De HSG Toan 820162017 141

Đề bài: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN - Thời gian: 90’ I Đề bài: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - (a+b) xy + aby2 b) a2- b2 – 2a + c) a3 – 19a + 30 Bài tập 2: a) Tìm a,b,c cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3 b) cho a + b + c = 2012 a  b3  c  3abc 2 Chứng minh : a  b  c  ab  ac  bc = 2012 Bài tập3: a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị biến x2 x   ): P = 2x  2x  x  x  2013 2013 2013   Q =  x  xy  y  yz  z  zx ( b) Cho Chứng minh Q là số nguyên; biết xyz = Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME  AB; MF  AD.Chứng minh a) CF = DE; CF  DE b) CM = FE ; CM  FE c) CM,BF,DE đồng qui III.Đáp án: Bài tập Đáp án 2 Bài a) = x – a xy – bxy – aby (2,5điểm) = x(x-by) – ay( x-by) = ( x- ay)(x – by) b) = (a2 – 2a + 1) – b2 = ( a – 1)2 – b2 = ( a -1- b)( a – + b) c)= a3-4a -15a -30 = a(a2-4)-(15a-30) = a(a-2)(a+2)-15(a-2) = (a-2) (a2-2a-15) = (a-2)( a2+3a-5a-15a) = (a-2)(a+3)(a-5) Bài a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d) (1,5điểm) = (x3-9x2+27x-27)(x+d) = x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d cân hệ số ta có d-9=0  d=9 -27d = c  c=-243 27d-27=b  b=216 27-9d=a  a=-54 Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho (x-3)3 b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2  a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc = (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c) = (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc) Vậy a  b3  c  3abc (a  b  c )(a  b  c  ab  ac  bc) a  b  c  ab  ac  bc = a  b  c  ab  ac  bc điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 025đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ = a+b+c = 2013 Bài (2điểm) ( x  2)  ( x  2)2  16 x  16 :  : 2( x  2)( x  2) x  2( x  2)( x  2) x  4  : 1 x x a) P= 2013 2013 2013   b) Q =  x  xy  y  yz  z  zx z xz   = 2013( z  xz  xyz xz  xyz  z xy  z  xz ) 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ z xz   = 2013( z  xz  xz   z  z  xz ) = 2013 Bài (4 điểm) A F N I E 0,5 đ B G M C D a) AEMF là hình chữ nhật  AF=EM   EBM cân E vì EBM = 450  EB =EM  AF= EB mà AB = AD  AE=FD    ADE =  DCF (c,g,c)  FC=DE và AED = CFD  AED ADE ADE  CFD mà + =90 + =90   FID =900  CF  DE 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ   b)  MEF =  GMC(c.g.c)  CM = FE và EFM = MCG   ta lại có MFC = FCD (so le trong)       mà FCD + FCM + MCG =900  EFM + MFC + FCM =900   CNF =900  CM  FE c)Xét  EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao thứ n ên CM,BF,DE đồng qui 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ