THÔNG TIN TÀI LIỆU
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Qua số năm giảng dạy mơn Tốn thân tơi thấy việc vận dụng hệ thức Vi et vào giải toán em làm chưa linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức Vi et vào giải nhiều loại toán hệ thức Vi et có ứng dụng rộng rãi việc giải toán Đặc biệt năm gần đề thi vào THPT áp dụng hệ thức Vi et để giải chiếm đến điểm đề thi.Vậy ta không ôn luyện cho học sinh dạng toán, tập có vận dụng hệ thức Vi et để giải? Bản thân suy nghĩ điều kiện kinh tế gia đình nhiều em học sinh cịn nhiều khó khăn nên quan tâm tạo điều kiện cho em học tập cịn nhiều hạn chế.Vì phần nhiều học sinh thiếu tài liệu học tập sách nâng cao để học Do việc ôn tập, hướng dẫn cho học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải toán cần thiết em dạng toán liên quan đến hệ thức Vi et đa dạng phong phú, thời lượng học theo chương trình lại có 01 tiết lý thuyết 01 tiết luyện tập lớp Do khơng hướng dẫn học sinh không khỏi lúng túng gặp số dạng tốn lạ tốn khó.Vì định hướng trước cho học sinh gặp toán liên quan đến hệ thức Vi et việc làm thiết thực Từ thực tế nêu để dạy học sinh lớp phần hệ thức Vi et hướng dẫn học sinh lớp ôn thi vào 10 có kết cao tơi nghiên cứu đề tài: ‘Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải số dạng toán’ Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải số dạng toán Tác giả sáng kiến: - Họ tên : Phan Thị Huệ - Địa tác giả sáng kiến : Giáo viên trường THCS Tân Phong - Bình XuyênVĩnh Phúc - Số điện thoại : 0914792223 E mail : phanthihue179@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Tác giả sáng kiến kinh nghiệm: Phan Thị Huệ Giáo viên: Trường THCS Tân Phong - Bình xuyên -Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lĩnh vực giảng dạy mơn Tốn, vấn đề giải Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải số dạng toán bậc THCS Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lần đầu ngày 27/3/2014 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến 7.1.1 Cơ sở lí luận: Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh nhằm bồi dưỡng phát triển trí tuệ lực hoạt động học sinh nhiệm vụ trọng tâm trình dạy học nội dung việc đổi phương pháp dạy học Dạy học Toán dạy cho học sinh phương pháp học toán giải toán để vận dụng kiến thức học vào giải toán thực tế sống Nội dung kiến thức toán học trang bị cho học sinh THCS ngồi việc dạy lí thuyết cịn phải trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải số toán, để nắm vững cách giải dạng toán địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với khéo léo kinh nghiệm tích luỹ để giải tập có liên quan Thơng qua việc giải tập em rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức học vào giải tập, kĩ trình bày, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do nâng cao lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận học sinh 7.1.2 Cơ sở thực tiễn: Các toán úng dụng hệ thức Vi ét có vị trí quan trọng chương trình dạy học toán THCS Học sinh vận dụng ứng dụng hệ thức Vi - ét như: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai trường hợp a + b + c = ; a - b + c = , trường hợp mà tổng tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối khơng q lớn Tìm hai số biết tổng tích chúng Biết cách biểu diễn tổng bình phương, lập phương hai nghiệm qua hệ số phương trình cịn lúng túng, khó khăn q trình vận dụng vào giải tốn có liên quan Các tốn ứng dụng hệ thức Vi et phương phú đa dạng, địi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Những ứng dụng hệ thức Vi ét học sinh THCS khó em thường gặp khó khăn việc tìm lời giải tốn này; có tốn em khơng biết đâu? Vận dụng kiến thức chương trình học? Làm để tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn ấy? Đặc biệt mang nội dung sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn; hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho công việc cụ thể sống sau Với thời gian hạn chế mong muốn nghiên cứu sâu nên đề tài tập trung vào vấn đề: 7.1.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải số dạng toán a Hệ thức Vi ét: - Nếu x1 ; x2 hai nghiệm phương trình bậc hai : ax + bx + c = a 0 b x1 x2 a x x c a - Nếu phương trình bậc ba: ax3 + bx + cx + d = a có nghiệm x1 ; x2 ; x3 b x1 x2 x3 a c x1 x2 x2 x3 x3 x1 a d x1.x2 x3 a Và ngược lại số I x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn hệ thức I x1 ; x2 ; x3 nghiệm phương trình bậc ba ax3 + bx + cx + d = a +) Hệ 1: Nếu phương trình ax + bx + c = a có a + b + c = c a phương trình có nghiệm x1 cịn nghiệm x2 +) Hệ 2: Nếu phương trình ax + bx + c = a có a - b + c = c a phương trình có nghiệm x1 1 nghiệm x2 +) Hệ 3: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = a có nghiệm x0 phương trình phân tich thành x-x Ax +Bx + C = +) Có nghiệm x a b c d +) Có nghiệm x 1 a b c d b Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu số u v có tổng u + v = S vả tích u.v = P hai số u v hai x Sx P nghiệm phương trình bậc hai: Thật vậy: Các số u; v tồn nghiệm phương trình: x - u x - v = x - u+v x + u.v = x - Sx + P = Như biết tổng tích hai số ta tìm hai số thơng qua việc giải phương trình bậc hai Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P * Một số ví dụ * Dạng I: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = a biết hệ số a; b; c Hệ 1: Nếu phương trình ax + bx + c = a có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 nghiệm x2 = c a Hệ 2: Nếu phương trình ax + bx + c = a có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - nghiệm x2 = - c a Hệ 3: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = a có nghiệm x0 phương trình phân tich thành x-x Ax +Bx + C = +) Có nghiệm x a b c d +) Có nghiệm x 1 a b c d + Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình ( Bài 31 - SGK Toán - Trang 54) a) - 5x + 3x + = b) 2008x + 2009 x + = c) 3x - 1 - x - = d) m - 1 x - 2m + 3 x + m + = Hướng dẫn cách giải: - Muốn giải phương trình ta làm ? - Học sinh nêu cách làm dùng cơng thức nghiệm để giải phương trình - Có em phát cách làm vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = a có a + b + c = phương c a - b + c = phương a c trình có nghiệm x1 1 cịn nghiệm x2 a trình có nghiệm x1 nghiệm x2 - Khi em nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi ét vào nhẩm nghiệm phương trình bậc hai em trình bày lời giải sau: Giải: a) - 5x2 + 3x + = (a = - 5; b = 3; c = 2) Vì a + b + c = 5 + + = phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Vì x2 b) 2008x + 2009 x + = (a = 2008; b = 2009; c = 1) a - b + c = 2008 - 2009 + = phương trình có hai nghiệm là: x1 1 ; 2008 c) 3x - 1 - x - = a 3; b = - - ; c = - Vì a b c 3- - 1 - + - 1 phương trình có hai nghiệm là: x1 1 ; x2 3 d) m - 1 x - 2m + 3 x + m + = a m - 1 ;b = - 2m + 3 ; c = m + Vì a - b + c = m - 1 - - 2m + 3 + m + = phương trình có hai nghiệm là: x1 1 ; x2 m 1 m m4 m4 Sau tính nghiệm phương trình xong tơi u cầu em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra nghiệm vừa tìm phần a b Kết luận: - Khi giải phương trình bậc hai ta cần ý vận dụng hệ thức Vi et để tính nhẩm nghiệm phương trình Nếu khơng tính nhẩm nghiệm phương trình ta dùng cơng thức nghiệm để giải - Việc vận dụng hệ hệ thức Vi et tính tốn cho phép tính nhanh chóng nghiệm phương trình Các em có nhận xét ta thay đổi yêu cầu tốn sau: + Ví dụ 2: Giải phương trình a) 5x - 6x + 8x - = b) 4x3 +2x + 8x +10 = Hướng dẫn cách giải: Hãy vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm nghiệm phương trình bậc ba: ax + bx +cx + d = a +) Có nghiệm x a b c d +) Có nghiệm x 1 a b c d - Khi em trình bày lời giải sau: Giải: a) 5x - 6x + 8x - = có tổng hệ số a + b + c + d = - + - = nên phương trình có nghiệm x phương trình 5x - 6x + 8x - = 5x - 5x - x - x + 7x - = 2 5x x - 1 - x x - 1 + x - 1 = x - 1 5x - x + = 1 x - = 5x - x + 7= +) Giải phương trình 1 x - 1= x =1 +) Giải phương trình 5x - x + = Ta có 1 4.5.7 140 141 141 phương trình có nghiệm x1 1 141 2.1 1 141 141 141 ; x2 2.1 141 141 ; x2 ; x3 2 b) 4x3 +2x + 8x +10 = có a - b + c - d = - + - 10 = nên phương trình có nghiệm x 1 phương trình 4x3 +2x + 8x +10 = Vậy phương trình có nghiệm x1 4x + 4x - 2x 2 +2 x + 10x +10 = 4x x + 1 - 2x x + 1 + 10 x + 1 = x + 1 4x - x + 10 = 1 x - = 4x - x + 10 = +) Giải phương trình 1 x + = x = - +) Giải phương trình 4x - x + 10 = Ta có 2 4.4.10 160 164 phương trình x2 2 41 2.4 có nghiệm x1 164 41 2 41 2.4 41 41 41 41 Vậy phương trình có nghiệm x1 41 41 ; x2 ; x3 4 Như vậy: - Qua ví dụ hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trình cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai phương trình bậc ba ẩn - Chú ý trình giải phương trình nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai bậc ba ẩn Ví dụ 3: Giải phương trình x + x +1 5x - 6x - = Giải Nhận thấy x = - không nghiệm phương trình nên ta chia vế x2 x2 phương trình cho x +1 ta phương trình: 6 x +1 x +1 Đặt y x2 ta dược phương trình y 5y x +1 phương pháp nhẩm nghiệm ta tính y1 y2 6 +) Với y1 x2 x x 1 x x x +1 Giải phương trình ta nghiệm x1 1 1 ; x2 2 x2 6 x 6 x 1 x x +) Với y2 6 x +1 Giải phương trình ta nghiệm x3 3 ; x4 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 x2 1 ; 1 ; x3 3 ; x4 3 Qua ví dụ hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trình cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn hướng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đưa phương trình bậc phương trình bậc hai ẩn nhẩm nghiệm qua em rèn luyện kĩ biến đổi trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả phân tích, dự đốn Phương pháp chung: - Vận dụng hệ hệ thức Vi ét để tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, bậc ba Hoặc phương trình đưa dạng để tinh nhẩm nghiệm * Dạng II: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc tìm số biết tổng tích chúng: Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phương trình bậc hai: x Sx P ( SGK Tốn - Trang 52) Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P + Ví dụ 1: a) Tìm số biết tổng chúng 27 tích chúng 180 b) Tìm số biết tổng chúng tích chúng Hướng dẫn cách giải: Tìm số biết tổng chúng 27 tích chúng 180 x1 x2 27 Nếu áp dụng hệ thức Vi et x1.x2 180 Tức ta cần tìm số x1 x2 biết đảo x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai x - 27x + 180 = ta có lời giải sau: Giải: a) Vì số cần tìm có tổng 27 tích 180 Nên số nghiệm phương trình: x - 27x + 180 = Ta có: = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = > phương trình có nghiệm x1 27 15 ; x2 27 12 Vậy khơng có hai số cần tìm 15 12 b) Vì số cần tìm có tổng tích 5, Nên số nghiệm phương trình: x2 - x + = Ta có: = -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < phương trình vơ nghiệm Vậy khơng có hai số thoả mãn điều kiện đề Khai thác ví dụ tơi nêu ví dụ sau: Ví dụ 2: a) Tìm cạnh hình chữ nhật biết chu vi 100 m diện tích 621 m b) Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32cm Hướng dẫn cách giải - Bài tốn cho biết ? cần tìm gì? - Nếu gọi cạch hình chữ nhật a b ta có điều gì? 2 a b 100 a b 621 a b 50 - Vậy a b nghiệm phương trình bậc hai a.b 621 nào? ( x - 50x + 621 = ) Với gợi ý cho em thảo luận phút đại diện em trình bày lời giải Giải a) Gọi cạch hình chữ nhật a b ta có hệ phương trình: 2 a b 100 a b 50 a.b 621 a.b 621 Nên a b nghiệm phương trình bậc hai: x - 50x + 621 = phương trình có nghiệm x1 27 ; x2 23 Vậy độ dài cạnh hình chữ nhật 27 (m ) 23 (m) b) Gọi cạch hình chữ nhật a b ta có hệ phương trình 2 a b 20 a b 10 a.b 32 a.b 32 Nên a b nghiệm phương trình bậc hai: x - 10x + 32 = Ta có: ' 52 1.32 7 phương trình vơ nghiệm Vậy khơng tồn hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32 cm Kết luận: Muốn tìm hai số biết tổng tích chúng, ta áp dụng hệ thức Vi et để đưa dạng phương trình bậc hai ẩn giải * Dạng III: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số - Xét toán nghiệm phuơng trình chứa tham số Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số Muốn giải toán trước hết ta phải đặt điều kiện để phương trình cho có nghiệm, sau áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng tích nghiệm phương trình (S P) +) Nếu tổng tích khơng chứa tham số ta có hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số +) Nếu tổng tích có chứa tham số khử tham số từ S P Từ tính hệ thưc phải tìm + Ví dụ 1: Cho phương trình: x - m + 1 x + m - = (1) a) CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) CMR: Giá trị biểu thức A = x1 1 - x + x 1 - x1 không phụ thuộc vào m Giải a)Xét phương trình: x - m + 1 x + m - = 1 19 ' m + 1 m m m m 2 Ta có: m R Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m b) - Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình x - m + 1 x + m - = 1 x1 x2 2m x1.x2 m ta có: Khi A x1 1 - x + x 1 - x1 x1 x1x + x x1x x1 + x 2x1 x 2m m 10 m R Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào m + Ví dụ 2: Cho phương trình: x - 2m - 1 x + m - m - = (1) a) CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Giải a) Xét phương trình: x - 2m - 1 x + m - m - = * Ta có: ' 2m - 1 4.1 m m 1 4m 4m 4m 4m m R Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m b) * Cách 1: - áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình x - 2m - 1 x + m - m - = x1 x2 2 4m 4m x1 x2 2m ta có: 2 x x m m 4 x1 x2 4m 4m Khi x1 x2 x1.x2 hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m * Cách 2: x1 x2 2m - áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình * ta có: x1.x2 m m Từ 1 m 1 2 x1 x2 Thay m vào ta được: 2 x x 1 x x 1 x1.x2 1 2 x1 x2 x1.x2 Khi x1 x2 x1.x2 hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Kết luận: Muốn chứng minh biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số ta áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng tích nghiệm thay vào biểu thức cần chứng minh rút gọn kết luận Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình: x - m - 1 x + m + m + = (1) 1) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 2: Cho phương trình: x - m - 1 x + m - = (1) 1) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép 2) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m 10 - Khi phương trình * có nghiệm phân biệt x1 x2 m m m 1 m ; m m m 1 m 2) áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình mx 2mx * ta có x1 x2 x1.x2 m - Để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm kia, giả sử x1 x2 1 2 x2 x2 2 x2 x2 2 x2 ta có hệ phương trình : m m m 2 x2 x2 2 x2 x2 3 x2 2 8 m 2 m m 9 m ( thỏa mãn điều kiện ) 2 m x x x Vậy với m phương trính có nghiệm thỏa mãn nghiệm gấp đôi nghiệm Hoặc em thay trực tiếp nghiệm vừa tìm cho x1 x2 từ ta tìm giá trị m thỏa mãn điều kiện tốn + Ví dụ 4: Cho phương trình x2 m 1 x 2m 15 1) Giải phương trình m = 2) Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x2 x1 Hướng dẫn cách giải: Đối với phần ta cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm từ áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng tích nghiệm x1, x2 phương trình, kết x1 x2 2m hợp với điểu kiện toán x2 x1 giải hệ phương trình x1.x2 2m 15 từ x 5x tìm giá trị m thỏa mãn điều kiện toán Giải: 1) Thay m = vào phương trình ta x2 x 15 Giải phương trình ta x1 x2 3 13 Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 3 2) Xét phương trình x2 m 1 x 2m 15 * Ta có: ' m 1 2m 15 m2 2m 2m 15 m 16 m m2 m R phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m x1 x2 2m 1 x1.x2 2m 15 +) áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình * ta có Để phương trình * có nghiệm thỏa mãn điều kiện x2 x1 3 x1 x2 2m x x Từ 1 3 ta có hệ phương trình x1 x2 2m x2 x1 1 m 1 m x1 x1 x1 x2 2m 2 5 x1 x2 1 m x 2m x 5m 2 1 m 5m Thay x1 ; x2 vào phương trình ta phương trình: 2 m 5m 2m 15 2 1 m 5m 3 2m 15 5m 5m 3m 8m 60 5m 6m 63 Giải phương trình ta m1 ; m2 Vậy với m ; với m 21 21 phương trình * có nghiệm thỏa mãn x2 x1 Gọi x1 ; x2 x3 ; x4 tất nghiệm phương trình: Tính x1.x2 x3 x4 x + x + x + x + 8 = + Ví dụ 5: Giải: - Xét phương trình x + x + x + x + 8 = 1 x + x + x + x + = x 10 x 16 x 10 x 24 - = y y 8 - = y2 8y - = Đặt x 10 x 16= y 2 Ta có: ' 42 1.1 16 15 ' 15 phương trình có nghiệm y1 4 15 ; 14 y2 4 15 +) Với y1 4 15 x 10 x 16 4 15 x 10 x 20 15 3 Xét phương trình 3 ta có '3 52 20 15 15 phương trình 3 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1.x2 20 15 +) Với y2 4 15 x 10 x 16 4 15 x 10 x 20 15 Xét phương trình ta có '3 52 20 15 15 phương trình có nghiệm phân biệt x3 ; x4 x3 x4 20 15 Khi x1.x2 x3 x4 x1.x2 x3 x4 20 15 20 15 202 15 400 15 385 Vậy x1.x2 x3 x4 385 Nhận xét: Trong tập phương trình cho có bậc xong ta vận dụng linh hoạt sáng tạo hệ thức Vi et để tính tích nghiệm x1 x2 x3 x4 từ ta tính giá trị biểu thức x1.x2 x3 x4 Phương pháp chung: Như tốn tìm điều kiện tham số để thỏa mãn điều kiện nghiệm đối xứng liên hệ với theo hệ thức cần làm sau: +) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hoặc a.c < 0) +) áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng tích nghiệm +) Kết hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ phương trình gồm điều kiện với tổng tích nghiệm tìm tham số thỏa mãn điều kiện toán +) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận tốn Bài tập áp dụng: 1.Bài 1: Cho phương trình x 3 x 1 1 Gọi x1; x2 nghiệm phương trình 1 Tính giá trị biểu thức: S x12009 x22009 3 x12008 x22008 x12007 x22007 Bài 2: Cho phương trình x 2mx 2m 1)Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với giá trị m 2) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm trái dấu 3) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x12 1 x22 x22 1 x12 Bài 3: Cho phương trình: x x x + x - = m 1) Giải phương trình m = 15 Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2; x3 ; x4 thỏa mãn 1 1 8 x1 x2 x3 x4 * Dạng V: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc giải hệ phương trình đối xứng + Khái niệm hệ phương trình đối xứng: Một phương trình ẩn gọi đối xứng ta thay x y y x phương trình khơng thay đổi Ví dụ: Phương trình đối xứng x y xy 11 y x yx 11 x y 25 y x 25 Một hệ phương trình gọi hệ đối xứng loại I gồm phương trình đối xứng x y 25 y x 25 Ví dụ: Hệ phương trình đối xứng loại I: 2 2 x y xy 13 y x yx 13 + Cách giải hệ phương trình đối xứng loại I +) Biểu diễn phương trình qua x y ; xy +) Đặt S x y ; P xy ta hệ phương trình chứa ẩn S P +) Giải hệ phương trình tìm S P +) Các số x y nghiệm phương trình t St P (Vận dụng hệ thức Vi et đảo- Tìm số biết tổng tích chúng) (Hệ cho có nghiệm hệ phương trình theo S P có nghiệm thỏa mãn S 4P ) Tùy theo yêu cầu toán ta giải biện luận phương trình theo tham số t từ suy nghiệm kết luận cần thiết cho hệ phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 5 x y xy 19 a) x y xy 35 x2 y2 18 c) y x x y 12 x xy y b) x y 3 x y d) x y xy 2 Hướng dẫn cách giải: 5 x y xy 19 x y xy 35 - Em có nhận xét hệ phương trình - Muốn giải hệ phương trình ta làm ? (GV nêu cách làm cách đặt ẩn phụ S x y P x y em thảo luận trình bày lời giải sau) 16 Giải: 5 x y xy 19 a) Đặt S x y P x y ta có hệ phương trình x y xy 35 5S P 19 S 3P 35 15S P 57 2S P 70 13S 13 S 3P 35 S S 1 3P 35 P 12 x y theo định lí Vi ét x; y nghiệm phương trình bậc hai x y 12 X X 12 giải phương trình ta nghiệm X1 X 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm 4; 3 3; - Hoặc em biến đổi trực tiếp hệ phương trình phương pháp cộng đại số (không đặt ẩn x y từ áp dụng hệ thức vi- ét để giải hệ x y 12 phụ) ta tính phương trình tìm x; y b) x xy y x y x xy y xy x y x y 2 3xy 52 3xy x y x y xy x y Theo định lí Vi ét x; y nghiệm phương trình bậc hai X X Giải phương trình ta nghiệm X1 X Vậy hệ phương trình có nghiệm 3; 2;3 c) x2 y2 18 x y x y 12 x y 18 xy x y 12 123 3xy.12 18 xy 54 xy 1728 x y 12 x y 12 theo định lí Vi ét x y 3xy x y 18 xy x y 12 xy 32 x y 12 x; y nghiệm phương trình bậc hai t 12t 32 Giải phương trình ta nghiệm t1 t2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 4;8 8; x y 3 3xy x y x y 3 2 x y x y d) x y xy 2 xy 2 x y xy 2 x y xy 2 17 theo định lí Vi ét x; y nghiệm phương trình bậc hai: t t (1) a - b + c = 1- -1 + -2 = nên phương trình (1) có nghiệm t1 1 t2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 2; 1 x a x b có nghiệm y b y a Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm Chúng ta cần lưu ý điều để khơng bỏ xót nghiệm hệ phương trình Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x y xy a) 2 x y xy 4 x y 17 b) 2 x y xy x y z c) xy yz xz x y z 14 x y z d) xy yz xz 27 1 1 1 x y z x x y y 18 x x 1 y y 1 72 e) Hướng dẫn cách giải: x y xy - Muốn giải hệ phương trình 2 x y xy ta làm ? - Học sinh nêu cách làm biến đổi hpt dạng tổng tích x y cách S P đặt S x y P x y ta có hệ pt S S 12 giải hệ phương trình - Khi em nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi et vào nhẩm nghiệm phương trình bậc hai em trình bày lời giải sau: Giải: a) xy x y x y xy x y xy 2 x y xy x y xy x y 5 x y xy x y Đặt S x y P x y x y x y 12 S P S P Ta có hệ phương trình S 3; S 4 S S 12 x y xy +) Với S = P = ta có theo định lí Vi ét x; y nghiệm phương trình bậc hai t 3t (1) a + b + c = 1+ -3 + 2= nên phương trình (1) có nghiệm t1 t2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 2;1 18 x y theo định lí Vi ét x; y nghiệm xy +) Với S = P = ta có phương trình bậc hai t 2t (2) Giải pt (2) ta có ' 1 1.3 2 nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 2;1 Tôi gợi ý hpt ta biến đổi vế trái hpt thành tổng x y ; xy ta có lời giải sau: x y xy 17 4 x y 17 b) 2 2 x y xy x y xy Đặt S x2 y ; P xy S S 2 17 S P 17 Ta có hệ phương trình P S S P S 6S S 17 P S S 12S 35 1 2 P S S 18 12 S S 17 P S Giải phương trình S 12S 35 1 ta S1 ; S x y (I) xy 4 +) Với S1 P1 4 ta có Theo định lí Vi ét x; y nghiệm phương trình bậc hai t 7t (3) Giải phương trình (3) ta có 7 4.1 4 49 16 65 nên phương 7 65 65 ; t2 2.1 65 65 ; hệ phương trình (I) có nghiệm 2 x y +) Với S P2 2 ta có II xy 2 trình (3) có nghiệm phân biệt t1 7 65 65 2.1 65 65 ; 2 Theo định lí Vi ét x; y nghiệm phương trình bậc hai t 5t (4) Giải phương trình (4) ta có 7 4.1 4 49 16 65 nên phương trình (4) có nghiệm phân biệt t3 5 33 33 5 33 33 ; t4 2.1 2.1 19 hệ phương trình II có nghiệm 33 33 ; 2 33 33 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 65 65 ; ; 2 65 65 ; ; 2 33 33 ; 33 33 ; x y z x y z xy yz xz xy yz xz 62 xy yz xz 14 x y z xy yz xz 14 1 1 x z y x y z x y z xy yz xz xy yz xz xy yz xz x z y 9 xy yz xz 11 x z y 9 3 3 x y z c) xy yz xz x y z 14 Từ 1 ; 3 áp dụng hệ thức Vi ét suy x + z ; y nghiệm phương trình bậc hai: t 6t t t hệ phương trình trở thành hệ 4 y xz x z 6 Từ ; hệ thức Vi - et suy x ; z nghiệm phương trình bậc hai: m2 3m Giải phương trình m1 2; m2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;3; ; 2;3;1 Nhận xét: Bài tốn giải hệ phương trình ba ẩn cách biến đổi thích hợp ta đưa tốn dạng tìm hai số biết tổng tích chúng (với số thứ x + z số thứ hai xz tim x z nhờ áp dụng hệ thức Vi ét từ tìm nghiệm hệ phương trình x y z d) xy yz xz 27 1 1 1 x y z 1 2 3 20 Hướng dẫn cách giải: áp dụng hệ thức Vi et phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = có nghiệm x1 ; x2 ; x3 b x1 x2 x3 a c x1 x2 x2 x3 x3 x1 a d x1.x2 x3 a I ngược lại số x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn hệ thức I x1 ; x2 ; x3 nghiệm phương trình bậc ba ax3 + bx + cx + d = a ta có lời giải sau: Giải: - Nhận thấy x 0; y 0; z nghiệm hệ phương trình - Với x 0; y 0; z ta có : Nhân vế phương trình 3 với xyz ta được: xy yz xz xyz So sánh ta xyz 27 ta có hệ phương trình: x y z xy yz xz 27 Theo định lí Vi et phương trình bậc ba x; y; z xyz 27 nghiệm phương trình bậc ba ẩn: X X 27 X 27 X 3 X 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y z Nhận xét: Với toán giải hệ phương trình ta sử dụng phép biến đổi hợp lí để đưa tốn dạng áp dụng hệ thức Vi et phương trình bậc ba ẩn từ giải hệ phương trình 2 x x 1 y y 1 18 x x y y 18 e) x x 1 y y 1 72 x x 1 y y 1 72 1 2 Từ 1 ; áp dụng hệ thức Vi - et suy x x+1 ; y y+1 nghiệm phương trình bậc hai: t 18t 72 t1 6; t2 12 Khi xảy hai trường hợp x x+1 y y+1 12 x x+1 Giải hệ phương trình I : y y+1 12 21 I x x+1 12 y y+1 x x y y 12 II giải hệ phương trình ta nghiệm: x x+1 12 Giải hệ phương trình II y y+1 x y x 3 y 4 x x 12 y y giải hệ phương trình ta nghiệm : x y x 4 y 3 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm là; 2;3 ; 3; 4 ; 3; ; 4; 3 Nhận xét: Bài tốn nhìn vào phức tạp biến đổi đôi chút vận dụng linh hoạt hệ thức Vi ét tổng tích số x +y x.y nhìn nhận số x x 1 y y 1 ta đưa hệ phương trình dạng đơn giản hệ hai phương trình bậc hai, phương trình bậc hai ẩn Phương pháp chung: Như từ tốn giải hệ phương trình đối xứng loại I phức tạp xong biết biến đổi linh hoạt vận dụng hệ thức Vi - et tìm hai số biết tổng tích đưa toán trở dạng đơn giản từ tìm nghiệm hệ phương trình Khi giải hệ phương trình mà vế trái đa thức đối xứng ta coi ẩn nghiệm phương trình sử dụng hệ thức Vi - et để thiết lập phương trình Nghĩa ta chuyển việc giải hệ phương trình n ẩn giải phương trình bậc n ẩn, phương trình giải nghiệm hệ n phương trình cho Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải hệ phương trình a) x y xy đ/s 2 x y xy x; y 0; 2 ; 2;0 b) x y y x 30 x x y y 35 x; y 4;9 ; 9; 1 x y x y c) đ/s 1 2 x y 4 x2 y x; y 1; 2 ; 2;1 x; y 1;1 Bài 2: Giải hệ phương trình 22 d) x y x y 2 x y x y 15 x y xy y x xy a) b) x y z c) xy yz xz 27 1 1 1 x y z x y x y 13 2 x y xy * Dạng VI : V dụng hệ thức Vi ét vào việc lập phương trình bậc hai có chứa hai biểu thức nghiệm phương trình Ví dụ 1: Lập phương trình bậc có nghiệm là: x1 3 3 ; x2 2 Hướng dẫn cách giải: - Muốn tìm hai số biết tổng tích làm ntn? (Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phương trình bậc hai: x - Sx + P = ; Đ/K S P ) Giải: Ta có x1 x2 3 3 3 3 3 2 32 3 3 3 3 x1.x2 4 95 1 Vì x1 x2 x1.x2 1 Nên x1 ; x2 nghiệm phương trình bậc hai: x 3x Vậy phương trình cần tìm là: x x Nhận xét: Để lập phương trình bậc hai có nghiệm nhận số cho trước nghiệm ta vận dụng hệ thức Vi et đảo (tìm hai số biết tổng tích chúng) ta làm sau: - Bước 1: Tính tổng tích hai số - Bước 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phương trình cần lập + Ví dụ 2: a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x x = x1 x a2 x1 x2 a b) Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên có nghiệm : Hướng dẫn cách giải: 23 3 3 - Đối với phần a ta biết tích hai số x1 x = nên ta cần tính x1 + x = ? Từ tơi hướng dẫn cho học sinh tìm tổng x1 + x = ? từ biểu thức x1 x a2 x1 x2 a ta có lời giải sau Giải: a) Ta có: x1 x a2 x1 x2 a 1 x1 x2 x1 x1 x2 x2 a x1 x2 x1 x2 a 4 x1 x2 1 x2 x1 1 a a 4 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 a2 x1 x2 x1 x2 a x1 x2 a2 x1 x2 a x1 x2 a x1 x2 a 8 x1 x2 a 5 x1 x2 a x1 x2 3a x1 x2 a Điều kiện: S P a 1 a a a Vậy nghiệm phương trình: X a 1 X với a a Nhận xét: Để lập phương trình bậc hai biết tích hai ẩn hệ thức 1 ta cần tìm tổng hai ẩn để áp dụng định lí Vi et b) Phương trình bậc hai cần tìm có dạng tổng quát x2 px q với p; q Z 3 3 Ta có: 3 3 3 15 3 5 2 15 4 15 2 Vì phương trình có nghiệm : 4 15 ta có: 4 15 p 4 15 q 31 15 p 15 p q 31 p q p +) Nếu p 15 15 31 p q (vơ lí) Vì 8 p 15 R ; +) Nếu p tức p q Cho nên phương trình cần tìm là: x x 24 31 p q Z 8 p Nhận xét: Khi lập phương trình bậc hai biết trước nghiệm hệ số số nguyên Ta cần thay nghiệm phương trình vào phương trình ban đầu xét hệ số nguyên Phương pháp chung: +) Muốn lập phương trình bậc hai có nghiệm hai số cho trước ta làm sau: - Bước 1: Tính tổng tích hai số - Bước 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phương trình cần lập ta tính tổng tích chúng áp dụng hệ thức Vi ét đảo để xác định phương trình cần lập +) Trong trường hợp phương trình bậc hai cần lập biết trước nghiệm hệ số số nguyên ta thay nghiệm vào phương trình ban đầu tìm hệ số Bài tập áp dụng: Bài 1: 1) Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: x1 4 3 2) Tính: P 3 3 Bài 2: Cho phương trình: mx + m - x + m - = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu ; b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c) Lập phương trình bậc hai nhận 3 3 nghiệm Tóm lại:Khi hướng dõ̃ n học sinh võ ̣n dụng hợ̀ thức Vi et vào giải mụṭ sụ́ dạng tốn dạng tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu với phân tích để em hiểu nắm bắt vận dụng phương pháp làm Từ tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác cách giải mở rộng kiến thức (khái quát hoá) Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc xếp phân loại tập theo trình tự lơgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát cách giải dạng tập vận dụng linh hoạt phương pháp dạy học hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho hiệu đụ̀ng thời mụ̃i giáo viên cần đầu tư thời gian, với tìm tịi lựa chọn xây dựng hệ thống toán, phân dạng tập, xây dựng cách giải tổng quát trình giảng dạy rèn luyện kĩ vận dụng, trình bày lời giải, tư sáng tạo học sinh qua giúp em tự tin, phấn khởi trình học tập 25 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu áp dụng thân xét thấy đề tài có tác dụng lớn trình giảng dạy mơn Tốn 9, tơi vận dụng phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Vi ét để học sinh củng cố khắc sâu thêm đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày gặp tốn dạng Ngồi đề tài cịn áp dụng vào việc ơn tâp ,ơn thi vào 10 em hệ thống lại cách hồn chỉnh theo dạng việc áp dụng hệ thức Vi et em gặp kỳ thi hay kiểm tra khơng cịn khó khăn mà em biết vận dụng linh hoạt tiếp tục học lên THPT Những thơng tin cần bảo mật: Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Đối với giáo viên thường xuyên nghiên cứu tài liệu tham khảo,các đề thi vào THPT liên quan đến hệ thức Vi et để đưa vào giảng dạy tiết học,buổi học - Đối với học sinh:Cần chủ động ,tích cực học tập tham khảo tài liệu,sưu tầm thêm đề thi có vận dụng đến hệ thức Vi et để giải 10.Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giảvà theo ý kiến tổ chức,cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu,kể áp dụng thử(nếu có) 10.1.Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Khi chưa thực chuyên đề thấy kết sau: Ở số dạng tốn có đến 60% học sinh lớp khơng xác định dùng kiến thức để giải.Sau tơi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề 80% học sinh lớp xác định hướng giải có khoảng 75% - 80% em làm được.Ngoài em cịn có khả áp dụng giải số tập có yêu cầu cao Qua tiến hành kiểm tra viết lớp 9B(tôi vận dụng SKKN) lớp 9A(không áp dụng SKKN) thu kết sau: Kết thực nghiệm: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu 9A 31 9,7% 9,7% 9,7% 25,8% 9B 30 23,3% 10 33,3 26,7% 16,7% 10.2 .Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức,cá nhân : Chưa có 26 11.Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) STT Tên tổ chức/cá Địa Phạm nhân vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Phan Thị Huệ Trường THCS Tân Giảng dạy Phong Học sinh lớp 9B Trường THCS Tân Mơn Tốn Phong Thủ trưởng đơn vị Tân Phong, ngày 22 tháng 10 năm 2016 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Thủy Phan Thị Huệ 27 ... động học sinh nhiệm vụ trọng tâm trình dạy học nội dung vi? ??c đổi phương pháp dạy học Dạy học Toán dạy cho học sinh phương pháp học toán giải toán để vận dụng kiến thức học vào giải toán thực tế sống... thức toán học trang bị cho học sinh THCS ngồi vi? ??c dạy lí thuyết cịn phải trọng tới vi? ??c dạy học sinh phương pháp giải số toán, để nắm vững cách giải dạng tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng. .. muốn nghiên cứu sâu nên đề tài tập trung vào vấn đề: 7.1.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải số dạng toán a Hệ thức Vi ét: - Nếu x1 ; x2 hai nghiệm phương trình bậc hai : ax +
Ngày đăng: 15/10/2021, 06:40
Xem thêm: