GSTT Group – Sharing the value Bàigiảng ngày 13/01/2013: Phương trình chứa cănthức Phần 1: Kiến thức tối thiểu 1. Dạng cơ bản: A = B B 0 A = B 2 Vi trình A =B , ta chn mt trong 2 cách bin i sau: A =B A 0 A = B hocA =B B 0 A = B 2. Các dạng khác - Thông thường ta bình phương hai vế của phươngtrình đã cho để khử dấu căn, đưaphương trình đó về phương mới đơn giản hơn. Cần nêu các điều kiện cần thiết sao cho trong hệ điều kiện này, phươngtrình mới tương đương phươngtrình đã cho - Đôi khi, phép bình phương có thể dẫn đến phươngtrình bậc cao phức tạp. Trong trường hợp này, ta nghĩ cách biến phươngtrình đã cho thành phươngtrình tích số hoặc dung ẩn phụ 3. Chú ý: Một số phương trình chứa căn bậc ba có thể được giải bằng phương pháp đặt một ẩn phụ, chuyển về phươngtrình vô tỉ đơn giản hoặc đặt 2 ẩn phụ chuyển về hệ phươngtrình với biểu thức không chứa căn . Phần 2: Tổng hợp một số phương pháp giải Trước hết, anh tổng hợp một số phương pháp giải phươngtrình chưá căn: 1. Biến đổi tương đương 2. Giải phươngtrình hệ quả và thử lại nghiệm 3. Sử dụng hằng đăng thức, tính chất của lũy thừa 4. Sử dụng phươngtrình tích 5. Sử dụng đại lương liên hợp 6. Đặt 1 ẩn phụ, lập phươngtrình của ẩn phụ 7. Đặt 1 ẩn phụ, lập hệ phươngtrình gồm ẩn phụ và ẩn ban đầu ( một số trương hợp có thể xuất hiện hệ đặc biệt như đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, 8. Đặt 1 ẩn phụ ,lập phươngtrình gồm ẩn phụ và ẩn ban đầu, có thể coi 1 ẩn lả tham số, sử dụng công thức nghiệm của phươngtrình bậc 2 hoặc phươngtrình tích 9. Đặt 2 ẩn phụ , lập phươngtrình của 2 ẩn phụ , có thể coi 1 ẩn phụ là tham số , sử dụng công thức nghiệm của phươngtrình bậc 2 hoặc phươngtrình tích 10. Đặt 2 ẩn phụ, lập hệ phươngtrình của 2 ẩn phụ 11. Sử dụng bất đăng thức đại số, bất đẳng thức hình học hoặc lượng giác 12. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Trên đây là tóm tắt 12 tư duy chính để giải phươngtrình căn. Tiếp theo các em luyện một số bài tập sau: Phần 3: Bài tập rèn luyện Bài 1: + = + Trước hết và không thể thiếu là đặt điều kiện nhé: x + 9 0 2x + 4 0 x9 x2 x2 Khi đó ta chuyển 5 sang bên phải và bình phương hai vế ta đươc: x + 9 2x + 4 + x + 2x + 4 + 9 = 25 GSTT Group – Sharing the value 2 2x 2 + 22x + 36 = 12 3x 12 3x 0 4 2x 2 + 22x + 36 = 12 3x 2 2 x 4 x 2 160x = 0 x = 0 Với bài này không khó, tuy nhiên có 2 vấn đề các em cần lưu ý, đó là hệ điều kiện và cách kết hợp với bất phươngtrình để đưa ra nghiệm cuối cùng. x 3 x 2 + 4 + x 3 x 2 + 1 = 3 Ta đặt: t =x 3 x 2 + 1 0 phươngtrình trở thành: t 2 + 3 = 3 t Pt trên tương đương với: 0 t 3 t 2 + 3 = 3 t 2 t = 1 Vậy: x 3 x 2 + 1 = 1 x 3 x 2 + 1 = 1 x = 0 hoc x = 1 x 3 x 2 + 4 + x 3 x 2 + 1 = 3 Bài 3: + + = GSTT Group – Sharing the value Bài 4. + = u kin: 3x 0 15 3x 0 8x 5 0 5 x 5 8 Bình phương 2 vế ta có: 15 + 23x 15 3x = 8x 5 45x 9x 2 = 4x () Ta để ý với điều kiện ban đầu thì 45x 9x 2 luôn lớn hơn 0. Ta tiến hành bình phương 2 vế: 45x 9x 2 = 16x 2 x 9 5x = 0 x = 0 và x = 9 5 Ta thấy 2 nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy pt có 2 nghiệm :x = 0 và x = 9 5 Bài 5: + ( = Sử dụng phươngtrình hệ quả (biến đổi và thử lại phương trình) Điều kiện: 4 x 0 x 4 Nhận xét, với x =1 thì 2 vế của phuowng trình bằng nhau, x =1 là nghiệm của phương trình. Xét x 1, x + 1 2 4 x = 2x 2 2 x + 1 2 4 x = 2 x + 1 x 1 x + 1 4 x = 2 x 1 (2) x + 1 2 4 x = 4 x 1 2 x 2 + 2x + 1 4 x = 4(x 2 2x + 1) 4x 2 + 8x + 4 x 3 2x 2 x = 4x 2 8x + 4x 3 2x 2 + 15x = 0 3 + 2 2 15 = 0 2 + 2 15 = 0 3 5 = 0 Ta có trường hợp: = 0, không thỏa mãn phươngtrình (2) 3 = 0 = 3, thỏa mãn phươngtrình (2) + 5 = 0 =5, thỏa mãn phươngtrình (2) Vậy tập nghiệm của phươngtrình là = {5;1; 3} Bài 6: + + + + = Điều kiện 4 1 3 5 2 + 4 + 8 + 4 4 + 4 3 = 0 + 4 = 0 Ta có phương trình: x 3 5x 2 y + 8xy 2 4y 3 = 0 x y x 2y 2 = 0 x = y hoc x = 2y Xét x = y x =x + 4 x 0 x 2 = x + 4 x = 1 + 17 2 Xét x = 2y x = 2x + 4 x 0 x 2 = 4x + 16 x = 2 + 5. Vy S = 1 + 17 2 ; 2 + 5 GSTT Group – Sharing the value à : + + = Đặt hai ẩn phụ,chuyển phươngtrình về hệ phươngtrình Điều kiện xác định x1 t a =x + 1 4 , b = x 3 , a 0 a b = 1 a 4 b 3 = 1 a 4 a 1 3 = 1 a 4 a 3 + 3a 2 3a = 0 a a 3 a 2 + 3a 3 = 0 a a 1 a 2 + 3 = 0 a = 0 hoc a = 1 x =1 hoc x = 0 . à : + = + Đặt ẩn phụ,chuyển phươngtrình về hệ đối xứng loại II. 1 x + 1 2 2 = 1 14 4x + 9 7 + 1 4 2x + 1 2 = 2 7 4x + 9 7 + 1 t 4x + 9 7 = 2y + 1 thì y > 0 do x > 0 Ta có hệ phươngtrình 2x + 1 2 = 2 7 2y + 1 + 1 2y + 1 2 = 4x + 9 7 2x + 1 2 = 4x + 9 7 2y + 1 2 = 4x + 9 7 Trừ các vế tương ứng ,ta có: 2x 2y 2x + 2y + 2 = 4y 4x 7 x y x + y + 8 7 = 0 x = y. suy ra 4a + 9 = 28x 2 + 28x + 7 28x 2 + 24x 2 = 0 x = 6 + 5 2 14 . à : = Biến đổi và đặt ẩn phụ. Nhận xét: x=0 không là nghiệm của phươngtrình .Với x≠0 ta có: 4x 2 2x 3 = 3 4x 4 3x 2 3 4x 2 2x 3 x = 3 4x 4 3x 2 3 x 4x 2 2x 3 x = 3 4x 4 3x 2 3 x 4x 3 x 2 = 3 4x 3 x 3 t y = 4x 3 x 3 y 3 2 = 3y y + 1 2 y 2 = 0 y =1 hoc y = 2 GSTT Group – Sharing the value Xét y=-1, ta có: 4x 3 x 3 =1 4x 3 x =1 4x 2 + x 3 = 0 x =1 hoc x = 3 4 Xét y=2, ta có: 4x 3 x 3 = 2 4x 3 x = 8 4x 2 8x 3 = 0 x = 2 ± 7 2 Vy , tp nghim ca trình là 1; 3 4 ; 2 ± 7 2 Chú ý: Có thể đặt hai ẩn phụ sau khi biến đổi : 4x 2 3 2x 3 4x 2 3 x 2 3 = 0 Đặt 4x 2 3 3 = a, x 3 = b a 3 2b 3 3ab 2 = 0 a + b 2 a 2b = 0. Một số đúc kết cuối bài - Các em lưu ý, nếu thấy bài cồng kềnh như bài 3, chúng ta phải tư duy ngay đến việc đơn giản hóa đi, bằng cách đặt ẩn phụ. - Với những bài có dấu hiệu tổng 2 căn bậc 2 hoặc hiệu 2 căn bậc 2 phải tư duy ngay đến phương pháp liên hợp - Trong quá trình biến đổi, cứ bình phương 2 về thì nhớ phải đặt điều kiện cho căn bậc 2(bình phương đến đâu điều kiện đến đó) - Kiểm tra lại nghiệm khi làm xong - Cố gắng diễn giải bằng lời thay vì các ký tự ( bí quyết của anh Chinh 2 điểm 10 toán trong GSTT Group ) CHÚC CÁC EM THI ĐỖ ĐẠI HỌC! . the value Bài giảng ngày 13/01/2013: Phương trình chứa căn thức Phần 1: Kiến thức tối thiểu 1. Dạng cơ bản: A = B B 0 A = B 2 Vi trình A. cách biến phương trình đã cho thành phương trình tích số hoặc dung ẩn phụ 3. Chú ý: Một số phương trình chứa căn bậc ba có thể được giải bằng phương pháp