Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng tứ giác IEHF nội tiếp được trong một đường tròn.. Gọi EG và FQ là các đường cao của tam giác IEF, chứng minh rằng độ dài QG không đổi.[r]
(1)kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh Líp tHCS n¨m häc 2010 - 2011 Së GD & §T Hoµ B×nh §Ò chÝnh thøc §Ò thi m«n : To¸n Ngµy thi: 22 th¸ng n¨m 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (§Ò thi gåm cã 01 trang) Bµi 1: (4 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö c¸c biÓu thøc sau: 2 a/ A x 3x y xy 12 y 2 b/ B x y xy x y Cho a 11 11 Chøng minh r»ng a lµ mét sè nguyªn Bµi 2: (6 ®iÓm) 12 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x x x 2 2 Cho hàm số y (m 1) x m (m: tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt hai trục toạ độ hai điểm A, B cho tam giác OAB cân A x1 x đạt giá trị nhỏ Tìm x để biểu thức Bµi 3: (4 ®iÓm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O, có bán kính Biết BAC 600 , đờng cao AH = Tính diện tích tam giác ABC Đội cờ vua trường A thi đấu với đội cờ vua trường B, đấu thủ trường này thi đấu với đấu thủ trường trận Biết tổng số trận đấu bốn lần tổng số cầu thủ hai đội và số cầu thủ trường B là số lẻ Tìm số cầu thủ đội Bµi 4: (5 ®iÓm) Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Hai điểm E, F thay đổi trên nửa đường tròn cho số đo cung AE khác không và nhỏ số đo cung AF, biết EF = R Giả sử AF cắt BE H, AE cắt BF I Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp đường tròn Gọi EG và FQ là các đường cao tam giác IEF, chứng minh độ dài QG không đổi Chứng minh QG song song với AB Bµi 5: (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 2 x x x HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: SBD: Gi¸m thÞ (hä vµ tªn, ch÷ ký): Gi¸m thÞ (hä vµ tªn, ch÷ ký): Së GD&§T Hoµ B×nh Híng dÉn chÊm m«n to¸n Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh cÊp THCS N¨m häc 2010-2011 (2) Bµi ý 1 (4®) §iÓm Néi dung a/ A = ( x + 3y ).( x - 2y ).( x + 2y ) b/ B = ( x + 2y + ).( x2 - 2xy + 4y2 ) a 11 11 (3 2) (3 2) 6 Từ đó a là số nguyên (6 ®) + HS lập luận đợc x2 + x + và x2 + x + khác đa PT dạng 9( x2 + x ) + 12 = ( x2 + x + ) ( x2 + x + ) +HS biến đổi PT dạng ( x2 + x - ) ( x2 + x + ) = 17 +HS giải PT tích tìm đợc nghiệm là x = + HS lập luận đợc để đồ thị hàm số là đờng thẳng cắt trục tọa độ điểm A và B cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với đờng th¼ng y = x ( hoÆc y = - x ) m 1 m 0 + Từ đó dẫn đến hoÆc m m 0 giải hệ PT đó tìm đợc m = hoÆc m = vµ tr¶ lêi bµi to¸n A 1 + HS viết đợc 1,0 1,0 1,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 1,0 0,5 1,5 x 1 + HS lập luận và tìm đợc giá trị nhỏ biểu thức A - x = (4 ®) Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC, dÔ cã KOC 600 XÐt tam gi¸c vu«ng OKC cã OC = Tính đợc KC OC.sin 60 , 1,0 1,0 Tính đợc BC 2 , suy diện tích tam gi¸c ABC lµ S 3 (§vdt) Chú ý: Thực chất tam giác ABC nhng không yêu cầu HS vẽ hình đúng + Gọi số cầu thủ đội trờng A là x; Số cầu thủ đội trờng B là y đặt đk và lập đợc PT: xy = 4( x + y ) ( x 4)( y 4) 16 + HS lập luận và tìm đợc x = 20 ; y= 5, KL… 1,0 1,0 (3) I (5 đ) 2,0 G Q F 1,0 1,0 E H A O B 1,0 Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp đường tròn Chứng minh IQG IFE (g.g), QG IG 1 QG EF = R 2 (đpcm) từ đó có EF IE ; Chứng minh IAB IFE (g.g), kết hợp với (2) ta có IQG IAB , (1®) IQ IG suy IA IB dẫn đến QG song song với AB + HS tìm đợc ĐK x 7 và biến đổi PT dạng tích ( x ).( x x ) = + HS giải PT tích tìm đợc x = x = thỏa mãn và trả lời Chú ý: Mọi lời giải đúng khác đợc cho điểm tơng đơng 0,5 0,5 (4)