Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn * nên chúng đều là các số chính phương... cạnh đáy tương ứng.[r]
(1)UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8 MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x +2011 x 2+ 2010 x +2011 b) Tìm các số nguyên x ; y cho: x3 + xy=3 c) Tìm các số a và b cho x 3+ ax+b chia cho x+ dư 7; chia cho x − dư Câu 2: (1,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: x + y −1 ¿2 − ¿+2 xy A= với 2 |x + y +5+ x −4 y|− ¿ x=22011 ; y =16503 b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B x x 2011 x2 với x>0 Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng: a) 2011 +11 2011+11 = 3 2011 +2000 2011+2000 2 b) Nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn : m +m=5 n + n thì : m-n và 5m 5n là số chính phương Câu 4: (4 điểm) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N a) Chứng minh OM=ON b) Chứng minh 1 + = AB CD MN c) Biết S AOB =a2 ; S COD =b2 Tính S ABCD ? ^ 900 Chứng minh BD > AC d) Nếu ^ D< C< -HẾT - (2) UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Đáp án a/ x +2011 x 2+ 2010 x +2011 = x + x 3+ x2 +2010( x + x +1)−(x −1) = ( x 2+ x +1 ) ( x − x+ 2011 ) b/ x3 + xy=3 ⇔ x ( x + y ) =3 Do x ; y là các số nguyên nên ta có: ¿ x=1 x 3 x 3 x2 + y =3 y 26 ⇔ TH1: (thỏa mãn) 3x y 1 (thỏa mãn) ¿ x=1 y=0 ¿{ ¿ ¿ x=−1 x x 3 x2 + y =−3 y 28 ⇔ TH2: (thỏa mãn) 3x y (thỏa mãn) ¿ x=− y=− ¿{ ¿ c/ Vì x 3+ ax+b chia cho x+ dư nên ta có: x 3+ ax+b = ( x+ ) Q(x)+7 Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 đó với x=−1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1) Vì x 3+ ax+b chia cho x − dư nên ta có: x 3+ ax+b = ( x − ) P(x)+ 0,25 đó với x=2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2) Từ (1) và (2) suy a=-4;b=4 a/ Ta có: x 2+ y +5+2 x − y =( x+ )2+ ( y −2 )2 ≥ với x ; y nên ta có: A= x 2+ y +5+2 x − y − ( x + y −1 )2 +2 xy = 0,25 0,25 0,25 x 2+ y +5+2 x − y − x − y − 1− xy+ x +2 y+ xy=4 x −2 y + 4=2(2 x − y )+ 503 Thay x=22011 ; y =16503 =( 24 ) =22012 vào A ta có: A= ( 22011 −22012 )+ 4=4 x −2 x+2011 2011 x −2 x 2011+20112 b/ B= = x2 2011 x x −2011 (¿) ¿ ¿2 = ¿ ¿ 2010 x2 + ( x − 2011 )2 2010 = +¿ 2011 2011 x Dấu “=” xảy x=2011 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) Vậy GTNN B là 2010 2011 đạt x=2011 a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000 Khi đó ta có a=b+c 2 20113 +113 a3 +b3 ( a+b ) ( a − ab+b ) = = Xét vế phải đẳng thức ta có: 20113 +20003 a3 +c ( a+c ) ( a2 −ac +c ) Thay a=b+c vào a2 −ab+ b2=( b +c )2 − ( b+c ) b+b 2=b2 + bc+ c2 2 2 2 a −ac +c =( b+ c ) − ( b+c ) c+ c =b + bc+ c Nên a2 −ab+ b2=a2 − ac+ c2 2 20113 +113 a3 +b3 ( a+b ) ( a − ab+b ) a+b 2011+ 11 = = = = Vậy: 20113 +20003 a3 +c ( a+c ) ( a2 −ac +c ) a+c 2011+ 2000 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b/Ta có m2 +m=5 n 2+ n ⇔ ( m − n2 ) +m −n=m2 ⇔ ( m− n )( m+5 n+1 )=m2 (*) Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n ⋮ d ⇒ 10m+1 ⋮ d 0,25 ⋮ Mặt khác từ (*) ta có: m d2 ⇒ m ⋮ d Mà 10m+1 ⋮ d nên ⋮ d ⇒ d=1 Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng là các số chính phương B hình vẽ A 0,25 A 0,25 B N M O D OA OB = a/ Ta có AC BD ⇒ OM ON = DC DC C D H E Do MN//DC ⇒ OM=ON b/ Do MN//AB và CD ⇒ OM AM = CD AD OM OM AM MD 1 DC AB AD (1) ON ON + =1 (2) Tương tự: DC AB MN MN + =2 Từ (1);(2) ⇒ DC AB 1 + = ⇒ DC AB MN K C 0,5 0,5 và OM DM = Do đó: AB AD 0,25 0,25 0,25 0,25 c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích tam giác tỉ số 0,25 (4) cạnh đáy tương ứng Do : Nhưng OB OA = OD OC ⇒ S AOB OB = S AOD OD S AOB S AOD = S AOD S COD S AOD OA = S COD OC và ⇒ S =S AOB S COD =a2 b nên AOD 0,5 S AOD =ab Tương tự S BOC=ab Vậy S ABCD= ( a+b ) d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD H và K 0,25 0,25 ^ 900 nên H, K nằm đoạn CD Do ^ D< C< ^ >^ Ta có A ^E D=B C^ D=C D ⇒ AD> AE Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH 0,25 Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 0,25 2 DB BK DK AH CH AC (Do AH BK ) BD AC HS làm các cách khác đúng chấm điểm tối đa (5)