Tên chủ đề Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con C¸c phÐp to¸n trong N Lũy thừa vµ c¸c phÐp to¸n Dấu hiệu chia hết Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.. Ước chung và Ước chung lớn nhấ[r]
(1)TRƯỜNG THCS LAI ĐỒNG TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Lai Đồng ,ngày tháng năm 2014 KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Môn: Toán Năm học : 2014-2015 stt Tuần Tên chủ đề đến 10 11 Số chính phương và phương trình nghiệm nguyên Bài toán chia hết trên tập hợp số nguyên, số nguyên tố hợp số Bài toán giá trị biểu thức ; biến đổi biểu thức so sánh phân số ; lũy thừa thức bậc hai Bài toán đẳng thức bài toán đẳng thức có điều kiện Phương trình bậc cao phương trình vô tỉ Chứng minh đặc tính hình học chứng minh điểm cố định đường thẳng cố định đại lượng không đổi tìm cực trị hình học Chứng minh bất đẳng thức cực trị đại sô Tổng số tiết Số tiết Ghi chú 7 7 14 56 NGƯỜI LẬP KẾ HOẠCH DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU Phan Văn Đa (2) TRƯỜNG THCS LAI ĐỒNG TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Lai Đồng ,ngày tháng năm 2015 KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Môn : Toán Năm học : 2015-2016 stt Tuần 4-5 6-7 8-9 10 - 11 12 - 14 15-16 17-18 19-20 21- 22 10 11 23-24 25-26 12 13 27 -28 29 -30 Tên chủ đề Số phần tử tập hợp.Tập hợp C¸c phÐp to¸n N Lũy thừa vµ c¸c phÐp to¸n Dấu hiệu chia hết Phân tích số thừa số nguyên tố Ước chung và Ước chung lớn Bội chung nhỏ Cộng hai số nguyên Bài toán tính số đo góc , độ dài Bài toán tia phân giác điểm nằm hai điểm , trung điểm đoạn thẳng Các bài toán phân số Tính số điểm đếm số đường thẳng, số tam giác , số giao điểm Ôn tập phần số học Ôn tập phần hình học Tổng số tiết DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU Số tiết 8 8 8 8 8 6 NGƯỜI LẬP KẾ HOẠCH Phan Văn Đa Chuyên đề 1: Số phần tử tập hợp.Tập hợp Ghi chú (3) 1.Một tập hợp có thể có ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào 2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp tập hợp B, kí hiệu là A B hay B A Nếu A B và B A thì ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B Ví dụ Cho hai tập hợp A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10}; a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử? b) Viết các tập hợp khác tập hợp rỗng vừa là tập hợp tập hợp A vừa là tập hợp tập hợp B c) Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ tập hợp A,B và tập hợp nói câu b) Dung hình vẽ minh họa các tập hợp đó Giải a) Tập hợp A có phần tử , tập hợp B có phần tử b) Vì số là phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì có tập hợp C vừa là tập hợp tập hợp A ,vừa là tập hợp tập hợp B: C = {5} c) C A và C B biểu diễn hình vẽ: Bài tập: Cho hai tập hợp M = {0,2,4,… ,96,98,100}; Q={x N* | x là số chẵn ,x<100}; a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử? b)Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ M và Q 2.Cho hai tập hợp R={m N | 69 ≤ m ≤ 85}; S={n N | 69 ≤ n ≤ 91}; a) Viết các tập hợp trên; b) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử; c) Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ hai tập hợp đó 3.Viết các tập hợp sau và cho biết tập hợp có bao nhiêu phần tử: a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 17 – x = ; b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà 15 – y = 16; c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà 13 : z = 1; d) Tập hợp D các số tự nhiên t , t N* mà 0:t = 0; Tính số điểm môn toán học kì I lớp 6A có 40 học sinh đạt ít điểm 10 ; có 27 học sinh đạt ít hai điểm 10 ; có 29 học sinh đạt ít ba điểm 10 ; có 14 học sinh đạt ít bốn điểm 10 và không có học sinh nào đạt năm điểm 10 dung kí hiệu để thực hiên mối quan hệ các tập hợp học sinh đạt số các điểm 10 lớp 6A , tính tổng số điểm 10 lớp đó Bạn Nam đánh số trang sách các số tự nhiên từ đến 265 hỏi bạn nam phải viết tất bao nhiêu chữ số? Để tính số trang sách bạn Viết phải viết 282 chữ số hỏi sách đó có bao nhiêu trang Chuyên đề C¸c phÐp to¸n N (4) Tính chất giao hoán phép cộng và phép nhân D a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số tích thì tích không đổi Tính chất kết hợp phép cộng và phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Muốn cộng tổng hai số với số thứ ba , ta có thể cộng số thứ với tổng hai số thứ hai và thứ ba Muốn nhân tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ với tích số thứ hai và số thứ ba Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Muốn nhân số với tổng , ta có thể nhân số đó với số hạng tổng cộng các kết lại Điều kiện để thực phép trừ là số bị trừ lớn số trừ Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p cho a= b.p Trong phép chia có dưa; số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác và nhỏ số chia Ví dụ a) Tính tổng các sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng các chữ số số đó Giải a) Ta có + + + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( + 998 ) +(3 + 997 ) … + (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000 b) số 999 có tổng các chữ số 27, vì tách riêng số 999 , kết hợp với 998; với 997 ; với 996;… thành cặp để có tổng 999, thì tổng có tổng các chữ số là 27.vì có 499 tổng ,cộng thêm với số 999 có tổng các chữ số 27.do đó tổng các chữ số nêu trên là 27.50= 13500 Ví dụ Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số đó thì số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu Giải : gọi số có hai chữ số phải tìm là ab đó a ,b là các số tự nhiên từ đến 9.theo đề bài ,ta có: a b = ab hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b Do đó 5a = 4b phép thử trực tiếp ta thấy các số tự nhiên từ đến có a= ,b = thỏa mãn 4a = 5b Số có hai chữ số phải tìm là 54 Bài tập : a) b) c) Tính + + +15 + 23 + ….+ 160; + + + + 14 +….+ 60 + 97; 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen các chữ số đó để tổng 1000 (5) b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen các chữ số đó để tổng 1000 3.Chia các số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn và lớn bao nhiêu? Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để phép tính đúng : a) ab + 36 = ab ; b) abc + acc + dbc = bcc Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ; a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c: b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng các chữ a + b + c Cho bảng vuông gồm ô vuông hình vẽ hãy điền vào các ô bảng các số tự nhiên từ đến 10 (mỗi số viết lần) cho tổng các số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo 10 Kí hiệu n! là tích các số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! Trong tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông ô người ta viết số tự nhiên biết bốn ô tạo thành hình hình vẽ thì tổng các số bốn ô đó hãy chứng tỏ số đó 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có ít chữ số chẵn 9.Cho bảng gồm 16 ô vuông hình vẽ hãy điền vào các ô bảng bảng các số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số 15 29 viết lần.) cho tổng các số cùng hàng, 23 cùng cột , cùng đường chéo 17 27 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) đó số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số đó số liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số này không phải là số dãy đã cho 11 Một số chắn có bốn chữ số, đó số hàng trăm và số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó 12.Tìm các số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 13.Hai người chơi trò chơi bốc viên bi từ hai hộp ngoài.mỗi người đến lượt mình bốc số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cùng cacr hai hộp là người thắng cuộc.biết hộp thứ có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng (6) Bài tập cñng cè Tính giá trị biểu thức cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ; B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết: a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 Tổng hai số 78293.số lớn hai số đó co chữ số hàng dơn vị là ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó thì ta số số nhỏ tìm hai số đó 5.Một phếp chia có thương là dư tổng số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị chia và số chia 6.Tổng hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm số thứ là ,của số thứ hai là gạch bỏ các chữ số và thì hai số có hai chữ số mà số này gấp lần số kia.tìm hai số đó 7.Một học sinh giải bài toán đáng lẽ phải chia số cho và cộng thương tìm với nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với và sau đó lấy tích tìm trừ mặc dù kết đúng hỏi số cần phải chia cho là số nào? Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì thương là và dư 2.tích số phải tìm với là số có chữ số tận cùng là Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiên b thì thương là và dư 35 10 Viết số A bất kì có chữ số ,viết tiếp chữ số đó lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng phép chia này 11 Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thì thương là 233 và số dư là số r nào đó sau bỏ chữ số số M và chữ số số N thì thương không đổi và số dư giảm 1000.tìm số M và N? chuyên đề Lũy thừa vµ c¸c phÐp to¸n Lũy thừa bậc n a là tích n thừa số nhau,mỗi thừa số a: an = a.a…a ; (n thừa số a, n ≠0) 2.Khi nhân hai lũy thừa cùng số , ta giữ nguyên số và cộng các số mũ am an = a(m+n) Ví dụ Hãy chứng tỏ rằng: a) (22)3 = 22 ; (33)2 = 33 ; (54)3 = 3; b) (am)n = a m n ; (m,n N) Giải: a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3 tương tự làm tao có: (33)2 = 33 ; (54)3 = 3; b) Một cách tổng quát ta có (am)n = a m n ; (m,n N) Ví dụ a) Hãy so sánh : 23.53 với (2.5)3 ; 32 52 với (2.5)2; b) Hãy chứng minh : (a.b)n = an bn ; (n ≠ 0); Giải a) 23.53 = 8.125 = 1000; (2.5)3 = 103 = 1000; Vậy 23.53 = (2.5)3 Tương tự ta dễ dàng chưng minh : (a.b)n = an bn ; (n ≠ 0); 32 52 = (2.5)2; Bài tập: (7) Viết các số sau dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số ); b) ; 25; 625; 3125; 2.So sánh các số sau: a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281; 3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa: a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh: a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ; 5.Một hình lập phương có cạnh là m a) tính thể tích hình lập phương; b) cạnh hình lập phương tăng lên lần , lần thì thể tích hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần Trong cách viết hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số? CHUYÊN ĐỀ 4: Tính chất chia hết tổng,mét hiÖu, mét tÝch Tính chất 1.nếu tất các số hạng tổng chia hết cho cùng số thì tổng chia hết cho số đó : a ⋮ m;b ⋮ m; c ⋮ m ⇒ a+b+c ⋮ m Tính chất ,nếu có số hạng tổng không chia hết cho số ,các số hạng còn lại chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó: a m ; b ⋮ m ; c ⋮ m ⇒ a + b + c m Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, đó a và b là các số chia hết cho dư còn c là số chia cho dư a) Chứng tổ tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; chia hết cho b) Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho không? Giải : đặt a = 5n + ; b = 5m + ; c = 5p + ;(n,m,p N) a) từ đó ta có : a + c = (5n + 5p + 5) ⋮ vì các số hạng chia hết cho Tương tự: b + c = 5m + 5p + ⋮ ; a – b = 5n – 5m ⋮ b) a + b + c = 5n+ 5m + 5p + không chia hết cho vì 5; tương tự: a + b – c ; a + c – b Bài tập: 1.Tìm số tự nhiên x để: a) 113 + x ⋮ b) 113 + x ⋮ 13 Chứng tỏ rằng: ab + ba ⋮ 11 ; abc - cba ⋮ 99; 3.Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có và số chia hết cho 3; b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố và số chia hết cho 4; Chứng tỏ : 810 – - 8 ⋮ 55 ; + - ⋮ 11; 81 – 27 - 13 ⋮ 45; 109 – 10 - 10 ⋮ 555; ⋮ 99 thì ab + cd ⋮ 99 và ngược lại 5.Chứng tỏ : số abcd ⋮ 101 thì ab - cd ⋮ 101 và ngược lại 6.Chứng tỏ : số abcd 7.Chứng tỏ rằng: a) Mọi số tự nhiên có ba chữ số giống chia hết cho 37; b) Hiệu số có dạng ab1 và số viết chính các số đó theo thứ tự ngược lại thì chia hết cho 90 (8) Một số có ba chữ số chia hết cho 12 và chữ số hang trăm chữ số hang chục Chứng tỏ tổng ba chữ số số đó chia hết cho 12 CHUYÊN ĐỀ Dấu hiệu chia hết Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho và số đó chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho và số đó chia hết cho 3.Dấu hiệu chia hết cho : các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho và số đó chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là chữ số thì chia hết cho và số đó chia hết cho Ví dụ1 Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn các điều kiên sau: a) Số đó chia hết cho 5; b) Số đó chia hết cho và cho Giải a) Một số chia hết cho thì số đó tận cùng có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905 b)Một số chia hết cho và cho thì số đó tận cùng có hai số có chữ số chia hết cho và cho là: 950 ; 590 ; Ví dụ2 Cho số 123 x 43 y hãy thay x,y các chữ số để số đã cho chia hết cho và ⋮ nên y = y = Giải Số 123 x 43 y Với y = , ta có số 123 x 430 số này phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 ⋮ hay 12 + (x+ 1) ⋮ , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; - Nếu x + = thì x = ,ta 1232430 - Nếu x + = thì x = ,ta 1235430 - Nếu x + = thì x = ,ta 1238430 Với y = , ta có số 123 x 435 số này phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 + ⋮ hay 18 + x ⋮ ,nên x = ; ; ; ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435 Bài tập : Điền chữ số vào dấu * để số : ¿ b) Chia hết cho : ∗ 46 ; 199∗ ; 20 ∗1 ; ¿ ¿ c) Chia hết cho : 16 ∗5 ; 174 ∗ ; 53 ∗6 ; ¿ Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn và chia hết cho 5; b) Nhỏ và chia hết cho 2; Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho và 1995 ≤ n ≤2001 Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho 5 Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên bất kì chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên bất kì chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; (9) Chứng tỏ rằng: a) (5n + )(4n + 6) ⋮ với số tự nhiên n; b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n; Người ta viết các số tự nhiên tùy ý cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn tổng các số đã viết có chia hết cho hay không? Vì sao? Có tờ giấy người ta xé tờ giấy đó thành mảnh lại lấy số mảnh giấy nào đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm đúng hay sai? Cho sáu chữ số : , ,5 ,6 ,7 ,9 a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ các chữ số trên? b) Trong các số lập thành có bao nhiêu số nhỏ 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5? Bài tậpcñng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + 2∗ chia hết cho 3; b) ∗793 ∗ chia hết cho 9; Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà không chia hết cho : ¿ ¿ 51∗ và 745 ∗ ¿ ¿ 3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho mà không chia hết cho ⋮ Phải thay các chữ số x, y chữ số nào để số 123 x 44 y Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho không? 102001 + ; 102001 – Tìm các chữ số x,y biết số 56 x y chia hết cho và Tìm các chữ số x,y biết số 71 x y chia hết cho 445 Tìm tất các số có dạng a 14 b , biết số đó chai hết cho , cho và cho Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , đó có chữ số chia hết cho , biết tổng hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9; d) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4; CHUYÊN ĐỀ : Phân tích số thừa số nguyên tố Phân tích số tự nhiên thừa số nguyên tố là viết số đó dạng tích các thừa số nguyên tố số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố Dù phân tích số thừa số nguyên tố cách nào thì cuối cùng cùng kết Ví dụ Cho sô tự nhiên A = axbycz đó a, b, c, là các số nguyên tố đôi khác nhau, còn x, y ,z là các số tự nhiên khác chứng tỏ số ước số A tính công thức : (x + 1)(y + 1)(z + 1) Giải Số ước số A chứa thừa số nguyên tố a là x, chứa thừa số nguyên tố b là y, chứa thừa số nguyên tố c là z, chứa thừa số nguyên tố ab là xy, chứa thừa số nguyên tố ac là xz, chứa (10) thừa số nguyên tố bc là yz, chứa thừa số nguyên tố abc là xyz.vì A là ước chính nó đó số ước A bằng: x + y + z + xy + yz + xz + xyz + = x(z + 1) + y(z + 1) + xy(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(x + y + xy + 1) = (z + 1)[(x + 1) + y(x + 1)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1) Ví dụ : số B = 233554 thì số ước số B là (3 + 1)(5 + 1)(4 + 1) = 4.6.5 = 120 Bài tập Tìm số tự nhiên nhỏ nhất: a) Có ước; b) Có 15 ước Cho số tự nhiên B = axby đó a,b là các số nguyên tố khác , x, y là các số tự nhiên khác biết B2 có 15 ước hỏi B3 có bao nhiêu ước? Tìm số tự nhiên a , biết 105 ⋮ a và 16 ≤ a ≤ 50 Một trường có 805 học sinh Cần phải xếp hang bao nhiêu học sinh để học sinh hàng là , biết không xếp quá 35 hàng và không ít 15 hàng Số tự nhiên n có tổng các ước n (không kể n) gọi là số hoàn chỉnh (số hoàn thiện , số hoàn toàn) a) Chứng tỏ các số 28,496 là số hoàn chỉnh b) Tìm số hoàn chỉnh n , biết n = p.q đó p,q là các số nguyên tố Tìm số tự nhiên n, biết số n có 30 ước và phân tích thành thừa số nguyên tố thì có dạng n = 2x3y đó x + y = CHUYÊN ĐỀ 7: Ước chung và Ước chung lớn 1Ước chung hai hay nhiều số là ước tất các số đó Bội chung hai hay nhiều số là bội tất các số đó .ƯCLN hai hay nhiều số là số lớn tập hợp các ước chung các số đó Muốn tìm ƯCLN hai hay nhiều số , ta thực ba bước sau: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước : Chọn các thừa số nguyên tố chung Bước : Lập tích các thừa số đó , thừa số lấy với số mũ nhỏ nó.tích đó là ƯCLN phải tìm Chú ý: Hai hay nhiều số có ƯCLN là gọi là các số nguyên tố cùng Trong các số đã cho , số nhỏ là ước các số còn lại thì ƯCLN các số đã cho là số nhỏ đó 3.Muốn tìm ước chung các số đã cho ,ta tìm các ước ƯCLN các số đó Ví dụ1 Tìm số tự nhiên a biết chia 39 cho a thì dư 4, còn chia 48 cho a thì dư Giải Chia 39 cho a thì dư , nên a là ước 39 – = 35 và a > chia 48 cho a thì dư nên a là ước 48 – = 42 và a > đó a là ước chung 35 và 42 dông thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a = Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 và ƯCLN cua chúng 36 Giải Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b vì ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) = theo đề bài tổng hai số 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12 ta phải tìm các cặp số c,d có tổng 12 và (c,d) = các cặp số đó là và 11 ; và 7.các số tự nhiên cần tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 ngược lại Bài tập: 10 (11) a) b) Viết các tập hợp : ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35); BC(8,12,24); BC(5,15,35); Tìm giao hai tập hợp : A={n N : n là ước 18} B={m N : m là ước 36} Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a thì dư 24 , còn chia363 cho a thì dư 43 Có 100 và 90 bút bi Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số và bút thành số phần thưởng gôm và bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như thì còn lại và 18 bút bi không thể chia cho các học sinh.tính sô học sinh thưởng? Gọi G là tập hợp các số là bội ; H là tập hợp các số là bội 18 tìm G H Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 thì vừa hết ,thàng chồng 12 thì thừa cuốn, thành chồng 18 thì thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó Bài tập cñng cè Tìm ƯCLN ác số có chữ số viết các chữ số , 2, ,4, ,6 ,7 ,8 ,9 và số các chữ số khác Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 66 , ƯCLN chúng 12 Tìm số tự nhiên ,biết tích chúng 864 và ƯCLN chúng Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh lớp thành các tổ cho số nam và nữ chia cho các tổ Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi có thể chia nhiều là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy? Biết 3n + và 5n + ( n N) là số không nguyên tố cùng tìm ƯCLN số trên CHUYÊN ĐỀ 8: Bội chung nhỏ 1.BCNN hai hay nhiều số là số nhỏ khác o tập hợp các bội chung các số đó Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số , ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng Bước 3: Lập tích các thừa số đó , thừa số lấy với số mũ lớn nó.tích đó là BCNN phải tìm Chú ý: Nếu các số đã cho đôi nguyên tố cùng thì BCNN chúng là tích các số đó Trong các số đã cho số lơn là bội các số còn lại thì BCNN các số đã cho là số lơn đó 3.Muốn tìm bôi chung hai hay nhiều số , ta tìm các bội BCNN các số đó Ví dụ: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho thì không còn dư a) Tìm số nhỏ có tính chất trên b) Tìm dạng chung các số có tính chất trên Giải a) Gọi x là số phải tìm thì x – ⋮ ( ,3 ,4, , 6) nên x – là bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,… Trong các số trên, số nhỏ chia hết cho là số 301 11 (12) b) Vì x – là bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n N*) và x ⋮ ta có : x = 60n + = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n ⋮ ,do đó để x ⋮ thì phải có 4(n + 2) ⋮ hay n + ⋮ dặt n + = 7k thì n = 7k – (k N*) x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, … Bài tập Tìm BCNN ba số sau : số nhỏ có hai chữ số ,số lớn có ba chữ số và số nhỏ có bốn chữ số Có thể dung chữ số để lập các số có dạng : 2, 22, 22,222, cho số đó: a) là bội không? b) Là bội không? Tìm BCNN(30 , 45) và ƯCLN(30 ,45) thử lại tích BCNN (30 , 45) và ƯCLN(30 , 45) tích hai số 30 và 45 Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học trường lớp khác An ngày trực nhật lần , Bảo 10 ngày trực nhật lần, còn Ngọc này trực nhật lần.lần đầu ba em cùng trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng ngày? Đến ngày đó em đã trực nhật lần? Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số đó thì số chia hết cho bớt thì số chia hết cho ,nếu bớt 10 thì số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào? CHUYÊN ĐỀ 9: Cộng hai số nguyên cùng dấu Muốn cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối chúng đặt trước kết dấu chúng Ví dụ tính tổng các số nguyên x biết: a) - 10 ≤ x ≤ - ; b) < x < 15 Giải a) - 10 ≤ x ≤ - nên x = { - 10 , - , - , - , - , - , - , - , - , - 1} Vậy tổng phải tìm là : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1) = - ( 10 + + + + + + + + + 1) = - 55 b) < x < 15 nên x = { ,7,8,9,10,11,12,13,14} tổng phải tìm là B = + + + + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90 Bài tập: So sánh : a) │3 + 5│ và │3│ + │5│; b) │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│; Từ đó rút nhận xét gì │a + b│ và │a│ + │b│ với a , b Z Điền dấu < , > vào ô trống cách thích hợp: a) + │- 23│ 15 + │- 33│ b)│- 11│ + │- 8│ + │- 2│ c) │- 21│+│- 6│ -7 Tìm x Z biết : a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│ b) │- 3│ + │- 7│ = x + c) +│x│ = │- 8│+ 11; d) │x│ + 15 = - Tìm các cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│= 12 (13) Cho số nguyên đó tổng số bất kì là số nguyên dương Chứng tỏ tổng 31 số đó là số nguyên dương? CHUYÊN ĐỀ 10: Cộng hai số nguyên khác dấu Hai số nguyên đối có tổng Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối chúng (số lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết tìm dấu số có giá trị tuyệt đối lớn Với số nguyên a ta có a + = + a = a Ví dụ Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) đó dấu * dấu “ + “ dấu “ –“ hãy xác định dấu các số hạng để tổng bằng: a) 22 ; b) – 22 ; c) ; d) - Giải Trong câu a và b , giá trị tổng tổng các giá trị tuyệt đối hai số hạng nên đó là phép cộng hai số nguyên cùng dấu dấu tổng là dấu chung hai số hạng đó, ta có : a) (+ 15) + (+7) = 22; b) (- 15) + (- 7) = - 22 Trong câu c và d , giá trị tuyệt đối tổng hiệu hai giá trị tuyệt đối hai số hạng nên đó là phép cộng hai số nguyên khác dấu dấu tổng là dấu số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có: c) (+ 15) + (- 7) = 8; d) (- 15) + (+ 7) = - Bài tập Tính tổng │a│ + b , biết: a) a = - 117 , b = 23; b) a = -375 , b = - 725; c) a = - 425 , b = - 425 Tìm x Z , biết : a) x + 15 = 105 + ( - 5); b) x – 73 = (- 35) + │- 55│; c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│ thay dấu * chữ số thích hợp : a) ( - *15) + ( - 35) = - 150; b) 375 + ( - 5*3) = - 288; c) 155 + ( - 1**) = Tính tổng hai số nguyên: a) Liền tiếp và liền sau số + 15; b) Liền trước và liền sau số - 37; c) Liền trước và liền sau số 0; d) Liền trước và liền sau số a 5.a) Viết số - thành tổng hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn 10 b) Viết số - 15 thành tổng hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn 20 CHUYÊN ĐỀ 11: Tính chất phép cộng các số nguyên Tính chất giao hoán : với a , b Z : a + b = b + a Tính chất kết hợp: với a , b Z : a + ( b + c) = (a + b) + c Cộng với số : với a Z : a + = + a = a 13 (14) Cộng với số đối : tổng hai số nguyên đối luôn luôn 0: : với a Z : a + ( - a) = Nếu tổng hai số nguyên o thì chúng là hai số đối : : với a , b Z : a + b = thì a = - b bà b = - a ví dụ: Tính tổng số nguyên x , biết: a) - 10 < x < 10 ; b) - 10 < x ≤ 10 Giải a) Các số nguyên x thỏa mãn - 10 < x < 10 là x = - , - , -7 ,… , , ,9 Tổng các số nguyên đó là: S = (- 9) + (- 8) + (- 7) + …+ + + = [ (- 9) + 9] + [ (- 8) + 8] + [(- 7) + 7] …= b) Tương tự a) , tổng 10 Bài tập Tính : a) A = + (-3) + + ( - 7) +….+ 17 + ( -19); b) B = (- 2) + + (-6) + + …+ ( - 18) + 20; c) C = + (-2) + + (-4) + ….+ 1999 + ( - 2000) + 2001; Tính tổng các số nguyên x , biết: a) – 50 < x ≤ 50; b) - 100 ≤ x < 100 Hãy điền các số : , - , 2, - , ,- , 6, , 10 vào các ô bảng 3.3 = ô vuông ( số ô) cho tổng ba số trên hàng ngang , hàng dọc , đường chéo Cho các số : - , -4 , - , - , 7, , 11 hãy xếp các số trên cho có số đặt tâm vòng tròn , các số còn lại nằm trên đường tròn đó và ba số bất kí các số trên nằm trên đường thẳng mà tổng chúng và Viết tất các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 50 theo thứ tự tùy ý Sau dod số cộng với số thứ tự nó để tổng hãy tính tổng tất các tổng tìm CHUYÊN ĐỀ 12: Quy tắc dấu ngoặc Quy tắc dấu ngoặc : bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất các số hạng dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ - “ thành dấu “ + “ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước thì dấu các số hạng ngoặc giữ nguyên Tổng đại số: tổng đại số ta có thể : - Thay đổi tùy ý các số hạng kèm theo dấu chúng; - Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng cách tùy ý với chú ý đằng trước dấu ngoặc là dấu “ – “ thì phải đổi dấu tất các số hạng ngoặc Ví dụ Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 Giải áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất tổng đại số ta có: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51) A = - 120 – 80 = - 200 Bài tập Tính nhanh: a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999); b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 ); c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440) Tìm số nguyến x , biết : a) – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289) 14 (15) b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415); c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746 Tính giá trị biểu thức a – b – c , biết: a) a = 45 , b = 175 , c = - 130; b) a = - 350, b = - 285, c = 85; c) a = - 720 , b = - 370 , c = - 250 Cho n số nguyên bất kì : a1, a2 ,…,an chứng tỏ S = │a1 – a2│ + │a2 – a3│+….+│an-1 + an│+│an – a1│ là số chẵn Cho 15 số tự nhiên khác và khác , đó số không lớn 28 Chứng tỏ 15 số dã cho tìm ít nhóm gồm số mà số này tổng hai số còn lại nhóm gồm số mà số này gấp đôi số còn lại CHUYÊN ĐỀ 13: Quy tắc chuyển vế Tính chất đẳng thức : biến đổi các đẳng thức ta thường áp dụng các tính chất sau: Nếu a = b thì a + c = b + c; Nếu a + c = b + c thì a = b; Nếu a = b thì b = a Quy tắc chuyển vế : chuyển số hạng từ vế này sang vế đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ – “ thành dấu “ + “ Ví dụ: Tìm x Z , biết : a) – x = (- 21) – ( - 9) , hay – x = -21 + hay – x = - 12 , đó x = + 12 = 15 b) x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16 Bài tập: Tìm y Z , biết : a) y + 25 = - 63 – ( - 17); b) y + 20 = 95 _ 75; c) 2y – 15 = -11 – ( - 16); d) - _ 2y = - 37 – ( - 26) Cho ba số - 25; 15; x (x Z) tìm x , biết : a) Tổng ba số trên 50; b) Tổng ba số trên - 35; c) Tổng ba số trên – 10 Cho x , y Z Hãy chứng minh rằng: a) x – y > thì x > y ; b) x > y thì x – y > Cho a Z tìm số nguyên x biết: a) a + x = 11 ; b) a – x = 27 Trong trường hợp hãy cho biết với giá trị nào a thì x là số nguyên dương, số nguyên am , số 0? Cho a Z tìm x Z biết a) │x│= a ; b) │x + a│ = a CHUYÊN ĐỀ 14 : 15 (16) bội và ước số nguyên Bội và ước số nguyên : cho a , b Z và b≠ có số nguyên q cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b ta còn nói a là bội b va b là ước a Chú ý : Nếu a = bq thì ta còn nói a chia cho b q và viết a : b = q Số là bội số nguyên khác Số không phải là ước bất kì số nguyên nào Các số và – là ước số nguyên Tính chất: Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c : a ⋮ b và b ⋮ c ⇒ a ⋮ c Nếu a chia hết cho b thì bội a chia hết cho b : ∀ m Z ta có a ⋮ b ⇒ a = am ⋮ b Nếu hai số a ,b chai hết cho c thì tổng và hiệu chúng chia hết cho c a ⋮ c và b ⋮ c ⇒ ( a + b ) ⋮ c và ( a – b ) ⋮ c Ví dụ Tìm số nguyên n , cho: (n - 6) ⋮ ( n – ) Giải (n - 6) ⋮ ( n – ) hay [ ( n – ) – 5] ⋮ ( n – ) suy ( - 5) ⋮ ( n – ) hay (n – 1) là ước ( - 5) Do đó: Nếu n – = -1 thì n = 0; Nếu n – = thì n = 2; Nếu n – = - thì n = -4; Nếu n -1 = thì n = Thử lại: Với n = thì n – = - , n- = -1 và (– 6) ⋮ ( - 1); Với n = thì n – = - , n- = và (– 4) ⋮ 1; Với n = -4 thì n – = - 10 , n- = -5 và (– 10) ⋮ ( - 5); Với n = thì n – = , n- = và ⋮ 5; n = - , , ,6 Bài tập Chứng tỏ : a) Tổng ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3; b) Tổng năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 16 (17) Có hay không hình vuông mà số đo độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tihcs 111… 11 ; ( 2001 chữ số 1)? Tìm số nguyên n cho: (3n + 2) ⋮ ( n – ) (3n + 24) ⋮ ( n – ) (n2 + 5) ⋮ ( n + ) Cho x, y là các số nguyên chứng tỏ 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y chia hết cho 31 điều ngược lại có đứng không? Chứng tỏ với số nguyên n thì : a) ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9; b) ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49; CHUYÊN ĐỀ 15: Phân số Hai phân số a b và c d gọi là : a b = c d Ví dụ Lập các cặp phân số từ bốn năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48 Giải Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24 Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập cặp phân số = 12 24 (1) Để lập các cặp phân số khác ta làm sau: Tráo đổi vị trí số và 24 (1), ta cặp phân số 24 = 12 Tráo đổi vị trí số và 12 (1), ta cặp phân số 12 = 24 Tráo đổi vị trí số và 24 , và 12 (1), ta cặp phân số 24 12 = Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập cặp phân số Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta cặp phân số Vậy có tất 12 cặp phân số nhau: = 12 24 ; 24 = 12 ; 12 = 24 ; 24 12 17 = ; (18) 48 48 ; 24 = 12 24 48 ; 48 12 = 24 ; 24 = 24 ; 24 = = x = y −3 ; = 12 48 ; 48 24 x Ví dụ Tìm các cặp số nguyên x, y biết : Giải Từ 48 ; 48 24 = 12 ; = y −3 = , suy xy = - Để tìm các cặp số nguyên x , y ta phải xét tất các cách phân tích số -6 dước dangjtichs hai số nguyên: ( - 6) = ( - 1).6 = ( -1) = ( -2) = ( - 3) Vì vai trò x , y nên có cặp số nguyên thỏa mãn đề bài : x -1 -6 -3 -2 y -1 -6 -3 -2 Bài tập 1.Viết các phân số sau dạng phân số co mẫu dương: −22 − 37 ; − 19 −11 − 39 ; ; −51 − 57 ; 2.Tìm các số nguyên x,y biết: a) x = ; b) y x y = −3 ; c) 11 x y −1 = − 19 x = y Tìm các số nguyên x , y ,z ,t biết : 12 −6 = x = −y = z = − 17 4.Tìm các số nguyên x, y , z biết : −t −9 − 24 −6 = = z −2 Lập các cặp phân số từ bốn sáu số sau : - ; - ; - ; ; 10 ; 15 Tìm các số tự nhiên a , b , biết a ,b là các số nguyên tố cùng và a+7 b 29 = a+5 b 28 18 (19) CHYÊN ĐỀ 16: Rút gọn phân số Muốn rút gọn phân số ta chia tử và mẫu phân số cho số ước chung ( khác – 1) chúng để phân số đơn gian Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn phân số a b tối giản │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng Ví dụ Chứng tỏ phân số Vì n là phân số tối giản với ∀ n N n+ 3 n+ N at phải chứng minh 5n + và 3n + là hai số nguyên tố cùng N , nên 5n + với ∀ n n+ 3 n+ N* và 3n + N* để chứng minh phân số là phân số tối giản Gọi ƯCLN 5n + và 3n + là d ( d N và d≥ 1) , ta có 5n + ⋮ d và 3n + ⋮ d , đó 3(5n + 3) ⋮ d và 5(3n + 2) ⋮ d suy 5(3n + 2) - 3(5n + 3) ⋮ hay 15n + 10 – 15n – ⋮ d , hay ⋮ n+ d , đó d = phân số là phân số tối giản với ∀ n N n+ Vì dụ tìm phân số phân số Giải ta có: − 188887 , biết tổng tử và mẫu phân số là 211109 − 188887 − 17 − 17 k = Các phân số pahir tìm có dạng 211109 19 19 k Vì tổng tử và mẫu phân số là nên – 17k + 19k = suy k = Vậy phân số phải tìm là : − 17 − 51 = 19 57 Bài tập Rút gọn các phân số sau: a) 23 22 b) −2 ¿ ¿ ¿ ¿ Rút gọn các phân số sau: a) 611 16 2+ 62 126 152 ; b) 12 10 −812 960 2528 +2524 + +25 +1 2530 +2528 + +252 +1 Chứng tỏ với số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản: 15 n+1 a) 30 n+1 b) n3 +2 n n4 +3 n2 +1 19 (k Z , k ≠ 0) (20) Tìm tất các số nguyên để phân số a) Cho phân số phân số là phân số tối giản 13 Phải them vào tử và mẫu phân số , số tự nhiên nào để phân số ? b) Cho phân số phân số 18 n+3 21 n+7 19 Phải thêm vào tử và mẫu phân số , số tự nhiên nào để phân số 44 22 ? 47 Dung chín chữ số từ đến để ghép thành phân số mà phân số : ,3, 4, 5,6 ,7 , 8, Tìm phân số tối giản a b , biết: a) Cộng tử với mẫu với 10 thì phân số phân số đã cho; b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì phân sô gấp lần phân số đã cho Tìm phân số , biết : a) Phân số đó phân số 20 và BCNN tử và mẫu là 360; b) Phân số đó phân số 20 39 và ƯCLN tử và mẫu là 36 Tìm phân số a ab , biết phân số đó phân số 10 Chứng tỏ phân số n 2+1 6a là số tự nhiên với n N thì cá phân số n phân số tối giản CHUYÊN ĐỀ 17: Quy đồng mẫu nhiều phân số Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm sau: Bước : Tìm bội chung các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung 20 và n là các (21) Bươc 2: Tìm thừa số phụ mẫu ( cách chia mẫu chung cho mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Ví dụ Rút gọn quy đồng mẫu số các phân số sau: 5+4 11 ; − − 15 8+10 6+20 và 52 23 72 11 Giải rút gọn các phân số: 5+4 11 7+ − 15 8+10 6+20 4 (5+11) = 4(2 −3) = − 5(3 8− 7) (6+ 3) = 2 72 11 16 11 2 23 7 11 = = = 16 ; 11 = − 10 18 11 = − 10 18 = −5 ; 10 77 = 16 −5 10 ; ; 11 77 Quy đồng mẫu ba phân số : Mẫu chung : 7.9.11 = 693 Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và Vậy : 16 11 = 16 63 11 63 = 1008 693 ; −5 = − 77 77 = −19 11 và − 385 693 ; 10 10 90 = = 77 77 693 Bài tập: Tìm mẫu chung các phân số sau : a) 13 2 và 11 2 ; b) −23 13 Tìm tất cá phân số mà tử và mẫu là các số tự nhiên khác có chữ số , tủ kém mẫu đơn vị và có a) BC các tử là 210; b) BC các mẫu là 210; c) BC các tử và mẫu là 210; Tìm các chữ số a , b ,c để: a) Phân số 36 ab = a + b; 21 (22) b) Phân số 1000 a+b+ c = abc Cho ba phân số: 2929 −101 − 52 − 32 46 95 +6 120 ; ; 2 12 11 1919+ 404 +5 −6 Rút gọn quy đồng mẫu các phân số đó Tìm phân số có mẫu 11 , biết cộng tử với – 18, nhân mẫu với thì phân số phân số ban đầu a) Tìm phân số phân số 18 , có tích tử và mẫu 324; b)Tìm phân số biết tích tử và mẫu là 550 và mẫu phân số chứa các số nguyên tố và CHUYÊN ĐỀ 18: So sánh phân số Với hai phân số cùng mẫu dương , ta có : a) Nếu a < c và b > thì a c < b b b) Nếu a > c và b > thì a c > b b Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu , ta viết chúng dạng hai phân số có cùng mẫu dương so sánh các tử với Phân số nào có tử lớn thì phân số đó lơn Ví dụ: Hãy tìm các phân số , thỏa mãn điều kiện sau: a) Có mẫu là 30 , lớn 17 và nhỏ 17 b) Có mẫu là , lớn −3 và nhỏ −6 Trong trường hợp trên hãy xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn Giải a) Gọi phân số cần tìm là a 30 , đó a Z., ta có: 22 (23) 17 a 30 < < 17 , quy đồng mẫu chung ba phân số ta : 150 < 17a < 180 , đó < a < 11 , mà a = 10 10 30 ; = 150 510 < 17 a 510 < 180 510 ; suy Z nên a = ,10 có hai phân số thỏa mãn đề bài : 30 Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : 17 < < 10 b) Cách làm tươn tự : ta tim ba phân số thỏa mãn đề bài : Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : < −3 < −3 ; −3 < 17 −2 ; −1 −2 −1 < < 5 −6 Bài tập : Điền số thích hợp vào chỗ co dấu … a) − 10 −5 < < < < < ; 23 23 23 23 23 23 b) −1 −1 < < < 30 15 10 Hãy tìm các phân số , cho : a) Có mẫu là 20 , lớn b) Lớn a) Cho phân số nhỏ 5 và nhỏ và nhỏ ; 13 cùng cộng thêm vào tử và mẫu phân số thì phân số tìm lớn hay ? b) Cho phân số nhỏ 13 cùng cộng thêm vào tử và mẫu phân số thì phân số tìm lớn hay ? Cho hai phân số và hãy tìm : a) Năm phân số có tử và mẫu cùng là số dương , cho các phân sô đó lớn b) hai mươi phân số có tử và mẫu cùng là số dương , cho các phân sô đó lớn 23 và nhỏ ; và nhỏ ; (24) c) Có nhận xét gì số các phân số có cùng tử và mẫu cùng là số dương , cho các phân số đó lớn và nhỏ ; −1 Hãy viết ba phân số có mẫu khác , xen hai phân số : −1 và CHUYÊN ĐỀ 19: Tính chất phép cộng phân số Tính chất giao hoán : đổi chỗ các phân số trông tổng thì tổng không đổi Với phân số a b và c d ta có : a b c d + = c d + a b Tính chất kết hợp : muốn cộng tổng hai phân số với phân số thứ ba , ta cố thể cộng phân số thứ với tổng hai phân số còn lại Với phân số = a b +( c d + a b , c d , p q ta có : ( a b + c )+ d p q p ) q Tổng phân số với chính phân số đó : Với phân a a a a số , ta có +0= +0= b b b b Ví dụ : Tính nhanh các tổng sau: a) A = −3 −5 + + + + 7 b) B = −2 −4 −6 −5 −3 −1 + + + + + + + + + + + + + Giải.a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp phép cộng phân số , gộp các phân số có cùng mẫu vào nhóm, ta có : A=( −3 −5 + + )+( + )+ 7 8 = b)Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp phép cộng phân số , gộp các phân số có tổng vào nhóm, ta có : 24 (25) −1 −2 −3 −4 −5 −6 + )+( + )+( + )+( + )+( + )+( + )+ 2 3 4 5 6 7 B=( B = Bài tập: 1.Thực phép tính cách hợp lí , tính các tổng sau: A= −2 −3 1 + + + + 15 57 + B= −1 −5 −3 + + + + 35 + + −1 −1 −7 + + + + 127 18 + 35 C== + −1 36 41 + Tìm các số nguyên x biết : a) + b) −4 − 20 12 − 11 + + + + <x≤ 17 31 17 31 Cho S = −2 −1 + + ≤ x< −3 + + + 7 + −1 −3 + + + + 15 −7 15 1 1 + + +….+ + Hãy so sánh S với 51 52 53 99 100 Ba vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước Nếu mở riêng vòi thì vòi thứ chảy đầy bể , vòi thứ hai chảy và vòi thứ ba giờ.Hỏi: a) Trong giờ, nõi vòi chảy phần bể? b) Trong giờ,cả ba vòi cùng chảy thì phần bể? CHUYÊN ĐỀ 20 : Vẽ đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng Bài Trên tia Ox vẽ OM = 3cm; ON = cm a, Tính MN b, So sánh OM và MN O M N x Bài 2: Trên tia Ox vẽ đoạn thẳng OA = 2cm; OB = cm; OC = cm So sánh BC và BA 25 (26) B A O C x Chỉ dẫn Tính độ dài đoạn thẳng so sánh Bài 55: A, B tia Ox OA = cm, AB = cm Tính OB B A O x B O A x Chỉ dẫn Trường hợp 1: A nằm O, B Trường hợp 2: B nằm O, A Bài : Trên tia Ox vẽ hai điểm A,B: OA = 2cm, OB = 4cm A O B x a, Điểm A có nằm điểm O và B ?- Tính AB c, A có là trung điểm OB không? Vì sao? Bài 4: Ox, Ox’: tia đối vẽ A Ox, OA = cm, B Ox’ : OB = cm Hỏi O có là trung điểm AB không? Vì sao? Bài 5: M đoạn thẳng PQ, PM = cm, MQ = cm, PQ = ? x A M P B O Q CHUYÊN ĐỀ 20 : LUYỆN VẼ GÓC VÀ TÍNH SỐ ĐO CÁC GÓC Bài tập 26 x' (27) Bài 1: Vẽ OB, OC trên nửa mp bờ chứa tia OA gócBOA = 1450 góc COA = 550 góc BOC = ? C B O A Giải Tia OB, OC thuộc nửa mp bờ chứa tia OA Góc COA = 550, góc BOA = 1450 COA < BOA Tia OC nằm hai tia OA và OB AOC COB BOA 550 + COB = 1450 COB = 1450 – 550 = 900 Bài 2: Trên mặt phẳng cho tia Ax Vẽ tia Ay: góc xAy = 500? Vẽ hai tia Ay, Ay’ cho xAy = xAy’ = 500 Bài 3: O xy Ot, Ot’ mửa mp bờ xy Góc xOt = 300 Góc yOt’ = Góc yOt=? Góc tOt’ = ? * Tính góc yOt Vì yOt kề bù với góc tOx Nên yOt + tOx = 1800 yOt + 300 = 1800 yOt = 1500 * Tính góc tOt’ Ot, Ot’ thuộc nửa mp bờ Oy yOt’ < yOt ( 600 < 1500) t' t 600 300 x 27 O y (28) Ot’ nằm Oy, Ot yOt’ + t’Ot = yOt 600 + tOt’ = 1500 tOt’ = 900 Bài 4: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox Vẽ góc xOy = 650 Vẽ góc xOz = 800 a, Nêu cách vẽ hai góc đó b, Tia nào nằm hai tia còn lại 28 (29)