10 KĨ THUẬT HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 10 KĨ THUẬT HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ QUA 3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2 1 2 1 2 x x x x x − + + = − ( R x ∈ ) 2 ( ) t Cách 1: (1. Biến ñổi tương ñương) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 2 1 2 1 x x x x x + + = − + + 2 2 2 2 2 2 3 2 ( 2 1) 0 (2 1) 0 4 ( 1) ( 2 1) 8 7 2 1 0 x x x x x x x x x x x x x x   − + + ≥ − − ≤   ⇔ ⇔   + + = − + + + − − =     ( ) 2 1 ; 0;1 2 1 ( 1)(2 1) 0 1 1 33 ( 1)(8 1) 0 16 1 33 16 x x x x x x x x x x x    ∈ −∞ − ∪    = −     − + ≤    ⇔ ⇔ ⇔ = −    +  + − − = =      ±   =     Vậy phương trình có nghiệm 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 2: (2. Dùng hằng ñẳng thức) Phương trình tương ñương : 2 2 2 2 1 ( 1) 4 x x x x x x x − + + + + + = ( ) 2 2 2 1 (2 ) x x x x ⇔ − + + = 2 2 2 2 1 2 1 (1) 1 2 1 3 (2) x x x x x x x x x x x x x x   − + + = + + = −   ⇔ ⇔   − + + = − + + =   2 2 0 0 (1) 1 1 1 x x x x x x x − ≥ ≤   ⇔ ⇔ ⇔ = −   = − + + =   ; 2 2 2 0 3 0 0 1 33 (2) 1 33 16 1 9 8 1 0 16 x x x x x x x x x x ≥  ≥ ≥   +  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    ± + + = − − = =     Vậy phương trình có nghiệm 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 3: (3. ðưa phương trình về dạng ñồng cấp 2 2 0 au buv cv + + = ñể tạo tích bằng việc chia và ñặt ẩn phụ) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 2 1 2 1 x x x x x + + = − + + 2 2 2 2 1 3 ( 1) x x x x x x ⇔ + + = − + + + Nhận thấy 0 x = không là nghiệm của phương trình nên 2 1 0 x x x + + ≠ , chia cả hai vế của phương trình cho 2 1 x x x + + , khi ñó phương trình tương ñương: 2 2 2 2 3 1 2 1 1 x x x x x x x x x − + + = + + + + + 2 2 3 1 2 1 x x x x x x − + + ⇔ = + + + ðặt 2 1 x t x x = + + , phương trình có dạng: 2 1 1 2 3 3 2 1 0 1 3 t t t t t t = −   = − + ⇔ + − = ⇔  =  2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 1 x x x x x x x x x x x x  = −   + + = − + +   ⇒ ⇔   + + =  =  + +  …tiếp tục như Cách 2 ta ñược nghiệm : 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 Cách 4: (3. ðưa phương trình về dạng ñồng cấp 2 2 0 au buv cv + + = ñể tạo tích bằng việc ñặt ẩn phụ) (Thực chất ñây chỉ là cách trình bày khác của Cách 3 – song cách trình bày này các em sẽ thấy rõ hơn tính ñồng cấp xuất hiện ở phương trình trên) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 2 1 2 1 x x x x x + + = − + + 2 2 2 2 1 3 ( 1) x x x x x x ⇔ + + = − + + + ðặt 2 1 y x x = + + , khi ñó phương trình có dạng: 2 2 2 3 xy x y = − + 2 2 3 2 0 ( )(3 ) 0 x xy y x y x y ⇔ + − = ⇔ + − = 3 y x y x = −  ⇔  =  suy ra: 2 2 1 1 3 x x x x x x  + + = −   + + =  … tiếp tục như Cách 2 ta ñược nghiệm: 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 5: (4. ðặt ẩn phụ hoàn toàn) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 1 2 2 1 0 x x x x x + − − + + = Nhận thấy 0 x = không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho 2 x ta ñược: 2 2 1 1 2 1 2 0 x x x x x + + + − − = (*) +) Với 0 x > : (*) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 0 x x x x ⇔ + − − + + = . ðặt 2 1 1 1t x x = + + ⇒ 2 2 1 1 1 t x x + = − ( 0) t ≥ Khi ñó phương trình có dạng: 2 2 1 2 2 0 2 3 0 3 t t t t t − − − = ⇔ − − = ⇔ = hoặc 1 t = − (loại) Suy ra 2 2 1 1 1 33 8 8 1 0 16 x x x x x ± + = ⇔ − − = ⇔ = , kết hợp với 0 x > ta ñược nghiệm: 1 33 16 x + = +) Với 0 x < : (*) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 0 x x x x ⇔ + − + + + = . ðặt 2 1 1 1t x x = + + ⇒ 2 2 1 1 1 t x x + = − ( 0) t ≥ Khi ñó phương trình có dạng: 2 2 1 2 2 0 2 3 0 1 t t t t t − − + = ⇔ + − = ⇔ = hoặc 3 t = − (loại) Suy ra 2 1 1 0 1 0 1 x x x x + = ⇔ + = ⇔ = − thỏa mãn 0 x < . Vậy nghiệm của phương trình là: 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 6: (5. Nhân biểu thức liên hợp) Biến ñổi phương trình tương ñương : ( ) 2 2 1 1 x x x x x + + + = + *) Nếu 2 2 2 2 0 0 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x − ≥ ≤   + + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ = −   = − + + =   Khi ñó thay 1 x = − ta nhận thấy nó là nghiệm của phương trình. *) Nếu 2 1 0 1 x x x x + + + ≠ ⇔ ≠ − . Khi ñó phương trình tương ñương: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 x x x x x x x x x x x + + + + + − = + + + − ( ) 2 2 ( 1) ( 1) 1 x x x x x x ⇔ + = + + + − 2 2 1 x x x x ⇔ = + + − (vì 1 x ≠ − ) 2 1 3 x x x ⇔ + + = ⇔ … ⇔ 1 33 16 x + = (các em xem lại cách giải phương trình này ở Cách 2) Vậy nghiệm của phương trình là: 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Chú ý: Ở cách 6 , khi ta nhân với một biểu thức chứa biến vào cả hai vế của phương trình thì có hai cách trình bày: +) Trước khi nhân, ta xét tính bằng 0 và khác 0 của biểu thức cần nhân ñể tránh tình huống thừa nghiệm. +) Tạo ra phương trình hệ quả (dùng dấu “ ⇒ ” ) và bước cuối cùng phải thử lại nghiệm (chỉ dùng khi bài toán có “nghiệm ñẹp” – ñể việc thử lại nghiệm không gặp “khó khăn”) . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 2 2 3 2 15 15 3 15 4 x x x x x x − − + = − − − R x ∈ 2 ( ) t ðiều kiện: 0 15 x≤ ≤ Biến ñổi phương trình tương ñương: ( ) 2 2 2 (15 ) 3 . 15 4 2 15 0 x x x x x x − − − − + − + = Cách 1: (6. ðặt hai ẩn phụ ñể ñưa phương trình về dạng tích và ñánh giá) ðặt 2 15 u x v x  = −   =   ( , 0) u v ≥ , khi ñó phương trình có dạng: 2 2 3 4 2( ) 0 u uv v u v − − + + = (*) Cách 1.1: Phân tích thành tích bằng kĩ thuật nhóm, tách ghép… (*) 2 2 2 3 2( 2 ) 0 u v uv u v ⇔ + − + − = ( 2 ) ( 2 ) 2( 2 ) 0 u u v v u v u v ⇔ − − − + − = ( 2 )( ) 2( 2 ) 0 u v u v u v ⇔ − − + − = ( 2 )( 2) 0 u v u v ⇔ − − + = 2 u v ⇔ = hoặc 2 u v = − Cách 1.2: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên – ñể tạo tích (*) 2 2 (3 2) 2 4 0 u v u v v ⇔ − − + − = 2 2 2 2 (3 2) 4(2 4 ) 4 4 ( 2) u v v v v v v∆ = − − − = + + = + Khi ñó 3 2 2 2 2 v v u v − + + = = hoặc 3 2 2 2 2 v v u v − − − = = − +) Với 2 u v = , khi ñó: 2 2 15 2 15 4 x x x x − = ⇔ − = (do có ðK) 2 4 15 0 x x ⇔ + − = 2 19 x⇔ = − + hoặc 2 19 x = − − (loại) +) Với 2 u v = − , khi ñó: 2 15 2 x x − = − (2*) Với ñiều kiện: 0 15 2 15 2 16 2 0 x x ≤ ≤ ⇒ − ≤ − < − = nên phương trình (2*) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: 2 19 x = − + THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 4 Cách 2: (7. ðặt ẩn phụ ñể ñưa phương trình về hệ) ðặt 2 15 u x v x  = −   =   ( , 0) u v ≥ suy ra 2 4 15 u v + = . Khi ñó phương trình ñưa về hệ: 2 2 2 4 3 4 2( ) 0 15 u uv v u v u v  − − + + =   + =   2 2 2 4 2 3 2( 2 ) 0 15 u v uv u v u v  + − + − =  ⇔  + =   2 4 2 4 ( 2 )( ) 2( 2 ) 0 ( 2 )( 2) 0 15 15 u v u v u v u v u v u v u v − − + − = − − + =   ⇔ ⇔   + = + =   2 4 2 4 2 (1) 15 2 (2) 15 u v u v u v u v  =    + =   ⇔  = −     + =   *) Từ (1), suy ra: 2 4 4 2 2 4 15 4 15 0 2 19 v v v v v+ = ⇔ + − = ⇔ = − + hoặc 2 2 19 v = − − (loại) 2 19 x⇒ = − + *) Từ (2), kế hợp với ñiều kiện 0 u ≥ ta có: 2 0 u v = − ≥ 2 v ⇒ ≥ hay 2 4 x x ≥ ⇔ ≥ không thỏa mãn ñiều kiện 15 4 x ≤ < Nên hệ (2) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: 2 19 x = − + Cách 3: (8. Phân tích thành tích) ( ) 2 2 3 2 15 15 3 15 4 x x x x x x − − + = − − − 2 2 2 2 15 2 . 15 . 15 2 2 15 4 0 x x x x x x x x ⇔ − − − − − + + − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 15 15 2 15 2 2 15 2 0 x x x x x x x x ⇔ − − − − − − + − − = ( ) ( ) 2 2 15 2 15 2 0 x x x x ⇔ − − − − + = 2 2 15 2 15 2 x x x x  − =  ⇔  − = −  … tiếp tục làm như Cách 1 ta ñược nghiệm của phương trình là: 2 19 x = − + Cách 4: (9. ðặt ẩn phụ không hoàn toàn và phương pháp hằng số biến thiên) (Một cách trình bày khác của Cách 1.2 ) ðặt 2 15 t x = − . Khi ñó phương trình có dạng: ( ) 2 3 . 4 2 0 t x t x t x − − + + = 2 (3 2) 2 4 0 t x t x x ⇔ − − + − = 2 2 (3 2) 4(2 4 ) 4 4 ( 2) t x x x x x x∆ = − − − = + + = + Suy ra: 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x x t x x x t x  − + + = =    − − − = = −   hay 2 2 15 2 15 2 x x x x  − =   − = −  … tiếp tục làm như Cách 1 ta ñược nghiệm của phương trình là: 2 19 x = − + THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 5 Ví dụ 3: Giải phương trình 5 2 ( 7 3) 1 3 11 x x x x + + = − − ( R x ∈ ) 2 ( ) t (10. Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số. ) ðK: 1 3 x ≤ (*) Biến ñổi phương trình tương ñương: 6 3 3 ( 6 9) ( 3) 1 3 1 3 x x x x x + + + + = − + − ( ) 2 3 2 3 ( 3) ( 3) 1 3 1 3 x x x x ⇔ + + + = − + − (2*) +) Xét hàm số ñặc trưng: 2 ( ) f t t t = + với 0 t ≥ Ta có: '( ) 2 1 0 f t t = + > với 0 t ∀ ≥ , suy ra ( ) f t ñồng biến với 0 t ∀ ≥ Khi ñó (2*) ( ) 3 ( 3) 1 3 f x f x ⇔ + = − 3 3 3 1 3 1 3 3 0 x x x x ⇔ + = − ⇔ − − + = (3*) +) Với 1 3 x = không là nghiệm của phương trình, nên ta xét hàm số 3 ( ) 1 3 3 g x x x = − − + với 1 3 x < Ta có 2 3 '( ) 3 0 2 1 3 g x x x = + > − với 1 3 x ∀ < , suy ra ( ) g x ñồng biến với 1 3 x ∀ < . Khi ñó (3*) ( ) ( 1) 1 g x g x ⇔ = − ⇔ = − thỏa mãn ñiều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm 1 x = − . CẢM ƠN CÁC EM ðà ðỌC BÀI VIẾT NHỎ NÀY ! CHÚC CÁC EM ðẠT KẾT QUẢ THẬT TỐT TRONG KỲ THI SẮP TỚI !!!