DE THI HSG CAP TINH TOAN 9 NAM 2014 2015

THỰC HIỆN LỜI GIẢI: Giáo viên môn công nghệ: Phan Lâm Trường THCS & THPT Tân Tiến Trong quá trình đánh máy có gì sai sót Phan Lâm mong đọc giả điều chỉnh hộ..[r]

TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN UBND TỈNH BÌNH PHƯỚC SỞ GIÁỌ DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 02 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CÁP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kê thời gian phát đê) Bài 1:   a   a  Cho biểu thức: P  1  :  a  a  a a  a  a      a Tìm điều kiện a để P có nghĩa b Tìm các giá trị a để P  c Tìm giá trị P biết a  2015  2014 x2 1 Tìm GTLN và GTNN Q  x  x 1 Bài 2: Cho phương trình: x  2mx  2m2   (m là tham số) a Tìm m để phương trình có nghiệm dương phân biệt b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x thỏa mãn: x13  x12  x 32  x 22  2 8xy  2 x  y   16  xy Giải hệ phương trình:   x  12  x  y   x   Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính EF Vẽ tia Ot vuông góc với EF Tia Ot cắt nửa đường tròn I Lấy điểm A trên tia Ot cho IA = IO Vẽ hai tiếp tuyến AP, AQ (P, Q là các tiếp điểm) với nửa đường tròn chúng cắt EF B và C a Chứng minh tam giác ABC b Tiếp tuyến với nửa đường tròn S thuộc cung PQ (S không trùng với P, Q, I) cắt AP, AC H, K PQ cắt OH, OK M, N Chứng minh M, O, Q, K cùng thuộc đường tròn c Chứng minh HK = 2.MN Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác các góc A, B, C cắt đường tròn (O) theo thứ tự D, E, F a Chứng minh rằng: 2.AD  AB  AC b Chứng minh rằng: AD  BE  CF lớn chu vi tam giác ABC Bài 5: a Giải phương trình nghiệm nguyên: x  2y2  3xy  x  y   b Chứng minh 2n  3n  n chia hết cho với số nguyên n ………HẾT…… PHAN LÂM TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:    a  a 1   a   a  :  Ta có: P  1  :    a 1 a a  a  a 1   a    a  a           a  a 1   : a            a   a  1   a    a   a  1   a 1  a P có nghĩa khi:  a   a  a    a  1 a  a  a2 1   a 1 b P   :  a  a  a  a      c Khi a  2015  2014 P 2015  2014  2015  2014   2014  2014  3 2014  2014   2014 2014 Tìm GTLN và GTNN Q  Ta có: Q  Mặt khác: x2 1 x  x 1 x2 1 x   x  2x  (x  1)      22 x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1 x2 1 2 3x   2x  2x  (x  1) 2 Q       2 x  x 1 3 3(x  x  1) 3(x  x  1) 3 Vậy Q  và maxQ  Bài 2: Cho phương trình: x  2mx  2m2   (m là tham số) a Phương trình có dương phân biệt khi:  1  m  1  m   '      m    m 1  x1  x   2m   x x  2m    1   m    m   2 PHAN LÂM TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN b Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x (1)  '   2m   m  Ta có: x13  x12  x 32  x 22  2   x1  x  (x1  x )  3x1.x   (x1  x )  2x1.x   2  2m (2m)  3(2m  1)   (2m)  2(2m  1)   2 m   2m(3  2m )    m    2 Từ (1) và (2) suy m  (2)  8xy  x  y  x  y  16 Giải hệ phương trình:   x  12  x  y  3x  x   1  2 Diều kiện: x  y  Ta có: 1  x  y2   x  y2  2xy  8xy  16 xy  8xy  2xy  x  y   8xy  16  2xy    x  y   42   0 xy x  y    x y4  2xy    x  y   x  y    2xy     x  y    x  y     0 x  y x  y      y   x  *  x  y2  4(x  y)     x  y  4     x  y2  4(x  y)  xy 0    xy  Thế * và   ta Vì x  12   3x  x  x  12  x    3x  x  PHAN LÂM  3 3 TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN (3)  x  12   3x  x       x  12   (x  2)(x  2) x  12    x    3 x    (x  2)(x  2) x2    3(x  2)    x2 x2  (x  2)    3  x2     x  12  (4) x 2 x 2 x 2 x 2      Với x   2 2 x  12  x   x 12  x 5  Do đó (4) có nghiệm x    x   y  Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là (x; y)  (2; 2) Bài 3: A È E B H K C D a Trường hợp: AB  AD  AC Gọi H và K là hình chiếu D trên AB và AC Ta có: AKD  AHD  DH  DK  BHD  CKD  BH  CK AD  AH  AB  BH  2AD  AB  AC Trong hai tam giác AHD và AKD có  (1) AD  AK  AC  CK Các trường hợp AB  AC  AD, AC  AD  AB ta có: 2AD  AB  AC (đpcm) b Ta có chu vi tam giác ABC: P  AB  BC  CA Tương tự câu a, ta chứng minh 2BE  BA  BC và 2CF  CA  CB (2) Từ (1) và (2) suy 2(AD  BE  CF)  AB  AC  BA  BC  CA  CB  2(AB  BC  CA) PHAN LÂM TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN AD  BE  CF  AB  BC  CA  P (đpcm) Bài : B P H M I O A S N K Q B a Ta có: AP  OA  OP  3OP OA 4OP AB  AC    OP AP 3OP 4  BC  2OB  AB2  AO   OP    2OP    3   Suy AB  AC  BC hay ABC b POI  QOI  POH  HOI  QOS  SOI  SOH  HOI  SOI  2HOI  QOS  HOI  KOM  QKM  QOA  M, O, Q, K cùng thuộc đường tròn c Gọi J là giao AO và PQ, AP  AQ và AB  AC  PQ // BC  AO  PQ J APQ OJ  JI JO JN    2JN  SH Theo câu b ta có SOH  ION  AJN SOH  1 SO SH JO JM   Mặt khác ta có: QOS  HOI  JOM  SOK  JOM SOK  SO SK (2)  2JM  SK Từ (1) và (2) suy ra: 2JN  2JM  SH  SK  HK  2MN (đpcm) Bài 5: a Giải phương trình nghiệm nguyên x  2y2  3xy  x  y    (x  y)2  y(x  y)  (x  y)   (x  y)(x  2y  1)  3 PHAN LÂM TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN x  y  x    x  2y   3  y  3 Trường hợp 1:   x  y  3  x  8   x  2y    y  Trường hợp 2:   x  y  1  x  6  y   x  2y   Trường hợp 3:  x  y  x    x  2y   1  y  3 Trường hợp 4:  Vậy nghiêm phương trình là: (x; y)  (4;  3) (8; 5) (6; 5) (6;  3) b Chứng minh 2n  3n  n chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n3  3n  n  n  n  1 n   là tích ba số nguyen liên tiếp nên n  n  1 n   chia hết cho và 3, đó n  n  1 n   chia hết cho hay 2n  3n  n chia hết cho THỰC HIỆN LỜI GIẢI: Giáo viên môn công nghệ: Phan Lâm Trường THCS & THPT Tân Tiến Trong quá trình đánh máy có gì sai sót Phan Lâm mong đọc giả điều chỉnh hộ PHAN LÂM