Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox;.. Xác định giá trị của m để.[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT LONG PHÚ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu a Phân tích Q thành nhân tử: Q x x 2 x 10 b Tính Q biết x 13 10 Câu Cho hàm số: y x 2m ; với m tham số a Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O b Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy H là hình chiếu O trên AB Xác định giá trị m để OH 2 b Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB Câu a Giải phương trình: x x x 5 x 2 b Cho a; b là hai số dương thỏa mãn: a b 6 Chứng minh: 3(a 6) (a b) 2 c Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2008x 2009 y 2010 0 Câu Cho đường tròn (O; R ) AB và CD là hai đường kính cố định (O) vuông góc với M là điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K và H là hình chiếu M trên CD và AB a Tính sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC b Chứng minh: OK AH (2 R AH ) c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Hết./ (2) HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD & ĐT LONG PHÚ NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Q x x 2 x 10 x a x x 2 x 2 x 13 10 x 2.2 (2 b Vậy: Q 2 5 2 Điểm 0,5 x 0,5 5) 2 2 2 2.( 5) 10 0,5 0,5 2,0 y x 2m ; với m tham số a Để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 2m 0 m Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục Ox: A 2m 1; 0; 2m 1 Giao điểm B đồ thị hàm số với trục Oy: B b 0,25 0,5 Ta có: AOB vuông O và có OH là đường cao nên: 0,5 m 0 1 1 2 2 xA yB (2m 1) m OH OA2 OB Hay x x 2m xI A B 2 Hoành độ trung điểm I AB: c Tung độ trung điểm I AB: yI 2,0 0,5 y A yB (2m 1) 2 Ta có: yI xI Quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB là đường 0,25 thẳng y x Điều kiện: x 2 x x x 5 x a 0,2 x x x 5 x x x x 0 x x x 0 x x 0 ( x 2) 0 x 6 b Vậy nghiệm pt là: x 6 Với a; b là hai số dương ta có: 0,2 0,3 0,3 0,25 2,5 (3) 1 a b 2.a b.1 2a b 1 (Theo Bunhiacopski) (Vì a b 6 ) Hay x xy 2008 x 2009 y 2010 0 0,25 a b a c 3(a 6) (a b) x xy x 2009 x 2009 y 2009 1 0,25 x( x y 1) 2009( x y 1) 1 ( x 2009)( x y 1) 1 0,5 x 2009 1 x y 1 x 2009 x y 0,25 x 2010 y 2010 x 2008 y 2010 0,25 C K B O M H A D a Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông M nên: sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC = (sin MBA cos MBA ) (sin MCD cos MCD )=1 +1=2 0,75 b Chứng minh: OK AH (2 R AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 0,5 P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) OH MH OM R 2 (Pitago) Mà OH.MH c Vậy P 4 R R2 2 R đẳng thức xẩy MH = OH R OH = 3,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) (5)