luAliug dẫn giải đề tủ ⁄Đạt bọc — Đao đẳng

Cần đặc biệt nắm vững định lí ba đường vuơng gĩc và rèn luyện các phương pháp sau trong tính tốn hình học khơng gian :

1 Dùng Py-ta-go và các hệ thức lượng trong tam giác ; 2 Dùng Ta-

3 Dùng tam giác đồng dạng ;

4 Dùng lượng giác

Vốn để 2 Tính diện tích xung quơnh của hình nĩn trịn xooy, hình trụ trịn

xoay, lính diện tích một cảu

Khi tính diện tích các hình cần lưu ý các phương pháp sau :

1 Dùng cơng thức trực tiếp ;

2 Chia nhỏ, tính diện tích từng phần rồi tính tổng ; 3 Dùng cơng thức hình chiếu

'Vốn dé 3 Tính thể tích khối lũng trụ, khối chĩp, khối nĩn trịn xooy, khối trụ

trịn xooy và thể tích khối cảu

Khi tính thể tích các hình cần lưu ý các phương pháp sau :

1, Dùng cơng thức trực tiếp ;

2 Chia nhỏ tính thể tích từng phần và tính tổng ; 3 Ghép thêm thành khối lớn, tính thể tích rồi trừ bớt ;

4 Dùng tỉ số thể tích

Câu V Bài tốn tổng hợp

“Thơng thường bài tốn tổng hợp cĩ liên quan đến các vấn đề sau : 1 Bất đẳng thức ;

2 Min, max của các biểu thức đại số hoặc lượng giác ; 3 Phương trình, bất phương trình các loại ;

4 Hệ phương trình

HỈ sàx niexc

1 Theo chương trình chuẩn

Cau Via

Trang 13

Vain dé 1 Xae dinh tog 46 clia diém, vecto

Để xác định toạ độ của điểm, vectơ trên mặt phẳng và trong khơng gian cần lưu ý các kiến thức sau :

1 Các phép tốn trên toạ độ vectơ cụ thể là :

« Cơng và trừ hai vectơ ;

® Nhân vectơ với một số thực ;

« Tích vơ hướng ; « Tích cĩ hướng

2 Quan hệ cùng phương và vuơng gĩc giữa hai vectơ ; 3 Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ ;

4 Gĩc giữa hai vectơ

'Vốến để 2 Đường trịn, elip

Đây là phần ơn tập kiến thức hình học về phương pháp toa độ trong mặt phẳng ở

lớp 10, bao gồm :

1 Phương trình đường trịn ;

2 Tiếp tuyến đường trịn ;

3 Phương trình elip

'Vến để 3 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

Đây là phần kiến thức hình học về phương pháp toạ độ trong khơng gian ở lớp 12,

bao gồm :

1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ;

2 Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ;

3 Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng ;

4 Quan hệ song song và vuơng gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng Vấn để 4 Tính gĩc và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đây là phần tính tốn định lượng trong hình học về phương pháp toạ độ lớp 12 bao gồm :

1 Tính các loại gĩc trong khơng gian :

Trang 14

ø Gĩc giữa hai đường thẳng ;

ø Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng ;

« Gĩc giữa hai mặt phẳng

2 Tính khống cách từ một điểm đến một mặt phẳng

'Vến để 5 Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Nội dung bao gồm :

1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng ;

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ;

3 Tim toa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ;

4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng ;

5 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu ;

6 Xác định tâm và bán kính của đường trịn là giao của mặt phẳng và mặt cầu ;

7 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ;

8 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt cầu Câu VILa

'Vốn để 1 Số phức

'Vấn đề số phức trong chương trình chuẩn chỉ bao gồm các chủ đề sau : Dạng đại số của số phức ;

`" lểu diễn hình học của số phức ;

Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức ;

ˆ Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Cần lưu ý các kĩ năng sau :

1 Tính mơ đun của số phức ;

2 Xác định và sử dụng số phức liên hợp ;

3 Thực hiện thơng thạo các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức

Vốn đề 2 Bốt đẳng thức

Ngồi việc bất đẳng thức cĩ thể được sử dụng gián tiếp trong bất cứ câu nào,

Trang 15

ấu trie dé thi Dage ~ Cao ding nam 2014 B

Thi sinh cần chị

là đúng : ơn tập các phương pháp sau để chứng mình một bất đẳng thức

1, Biến đổi tương đương ;

2 Dùng bất đẳng thức Cơ-si hoặc BCS ; 3 Dùng đạo hàm ;

4 Dùng tam thức bậc hai

Vốn để 3 Cực trị của biểu thức đợi số

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số cần lưu ý các phương pháp sau :

1 Dùng bất đẳng thức ; 2 Dùng đạo hàm

Đặc biệt lưu ý kĩ năng đặt

số phụ để đơn giản hố biểu thức đại số đã cho

'Vến để 4 Tổ hợp, xác suết, thống kê

1 Hốn vị ~ Tổ hợp Chỉnh hợp - Nhị thức Niu-tơn ;

2 Xác suất và thống kê

2 Theo chương trình nâng cao

Đề thi theo chương trình nâng cao bao gồm tất cả các phân tích đã trình bày theo

chương trình chuẩn ở trên, ngồi ra cịn cĩ thêm các phần sau :

Câu VLb

Vến để 2 Cĩ thêm hyperbol và parabol

'Vấn để 4 Cĩ thêm tính khoảng cĩch từ điểm đến đường thổng vỏ khoảng

cach giữa hơi đường thẳng

Cau VILb

Vến để 1 Cĩ thêm

1 Căn

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số phức ;

ậc hai của số phức ; 3 Dạng lượng giác của số phức ;

Trang 16

or tbx+C

Vấn để 2 Cĩ nêm đổ thị hàm phơn thức hữu tỉ dạng y = SO + và một số yếu tố liên quan

Vến để 3 Cĩ thêm

1 Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong 2 Hệ phương trình mũ và lơgariL

Phản 3

PHƯƠNG PHAP ON TAP VA LUYEN THI " PHƯƠNG PHÁP ƠN TẬP

Năm học 2013 ~ 2014 đề th được ra theo chương trình THPT hiện hành, chủ yếu nằm trong chương trình lớp 12 Để làm tốt bài thỉ các thí sinh cần ơn tập đầy đủ và kĩ lưỡng các trọng tâm kiến thức của sách giáo khoa, đồng thời nấm vững các phương pháp giải tốn thơng qua việc luyện giải các dạng bài tập phong phú và da dang

HỈÏ tước sài Lâu cần TRANE

Kinh nghiệm dạy luyện thi cho thấy khi giải đề thi tuyển sinh đại học mơn tốn,

thí sinh thường phạm các thiếu sĩt sau :

1 Chưa nắm vững kiến thức giáo khoa cơ bản ;

2 Khả năng phân loại các câu hỏi và các vấn đề cịn hạn chế ;

3 Kĩ năng biến đổi chuyển lạ thành quen, quy về cơ bản chưa linh hoạt ;

4 Sự phối hợp nhiều phương pháp trong một bài giải chưa cao

Trang 17

hả để 1 “Khảo sát làm số 17

B PHAN LOAI BE THI MON TOAN

THEO CHU ĐỀ

KHẢO SAT HAM SO

BỄ rĩv rắr Lí ruuyếr

§1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Giả sử K là một khoảng (một đoạn hoặc nửa khoảng) và f là một hàm số xác định trên K

> Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu Vxị, xạ e K: xị < xạ = (x1) < f(x2)

> Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu VXị, x2 € K : x) <x2 => f(x1) > fox)

Hay nĩi cách khác :

T(x+Ax)~f(%)

> Hàm số f đồng biến trên K VxeK, a

x >0 véi moi Ax #0 ma

x+AxeK

f(x + Ax)—f(x)

Ax

> Hàm số f nghịch biến trên K > Vx eK, <0 với mọi Ax # 0

mà x + Ax e K

'Từ đĩ, người ta chứng minh được :

tử hàm số ƒ

Giả 5 dao ham trên khoảng K

a) Nếu hàm số ƒ đẳng biến trên khoảng K thì ƒtl)> 0 với mọi x e K b) Nếu hàm số ƒ nghịch biến trên khoảng K thi f(x) <0 vdi moi x e K Dio lai, ta cĩ định lí :

Định lí (Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng) Giả sử hàm số ƒ cĩ đạo hàm trên khoảng K

a) Néu f(x) > 0 với mọi xe K thì hàm số ƒ đẳng biến trên khoảng K

Trang 18

18 Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Cao ddng

Khoảng K trong định lí trên cĩ thể được thay bởi một đoạn hay nửa khoảng Khi đĩ phải bổ sung giả thiết *Hàm số ƒ liên tục trên đoạn hay nửa khoảng đĩ” Tức là tạ cĩ:

> Nếu hàm số f liên rực trên đoạn [a ; b] và cĩ đạo hàm f(x) > 0 trên khoảng (a ; b) thì hàm số f đồng biến trên [a ; b]

> Nếu hàm số f lién rực trên đoạn [a ; b] và cĩ đạo hàm f'(x) < 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f nghịch biến trên [a ; b]

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Khới niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tap hgp D (Dc R) va xo € D

a) xọ được gọi là điển cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a : b) chứa điểm

Xo sao cho (a ; b) C D và f(x) < f(xo) với mọi x e (a ; b) \ [xo}

Khi đĩ f(xo) được gọi là giá rị cực đại của hàm số f

b) xo được gọi là điểm cực riểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a ; b) chứa điểm Xo Sao cho (a ¡ b) C D và f(x) > f(xu) với mọi x € (a; b)\ { Xo}

Khi đĩ f(xo) được gọi là giá rrị cực tiểu của hàm số f

* Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điển cực trị

* Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực rrị

* Nếu xọ là một điểm cực trị của hàm số f thi ta nĩi hàm số f đạt cực trị tại xo Chú ý:

a) Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo) của hàm số f nĩi chung khơng phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định D

b) Một hàm số f cĩ thể đạt cực đại hay cực tiểu tại nhiều điểm trên tập xác định D

và các cực trị nĩi chung là khác nhau Hàm số f cũng cĩ thể khơng cĩ cực trị trên một tập hợp cho trước

©) Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm s

Trang 19

hủ để 1 “Khảo siit ham số mm

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại xo Khi đĩ : Nếu f cĩ đạo hàm tại điểm xo thì f'(xo) = 0 Điều ngược lại cĩ thể khơng đúng Chẳng hạn :

> Cĩ những hàm số cĩ đạo hàm bằng 0 tại xo nhưng tại xo hầm số khơng đạt cực

trị như hàm số y = xỶ tại xo = 0

> Cĩ những hàm số f đạt cực trị tại những điểm mà tại điểm đĩ hàm số khơng cĩ đạo hầm như hàm số y = |x| tai xo =0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm xo và cĩ đạo hàm trên các khoảng (a ; xọ) và (xo; b) Khi đĩ :

a) Nếu f(x) < 0 với mọi x e (a ; xọ) và f'(x) > 0 với mọi x e (xo ; b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

x a Xo b f(x) 7 + f(x) f(x) ae i ae er

b) Nếu f'(x) > 0 với mọi x e (a ; xo) và f'{x) < 0 với mọi x € (xo; b) thì hàm số F đạt cực đại tại điểm xo

x a Xo b f(x) + - £(X) f(x) ae 6 ““S,

Tit dinh li 2 ta c6 quy the tim cue tri sau:

QUY TẮC 1 1) Tìm f()

2) Tìm các điểm xị (¡ = 1, 2, ) mà tại đĩ ft nhưng khơng cĩ đạo hàm

3) Lập bảng biến thiên Từ đĩ suy ra cực trị của hàm số

Trang 20

Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Oao đẳng

Định lí 3 Giả và f cĩ đạo hàm cấp hai khác 0 tạ

ử hàm số f cĩ đạo hàm cấp một trên khoảng (a ; b) chứa điểm xụ, f'(xụ) = 0

điểm xo

a) Nếu f”(xọ) < 0 thì hàm số f đạt cực đ:

b) Nếu f”(xo) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

tại điểm xo

'Từ định lí 3, ta cĩ quy tắc 2 để tìm cực trị sau :

QUY TẮC 2 1) Tìm f@) ;

2) Tìm các nghiệm xị ( = 1, 2, ) của phương trình f'(x) = 0; 3) Tìm f'(x) và tính f"(x¡)

* Néu f"(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại xi; * Nếu f"(x;) > 0 thì hàm số £ đạt cực tiểu tại xị

§3 GIA TRI LGN NHAT, GIA TRI NHO NHAT CUA HAM SO

1 Định nghĩa Giả sử hàm số £

định trên tập hợp X c R

a) Nếu tồn tại một điểm xọ e X sao cho f(x) < f(xọ) với mọi x e X thì số M = f(xo)

được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên X Kí hiệu : M = max f(x), xeX

b) Nếu tồn tại một điểm xo e X sao cho f(x) > f(xo) với mọi x e X thì số m = f(xo) được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên X

Kí hiệu :m = min f(x)

xeX

2 Phương phớp tim GTLN - GTNN

ìm GTLN và GTNN của hàm số trên một tập hợp X bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đĩ

Trường hợp đặc biệt X = [a ; b]:

Trang 21

hả để 1 “Khảo sát làm số

1 Tìm các điểm x, (i = 1, 2,.) e (a ¡ b) mà tại các điểm đĩ hàm số f(x) cĩ đạo hàm bằng 0

2 Tinh các giá trị f(x;) ( = 1, 2 ), fía) và f(b)

3 Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] àm số f(x) trên đoạn [a ; b]

Ngồi ra, một số hàm số cĩ thể đổi biến số t = t(x) và viết lại hàm số f(x) dưới

dang ham s6 hgp f(x) = g(t(x))

Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của

Gọi T là miền giá trị của hàm số

= t(x) vdi moi x e X Khi đĩ : max f(x) = max g(t) va_ min f(x) = min g(t) xeX te T xeX, te?

§4 ĐIỂM UỐN CỦA ĐƠ THI HAM SO TINH TIEN HE TRUC TOA BO

1 Khĩi niệm điểm uốn của đồ thị

Điểm U(o ¡ (xo)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm xo sao cho trên một trong hai khoảng (a ; xo) và (xo; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Định lí

Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm xọ; f"xọ) = 0 và f“() đổi dấu khi x qua điểm xo thì điểm U@e ; f(xo)) là một điển uốn của đồ

thị hàm số y = f(x)

2 Tịnh tiến hệ trục log độ a) Cơng thức chuyển hệ toạ độ

Giả sử I là một điểm của mặt phẳng và (xo ; yu) là toạ độ của điểm I đối với hệ

toạ độ Oxy

Gọi IXY là hệ toạ độ mới cĩ gốc là điểm I và hai trục là IX, IY theo thứ tự cĩ cùng các vectơ đơn vị ¡, j với hai trục Ox, Oy Giả sử M là một điểm bất kì của

mặt phẳng

Trang 22

Dhan loại ồ luting dén yidi dé thi Dat hge — Cao đẳng

l x=X+Xxq

Khi đĩ : y=Y+yo

Các hệ thức trên gọi là cơng rhức chuyển hệ toa dé trong phép tịnh tiến theo OI b) Phương trình của đường đối với hệ toạ độ mới

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = f{x) cĩ đồ thị là (C) Giả sử M là một điểm bất kì của mặt phẳng

Goi (x ; y) là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxy và (X ; Y) là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ IXY

Khi đĩ : Me(C) © y = f(x)

Áp dụng cơng thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ Ọ,, ta cĩ : M(C) â y =f(x) Ơ + yo=M(X +x) <> Y= MX + x0) — yo

§5 pUONG TIEM CAN CUA BO THI HAM SO

1 Tiệm cận đứng

Đường thẳng x = xọ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) néu it

nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn :

lim f&)=+% ¡ lim f&)=- ; lim f@&)=+ ; lim f&)=-z,

x¬xg x¬ng x¬xổ xx)

2 Tiệm cận ngang

Đường thẳng y = yọ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn :

lim y=yg : lim y=yạ

— xo

3 Tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a # 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x)

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn :

lim [f(x)=(ax+b)]=0 ; lim [f(x)=(ax +b)]=0

xy x

Chú ý:

Trang 23

a= tim 2 œ+0);b= lim [f@)~ax] ste x x-xee hoặc a= lim F9 œ¿0);b= lim [fax] xm X —

§Ố KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC

1 Các bước khảo sĩt sự biến thiên và vẽ đồ thi cua mot ham sé

a) Tim tập xác định của hàm số

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số ~ Tìm các giới hạn của hàm số

tiệm cận của đồ thị

~ Lập bắng biến thiên của hàm số :

Tim dao ham y' của hàm số

iới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực Tìm các

+ Xét dấu y' Từ đĩ suy ra chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số + Điền các kết quả vào bảng biến thiên

e) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với hàm đa thức) :

Tìm đạo hàm y” Xét dấu y", từ đĩ suy ra điểm uốn của đồ thị hàm số đ) Vẽ đồ thị của hàm số :

~ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu cĩ)

~ Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toa độ, ) ~ Vẽ đồ thị của hàm số

~ Nhận xét về đồ thị : chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị

2 Khảo sĩt hàm số y = ax* + bx? + ex +d (a#0)

a) Tập xác định : D= R

b) Khảo sát sự biến thiên :

*Gidihan: lim y=+0 khia>0 lim y= # khia<0

Trang 24

Nếu A' >0; Hàm số cĩ hai cực trị

Nếu A'<0:

s Lập bảng biến thiên và suy ra khoảng tăng, giảm và điểm cực trị

àm số khơng cĩ cực trị Cĩ 6 dạng bảng biến thiên sau :

> y' =0 cĩ 2 nghiệm phân biệt và a > 0 (đồ thi dang 1)

x | -2 xt x2 +0 y + 0 - 0 + CĐ +0 y ae 3 mm ar ee

=0 cĩ 2 nghiệm phân biệt và a < 0 (đồ thi dang 2)

x ~œ Xt x2 ch, y’ = 0 + 0 = x ~œ Xi +0 y’ + 0 + ———Y + Jj _ _—>

> y' =0 cĩ nghiệm kép và a < 0 (đồ thi dang 4)

Trang 25

hả để 1 “Khảo sát làm số +00 —

> y' =0 vơ nghiệm và a < 0 (đồ thị dang 6) x = +00 3

+0

y ~m

Lập bảng xét đấu y” Suy ra đồ thị cĩ một điểm uốn {

đ) Đồ thị : Cĩ 4 dạng đồ thị : #| a #|#z y y > > > oO x \O x oO x

Dang 1 Dang 2 Dang 3

y y Ay

¬

9 x 9 \

Dạng 4 Dang 5 Dang 6

Trang 26

3 Khảo sĩt hàm số trùng phương y = oxÃ + bx” + c (g z0)

a) Tập xác định : D= R b) Khảo sát sự biến thiên :

«Giới hạn: lim y=+œ khia>0; xo te lim y=~o khia<0

xo te

oy’ =4ax? + 2bx = 2x(2ax” +b)

Nếu ab <0: y'=0 ©x=0 hay x= = hàm số cĩ ba cực trị

Nếu ab>0: y' chỉ đổi dấu tại x = 0 => hàm số cĩ một cực trị, đạt tại x = 0 + Lập bắng biến thiên :

'Tuỳ theo y =0 cĩ một hay ba nghiệm và dấu của a, ta cĩ 4 dạng bảng biến thiên sau :

> y' cĩ ba nghiệm phân biệt và a > 0 (đồ thi dang 1)

x | -2 Xi 0 x +0

y = 0 + 0 - 0 +

+0 +00

ý Se tt

> y’ c6 ba nghiệm phân biệt va a < 0 (đồ thị dạng 2)

Trang 27

hả để 1 “Khảo sát làm số > y' cĩ một nghiệm và a < 0 (đồ thị dạng 4) _œ 0 + v x 0 = cD y wee 4“ TH -0 20

Nếu ab <0: y" đổi dấu 2 lần => đồ thị cĩ 2 điểm uốn

Nếu ab > 0: y" khơng đổi dấu => đồ thị khơng cĩ điểm uốn 4) Đồ thị : Cĩ 4 dạng đồ thị : : y > > Wo x | oO \ x Dang 1 Dang 2 ý y % ° x Dang 3 Dang 4 Nhận xét :

Trang 28

Ea Dhan togi va huting din giti dé thi Dat hoe — Cao dtdng

§7 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

ax+b

1 Ham sé y= Y* xed (c #0, ad-be #0)

a) Tập xác định : D= R \ H

e b) Khảo sát sự biến thiên

® Tiệm cận : * Tiệm cận đứng : * Tiệm cận ngang : ad—be (cx+dy

Dấu y' là dấu của hằng số T = ad - bc

Nếu ad ~ be >0 : Hàm số tăng trên từng khoảng xác định Nếu ad ~ be < 0: Hàm số giẩm trên từng khoảng xác định Hàm số khơng cĩ cực trị

Tuy theo du cita T = ad — be ta cĩ hai dạng bảng biến thiên sau :

Trang 29

hả để 1 “Khảo sát làm số 29 4 x | -m _— ¢ 400 zt = = a = 400 c , i Oa a 20 = € ©) DO thi yA ya _ > x 6 x SP Deng 1 Dang 2 Nhận xét :

Đồ thị nhận giao điểm i(-2 ; 4) của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng cle

ax? +bx +e

2.Ham so y = ST (ad +0, ¬ khơng là nghiệm của tử số) a) Tập xác định : D= \ Hị

b) Khảo sát sự biến thiên

Trang 30

Ea Dhan loại ồ luting dén yidi dé thi Dat hge — Cao đẳng

adx? +2aex +be-cd (dx +e?

ect „ Dấu y' là dấu của g(x) = adx” + 2aex + be ~ cd

A, >0 : Hàm số cĩ 2 cực trị ; A„ <0: Hàm số khơng cĩ cực trị 'Bắng biến thiên : Cĩ 4 dạng sau :

Trang 31

hả để 1 “Khảo sát làm số c) Đồ thị Dạng 3 Dang 4

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

§8 MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Biện luận số giao điểm của hơi đường

Cho hai đồ thị (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)

Khi đĩ phương trình hồnh độ giao diém ciia (C) va (D) 1a f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (D), vì vậy ta cĩ các trường hợp sau :

+(1)cĩnnghiệm <> (C) và (Đ) cĩ n giao điểm

+(1) vơ nghiệm e>(C) và (D) khơng cĩ giao điểm

2 Điều kiện tiếp xúc giữa hơi đường (C) và (D)

(C tiếp xúc (D) e { Ý€ “ŸD cĩ nghiệm, Ye“Yp

Trang 32

3 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f00

Bài tốn I : Lập phương trình tiếp tuyến của (C) gi điểm M (M là điểm)

+ Tìm Xọ = XM ; Y0 = YM

+ Tìm y' suy ra y'(xo)

+ Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y — yo = y'(xo) (x — Xo)

Bài tốn 2 : Lập phương trình của tiếp tuyến khi biết hệ số gĩc k Cách 1

+ Gọi xo là hồnh độ tiếp điểm Ta cĩ f(xo)=k_ (1) + Giải phương trình (1) ta được xọ, thay vào y ta được yo

Khi đĩ : Phương trình tiếp tuyến cần tìm cĩ dang : y — yo = k(x — Xo)

Cách 2

+ Vì tiếp tuyến (4) cĩ hệ số gĩc k = (4) : y = kx +b

Yc =Ya

Từ đĩ ta cĩ phương trình tiếp tuyến (d) : y = kx + b

Chú ý : Cĩ thể xác định hệ số gĩc & cửa tiếp tuyến đ dựa vào các nhận xét sau : + (a) //(D) > ka= kp +d) LD) kakp=-1 + Nếu (D) : y = ax + b thì kp = a + kạ = tan(Ox, d) Bài tốn Cách 1

+ Gọi (d) là đường thẳng qua A và cĩ hệ số gĩc là k

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi gwa điểm A cho trước

=():y~ ya = k&~ XA) @)

+ Bằng cách cho (d) tiếp xúc (C) ta tìm được k

“Thay k vào (*) ta thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2

Trang 33

=(@):y~ yo= (Xo)(X ~ Xo) Oy

+ Vi (d) qua Á = yA — yo = (X0)(XA — Xo) 6)

+ Gidi (***) ta được xo và yọ Thay vào (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập

4 Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Cho đồ thị (C) : y = f(x)

Để biện luận số nghiệm của phương trình ø(x, m) = 0 bằng đồ thị ta làm như sau : + Biến đổi phương trình đã cho về dạng : f(x) = m (*)

+ Phương trình (®) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường :

lun f(x)

(đ):y=m

nên số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và (4)

+ Nhìn đồ thị xác định số giao điểm của (C) và (d) rồi suy ra số nghiệm của (*) Chú ý:

theo cách trên sau đĩ chuyển k về m

2) Cĩ khi ta phải đặt ẩn phụ để đưa (*) về dạng đơn giản hơn

3) Nếu phải biện luận số nghiệm thuộc tập K của phương trình (1) thì ta dựa vào

phần đồ thị (C) với x e K, tuỳ theo giá trị của tham số m ta suy ra số điểm chung của phần đồ thị (C) với x e K và (d) Từ đĩ suy ra số nghiệm thuộc K

của phương trình (1)

5 Biện luận số dé thi di qua một điểm - Điểm cố định của họ đường cong

a) Cho họ đường cong (Cụ) : y = f(x, m),m¢ R

Ta cĩ : A(Xo ; yo) € (Cm) < yo = f(xo, m) ay

Nếu xem phương trình (1) là phương trình theo ẩn là m thì ta cĩ các trường hợp sau:

Trang 34

b) Cách tìm điểm cố định của họ (Cm) :

Joma Am+B=0

+ Biến đổi phương trình y = f(x, m) > Am? +Bm+C=0

Q)

Bvokanwe 4 0

+ Toạ độ điểm cố định của (Cạ) phải thoả hệ hoặc 4 B= @)

” c=0

+ Giải hệ (3) ta tim được x, y 18 toa độ điểm cố dinh cin Gm

Chú ý : Nếu ta phải tìm những điểm mà khơng cĩ đường nào của họ đi qua thì ta phải tìm điều kiện để (1) vơ nghiệm theo m

6 Hèm số cĩ dếu giá trị tuyệt đối

Cho đồ thị (C) cđa hàm số y = f(x) Từ đồ thị (C) hãy suy ra : a) BO thi (C1): y=1f00) |:

Ta cĩ (CI) : y =lf@x)I = { THỊ IẾ, 4Gyee ~f(x) khi f(x)<0, Do đĩ đồ thị (C¡) gồm hai phần :

* Phần I là phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị (C)

* Phần 2 là phần đối xứng của phần phía dưới trục hồnh của (C) qua trục Ox

b) Đồ thị (Ca) của hàm sé y = f(Ixl) :

'Ta cĩ hàm số y = f(Ixl) là hàm số chẩn nên (C;) nhận trục Oy làm trục đối xứng Với x >0 thì y = f(lx!) = f(x) nén (Co) =(C)

Do đĩ (C;) gồm hai phần :

u(x).v(x) khi u(x) 20

Vìy =lu@)L.v@) = y= UO) ve) — khi u(x)<0

Trang 35

* Phần đồ thị (C) ứng với u(x) > 0

* Phần đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) ứng với u(x) < 0 7 Viết phương trình đường thẳng quơ cĩc điểm đặc biệt a) Phương pháp chung

Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm đặc biệt của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) ta thực hiện các việc sau :

+ Gọi M( ; y) là điểm đặc biệt

+ Lập các hệ phương trình mà toạ độ M phải thoả mãn

+ Từ hệ trên rút ra một phương trình hệ quả cĩ bậc 1 : y = ax + b

+ Kết luận : Đường thẳng (4) : y = ax +b là đường thẳng đi qua các điểm đặc biệt M

b) Hai trường hợp thường gặp

b1) Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba y = f(x) : + Tính y'

+ Chia y cho y' và viết được y = y'.g(x) + r(x) với r(x) = Ax +B

+ Goi M(x; y) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) ta cĩ hệ phương trình : f(x)=0

ƒ =Ÿ(x)g(x)+ r(x) =y=r()

+ Vậy y = r(x) = Ax + B là phương trình của đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số,

b2) Cách viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Từ (1) và (2) = y =ax +b

Trang 36

DE THI MINH HOA

Bài 1 Cho hàm số y =—x + 3x? + 3mx — I (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hầm số (1) khi m = 0 b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0 ; +)

(trích Đề thì Đại học ~ Cao đẳng khối A ~ A1, năm 2013)

Gia a) Khi m=0, ta cĩ y=—xÌ + 3x2 — 1

* Tập xác định : D= R * Sự biến thiên :

~ Chiều biến thiên : y' =~3x” + 6x ; y' =0 £> x = 0 hoặc x = 2

Khoảng đồng biến : (0 ; 2), các khoảng nghịch biến : (~ø ; 0) và (2 ; +)

~— Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 yer ¡ đạt cực đại tại x = 2, ycp = 3

= Giới hạn: lim y=+z; lim y== soe xt

~ Bắng biến thién : cd 0 2 +0 0 = # 0= ý Wi ee b) Ta c6 y! =-3x? + 6x + 3m

Trang 37

hả để 1 “Khảo sát làm số ©m<x”~ 2x, Vx >0, 2 ~ 2x với x > 0 Xét [(x) = Ta cé (x) = 2x — 2: (x) =0 c x= I Bảng biến thiên : x 0 1 +2 f(x) - 0 + 1) | —_, 4 4

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thoả mãn yêu cầu của bài tốn là m <— I

Bài 2 Cho hàm số y = 2x” ~ 3(m + I)x” + 6mx _ (1), với m là tham số thực a) Khảo sát

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng y = x + 2

(trích Đề thì Đại học - Cao đẳng khối B, năm 2013)

Gia

í biến thiên và vẽ đồ thị của hầm số (1) khi m=—I

a) Khi m=~1, ta cĩ y= 2x” — 6x,

* Tập xác định : D= R * Sự biến thiên :

~ Chiều biến thiên : y' = 6x?~ 6; y'=0 «3 x= l hoặc x=~1

Các khoảng đồng biến : (—ø ; =1) và (1 ; +), khoảng nghịch biến : (—1 ; 1)

~ Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại

=1,ycr==4; đạt cực đại tại

1, yep =4

~ Giới hạn: lim y=—%; lim y=+œ

~ Bảng biến thiên :

y | ee —

Trang 38

b) Ta cé y’ = 6x” ~ 6(m + I)x + 6m; y’

Điều kiện để đồ thị hàm số cĩ hai đii

Đường thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi k= ~I <>m=0hoặc m=2

Vậy giá trị m cần tìm là m = 0 hoặc m =2

Bài 3 Cho hàm số y = 2xÌ~ 3mx” + (m~ 1)x +1 (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = I

b) Tìm m để đường thẳng y =—x + I cất đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

(rích Đề thi Đại học ~ Cao đẳng khối D, năm 2013) Gian

a) Học sinh tự làm

b) Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y=—x + 1 là

Ề E x=0

2xÌ~ 3mx” + (m~ 1)x+l=-x+lâ

2x? 3mx +m đ

ee ~8m>0

°

mz0

Trang 39

Bài 4 Cho hàm số y = xÌ ~ 2(m + 1)x” + mỸ _ (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam

giác vuơng

(trich Dé thi Dai hoc — Cao ding khối A - AI, năm 2012)

Gian _2x a) Khi m = 0, ta cĩ y = * Tập xác định : D= R * Sự biến thiên :

~ Chiều biến thiên : y'=4xÌ~ 4x;y'=0 œx=0,x=1,x=

Các khoảng nghịch biến : (_% ; —1) và (0 ; 1), các khoảng đồng biến : (—1 ; 0) và q:3z)

— Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x= +1, yer =-1 5 dat cue dai tai x = 0, ycp =0

Trang 40

40 Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Cao ddng

b) Ta cĩ y' =4xŸ ~ 4(m + 1)x = 4x(x?- m= 1)

Đồ thị hàm số cĩ ba điểm cực trị khi và chỉ khim+1>0<¢>m>-1 (*),

Các điểm cực trị của đồ thị là A(0; mƠ, BC m +1 ;~2m- 1) và C(Ým +1 ;~2m- D),

Suyra AB =(—m+1:~(m+ 1) và AC =(vm+1;-(m+ 1)

“Ta cĩ AB = AC nên tam giác ABC vuơng khi và chỉ khi AB AC =0

(m+ DỶ~ (m+1)=0

Kết hợp (®), ta được giá trị m cần tìm là m =0

3

Bài 5 Cho hàm số y = xÌ— 3mx” + 3mẺ (1), m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 48

(rích Đề thì Đại học ~ Cao đẳng khối B, năm 2012)

Gia

a) Hoc sinh tự làm

b) Ta cĩ y' = 3x? 6mx ; y'=0.¢> x =O hoc x = 2m

Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực wi khi va chi khim#0 —(*)

Các điểm cực trị của đồ thị là A(0 ; 3m`), B(2m ; ~m`)

Suy ra OA = 3im'l va d(B, (OA) = 2iml

Ssoan = 48 <> 3m‘ = 48 <> m= +2, thod man (*)

Bài 6 Cho hàm số' y= 3 mx? —2(3m? =x + (1), ma tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 1

b) Tìm m để hàm số (1) cĩ hai điểm cực tri x; Và x2 sao cho x,x, +2(x, +x;)=1 (irich Bé thi Dai học ~ Cao đẳng khối D, năm 2012)

Gian

a) Hoe sinh tự làm

x” — 2mx — 2(3m? = 1),

Định dạng
Số trang	304
Dung lượng	21,88 MB