NBV PHIÊN bản NÂNG cấp 1d1 2 (bản IN CHO HS)

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 11 1D12(IN) ĐT:0946798489 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU HƠN Phần 1 Lý thuyết và phương pháp giải toán Công thức lượng giác Công thức cơ bản Cung đối nhau sin ( − x ) = − sin x sin 2 x + cos 2 x = 1 tan 2 x + 1 = 1 cos 2 x cos ( − x ) = cos x cot 2 x + 1 = 1 sin 2 x tan ( − x ) = − tan x Công thức cộng sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y Cung bù nhau sin x = sin ( π − x ) cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y cos x = − cos ( x − π ) tan ( x ± y ) = tan x ± tan y 1 mtan x tan y tan x = tan ( x − π ) Công thức đặc biệt π π   sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷ 4 4   Góc nhân đôi Góc chia đôi 1 sin 2 x = ( 1 − cos 2 x ) 2 sin 2 x = 2sin x cos x cos 2 x = 2 cos x − 1 = 1 − 2sin x = cos x − sin x 2 2 2 2 Góc nhân ba sin 3 x = 3sin x − 4 sin 3 x cos 3x = 4 cos x − 3cos x 3 tan 3 x = cos 2 x = 1 ( 1 + cos 2 x ) 2 Góc chia ba 1 sin 3 x = ( 3sin x − sin 3x ) 4 cos 3 x = 1 ( 3cos x + cos 3 x ) 4 3tan x − tan 3 x 1 − 3 tan 2 x Biến đổi tích thành tổng 1 cos x cos y = cos ( x − y ) + cos ( x + y )  2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong Biến đổi tổng thành tích x+ y x− y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 x+ y x− y sin 2 2 sin x sin y = 1  cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2 cos x − cos y = −2sin sin x cos y = 1 sin ( x − y ) + sin ( x + y )  2 sin x + sin y = 2sin x+ y x− y cos 2 2 sin x − sin y = 2 cos x+ y x− y sin 2 2 Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản Phương trình sin x = m (1) m > 1⇒ - Nếu Phương trình (1) vô nghiệm do sin x ≤ 1 ∀x ∈ ¡ m ≤ 1: - Nếu + Xác định α sao cho m = sin α Vậy phương trình  x = α + k 2π sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔  ( k ∈¢)  x = π − α + k 2π π  π − ≤ α ≤ 2  2  + Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện sin α = m thì ta viết α = arcsin m (đọc là ac-sin-m) Khi đó  x = arcsin m + k 2π sin x = m ⇔  ( k ∈¢)  x = π − arcsin m + k 2π cos x = m ( 2 ) Phương trình m > 1⇒ - Nếu Phương trình (2) vô nghiệm (do cos x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ ) m ≤1 - Nếu : α + Xác định sao cho cos α = m Vậy phương trình  x = α + k 2π cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔  ( k ∈¢)  x = −α + k 2π 0 ≤ α ≤ π  + Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện cos α = m thì ta viết α = arccos m (đọc là ac-cos- m)  x = arccos m + k 2π cos x = m ⇔  ( k ∈¢) x = − arccos m + k 2 π  Khi đó Ð Ð sđ AM = α + k 2π ; sđ AM = −α + k 2π uuur OK = m π + kπ ( k ∈ ¢ ) 2 Phương trình tan x = m ĐK: - Ta xác định α sao cho m = tan α Khi đó phương trình tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ ) π π  − < α < 2  2  + Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện  tan α = m x≠ thì ta viết Phương trình cot x = m x ≠ kπ ( k ∈ ¢ ) Điều kiện: - Ta xác định α sao cho m = cot α Khi đó phương trình cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ ) 0 < α < π  α + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện cot α = m thì ta viết Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP α = arctan m (đọc là ac - tan - m) Khi đó phương trình tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ ( k ∈ ¢ ) ĐT:0946798489 α = arc cot m (đọc là ac - cotang - m) Khi đó phương trình cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ ( k ∈ ¢ ) AS = m AT = m Phần 2 Bài tập tự luận Bài 1: Giải các phương trình sau: π 1  sin  2 x − ÷ = 4 2  a) π  2sin  2 x − ÷+ 3 = 0 4  b) π  3sin  4 x + ÷− 4 = 0 3  c) π π   sin  2 x + ÷ = sin  x + ÷ 2 4   d) π  cos  3 x + ÷ = 0 4  e) π  cos  5 x + ÷+ 1 = 0 3  f) π  2 cos  4 x + ÷+ 5 = 0 5  g) π  2 cos  3 x − ÷+ 1 = 0 4  h) π  2 cos  2 x + ÷+ 3 = 0 6  i) π  cos  3 x − ÷+ cos x = 0 3  k) π  cos  4 x + ÷− sin 2 x = 0 5  l) Bài 2: Giải các phương trình sau: x= ĐS: 5π 13π + kπ , x = + kπ 24 24 x=− ĐS: ( k ∈Z) π 19π + k 2π , x = + kπ 24 24 ĐS: vô nghiệm π π k 2π x = − + k 2π , x = + 4 12 3 ĐS: π kπ x= + ( k ∈Z) 12 3 ĐS: 2π k 2π x= + ( k∈Z) 15 5 ĐS: ( k ∈Z) ( k ∈Z) ĐS: vô nghiệm 11π k 2π 5π k 2π x= + ,x = − + ( k∈Z) 36 3 36 3 ĐS: π π x = + k π , x = − + kπ ( k ∈ Z ) 3 2 ĐS: 2π π x= + kπ , x = − + k π ( k ∈ Z ) 3 6 ĐS: π kπ 7π x= + ,x = − + kπ ( k ∈ Z ) 20 3 20 ĐS: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP a) b) c) 2π  sin  3 x + 3  9π    ÷ = cos  x − ÷ 4    2π  sin  3 x + 3  7π   ÷+ sin  x − 5    ÷= 0  π  sin  2 x + ÷+ cos x = 0 4  d) e) f) π 1  sin 2  2 x − ÷ = 4 2  2π  sin 2  3x + 3    2  7π − x÷ ÷ = sin    5  π π   sin 2  5 x + ÷− cos 2  3 x + ÷ = 0 3 4   g) π   4π  sin  3 x + ÷+ sin  − 3x ÷ = 3 5   5   4π  π  sin  + x ÷+ cos  − x ÷ = 3  9   18  h) Bài 3: Giải các phương trình sau: π π   cos  4 x + ÷+ sin  x − ÷ = 0 3 4   a) π  cos 2  3x + ÷ = cos 2 x 3  b) π 3  cos 2  2 x − ÷ = 4 4  c) π π   cos 2  2 x + ÷ = sin 2  x + ÷ 4 3   d) π   5π  cos  3 x + ÷+ sin  + 3x ÷ = 2 3   6  e) Bài 4: Giải các phương trình sau: π  3 tan  2 x + ÷ = 3 6  a) π  −3cot  2 x + ÷ = 3 4  b) ĐT:0946798489 x= ĐS: π kπ 5π + ,x = − + kπ 48 2 24 x=− 8π 11π kπ + kπ , x = + ,( k ∈ Z ) 15 60 2 x=− 3π 5π k 2π + k 2π , x = + 4 12 3 ĐS: ĐS: x= ĐS: ( k∈Z) π kπ + 4 4 x=− ĐS: π kπ 8π kπ + ,x= − + ,( k ∈ Z ) 15 4 15 2 x= 5π kπ 13π kπ + ,x = − + 24 2 96 8 ( k ∈Z) x= 2π k 2π 7π k 2π + ,x = + 45 3 45 3 ( k∈Z) ĐS: ĐS: x=− π 2π + k 2π , x = + k 2π ( k ∈ Z ) 9 9 x=− π k 2π 7π k 2π + ,x = − + 36 3 60 3 x=− π kπ π kπ + ,x = − + 6 2 12 4 ĐS: ĐS: ĐS: x= 5π kπ π kπ + ,x = + 24 2 24 2 x= 7π 13π kπ + kπ , x = − + 12 36 3 ĐS: ĐS: x=− ĐS: x= ĐS: ( k ∈Z) π k 2π + 9 3 kπ 2 x=− ĐS: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong ( k∈Z) ( k∈Z) ( k∈Z) ( k∈Z) ( k∈Z) ( k∈Z) π kπ + 3 2 ( k ∈Z ) 4 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP π  tan  3x + ÷+ 1 = 0 4  c) x=− ĐS: π  cot  3 x + ÷− 1 = 0 6  d) x= ĐS: π  tan  3 x + ÷+ tan 2 x = 0 4  e) π  π  tan  4 x + ÷− tan  − 2 x ÷ = 0 3  6  f) π  tan  3 x − ÷ = cot x 5  b) tan ( x − 30 ) cos ( 2 x − 150 c) d) ( ) =0 ) x=− π kπ + 36 6 ( k∈Z) ĐS: ĐS: ĐS: 7π kπ + 40 4 e) Bài 7: Giải các phương trình sau: ( k ∈Z) 0 0 x = 900 + k 3600 x = 210 + k 360 ( k ∈ ¢ ) ĐS: , x = 50 + k1800 , x = −550 + k1800 ( k ∈ ¢ ) ĐS: , ĐS: x = k 600 , ( k ∈¢) x = −1600 + k 3600 ( k ∈ ¢ ) ĐS: , ĐS: ĐS: ĐS: ĐS: 2π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 3 3π π + k 3π , x = − + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 4 2 x = 300 + k1800 , ( k ∈ ¢ ) x= 3 tan x + 3 ( 2 sin x − 1) = 0 π  cos 2 x cot  x − ÷ = 0 4  ( k∈Z) ( k ∈Z) x= 0 ( k ∈Z ) π kπ + 20 5 ĐS: x  x    cot − 1÷ cot + 1÷ = 0 3  2   0 π kπ + 36 3 x=± ( 1 + 2 cos x ) ( 3 − cos x ) = 0 π kπ + 6 3 x=− x= g) Bài 5: Giải các phương trình sau: 1 sin ( x − 600 ) = 2 a) 1 cos ( 2 x + 500 ) = 2 b) 3 tan ( 3 x − 300 ) = − 3 c) 3 x  cot  + 200 ÷ = − 3 2  d) Bài 6: Giải các phương trình sau: a) ĐT:0946798489 5π π + kπ , x = + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 6 6 π kπ  x = 4 + 2 k ∈¢   x = 3π + kπ  4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 x=± sin ( π cos x ) = 1 a) b) ĐS: π  2  2 cos   sin x − 13 + ÷ = 3 2 ÷  6    ĐS: π + m2π , (m ∈ ¢ ) 3 π  x = − + 2mπ  4 ,( m ∈¢)   x = 5π + 2mπ  4 Phần 3 Bài tập trắc nghiệm Dạng 1 Phương trình sinx=a Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm sin Câu 1 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình A Câu 2 Câu 3 x = π + k 4π , k ∈ ¢ B x = k 2π , k ∈ ¢ (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình π 5π x = + k 2π x= + kπ 3 6 A B C x = π + k 2π , k ∈ ¢ π  sin  x − ÷ = 1 3  x= C x =1 2 x= D có nghiệm là 5π + k 2π 6 x= D là π + k 2π , k ∈ ¢ 2 π + 2π 3 sin 2 x = 1 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình π π π kπ x = + k 2π x = + k 2π x= x = + kπ 2 4 4 2 A B C D Câu 4 (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 2sin x − 3 = 0 A C Câu 5 x ∈∅  3  x = arcsin  2 ÷+ k 2π    ( k ∈¢)  3  x = − arcsin  ÷+ k 2π 2  B D (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình  3  x = arcsin  2 ÷+ k 2π    ( k ∈¢)  3  x = π − arcsin  ÷+ k 2π 2  x∈¡ sin x = 1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong có một nghiệm là 6 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A x=π ĐT:0946798489 x=− B π 2 x= C π 2 x= D sin x = π 3 3 2 Câu 6 (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình  x = π + kπ 6  π π  x = 5π + kπ x = ± + k 2π x = + kπ 6  3 3 A B C Câu 7 (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình sin x = sin 30° là S = { 30° + k 2π | k ∈ ¢} ∪ { 150° + k 2π | k ∈ ¢} A S = { ±30° + k 2π | k ∈ ¢} B S = { ±30° + k 360° | k ∈ ¢} C S = { 30° + 360° | k ∈ ¢} ∪ { 150° + 360° | k ∈ ¢} D Câu 8 Câu 9 có nghiệm là: π  x = + k 2π 3   x = 2π + k 2π 3  D sin x = 1 (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình là π π π π − + kπ + kπ − + k 2π + k 2π k ∈¢ k ∈¢ k ∈¢ k ∈¢ 2 2 2 2 A , B , C , D , (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình π π x = + kπ ( k ∈ ¢ ) x = − + k 2π ( k ∈ ¢ ) 3 6 A B π 5π x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) x= + k 2π ( k ∈ ¢ ) 3 6 C .D π  sin  x + ÷ = 1 6  Câu 10 (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2sin x − 1 = 0 có tập nghiệm là: π 5π 2π   π  S =  + k 2π ; + k 2π , k ∈ Z S =  + k 2π ; − + k 2π , k ∈ Z 6 3 6  3  A B π π 1     S =  + k 2π ; − + k 2π , k ∈ Z S =  + k 2π , k ∈ Z 6 6  2  C D Câu 11 (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương 2sin x + 1 = 0 trình có nghiệm là: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A π   x = − 6 + k 2π   x = − 7 π + k 2π  6 B ĐT:0946798489 π   x = − 6 + k 2π   x = 7 π + k 2π  6 C π   x = 6 + k 2π   x = 5π + k 2π  6 D π  x = 6 + kπ   x = − 7π + k π  6 Câu 12 (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình 2sin x − 3 = 0 có tập nghiệm là:  π   π  ± + k 2π , k ∈ ¢  ± + k 2π , k ∈ ¢   6   3  A B 5π 2π π  π  + k 2π , k ∈ ¢  + k 2π , k ∈ ¢   + k 2π ,  + k 2π , 6 3 6  3  C D Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm Câu 13 (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm M, N ? A 2sin2x = 1 Câu 14 Cho phương trình phương trình trên 7π 2 A Câu 15 B 2cos2x = 1 C π 3π    sin  2 x − ÷ = sin  x + ÷ 4 4    B π Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 6 2 A B D 2cos x = 1 Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng C m 2sin x = 1 3π 2 để phương trình 1 C D π 4 của 3sin 2 x − m 2 + 5 = 0 D ( 0; π ) có nghiệm? 7 3sin x + m - 1 = 0 Câu 16 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: có nghiệm? A 7 B 6 C 3 D 5 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 17 Câu 18 ĐT:0946798489 (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình sin ( cos 2 x ) = 0 [ 0; 2π ] trên 3 2 1 4 A B C D Phương trình 3 A æ pö 3 sin ç 3x + ÷ =÷ ç ç è ø 3÷ 2 B 4 æ pö ç 0; ÷ ÷ ç ÷ ç è 2ø có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ? 1 C D 2 Câu 19 (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình [ 0; 2π ] 2sin x − 3 = 0 trên đoạn đoạn A 3 B 1 C 4 D 2 Câu 20 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình  3π   − 2 ;10π  2sin x + 1 = 0 trên đoạn là: 20 12 11 21 A B C D Câu 21 Câu 22 (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình ( 0; π ) các nghiệm thuộc khoảng bằng 7π 3π π 2 2 A B C (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng  π π 1 sin x =  − 2 ; 2  2 trên đoạn 5π π π S= S= S= 6 3 2 A B C π 3π    sin  2 x − ÷ = sin  x + ÷ 4 4    D S π 4 có tổng của các nghiệm của phương trình S= D π 6 Câu 23 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình π 3   π sin  3 x + ÷ = −  0; ÷ 3 2   2 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ? 3 4 1 2 A B C D Câu 24 (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình [ 0; π ] Tổng các nghiệm thuộc của phương trình là: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2sin x − 3 = 0 9 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A π ĐT:0946798489 B π 3 2π 3 C D 4π 3 sin 2 x = − Câu 25 (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình công thức nghiệm dạng α +β bằng A Câu 26 Câu 27 π 2 α + kπ − B (CHUYÊN BẮC 1 sin x = 2 trên đoạn 5π S= 6 A π 2 , β + kπ C có hai  π π − ; ÷  2 2 α β với , thuộc khoảng Khi đó, ( k ∈¢) 3 2 π − D NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng  π π  − 2 ; 2  π π S= S= 3 2 B C S π 3 của các nghiệm của phương trình S= D π 6 (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình 2sin x + 1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? A Điểm D , điểm C B Điểm E , điểm F C Điểm C , điểm F D Điểm E , điểm D Câu 28 (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình π  sin  x + ÷ = 1 [ π ; 2π ] 4  thuộc đoạn là: 3 0 2 1 A B C D Câu 29 (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình x ∈ ( 0; 2π ) ? A 2 nghiệm B 1 nghiệm C 4 nghiệm Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm D Vô số nghiệm 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 30 ĐT:0946798489 sin 5 x − sin x = 0 (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình có bao nhiêu nghiệm [ −2018π ; 2018π ] thuộc đoạn ? 20179 20181 16144 16145 A B C D Câu 31 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn é 5p ù ê0; ú ê 2sin x - 1 = 0 ë 2ú û của phương trình là: 3 1 4 2 A B C D Câu 32 (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình [ 0; π ] Tổng các nghiệm thuộc của phương trình là: 4π π 2π π 3 3 3 A B C D Câu 33 (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng  π π 1 sin x =  − 2 ; 2  2 trình trên đoạn π π π S= S= S= 6 3 2 A B C Câu 34 Câu 35 S 2sin x − 3 = 0 của các nghiệm của phương S= D 5π 6 (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình  3π   − 2 ;10π  2sin x + 1 = 0 trên đoạn là: 20 12 11 21 A B C D π  2sin  2 x − ÷− 3 = 0 3  (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình: ( 0;3π ) có mấy nghiệm thuộc khoảng 8 6 2 4 A B C D Dạng 2 Phương trình cosx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm Câu 36 (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình π 2  cos  x + ÷ = 4 2  là: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A C  x = k 2π  ( k ∈Z)  x = − π + kπ 2  B  x = kπ  (k ∈ Z )  x = − π + k 2π 2  ĐT:0946798489  x = kπ  (k ∈ Z )  x = − π + kπ 2  D  x = k 2π  (k ∈ Z )  x = − π + k 2π 2  cos x =- Câu 37 Câu 38 (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình là 2p p p p x = ± + k 2p x = ± +kp x = ± + k 2p x = ± + k 2p 3 6 3 6 A B C D 1 2 cos x = 1 (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình kp p x= x = + k 2p x = kp k Î ¢ kÎ ¢ x = k 2p k Î ¢ 2 kÎ ¢ 2 A , B , C , D , cos x = cos Câu 39 (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình cả các nghiệm là: 2π π x= + k 2π ( k ∈ ¢ ) x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 3 A B π π x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) 3 3 C D Câu 40 (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình nghiệm là: π x = + kπ ( k ∈ ¢ ) x = k 2π ( k ∈ ¢ ) 2 A B π x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) x = kπ ( k ∈ ¢ ) 2 C D π 3 có tất cos x = 0 có Câu 41 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình π 2  cos  x + ÷ = 4 2  là  x = k 2π  x = kπ   ( k ∈¢) ( k ∈¢)  x = − π + kπ  x = − π + kπ  2  2 A B Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP C  x = kπ  ( k ∈¢)  x = − π + k 2π  2 ĐT:0946798489 D  x = k 2π  ( k ∈¢)  x = − π + k 2π  2 cos Câu 42 Câu 43 Câu 44 x = 0 3 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình π 3π 3π x = + k π , k ∈ ¢ x = + k 6π , k ∈ ¢ x= + k 3π , k ∈ ¢ x = kπ , k ∈ ¢ 2 2 2 A B C D 2 cos x − 1 = 0 (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình có nghiệm là: π π x = ± + k 2π x = ± + k 2π k ∈¢ k ∈¢ 6 3 A , B , π π x = ± + 2π x = ± + kπ k ∈¢ k ∈¢ 6 3 C , D , 2 cos x − 2 = 0 (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình có tất cả các nghiệm là 3π π    x = 4 + k 2π  x = 4 + k 2π ,k ∈¢ ,k ∈¢    x = − 3π + k 2π  x = − π + k 2π   4 4 A B π 7π    x = 4 + k 2π  x = 4 + k 2π ,k ∈¢ ,k ∈¢    x = 3π + k 2π  x = − 7π + k 2π   4 4 C D 2 cos x − 1 = 0 Câu 45 (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình π   x = 3 + k 2π , k ∈¢  2π π  x= + k 2π x = ± + k π, k ∈ ¢  3 3 A B π  x = 3 + kπ , k ∈¢  2π π  x= + kπ x = ± + k 2π, k ∈ ¢  3 3 C D Câu 46 (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong cos x = −1 là: 13 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP x= A π + kπ k ∈¢ x = k 2π k ∈ ¢ 2 , B , ĐT:0946798489 C x = π + k 2π k ∈ ¢ x = kπ k ∈ ¢ , D , cos x = − 2 2 Câu 47 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình π π      x = ± + k 2π ; k ∈ ¢   x = ± + kπ ; k ∈ ¢  3 4     A B 3π π     + k 2π ; k ∈ ¢  x = ±  x = ± + kπ ; k ∈ ¢  4 3     C D có tập nghiệm là Câu 48 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? π cos x = 0 ⇔ x = + kπ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π 2 A B π cos x = 0 ⇔ x = + k 2π cos x = 1 ⇔ x = k 2π 2 C D Câu 49 (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác: 2 cos x + 2 = 0 có nghiệm là π 3π π 7π      x = 4 + k 2π  x = 4 + k 2π  x = 4 + k 2π  x = 4 + k 2π      x = − π + k 2π  x = − 3π + k 2π  x = 3π + k 2π  x = − 7π + k 2π     4 4 4 4 A B C D Câu 50 (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Tìm công thức nghiệm của phương trình 2 cos ( x + α ) = 1 α ∈¡ (với ) π   x = −α + 3 + k 2π π  x = − α + + k 2π  ( k ∈¢)  3 ( k ∈¢) 2 π  x = −α +  + k 2π  3  x = −α + k 2π A B π π    x = −α + 3 + k 2π  x = −α + 3 + k 2π  ( k ∈¢)  ( k ∈¢)  x = α − π + k 2π  x = −α − π + k 2π   3 3 C D Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm Câu 51 (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của m cos x − m = 0 tham số để phương trình vô nghiệm Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) A C m ∈ ( 1; +∞ ) D ĐT:0946798489 B m ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) m ∈ (−∞; −1) Câu 52 (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng  π π − ; ÷  2 2 4sin 2 2 x − 1 = 0 của phương trình bằng: π π π 0 3 6 A B C D Câu 53 (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình π  2cos  x + ÷ = 1 [ 0; 2π ] 3  có số nghiệm thuộc đoạn là 0 3 1 2 A B C D cos 2 x = − Câu 54 (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình x= dạng A 4 Câu 55 Câu 56 Câu 57 π + kπ m Phương trình 1 A π + kπ m, n k ∈¢ m+n n , ; với là các số nguyên dương Khi đó bằng B 3 C 5 D 6 có x=− và π  2cos  x + ÷ = 1 3  B 2 có số nghiệm thuộc đoạn 0 C [ 0; 2π ] là D 3 π  cot  x + ÷ = 3 3  (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình π kπ k x=− + * m−n m n k ∈¢ m n∈¥ n có dạng , , , và là phân số tối giản Khi đó bằng 5 −3 −5 3 A B C D 2 cos 2 x − 1 = 0 (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình trong đoạn [ 0; π ] là: 11π 2π 5π x= x= x= x =π 12 3 6 A B C D cos 2 x = − Câu 58 1 2 cos 3 x − 1 = 0 (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình (1); nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 2 (2) Tập các 15 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 π + k 2π k ∈¢ x = k 2π k ∈ ¢ 3 A , B , π 2π x = ± + k 2π x=± + k 2π k ∈¢ k ∈¢ 3 3 C , D , x= Câu 59 (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một 1 cos 2 x = − 2 góc là nghiệm của phương trình  2π π π   π π π   2π π π   , ,   , ,   , ,   3 6 6 3 3 3  3 6 6 A B ; π π π  π π π  π π π   , ,   , ,   , ,  3 3 3 4 4 2 3 3 3 C ; D Câu 60 (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình  5π  0; 2  2cos x = 3 trên đoạn là 3 4 2 1 A B C D cos x = Câu 61 (CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình 3 4 2 A B C 1 2 thuộc đoạn [ −2π ; 2π ] là? 1 D cos 2 x + cos x = 0 Câu 62 (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc ( −π ; π ) khoảng ? 3 1 2 4 A B C D Câu 63 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( 0; 2π ) cos 2 x − cos x = 0 T T trên khoảng bằng Khi đó có giá trị là: 7π 4π T= T= T = 2π T =π 6 3 A B C D Câu 64 (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương  5π  0; 2  2 cos x = 3 trình trên đoạn là 3 4 2 1 A B C D Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Dạng 3 Phương trình tanx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm Câu 65 (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tan x = m ( m ∈ ¡ ) , x = arctan m + kπ x = π − arctan m + kπ ( k ∈ ¢ ) A hoặc , x = ± arctan m + kπ ( k ∈ ¢ ) x = arctan m + k 2π ( k ∈ ¢ ) B , C , x = arctan m + kπ ( k ∈ ¢ ) D , tan x = 3 Câu 66 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình có tập nghiệm là π  π  π   + k 2π , k ∈ ¢   + kπ , k ∈ ¢   + kπ , k ∈ ¢  3  3  6  ∅ A B C D Câu 67 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình tan 3x = tan x là kπ kπ x= , k ∈ ¢ x= , k ∈ ¢ x = k π , k ∈ ¢ x = k 2 π , k ∈ ¢ 2 6 A B C D tan ( 3x − 15° ) = 3 Câu 68 Phương trình có các nghiệm là: x = 60 ° + k 180 ° x = 75 ° + k180° A B C x = 75° + k 60° D x = 25° + k 60° 3.tan x + 3 = 0 Câu 69 Phương trình lượng giác: có nghiệm là: π π π x = + kπ x = − + k 2π x = + kπ 3 3 6 A B C Câu 70 Giải phương trình: π x = + kπ 3 A D π + kπ 3 tan 2 x = 3 có nghiệm là: π x = − + kπ 3 B 3 + 3 tan x = 0 Câu 71 Nghiệm của phương trình là: π π x = − + kπ x = + kπ 6 2 A B Câu 72 x=− x=± C x= C π + kπ 3 π + kπ 3 (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình π π π x = + kπ ( k ∈ ¢ ) x = + k ( k ∈¢) 6 3 2 A B Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D vô nghiệm x= D 3 tan 2 x − 3 = 0 π + k 2π 2 17 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP x= π + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 ĐT:0946798489 x= C D Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm Câu 73 π π + k ( k ∈¢) 6 2 Tính tổng các nghiệm trong đoạn 171π 55π 2 B A [ 0;30] của phương trình: C tan x = tan 3x (1) 190π 2 D 45π Câu 74 Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ nhất? π  tan  x − ÷ = 3 4  A tan 2 x = 1 B C cot x = 0 D cot x = − 3 Câu 75 (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình − 3 tan x = 3 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? C F B Điểm , điểm C D E F E F C Điểm , điểm , điểm , điểm D Điểm , điểm A Điểm F , điểm D tan x = tan Câu 76 Số nghiệm của phương trình 4 1 A B Câu 77 Tổng các nghiệm của phương trình 5π π 2 A B 3π 11 trên khoảng 2 C π   ; 2π ÷ 4  là? D [ 0; π ) tan 5 x − tan x = 0 trên nửa khoảng bằng: 3π 2π 2 C D ( ) tan 2 x − 150 = 1 Câu 78 Tính tổng các nghiệm của phương trình 0 A 0 −30 0 B 3 ( −90 ;90 ) 0 trên khoảng 0 C 30 0 bằng −60 0 D Dạng 4 Phương trình cotx=a Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3cot x − 3 = 0 Câu 79 Phương trình lượng giác có nghiệm là: π π x = + k 2π x = + kπ 3 6 A B Vô nghiệm C Câu 80 x= D π + kπ 3 2 cot x − 3 = 0 (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Phương trình cónghiệmlà π   x = 6 + k 2π  ( k ∈Z) π  x = − π + k 2π x = + k 2π ( k ∈ Z )  6 3 A B 3 π x = arccot + kπ ( k ∈ Z ) x = + kπ ( k ∈ Z ) 2 6 C D cot ( 3 x − 1) = − 3 Câu 81 Giải phương trình 1 5π π x= + + k ( k ∈Z) 3 18 3 A 5π π x= +k ( k∈Z) 18 3 C Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm x= 1 π π + +k ( k∈Z) 3 18 3 x= 1 π − + kπ ( k ∈ Z ) 3 6 B D Câu 82 (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình π  π kπ k cot  x + ÷ = 3 x=− + * 3  m n k ∈¢ m n∈¥ n có dạng , , , và là phân số tối giản Khi đó m−n bằng 3 5 −3 −5 A B C D Câu 83 Hỏi trên đoạn A 2018 [ 0; 2018π ] , phương trình B 6340 3 cot x − 3 = 0 C có bao nhiêu nghiệm? 2017 D 6339 Dạng 5 Một số bài toán tổng hợp Câu 84 (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm? æ p ö 2p 3 cos ç 2x - ÷ = ÷ sin 2 x =ç ÷ ç è 2ø 3 tan x = 99 cot 2018 x = 2017 4 A B C D Câu 85 Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong x= π 2π +k 6 3 ( k ∈¢) làm nghiệm 19 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 π  sin 3 x = sin  − 2 x ÷ 4  A C cos 4 x = − cos 6 x Câu 86 Câu 87 D tan 2 x = − tan π 4 B cos x = sin 2 x sin x = cos x (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình có số nghiệm −π ; π [ ] thuộc đoạn là: 3 5 2 4 A B C D (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Giải phương trình x  x    2 cos − 1÷ sin + 2 ÷ = 0 2  2   x=± A x=± C 2π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 3 π + k 4π , ( k ∈ ¢ ) 3 x=± π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 3 x=± 2π + k 4π , ( k ∈ ¢ ) 3 B D Câu 88 (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình 8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4 x = − 2 có nghiệm là −π π π π    x = 32 + k 4  x = 16 + k 8   ( k ∈¢) ( k ∈¢)  x = 5π + k π  x = 3π + k π   32 4 16 8 A B π π π π   x = 8 + k 8  x = 32 + k 4  ( k ∈¢)  ( k ∈¢)  x = 3π + k π  x = 3π + k π   8 8 32 4 C D Câu 89 (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình sin ( cos 2 x ) = 0 [ 0; 2π ] trên 3 2 1 4 A B C D Câu 90 (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Phương trình nào sau đây vô nghiệm? tan x = 3 sin x + 3 = 0 A B 2 3sin x − 2 = 0 2 cos x − cos x − 1 = 0 C D Câu 91 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng S S tập nghiệm là Hãy xác định Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong ( 0; π ) , phương trình cos 4 x + sin x = 0 có 20 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A C Câu 92 Câu 93 Câu 94 Câu 96 Câu 97  π π 7π  S = ; ;   6 10 10  B  π 5π 3π 7π  S = ; ; ;   6 6 10 10  D (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Phương trình làm nghiệm π π x= x = 10π ; x = 2 10 A B  π 3π  S = ;   6 10  cos3 x.tan 5x = sin 7 x x = 5π ; x = C π 10 nhận những giá trị sau của x = 5π ; x = D x π 20 sin 2 x = cos x (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Phương trình có nghiệm là π kπ π kπ   x = 6 + 3 x = 6 + 3   ( k ∈¢) ( k ∈¢)  x = π + k 2π  x = π + k 2π   3 2 A B π π k 2π    x = 6 + k 2π x = 6 + 3  ( k ∈¢)  ( k ∈¢)  x = π + k 2π  x = π + k 2π   2 2 C D (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Số nghiệm của phương trình A Câu 95  π 2π 3π 7π  S = ; ; ;   3 3 10 10  ĐT:0946798489 2 B 5 C 4 D 4 − x 2 sin 2 x = 0 3 là (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Phương trình x ∈ ( 0;5π ) sin x = cos x có bao nhiêu nghiệm ? 3 5 6 4 A B C D sin 3x = cos x (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Nghiệm của phương trình là π π π π x=k x= +k x = + kπ x = kπ 2 8 2 4 A ; B ; π π x = + k 2π x = + kπ x = k 2π x = kπ 2 4 C ; D ; (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Phương trình ( 0; 2π ) trong khoảng bằng 3π 5π 2π A B C Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong sin 2 x + cos x = 0 D 6π có tổng các nghiệm 21 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 98 Câu 99 ĐT:0946798489 (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Số nghiệm chung của hai phương trình  π 3π  − ; ÷  2 2  2sin x + 1 = 0 trên khoảng bằng 3 2 4 1 A B C D 4 cos 2 x − 3 = 0 và sin x sin 7 x = sin 3 x sin 5 x (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình kπ kπ kπ x= ,k ∈¢ x= ,k ∈¢ x= ,k ∈¢ x = kπ , k ∈ ¢ 6 4 2 A B C D sin x = cos 2 x Câu 100 (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm số nghiệm của phương trình thuộc [ 0; 20π ] đoạn 20 40 30 60 A B C D 1.A 11.B 21.B 31.A 41.D 51.A 61.A 71.A 81.A 91.D 2.C 12.D 22.D 32.B 42.D 52.C 62.A 72.D 82.B 92.D 3.B 13.C 23.D 33.A 43.B 53.B 63.B 73.C 83.A 93.A 4.A 14.B 24.A 34.A 44.B 54.D 64.D 74.A 84.B 94.B BẢNG ĐÁP ÁN 5.C 6.D 15.B 16.A 25.B 26.D 35.B 36.D 45.C 46.C 55.B 56.A 65.D 66.C 75.A 76.C 85.B 86.C 95.C 96.B Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7.D 17.C 27.B 37.A 47.C 57.D 67.B 77.C 87.D 97.C 8.D 18.D 28.D 38.D 48.D 58.D 68.D 78.A 88.A 98.A 9.C 19.D 29.A 39.C 49.B 59.B 69.D 79.D 89.C 99.C 10.A 20.A 30.D 40.A 50.D 60.D 70.C 80.C 90.B 100.C 22 ... y x− y sin 2 sin x sin y =  cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2? ?? cos x − cos y = −2sin sin x cos y = sin ( x − y ) + sin ( x + y )  2? ?? sin x + sin y = 2sin x+ y x− y cos 2 sin x − sin y = cos... phương trình thuộc [ 0; 20 π ] đoạn 20 40 30 60 A B C D 1.A 11.B 21 .B 31.A 41.D 51.A 61.A 71.A 81.A 91.D 2. C 12. D 22 .D 32. B 42. D 52. C 62. A 72. D 82. B 92. D 3.B 13.C 23 .D 33.A 43.B 53.B 63.B... 2? ? k 2? ? 7π k 2? ? + ,x = + 45 45 ( k∈Z) ĐS: ĐS: x=− π 2? ? + k 2? ? , x = + k 2? ? ( k ∈ Z ) 9 x=− π k 2? ? 7π k 2? ? + ,x = − + 36 60 x=− π kπ π kπ + ,x = − + 12 ĐS: ĐS: ĐS: x= 5π kπ π kπ + ,x = + 24 24