luong giac on thi thptqg phan 3

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phơng trình 1 thoả mãn điều kiện * nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả m·n c¸c ®iÒu kiÖn *, N lµ tËp nghiÖm cña phg tr×nh 1.Ta biÓu diÔn ®iÓm cuèi cña c[r]

Ch¬ng I: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n vµ mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp §Ó gi¶i PTLG , nãi chung ta tiÕn hµnh theo c¸c bíc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm các điều kiện để có nghĩa,phân số cot gx cã nghÜa, biÓu thøc log arit cã nghÜa Ngoµi c¸c PTLG cã chøa c¸c biÓu thøc chøa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cã nghÜa Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa các phơng trình đã cho các phơng trình Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đã đặt Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện th× bÞ lo¹i 1.1-Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n 1.1.1- §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c lµ ph¬ng tr×nh chøa mét hay nhiÒu hµm sè lîng gi¸c 1.1.2- C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sin x m (1) Do sin x    1;1 nên để giải phơng trình (1) ta biện luận theo các bớc sau Bíc1: NÕu |m|>1 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bíc 2: NÕu |m|<1 ,ta xÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử  đó phơng trình có dạng đặc biệt  x   k 2 sin x sin    ,k  x      k   -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua sin góc đặc biệt đó đặt m= sin  Ta có:  x   k 2 sin x sin    ,k  x      k   Nh vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm       ; ; ; ; ;2   vì sau biến đổi các Đặc biệt ta cần phải nhớ đợc các giá trị các cung đặc biệt nh  bài toán thơng đa các cung đặc biệt VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sin x  Gi¶i: 1 Ta nhận thấy không là giá trị cung đặc biệt nào nên ta đặt = sin  x   k 2 sin x sin    ,k  x      k   Khi đó ta có: VËy ph¬ng tr×nh cã hä ngiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh  sin(3 x  )  Gi¶i: sin Do   nªn    sin(3 x  )   sin(3 x  ) sin 4      2     3x    k 2  3x    k 2  x  24  k         3x     k 2  3x     k 2  x  5  k 2    3 24 k  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm b) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c cos x m Ta còng ®i biÖn luËn (b) theo m Bíc 1: NÕu (b ) m  ph¬ng tr×nh v« nghiÖm m 1 ta xÐt kh¶ n¨ng: -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc  Khi đó phơng trình có dạng Bíc 2: NÕu  x   k 2 cos x cos   ,k   x    k 2 -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cos góc đặc biệt đó  x   k 2 cos x cos    x    k 2 đặt m = cos  Ta có: Nh vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹ VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: cos x  ,k  Gi¶i: cos(  Do  2 1 2  ) cos  cos x   cos x cos  x   k 2 (k  ) 3 nªn 3 VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  3cos(2 x  ) 1 Gi¶i:   3cos(2 x  ) 1  cos(2 x  )  6 1    1;1     0;  cho V× và không là giá trị cung đặc biệt nên tồn góc cos     cos(2 x  ) cos   x    k 2 6 Ta cã:  x       k 2  x    k (k  ) 12 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm tan x m (c) c) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c Ta còng biÖn luËn ph¬ng tr×nh (c) theo c¸c bíc sau:  cos x 0  x   k Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ,k  Bíc 2: XÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử  đó phơng trình có dạng tan x tan   x   k , k   -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , đó đặt m = tan  ta đợc tan x tan   x   k , k   NhËn xÐt: Nh vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  Gi¶i : tan    tan x   tan x tan  x   k nªn ta cã: 6 Do VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh k   tan(  x) 2 Gi¶i: cos( §iÒu kiÖn:     x )    x   k 5 Do không thể biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt nên ta đặt tan  2 Từ đó ta có tan(      x) 2  tan(  x) tan    x   k  x     k (k  ) 5 5 ¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm d) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c cot x m (d ) Ta còng ®i biÖn luËn theo m Bíc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x 0  x k Bíc 2: XÐt kh¶ n¨ng k  -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử  đó phơng trình có dạng cot x cot   x   k , k   -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt , đó đặt m = cot  ta đợc cot x cot   x   k , k   NhËn xÐt: Nh vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph¬ng tr×nh (d) lu«n cã nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: cot( Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: Gi¶i: cos( §iÒu kiÖn   x)  (1)     x) 0   x k  x   k k   4 (*) Ta cã: cot(       x) cot   x   k  x   k 4 12 (1)  Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh k  VËy ph- cot(4 x  35o )  Gi¶i: o o o o Ta nhËn thÊy cot( 45 )  nªn ta cã cot(4 x  35 )   cot(4 x  35 ) cot(  45 ) x  35o  45o  k180o  x  80o  k180o x  20o  k 45o (k  ) VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Lu ý: Không đợc ghi hai loại đơn vị ( radian độ ) cùng công thức 1.2- Mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp 1.2.1- Phơng trình bậc hai hàm số lợng giác D¹ng 1: a sin x  b sin x  c 0 (a 0; a, b, c  ) (1) C¸ch gi¶i: §Æt t sin x , ®iÒu kiÖn | t | 1 §a ph¬ng tr×nh (1) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t chó ý kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn råi gi¶i t×m x D¹ng 2: a cos x  b cos x  c 0 ( a 0; a, b, c  ) (2) C¸ch gi¶i: §Æt t cos x ®iÒu kiÖn | t | 1 ta còng ®a ph¬ng tr×nh (2) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t råi t×m x D¹ng 3: a tan x  b tan x  c 0 ( a 0; a, b, c  )  cos x 0  x   k C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn (3) ,k  t tan x  t    ta đa phơng trình (3) phơng trình bậc hai theo t , chú ý tìm đợc nghiệm x cần §Æt thay vµo ®iÒu kiÖn xem tho¶ m·n hay kh«ng D¹ng 4: a cot x  b cot x  c 0 (a 0; a, b, c  ) C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn sin x 0  x k (4) k  §Æt t cot x (t  ) Ta còng ®a ph¬ng tr×nh (4) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: 2cos x  3cos x  0  cos x 1  1  cos x   Ph¬ng tr×nh (1)  x k 2    x   k 2  (1) ,k  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm cot x  tan x  4sin x  VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: sin x (2) sin x 0  x  §iÒu kiÖn k ,k  Ta cã: cos x sin x   4sin x  sin x cos x sin x cos x  sin x   4sin x  sin x.cos x sin x 2cos x   4sin x   cos x  2sin 2 x 1 sin x sin x  cos x 1  2cos x  cos x  0    *  cos x   (2)  Ta thấy cos x 1 không thoả mãn điều kiện Do đó (*)  cos x  2   x   k 2  x   k 3 k  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Bµi tËp: Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5sin x  4sin x  0 Bµi Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  3cos x  0 3tan x  3tan x  Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 0 Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos(4 x  2)  3sin(2 x  1) 2 Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: tan 3x  3tan 3x  0 Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 25 cos x  6cos 2 x  16 sin x  2cos x  2sin Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh: tan x  2sin x  sin x  sin x 1 2sin x cos x  Bµi 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh cot x  Bµi 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh 25 sin x 1.2.2- Phơng trình bậc sin x,cos x 2 a)Định nghĩa: Phơng trình a sin x  b cos x c (1) đó a, b, c  và a  b 0 đợc gọi là phơng trình bậc sin x,cos x b) C¸ch gi¶i Ta cã thÓ lùa chän c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c bíc Bíc 1:KiÓm tra 2 -NÕu a  b < c ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 -Nếu a  b c đó để tìm nghiệm phơng trình ta thực tiếp bớc Bíc 2: Chia c¶ vÕ ph¬ng tr×nh (1) cho a a  b2 ( V× a a b a a b 2 b sin x  )2  ( cos , a  b2 b a b cos x  c a2  b2 )2 1 nªn tån t¹i gãc b a  b , ta đợc a b  cho sin  sin x.cos  sin  cos x  Khi đó phơng trình (1) có dạng Đây là phơng trình sin mà ta đã biết cách giải C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c bíc c a2  b2  sin( x   )  c a2  b2 x cos 0  x   k 2 (k  ) Bíc 1: Víi thö vµo ph¬ng tr×nh (1) xem cã lµ nghiÖm hay kh«ng? x cos 0  x   k 2 ( k  Z ) Bíc 2: Víi 2t 1 t2 x sin x  , cos x  t tan 1 t2 1 t2 suy §Æt Khi đó phơng trình (1) có dạng 2t 1 t2 a b c  (c  b)t  2at  c  b 0 (2) 2 1 t 1 t Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x * Dạng đặc biệt: sin x  cos x 0  x    k (k )  sin x  cos x 0  x   k ( k  ) Chó ý: Tõ c¸ch ta cã kÕt qu¶ sau  a  b2 a sin x  b cos x  a  b từ kết đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN các hàm sè cã d¹ng y a sin x  b cos x , gi¸c y a sin x  b cos x c sin x  d cos x và phơng pháp đánh giá cho số phơng trình lợng VÝ Dô Minh Ho¹: sin x  3cos x 3 VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i : C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph¬ng tr×nh (1) cho sin x  10 §Æt sin  , 10 (1) 12  32  10 ta đợc 3 cos x  10 10 cos  10 Lúc đó phơng trình (1) viết đợc dới dạng cos  sin x  sin  cos x sin   sin(2 x   ) sin x  x   k  x     k 2    x   k x        k    k  VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm C¸ch 2:-Ta nhËn thÊy cos x 0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2t 1 t2  sin x  , cos x  cos x 0  x   k , k   1 t2 1 t2 -Víi Đặt t tan x ,lúc đó 2t 1 t2  3  2t  3(1  t ) 3(1  t )  t 3 2 1 t Ph¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng  t Hay tan x 3 tan   x   k , k  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Cách 3: Biến đổi phơng trình dạng sin x 3(1  cos x)  2sin x.cos x 6cos x  x   k  cos x 0  tan x 3 tan    ,k     (sin x  3cos x )cos x 0     x   k   sin x  3cos x 0  cos x 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Chó ý: Khi lµm bµi to¸n d¹ng nµy chóng ta nªn kiÓm tra ®iÒu kiÖn tríc b¾t tay vµo gi¶i ph¬ng tr×nh bëi cã số bài toán đã cố tình tạo phơng trình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau: VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: Ta biến đổi phơng trình (2) 2(sin x  cos x)cos x 3  cos x  sin x  2(1  cos x) 3  cos x  sin x  (  1)cos x 3  a  ; b   ; c 3   2 2 a  b 2  (  1) 5  2 c (3  Ta cã: 2 2) 11  2 Suy a  b < c Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm Ngoài chúng ta cần lu ý việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với bài toán biểu diễn chẵn các họ nghiÖm Ta xÐt vÝ dô sau VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1  3)sin x  (1  Gi¶i : Cách 1:Thực phép biến đổi 3)cos x 2 (3) 1 1 ( )sin x  ( )cos x   2 2 2 (3)  1 1 cos x; sin x 2 2 §Æt sin x.cos   sin  cos x  Phơng trình (3) đợc viết thành     x     k  x     k 2   4     x      k 2  x 3    k 2   4 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng   sin( x   ) sin ,k  (sin x  cos x)  3(sin x  cos x) 2   sin( x  )    sin( x  )  cos( x  )  4      sin( x  )cos  cos( x  )sin  4     sin( x   ) sin 4      x   k 2 x    k    12    x 5  k 2  x       k 2  12   cos( x  ) 2  k  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Qua hai cách giải bài trên ta nhận thấy cách ta thu đợc nghiệm phơng trình chẵn x và ta thu đợc nghiệm chẵn Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt *Chú ý: Đối với phơng trình dạng a sin P( x)  b cos Q( x) c sin Q( x)  d cos P( x) (*) đó a, b, c, t tan 2 2 d  thoả mãn a  b c  d >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm số Bằng phép chia cho a  b ta cã (*)  sin  P( x)    sin  Q( x)    hoÆc (*)  cos  P( x)    cos  Q ( x)    đó  ,  là các góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau: VÝ Dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  sin x  3(cos5 x  sin x) Gi¶i: (4) (4)  cos7 x  sin x  cos5 x  sin x 3 cos7 x  sin x  cos5 x  sin x 2 2      cos cos x  sin sin x cos cos5 x  sin sin x 3 6    7x      7x   cos(7 x  ) cos(5 x  )    5 x   k 2     (5 x  )  k 2      x   k 2  x 12  k     12 x   k 2  x   k   k Z VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : sin x  cos x  10cos x  24sin x 13 2 sin x  cos x 3cos x  sin x 4cos x  sin x 1  3cos x sin x  cos x 1  2 sin x.cos x 4 2( sin x  cos x )  sin x  3(cos x  sin x) 8sin x   cos x sin x 2(sin x  cos x)cos x 3  cos x 10 cos x  2cos x 2  cos3 x x  cos(  )  12 x  x 2 3x  sin(  ) 2sin(  )  2sin(  ) 12 5 1.2.3- Phơng trình bậc hai sin x vµ cos x a) Định nghĩa: Phơng trình bậc hai sin x , cos x là phơng trình a sin x  b sin x.cos x  c cos x d (1) đó a, b, c, d   b) C¸ch gi¶i : 2 Chia tõng vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho mét ba h¹ng tö sin x,cos x hoÆc sin x.cos x Ch¼ng h¹n nÕu chia cho cos x ta lµm theo c¸c bíc sau: Bíc 1: KiÓm tra:  cos x 0  x   k , k   xem nã cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1) hay kh«ng? Bớc 2: Với cosx 0 chia hai vế cho cos x lúc đó phơng trình (1) trở thành a tan x  b tan x  c d (1  tan x)  (a  d ) tan x  b tan x  c  d 0 Đây là phơng trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải  cos x  cos x sin x sin x  ; cos x  ; sin x.cos x  2 C¸ch 2: Dïng c«ng thøc h¹ bËc đa phơng trình đã cho phơng trình b sin x  (c  a)cos x d  c  a Đây là phơng trình bậc sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát A(sin n x,cos n x,sin k x cos h x) 0 đó k  h n; k , h, n   Khi đó ta làm theo bớc : Bíc 1: KiÓm tra xem cos x 0 cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hay kh«ng? n Bớc 2: Nếu cos x 0 Chia hai vế phơng trình trên cho cos x ta đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình này ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : cos x  6sin x.cos x 3  Gi¶i: C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh (1)  (1)  3(1  cos x)  3sin x 3   cos x  sin x  3  cos x  sin x   cos(2 x  )  2       x    k 2  x   k 2      x    k 2  x    k 2   12 k  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm  cos x 0  x   k 2 C¸ch 2: +) Thö víi  x   k 2 VËy k  vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã 3   v« lÝ k  kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ngtr×nh +)Với cos x 0 Chia hai vế phơng trình cho cos x ta đợc  tan x (3  3)(1  tan x)  (3  3) tan x  tan x    tan x 1   x   k    3  tan x  tan    x   k 3 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm k  0 * Chó ý: Kh«ng ph¶i ph¬ng tr×nh nµo còng ë d¹ng thuÇn nhÊt ta ph¶i thùc hiÖn số phép biến đổi thích hợp sin ( x  VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i : sin( x   )  sin x (2)  ) có thể biểu diễn đợc qua sin x  cos x Luỹ thừa bậc ba biểu thức sin x  cos x Ta nhËn thÊy ta đa phơng trình dạng đã biết cách giải      2 sin ( x  ) 4sin x   sin( x  )  4sin x 4   Ph¬ng tr×nh (2)  (sin x  cos x )3 4sin x  cos x 0  x   k 2 +) XÐt víi k  Khi đó phơng trình có dạng    sin (  k ) 4sin(  k )  2 m©u thuÉn  x   k 2 VËy ph¬ng tr×nh kh«ng nhËn lµm nghiÖm +) Với cos x 0 Chia hai vế phơng trình (2) cho cos x ta đợc : (tan x  1)3 4(1  tan x) tan x  3tan x  3tan x  tan x  0 Đặt t tan x phơng trình có đợc đa dạng: 3t  3t  t  0  (t  1)(3t  1) 0   t 1  x   k k  Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph¬ng tr×nh VËy ph¬ng tr×nh cã nhÊt hä nghiÖm *Chú ý: Ngoài phơng pháp giải phơng trình đã nêu trên có phơng trình có thể giải phơng pháp khác tuỳ thuộc vào bài toán để giải cho cách giải nhanh ,khoa học VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i :  tan x 1  sin x  tan x   x   k  cos x 0    tan x   x    k  §iÒu kiÖn Cách 1: Biến đổi phơng trình dạng : k  (3) cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x  3 Chia hai vế phơng trình (3) cho cos x 0 ta đợc :  tan x    tan x  tan x   tan x   tan x  tan x  tan x 0   tan x  tan x   tan x 0 (*) (do tan x  tan x  0 v« nghiÖm) nªn:  tan x 0  x k k  Z  Ph¬ng tr×nh (*) VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x   cos  x     4    2sin  x    cot( x  )   4  cot ( x   )   sin  x   4   t cot( x  ) ta đợc : §Æt t  t  t  0   t  1  t  t   0  t 1 1 t    hay cot( x  ) 1 x    k  x k ( k  ) 4 VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Bµi tËp : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 3sin x  4sin x.cos x  cos x 0 2) 2cos3 x  sin x  11sin x  3cos x 0 4sin x  6cos x  3) 4) sin x 2sin x cos x 2 5) sin x  5sin x cos x  7sin x cos x  2cos x 0 6) sin x sin x  sin 3x 6cos x 8cos x  7)  sin x cos x 2 8) (sin x  4cos x )(sin x  2sin x.cos x) 2cos x 3 9) cos x  sin x sin x  cos x 1.2.4-Phơng trình đối xứng sin x vµ cos x a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng sin x và cos x là phơng trình dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c 0 đó a, b, c   (1) b) C¸ch gi¶i: Cách 1: Do a (sin x  cosx) 1  sin x cos x nên ta đặt   t sin x  cos x  sin( x  )  cos(  x) 4 §iÒu kiÖn | t | t2  sin x cos x  2 và phơng trình (1) đợc viết lại: bt  2at  (b  2c) 0 Suy Đó là phơng trình bậc hai đã biết cách giải   t  x sin x  cos x  cos(  x)  cos t 4 C¸ch 2: §Æt th× 1  1 sin x cos x  sin x  cos(  x)  cos 2t cos t  2 2 nªn ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh b cos x  cos x  b  c 0 Đây là phơng trình bậc hai đã biết cách giải *Chó ý: Hai c¸ch gi¶i trªn cã thÓ ¸p dông cho ph¬ng tr×nh a (sin x  cos x)  b sin x cos x  c 0 b»ng c¸ch 1 t2 sin x cos x  đặt t sin x  cos x và lúc đó VÝ Dô Minh Ho¹ : VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sin x  cos x  2sin x cos x  0 Gi¶i: (1) t2  sin x cos x  Cách 1: Đặt sin x  cos x t điều kiện | t | Lúc đó t2  t  2( )  0 Khi đó phơng trình (1) có dạng  t   t  t  0    t 2 (*) Víi t 2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªn (*)  t   sin x  cos x    x   k 2     sin( x  )   sin( x  )   k   4  x   k 2  z  x C¸ch 2: §Æt Khi đó phơng trình có dạng  cos(  x)  sin x  0   cos z  sin 2(   z )  0  cos z  cos z  0  cos z  sin(   z )  0 2 cos z  (2cos z  1)  0  cos z    cos z      2cos z  cos z  0 (*’) Ta thÊy cos z  kh«ng tho¶ m·n 3  z   k 2   cos z    z 3  k 2  Do đó (*’) 3   x   k 2 4   x   k 2   k      x   k 2    x   k 2 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm *Chú ý: Ta có thể đa số dạng phơng trình dạng phơng trình đối xứng đã xét trên 2 Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh a tan x  b cot x c (a sin x b cos x ) (1) ab 0 a sin x  b cos x c(a sin x b cos x) sin x cos x C¸ch gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1) cã thÓ viÕt  (a sin x  b cos x)(a sin x  b cos x) c (a sin x b cos x)  ( a sin x   b cos x)  ( a sin x   b cos x)  c sin x.cos x  0  a sin x   b cos x 0   a sin x   b cos x  c sin x.cos x 0 *Quy íc: Khi cã nhiÒu dÊu díi   mét biÓu thøc hay mét hÖ hiÓu lµ cïng lÊy dßng trªn hoÆc cïng lÊy dßng VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  3cot x 4(sin x  cos x) (2) Gi¶i: sin x.cos x 0  x  §iÒu kiÖn:  Ta cã (2) k k  (sin x  3cos x) 4(sin x  cos x) sin x.cos x  (sin x  cos x)(sin x  cos x) 4(sin x  cos x)sin x.cos x  (sin x  cos x)  (sin x  cos x)sin x  0  sin x  cos x 0 (4)   sin x  cos x  sin x 0 (3)  tan x   x  Ta cã (3)  (4)   k (5)   sin x  cos x sin x  cos sin x  sin cos x sin x 3 2     x x   l 2 x   l 2    3  sin( x  ) sin x     x   x    l 2  x  4  l 2   3 l  Các gía trị x (5) và (6) thoả mãn điều kiện phơng trình VËy theo ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a(tan x   sin x)  b(cot x   cos x) ( a  b) 0 víi a , b , c , d   (1) C¸ch gi¶i: (6) a(tan x   sin x 1)  b(cot x   cos x 1) 0 a b (sin x   sin x.cos x  cos x)  (sin x   sin x.cos x  cos x) 0 cos x sin x a b (  )(sin x   sin x.cos x  cos x) 0 cos x sin x Ta cã:  b  a  0   cos x sin x   sin x   sin x cos x  cos x 0 b  tan x  a    sin x   sin x cos x  cos x 0 Đến đây chúng ta đã biết cách giải a(tan x   sin x)  b(cot x   cos x)  a  b 0 T¬ng tù cho ph¬ng tr×nh VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  cot x  sin x  cos x   0 (3) Gi¶i: sin x 0  x  §iÒu kiÖn (3)  tan x  sin x   k k  3(cot x  cos x)   0 (sin x  sin x cos x  cos x )  (sin x  sin x.cos x  cos x ) 0 cos x sin x (  )(sin x  sin x.cos x  cos x) 0 cos x sin x   0 (4)    cos x sin x  sin x  sin x.cos x  cos x 0     tan x   x   k Gi¶i (4) t sin x  cos x  cos( Gi¶i (5): §Æt k    x ) | t | (*) t2  sin x cos x  Suy  t 1  t2    t 0  t  t  0  t 1  2 Ph¬ng tr×nh (5) trë thµnh KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× t 1  bÞ lo¹i Víi t 1  ta cã   cos(  x) 1   1 2  cos(  x)  cos     x   l 2  x    l 2 4   , l   Các nghiệm phơng trình (4) và (5) thoả mãn điều kiện phơng trình VËy ph¬ng tr×nh cã ba hä nghiÖm Chú ý: Ta có thể áp dụng phơng pháp phơng trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng sin x và cos x víi bËc lín h¬n cos VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x  sin sin x 2 (1) Gi¶i : cos Ta cã: x x x x x x  sin (cos  sin )(cos  sin ) cos x 2 2 2 cos x sin x  cos x 2sin x.cos x   x   k 2    sin x  5  cos x(1  2sin x) 0     x   k 2    cos x 0   x   k 2  Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ Dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x  cos x tan x  cot x sin x (2) k  Gi¶i: §iÒu kiÖn: sin x 0 sin x cos x  8(1  sin x) 2sin x(  ) cos x sin x Ph¬ng tr×nh (2)   6sin 2 x 4sin x 1 sin x 2 sin 2 x  (8  6sin x)sin x 4  2sin x  3sin x  sin 2 x  4sin x  0  (sin x  1)(3sin x  2sin x  2) 0  sin x  0    3sin x  2sin x  0   sin x 1    x   k   sin x        x   k   x     k  sin x   sin      (lo¹i) k  Các nghiệm thoả mãn điều kiện sin x 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 20 1 ( tan x  )cos x  sin x  2(sin x  cos x ) sin x  cos x 2(tan x  sin x)  3(cot x  cos x)  0 3  cos x  sin x sin x x 2cos2 (1  sin x)  cos x 0 4(sin x  cos x)  sin x 2 sin x  cos x (  1)cos x sin x  cos3 x sin x  sin x  cos x 17 sin x  cos8 x  32 1 sin x.cos x  cos x sin x.cos3 x  sin x  4 10 sin x  cos3 x 2(sin x  cos5 x) 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng 11 sin x  cos8 x (sin10 x  cos10 x)  cos x tan x vµ cotx n pk  (tan k x   k cot k x)  q(tan x  cot x)  r 0 (  0; k 2) k 1 * Ph¬ng tr×nh cã d¹ng  C¸ch gi¶i:  t tan x   cot x  t tan x   cot x Bíc 1: §Æt Èn phô  | t |2 t  đa phơng trình đã cho dạng đại số F (t ) 0 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh F (t ) 0 lo¹i nh÷ng nghiÖm kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Bớc 3: Với nghiệm t tìm đợc bớc vào bớc để tìm x VÝ dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  cot x  3(tan x  cot x)  3(tan x  cot x)  10 0 (1) Gi¶i: 3 2 Ph¬ng tr×nh (1)  tan x  cot x  3tan x.cot x (tanx  cotx)  3(tan x  cot x  2)  0  (tan x  cot x)3  3(tan x  cot x)  0 (2) §Æt t tan x  cot x , ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh t  3t  0  (t  1)(t  4t  4) 0  t   (t  1)(t  2)2 0    t 2 hay  tan x  cot x   tan x  cot x 2    x   k   x 2  k  cot x  cot 2    k     x   k    x   k  cot x    VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: tan x  tan x  tan x  cot x  cot x  cot x 6 Gi¶i: (2) sin x.cos x 0  x k §iÒu kiÖn Ta cã: Ph¬ng tr×nh (2)    tan x  cot x  3tan x.cot x(tan x  cot x)   tan x  cot x  tan x.cot x  2(tan x  cot x)  0  (tan x  cot x )3  (tan x  cot x)2  2(tan x  cot x)  0 (3) §Æt t tan x  cot x | t |2 , ph¬ng tr×nh (3) cã d¹ng t  t  2t  0  t   t  2t 0  (t  2)(t  2t  4)  t (t  2) 0  (t  2)(t  2t   t ) 0  (t  2)(t  t  4) 0 Víi | t |2 th× t  t   nªn (4)  t  0  t 2  tan x  cot x 2  sin x 1  x   k Suy ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn(2))  x   k VËy là họ nghiệm phơng trình đã cho Bµi tËp:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 7 2(tan x  cot x) tan x  cot x 2 tan x  tan x  cot x  cot x  0 5(tan x  cot x )  3(tan x  cot x )  0 11 tan x  2(tan x  cot x)   sin x  tan x  cot x  tan x 8 sin x sin x  cos x tan x  cot x 4 8(tan x  cot x ) 9(tan x  cot x)  10 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp PTLG Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trớc kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm đợc có thoả mãn điều kiện đã đặt hay không, để ta có thể loại nghiệm không thích hợp Chóng ta cã thÓ xÐt ba ph¬ng ph¸p sau: 1.3.1 Ph¬ng ph¸p lo¹i nghiÖm trùc tiÕp Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trớc hết ta giải phơng trình (1) sau đó thay nghiệm phơng trình (1) tìm đợc vào (*) để loại nghiệm không thích hợp VÝ Dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i:  sin x 0 sin x §iÒu kiÖn sin x 0 (*) (1)   sin x 0  sin x   x  Khi đó (1) x  Thay   k 2 , k     k 2 vµo (*) xem cã tho¶ m·n hay kh«ng ?    sin  4(  k 2 )  sin( 2  k 2 ) sin( 2 ) 0   x  Suy   k 2 kh«ng tho¶ m·n (*) VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm 1.3.2- Phơng pháp hình học (dùng đờng tròn lợng giác) Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Gọi L là tập các cung không thoả m·n c¸c ®iÒu kiÖn (*), N lµ tËp nghiÖm cña phg tr×nh (1).Ta biÓu diÔn ®iÓm cuèi cña c¸c cung thuéc hai tËp L vµ N lên trên cùng đờng tròn lợng giác Chẳng hạn điểm cuối các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối các cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi đó cung có điểm cuối đợc đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh VÝ Dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x.cot x sin x (1) Gi¶i: sin x 0  x n  x n §iÒu kiÖn  cos x Khi đó phơng trình (1)  (n  ) (*) cos x sin x sin x  cos x cos x sin x sin x  cos x cos x  sin x sin x 0     cos3 x 0  x   k  x   k k   (**) Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng đờng tròn lợng giác sin cos    x   k   x    k Từ đó ta có nghiệm phơng trình (1) là  k  1.3.3- Phơng pháp đại số Ph¬ng ph¸p nµy ta kiÓm tra nghiÖm b»ng c¸ch chuyÓn vÒ ph¬ng tr×nh (thêng lµ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyên) bất phơng trình đại số cos8 x 0 (1) * VÝ Dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x Gi¶i: §iÒu kiÖn sin x 0  x n (n )     cos8 x 0  x   k  x   k 16 Khi đó (1) ,k      k n   2k 4n GÝa trÞ nµy lµ nghiÖm cña (1) nÕu 16 Điều này đúng vì  2k là số lẻ còn 4n là số chẵn   x  k 16 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ ,k  Bµi tËp:    ;3  1: T×m c¸c nghiÖm thuéc cña ph¬ng tr×nh 5 7 )  3cos( x  ) 1  2sin x 2 sin x.cot x cos x  2sin x.cos x 1  cot x 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2cos x  sin x  sin(2 x  4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x  cos x 1  cot x  5sin x sin 2 x 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x cos x.cos x(tan x  tan x)