Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa... Tìm tất cả các giá trị của a để A và B không có phần tử chung..[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MƠN: TỐN - KHỐI 10
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm: 01 trang
Câu (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số
2
11
16 x f x
x x
Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số mđể đồ thị hàm số yx22m1x4 cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, thỏa mãn x1 x2 4
Câu (2,0 điểm) Cho a số thực Xét hai tập hợp: A( , ) | ,x y x y,x yavà
3
( , ) | , ,
B x y x y x y a Tìm tất giá trị a để A B khơng có phần tử chung Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình
2
2
3
4
3
x x
x x
x
Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x 9x x29xm.Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thực
Câu (2,0 điểm) Xác định dạng tam giác ABC biết góc A, B, C tam giác thỏa
mãn hệ thức sin
sin cos C
A B
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Điểm M thay đổi nằm đoạn AB, (M khác A B) Gọi H K, tương ứng hình chiếu vng góc M đoạn BC AC; G trọng tâm tam giác MHK Chứng minh đường thẳng MG qua điểm cố định
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ABc AC, b BAC,600 Các điểm M, N xác định MC 2MB NB , 2NA Tìm hệ thức liên hệ b, c để AM CN vng góc với
Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2
2 5
2
x xy y
x y x y
Câu 10 (2,0 điểm) Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x2 y2z2 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A xy yz zx
z x y
-Hết -
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán bộ coi thi khơng giải thích thêm
(2)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM HỌC 2020-2021
ĐÁP ÁN MƠN: TỐN
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa
- Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN:
Câu Nội dung trình bày Điểm
1 Tìm tập xác định hàm số:
2
11
16 x f x
x x
2,0
Hàm số xác định
2
0
16
x x
0,5
2 2
0 0
4 4
x x
x x x
0,5
0
2 2
x x
x x
0,5
Tập xác định hàm số D 2;0 0; 2 0,5
2
Tìm tất giá trị mđể đồ thị hàm số yx22m1x4 cắt trục
hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn x1 x2 4 2,0 Xét phương trình x22(m1)x 4 *
Để đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, thỏa mãn
1
x x (*)phải có nghiệm phân biệt thỏa mãn x x1, 2 0
0,5
'
0
0
S m
P
0,5
Ta có
1
2
4
x x m
x x
0,5
1 2 16
x x x x x x m Vậy m5 0,5
(3)3
Cho a số thực Xét hai tập hợp: A( , ) | ,x y x y,xya
3
( , ) | , ,
B x y x y x y a Tìm tất giá trị a để A B khơng có phần tử chung
2,0
AB với x y, thoả mãn x y a 3
x y a Điều tương đương với x3(ax)3a x
Hay: 3ax23a x2 a3a0 (1) x
0,5
Nếu a0 (1) với x 0,5
Nếu a0: (1) với x khi:
4
3 0
2
9 12 ( )
a a
a
a a a a a a
0,5 Vậy giá trị cần tìm a là: a =0 a2 0,5 4 Giải bất phương trình
2
2
3
4
3
x x
x x
x
2,0
Trường hợp 1:
2 0
4
4
3
x
x x
x x
0,5
Trường hợp 2:
2
4
0
3 1 2 3
0
x x
x x
x x x x
x
0,5
x
0,5
Vậy tập nghiệm bất phương trình S 0 4; 0,5 5 Tìm giá trị tham số m để phương trình
2
9
x x x xm có nghiệm thực 2,0 Phương trình
2
0
9 9
x
x x x x m
0,5
Đặt t 9xx2 , 9 9, 0;9
2
x x
t x
0,5
Phương trình trở thành:
2
t t m
Xét hàm số
2 9, 0;
2 f t t t t
(4)Từ bảng biến thiên ta có: 10
4 m
0,5
6
Xác định dạng tam giác ABC biết góc A, B, C tam giác thỏa mãn hệ thức sin
sin cos C
A B
2,0
Áp dụng định lý hàm số sin:
sin
sin sin sin
sin
a A
a b c R
c
A B C
C R
0,5
Áp dụng định lý hàm số côsin:
2 2
2 2
2 cos cos
2
a c b
b a c ac B B
ac
0,5
Theo giả thiết ta có:
2 2
sin
2 sin 2sin cos
sin cos 2
C c a a c b
C A B
A B R R ac
0,5
2 2
2 2 2
a c b
c c a c b a b a b
c
Vậy tam giác ABC cân C
0,5
7
Cho tam giác ABC Điểm M thay đổi nằm đoạn AB, (M khác A B) Gọi H K, tương ứng hình chiếu vng góc M đoạn
BC AC; G trọng tâm tam giác MHK Chứng minh đường thẳng MG qua điểm cố định
2,0
Gọi I trung điểm HK, ta có
3
MH MK
MG MI MG
0,5
Kẻ MP AC// , MQ//BC ( với PBC Q, AC) suy H trung điểm BP
và K trung điểm AQ Do
6
MB MP MA MQ
MG
0,5
Tứ giác MPCQ hình bình hành MP MQMC Do
6
MA MB MC
MG
0,5
Gọi O tâm trọng tâm tam giác ABC, suy MO MG
0,5
Q
P K
H M
G I
O
C B
(5)Vậy MG qua trọng tâm O tam giác ABC
8
Cho tam giác ABC có ABc AC, b BAC, 600 Các điểm M, N xác định MC 2MB NB , 2NA Tìm hệ thức liên hệ b, c để AM
CN vng góc với
2,0
Ta có: MC 2MB ACAM 2 ABAM3AM 2 ABAC 0,5 Tương tự ta có: 3CN2CA CB 0,5 Vậy: AM CN AM CN 02 ABAC2CA CB 0 0,5
2
2AB AC AB 3AC 2AB 3AC 5AB AC
2 2
2
2 5 3
2
4
c b
bc
c b c bc b
c b 0,5
9 Giải hệ phương trình
2
2
2 5
2
x xy y
x y x y
2,0
Hệ phương trình
2 2 2
2
2 2
2
x y x y
x y x y
0,5 Đặt 2 2
u x y
v x y
Hệ trở thành:
2 2 u v u v
u v u
v 0,5
Với 2 2
0;
2
1
8
2 2 ;
7
x y
x y u
v x y x y
0,5
Với 2 2
2;
2
3
10
2 2 ;
7
x y
x y u
v x y x y
Vậy hệ có nghiệm x y; là: 2;1 ; 0;1 ; 8; ; 10;
7 7
0,5
10
Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện 2
1
x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức A xy yz zx
z x y
2,0
Ta có
2
2
2 2
2
xy yz zx
A x y z
z x y
(6)-Hết - Ta thấy
2 2 2 2
0 , , , *
xy yz zx x y z xy yzzx x y z Đẳng thức xảy x yz
0,5
Áp dụng BĐT (*) ta
2
2
2 2
xy yz zx
x y z
z x y
Khi
2
2
2 2 2 2
2 3
xy yz zx
A x y z x y z
z x y
0,5
Đẳng thức xảy
3 xy yz zx
x y z
z x y
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A đạt x yz