de thi HSG cap tinh lop 9+12

Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang Lớp 12. Năm học 2004 2005 Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005 Môn Thi: Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (4 điểm). Cho hàm số: y = 3 1 (m + 1)x 3 (2m +1)x 2 + (m + 3)x +3 (m là tham số ). 1) (2 điểm) Xác định m để hàm số đồng biến trên [2 ; +). 2) (2 điểm) Cho m = 2. Hãy viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 4) với đồ thị hàm số thu đợc. Bài 2: (4 điểm). 1) (2 điểm) Giải hệ phơng trình: = =+ (2) )xx(y (1) )yx(x 3 7 9 3 2 . 2) (2 điểm) Cho tam giác ABC thoả mãn: A< B < C. Chứng minh rằng phơng trình: AsinxBsinxCsinx =+ có nghiệm. Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) Cho các số a, b, c, d > 0 thoả mãn: 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + (abc + abd + acb + bcd) =16 (1) Chứng minh rằng: 3(a + b + c + d) 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd). 2) (2 điểm) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn: 2 33222 = + + + + + AC A.C sin CB C.B sin BA B.A sin . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Bài 4: (6 điểm). 1) (4 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình lập phơng ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có A 1 (2; -1; 5); A(2; -1; 3); B(2; 1; 3); C(4; 1; 3); D(4; -1; 3) và đờng thẳng có phơng trình: 0 4 3 222 ++ += = += pnm,Rt,p,n,mvới ptz nty mtx . Gọi khoảng cách từ các đỉnh của hình lập phơng tới đờng thẳng lần lợt là h 1 , h 2 , , h 8 . Chứng minh rằng tổng S = 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 hhhhhhhh +++++++ là hằng số không phụ thuộc vào m, n, p. Tính S. 2) (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Tìm điểm M trong không gian sao cho MDMCMBMA)M(f +++= 3 là nhỏ nhất. Bài 5: (2 điểm). Cho f(x) = a 1 sinb 1 x + a 2 sinb 2 x + + a n sinb n x thoả mãn | f(x) | 1 với mọi x [-1;1]. Chứng minh rằng | a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n | 1. ________________________________________ Hết ______________________________________ Họ và tên thí sinh . Số báo danh . Đơn vị dự thi Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang Lớp 12. Năm học 2004 2005 Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005 Môn Thi: Toán Đề dự bị Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (4 điểm). Cho hàm số: y = mx mx)m(mx + 122 22 (m là tham số ). 1) (2 điểm) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu trên khoảng (-2; 0). 2) (2 điểm) Chứng minh rằng đồ thị hàm số ứng với m = 1 nhận đờng thẳng y = 2212 ++ x)( làm trục đối xứng. Tìm trục đối xứng thứ hai của đồ thị. Bài 2: (4 điểm). 1) (2 điểm) Giải phơng trình: 4 3 807 +=++ xxx . 2) (2 điểm) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm: log 2 (x 2 + x +1) a( 2005 11 )xx + . Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) Cho x, y, z thoả mãn: =++ =++ 6 0 222 zyx zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = x 2 y+y 2 z+ z 2 x. 2) (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có ba góc thoả mãn: tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C = cotg 2 2 A + cotg 2 2 B + cotg 2 2 C . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Bài 4: (6 điểm). 1) (4 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đờng thẳng có phơng trình: 22 1 1 z y x = = và hai điểm A(1; 1; 2) ; B(2; 2; 3). Tìm điểm M trên đờng thẳng sao cho tổng MA+MB nhỏ nhất. 2) (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có bốn đờng cao đồng quy tại một điểm H nằm trong tứ diện. Hãy tìm điểm M ở trong tứ diện sao cho biểu thức: f(M) = MA.S(BCD)+ MB.S(CDA)+ MC.S(DAB) +MD.S(ABC) đạt giá trị nhỏ nhất. (ở đây ta ký hiệu S(XYZ) là diện tích tam giác XYZ.) Bài 5: (2 điểm). Cho x > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) xxx )(loglog 2321 32 +>+ . __________________________________________ Hết ____________________________________ Họ và tên thí sinh . Số báo danh . Đơn vị dự thi Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang Lớp 9. Năm học 2004 2005 Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005 Môn Thi: Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm). 1) Tính giá trị của biểu thức: A = (6x 3 +7x 2 + 2003) 2005 với x = 56145 38517).25( 3 + + . 2) Chứng minh rằng: B = 222 3 1 2 1 1 1 ++ + 222 4 1 3 1 1 1 ++ + + 222 2004 1 2003 1 1 1 ++ + 222 2005 1 2004 1 1 1 ++ . là một số hữu tỉ. Bài 2: (4 điểm). Cho phơng trình: 2x 2 + 2(m + 2)x + m 2 + 4m + 3 = 0. (1) 1) (2 điểm) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 . 2) (2 điểm) Chứng minh rằng các nghiệm 21 x,x thoả mãn bất đẳng thức: 2121 3 xxxx ++ 2 2 2 1 + . Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) Cho hệ phơng trình: = =+ 5y2mx 2myx (với m là tham số). a) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x > 0 và y < 0. b) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y đều là số nguyên. 2) (2 điểm) Cho x, y, z 0 ; x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P với 222222 xzxzzyzyyxyxP ++++++++= . Bài 4: (6 điểm). 1) (4 điểm) Cho hai đờng tròn ( I ) và ( K ) cắt nhau tại A và B. Tia IA cắt đờng tròn ( K ) tại điểm thứ hai là N, tia KA cắt đờng tròn ( I ) tại điểm thứ hai là M. Qua A kẻ đờng thẳng song song với MN lần lợt cắt đờng tròn ( I ) và đờng tròn (K) tại điểm các điểm thứ hai là E và F. a) Chứng minh 5 điểm I, M, N, K, B cùng nằm trên một đờng tròn. b) Chứng minh: BM + BN = EF. 2) (2 điểm) P là điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. Gọi M, N, L lần lợt là chân các đờng vuông góc hạ từ P xuống CA, AB, BC. Đặt f(P) = BL 2 + CM 2 + AN 2 . Hãy tìm vị trí của P sao cho f(P) đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: (2 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình: 33333 721 y)x( .)x()x(x =+++++++ . ______________________________________ Hết ________________________________________ Họ và tên thí sinh . Số báo danh . Đơn vị dự thi Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang Lớp 9. Năm học 2004 2005 Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005 Môn Thi: Toán Đề dự bị Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm). 1) Cho x > 2 và x + x 4 = a . Tính theo a giá trị của biểu thức: A = 2 42 2 x xx . 2) Cho =++ =++ =++ 1cba 1cba 1cba 333 222 . Tính giá trị của biểu thức: B = a 2003 + b 2004 + c 2005 . Bài 2: (4 điểm). Cho phơng trình: x 2 ( 2m + 1)x + m 2 2m 2 = 0. (1) 1) (2 điểm) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm. Gọi hai nghiệm đó là x 1 , x 2 . Hãy lập một phơng trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm là t 1 = 1- x 1 và t 2 = 1- x 2 . 2) (2 điểm) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 < 1 < x 2 . Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) i) Chứng minh rằng với x, y, z 0, ta luôn có: 3 3 xyz zyx ++ . Khi nào xảy ra dấu bằng? ii) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng 33335 2 5 2 5 2 5 2 1111 dcbaa d d c c b b a ++++++ . 2) (2 điểm) Cho hệ phơng trình: =+ =+ 4 104 myx mymx ( với m là tham số). a) Giải và biện luận hệ theo tham số m. b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng. Bài 4: (6 điểm). 1) (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Đoạn thẳng MC cắt đờng tròn (O) tại N và cắt AB tại K.Từ C kẻ CH, CE, CF lần lợt vuông góc với AB, MA, MB. a) Chứng minh rằng: CH 2 = CE . CF . b) Chứng minh rằng: 2 2 CB CA KB KA = . 2) (2 điểm) Tìm điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho biểu thức f(M) = MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: (2 điểm). Cho f(x)=x 2 +bx+c. Chứng minh rằng nếu m, n, k là ba số nguyên đôi một khác nhau thì trong ba số |f(m)|, |f(n)|, |f(k)| có ít nhất một số không nhỏ hơn 2 1 . _______________________________________ Hết _______________________________________ Hä vµ tªn thÝ sinh . Sè b¸o danh . §¬n vÞ dù thi . Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang Lớp 12. Năm học 2004 2005 Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005 Môn Thi: Toán Đề chính thức Thời. . Đơn vị dự thi Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh