Sáng kiến kinh nghiệm khám phá các bài toán mới bằng tình huống gợi vấn đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHÁM PHÁ CÁC BÀI TOÁN MỚI sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em BẰNG TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ Mơn : Tốn Tác giả: Chu Viết Tấn SĐT: 0989202955 Năm học: 2011- 2012 Mangh■■ng Luôn 123doc Th■a thu■n l■icam s■ tr■ h■u k■t s■ nghi■m t■im■t d■ng s■website mang kho m■i th■ m■ l■i d■n CH■P vi■n nh■ng cho ■■u kh■ng ng■■i NH■N quy■n chia dùng, l■ CÁC s■l■i v■i và■I■U t■t công h■n mua nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N cho tàihi■n ng■■i li■u TH■A tài th■ hàng li■u dùng hi■n THU■N ■■u ■ t■t Khi ■■i, Vi■t c■ khách b■n l■nh Nam Chào online hàng v■c: Tác m■ng tr■ không tài phong thành b■n khác chun ■■n thành tíngì d■ng, v■i so nghi■p, viên 123doc v■i cơng c■a b■n hồn ngh■ 123doc g■c h■o, thơng B■n và■■ n■p có tin, cao th■ ti■n ngo■i tính phóng vào ng■, Khách trách tài to,kho■n nhi■m thu nh■ c■a ■■i hàng tùy123doc, v■i ý cót■ng th■b■n d■ ng■■i dàng s■ dùng ■■■c tra c■u M■c h■■ng tàitiêu li■u nh■ng hàng m■t■■u quy■n cáchc■a l■i123doc.net sau xác,n■p nhanh ti■n tr■ chóng thành website th■ vi■n tài li■u online l■n nh■t Vi■t Nam, cung c■p nh■ng tài li■u ■■c khơng th■ tìm th■y th■ tr■■ng ngo■i tr■ 123doc.net Nhi■u event thú v■, event ki■m ti■n thi■t th■c 123doc luôn t■o c■ h■i gia t■ng thu nh■p online cho t■t c■ thành viên c■a website Mangh■n Luôn Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n cơng ■■ng c■a c■ doanh b■n hồn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n 123doc Sau Th■a Xu■t h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh ng■■i li■u ph■n tài TH■A v■ li■u hàng thơng dùng tríTHU■N hi■u c■a ■■u tin Khi qu■ Vi■t xác khách nh■t, minh Nam Chào hàng uy tài l■nh Tác m■ng tín kho■n tr■ phong v■c cao thành b■n email nh■t tàichuyên ■■n li■u thành b■n Mong v■i nghi■p, viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ■■ng c■a doanh hoàn mang 123doc kýonline v■i h■o, Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính ■■ n■p tơi c■ng cao ■■n cung ti■n tính ■■ng th■i vào c■p trách xác tài ■i■m D■ch xãkho■n th■c nhi■m h■itháng V■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■■c ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c g■i t■ng tài 123doc v■ mô nguyên b■n ng■■i ■■a t■s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c m■c ■ây) email M■c h■■ng quý 100.000 cho b■n tiêu báu, b■n, nh■ng ■ã hàng phong l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau vuingày, n■p lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p không tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mơ ngun b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t u■t phát Nhi■u Mang Ln 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n t■ m■t tr■ t■ h■u ýk■t s■ thú nghi■m t■i ýt■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event t■o kho m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia ki■m t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c ti■n s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N b■ng sang b■ng cho tài ■■nh hi■n tài ng■■i li■u ph■n tài TH■A li■u tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng trí hi■u hi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia nh■t, b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online uy hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác tín m■ng tín kho■n tr■ cao nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n nh■t email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n cơng ■■ng c■a c■ doanh b■n mang hồn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i l■i h■o, Chúng l■i thơng B■n cho 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có c■ng tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i ■■ng tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác xã tài ■i■m D■ch xã to,h■i kho■n th■c nhi■m h■i thum■t tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cótài g■i t■ng th■ tài 123doc nguyên v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t tri d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c tra th■c m■c ■ây) email c■u quý M■c h■■ng quý 100.000 cho tài báu, b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng phong ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u phú, quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a ■a l■i b■n vào d■ng, 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p giàu lòng “■i■u nhanh giàu ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u tr■ thành tr■ nh■p ■■ng 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email th■i vi■n th■i Thu■n mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n ki■n V■” vào Vi■t 123doc cho top sau cho Nam, cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i users website c■p users ■âynh■ng có ■■■c cóph■ thêm thêm tài bi■n g■i thu thu li■u t■t nh■p nh■t nh■p ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■tth■i vìth■ Nam, vìv■y v■y ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racó ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ nh■m nh■m c■p top ngo■i ■áp 3nh■t ■áp Google ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net nhu Nh■n nhuc■u c■u ■■■c chia theo chias■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u li■uch■t ch■t c■ng l■■ng l■■ng ■■ng vàvàki■m bình ki■mch■n ti■n ti■nonline online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Nhi■u Mang Ln 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i không t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t sa II Phần III Kết luận …… … ………………………………… …… … 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………… … 24 sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em MỤC LỤC Trang Phần I Đặt vấn đề ………………………………………………… Phần II Nội dung……………………………………………………… I Những đường sáng tạo toán mới:………… ……………… Khái niệm tình gợi vấn đề……………………… Bài tốn có nhiều tình huống……………………………… Xây dựng toán từ toán ban đầu………………… Một vài phương án khám phá toán chương I hình học 11 thơng qua việc đặt tình gợi vấn đề cho học sinh …………… 17 Các cách tạo tình gợi vấn đề:……………………… Nội dung cụ thể………………………………………………… PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trình giảng dạy cho đối tượng học sinh giỏi ln tìm cách khai thác tư sáng tạo học sinh thông qua tốn từ mức dễ đến khó Việc kích thích sáng tạo học sinh khơng dừng việc giải tốn khó mà cịn, đặt cho học sinh tình gợi vấn đề, toán suy từ toán giải quyết, Tuy việc giải toán chí chưa thể Từ tập sách giáo khoa, giáo viên biết kích thích học sinh sáng tạo tập khác học sinh giải tốn thành công người dạy người học sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát hiện, đào tạo học sinh có khiếu tốn học lực sáng tạo học tốn yếu tố quan trọng giáo viên phải tạo niềm đam mê phát huy tính sáng tạo học sinh Để đáp ứng yêu cầu tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi người giáo viên phải tạo ví dụ nhằm dẫn đến tình mới, tốn mới, phải tạo kích thích học sinh biết khám phá từ ban đầu để sáng tạo kết hay mang tầm cao rộng Đó lí tơi chọn đề tài: “ Khám phá tốn tình gợi vấn đề” Đề tài mà tơi thực có tính khác với báo nghiên cứu đồng nghiệp họ thường chọn theo hướng khai thác từ toán ban đầu áp dụng thêm kết khác để tạo tốn mới, cịn đề tài tơi khai thác tình gợi vấn đề để tạo toán Đề tài thân tự nghiên cứu áp dụng thực nghiệm trường THPT Hoàng Mai năm gần có hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi PHẦN II: NỘI DUNG Thực trạng trường trung học phổ thơng khơng chun vấn đề dạy tốn cho học sinh mức độ dạy cho học sinh thi tốt nghiệp thi đại học Do tâm lí học sinh giáo viên tập trung dạy học phần toán phục vụ cho thi tốt nghiệp đại học, nên việc khai thác thêm nét đẹp tốn học từ định hình thêm khả sáng tạo lực giải toán hạn chế Học sinh biết làm dạng toán quen biết, giáo viên dạy tốn có phương pháp giải rõ ràng mà dạy cho học sinh tự khám phá, tự tìm tịi tốn từ tốn gốc, phương pháp khái qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự chưa ý mức Mặt khác vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT không chuyên thường nhồi nhét kiến thức học sinh khoảng thời gian định (cuối lớp 11 đầu lớp 12 để phục vụ cho kỳ thi chon học sinh giỏi) mà đề cập đến vấn đề phát huy lực sáng tạo học sinh từ ban đầu Trong chương trình đổi sách giáo khoa phương thức giảng dạy nay, sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em học sinh việc chủ động hoạt động học tập lĩnh hội tri thức, việc kích thích tính học tập chủ động học sinh cần thiết tiết dạy lý thuyết đặc biệt tiết luyện tập, ơn tập địi hỏi người giáo viên ln sáng tạo dạy tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức", ''chữa tâp'' qua học sinh thấy hứng thú chủ động tìm tịi từ có I Những đường sáng tạo toán mới: Khái niệm tình gợi vấn đề kiện : Tình gợi vấn đề dạy học tình thõa mãn điều - Tồn vấn đề, tức khó khăn học sinh - Gợi nhu cầu nhận thức, tức học sinh ý thức khó khăn, nhận thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải vấn đề đặt - Khơi dậy niềm tin thân, tức khó khăn vừa sức học sinh, khơi dậy cho họ cảm nghĩ chưa có lời giải đáp vốn kiến thức có tích cực suy nghĩ có nhiều hy vọng giải vấn đề đặt sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Các cách tạo tình gợi vấn đề: Để thực dạy học phát giải vấn đề, điểm xuất phát tạo tình có vấn đề, tốt tình gây cảm xúc làm cho học sinh ngạc nhiên Dưới số cách thường dùng để tạo tình gợi vấn đề nhằm xây dựng toán II Nội dung cụ thể : Bài tốn có nhiều tình : Đây tốn từ thực tế , có nhiều tình nhằm tạo cho em hứng thú tốt việc tìm kiến thức tư Giáo viên sử dụng việc khai thác tiếp cận kiến thức tiết luyện tập Bài toán gốc 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di động cung BC chứng minh MB+MC-MA =0 (1) Cách 1: Bài toán đưa vào phần luyện tập phép biến hình lớp 11 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Hệ thống câu hỏi tình huống: A  Câu hỏi 1: Để chứng minh đẳng thức MB+MCMA=0 ta chứng minh MA-MB=MC Hãy tìm a MA-MB? Trên hình vẽ xác định hiệu MAM' MB? O  Trả lời: Lấy M’ MA để MM’=MB  Câu hỏi: Để chứng minh (1) ta cần chứng minh B C điều gì? M  Trả lời: Ta cần chứng minh AM’=MC  Câu hỏi: Để chứng minh đẳng thức ta vận dụng trực tiếp phép biến hình học? ( Tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, quay, vị tự)?  Câu hỏi: Liệu có phép tịnh tiến biến CM thành AM’? sao?  Trả lời: Khơng xảy phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng Tương tự cho phép vị tự, đối xứng tâm  Câu hỏi: Dựa vào tính chất phép biến hình phép biến hình sử dụng cho tốn này?  Trả lời: Chúng ta sử dụng phép quay?  Câu hỏi: Tại ta dùng phép đối xứng trục?  Trả lời: Vì lúc MM’ AC ( Hoặc MA M’C) có chung đường trung trực, điều vô lý  Câu hỏi: Vậy xác định phép quay đó? Để xác định phép quay ta cần xác định yếu tố nào?  Trả lời: Tâm quay B góc quay 60  Câu hỏi: Liệu Q(B, 60 ) có biến MC thành M’A? chứng minh điều đó? Học sinh xây dựng lại lời giải: - Dùng phép quay tâm B góc quay 60 : - Khi C biến thành A, B biến thành B, M biến thành M’ nằm AM, (Vì tam giác BMM’ ) Vậy MC=AM’, BM=M’M ta suy điều phải chứng minh Với hướng giải giải cách trọn vẹn toán nhiên học sinh lớp 11 việc tính tốn cụ thể đại lượng hình học phẳng có tương đối đầy đủ phương tiện ta gợi ý cho học sinh cách giải thứ hai A Cách 2: Sử dụng định lý sin  HD1: Vì (O,R) cố định, tam giác ABC ta tính độ dài MA, MB, MC?  TL1: Các độ dài thay đổi nên khó tính độ dài   a, 00  a  600  HD2: Nếu đặt MAB O C B sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em tính độ dài khơng? a M  TL2: Ta tính được: MB  2R.sin a , MC  R.sin(60  a) , MA  R.sin(600  a )  HD3: Vậy ta cần chứng minh điều nữa?  TL3: sin(60  a )  sin a  cos a  2 cos a  sin a  sin a  sin(600  a )  MB  MC  MA  2 Qua việc hướng dẫn cho học sinh hệ thống câu hỏi tình thấy tư suy luận logic để tìm lời giải cho tốn hình thành Các em học sinh tự đặt câu hỏi tương tự, tự giải câu hỏi việc giải tốn hay khai thác thêm tốn có kết tốt  sin a  Xây dựng toán từ tốn ban đầu Phần tơi xin giới thiệu số tình gợi vấn đề để tạo số toán từ toán ban đầu, với cách làm việc học luyện tập ôn tập giúp học sinh thấy hứng thú tránh cho giáo viên việc dạy tiết tiết chữa tập , học sinh thấy đa dạng toán học 2.1 Lập toán tương tự tốn ban đầu Cơ sở: Tương tự : - Có đường lối giải giống , phương pháp giống - Có nét giống nội dung - Cùng đề cập đến vấn đề Từ việc đối chiếu so sánh đối tượng đưa giả thuyết tương tự loại trừ Chúng ta toán Bài toán ban đầu: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di động cung nhỏ BC chứng minh MB+MC-MA =0 A1 A2 A2n 2a O sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em * Tình gợi vấn đề 1: Liệu lập tốn tương tự với đa giác có số lẻ cạnh hay khơng? Bài tốn tương tự: Cho (2n+1) - giác M A2n+1 A3 A4 A1 A2 A2 n 1 nội tiếp đường tròn (O,R) A4 A1 A2 n 1 M di dộng cung nhỏ  Liệu có xảy đẳng thức MA1  MA3   MA2 n 1  MA2  MA4   MA2 n ? Hoàn toàn tương tự cách làm ta có A1 A2 n 1 Ta có A1OM  a M chạy cung nhỏ  Đặt  MA1  2R.sin a , MA2  R.sin( … MA2 n 1  R.sin( 2n  a) 2n   2n   a ) , MA3  R.sin( 2  a) 2n  2 n    a )   sin(  a)  MA1  MA3   MA2 n 1  R sin a  sin( 2n  2n     (2n  1)   MA2  MA4   MA2 n  R sin(  a )   sin(  a) 2n  2n    Bài toán hình học thực chất tốn biến đổi biểu thức lượng giác Ta có:  2   2n      (2n  1)  sin a  sin   a    sin   a   sin   a    sin   a  (1)  2n    2n    2n    2n   Chứng minh (1) Do sin  2n   2sin   2n    2   2n  sin a  sin   a    sin   a    2n  2n    2n    2n    a  a  a  a    3   cos     cos     cos     cos      2(2n  1)   2(2n  1)   2(2n  1)   2(2n  1)  VT 2sin   0, nhân vế với sin  a (2n  1)   a (2n  1)  a   a  cos     cos     cos     cos     2  2(2n  1)   2(2n  1)   2(2n  1)  n  (n  1)   sin  a   sin 2n   2n        (2n  1)  sin   a    sin   a    2n  2n    2n    2n   2      a a a a  cos    cos     cos     cos      2  2n    2n    2n     2sin  sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em VP.2sin sa n  n   a (n  1)  a a a  cos     cos     cos    cos     2n    2n   2  2n   n  n   sin  a   sin 2n   2n   Suy điều phải chứng minh Vậy ta có tốn: Bài toán 1.1 Cho (2n+1)- giác A1 A2 A2 n 1 nội tiếp đường tròn (O,R) A1 A2 n 1 ta có M di dộng cung nhỏ  MA1  MA3   MA2 n 1  MA2  MA4   MA2 n Nhận xét: Trong trình gợi tình để tạo tốn 1.1 giáo viên cần khơi gợi tính tương tự cách giải toán ban đầu phải cho học sinh kiểm chứng đồ dài MAi có tương tự kết tốn ban đầu hay không? Vấn đề chứng minh đẳng thức lượng giác phải trải qua kinh nghiệm giải toán lượng giác tính tổng hữu hạn dãy số 2.2 Đặc biệt hóa tốn trường hợp đơn giản: *Tình gợi vấn đề 2: Như với đa giác có số đỉnh lẻ ta giải câu hỏi đặt cho với n chẵn ta có kết nào? Trong chờ đợi kết đẹp giải tình với trường hợp đơn giản + Ta xét toán với n=2: Cho AB đường kính (O) M di động nủa đường tròn Liệu kết tương tự có xảy hay đẳng thức MA=MB có tồn tại? Rõ ràng ta thấy M di chuyển đẳng thức MA=MB không   2a MA  2R.sin a MB  2R.cos a Với định hướng đặt góc ta có MOB  cos(  a) MB (2) hay MA  tan a.MB  cos a Bài tốn 1.2 Cho AB đường kính (O) M di động nửa đường tròn  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em cos(  a)  MB MOB  2a MA  cos a *Tình gợi vấn đề 3: Ta xét trường hợp với n=4 ta tìm đẳng thức tương tự: Khi M chạy cung nhỏ AD AOM  2a Đặt   MA  2R.sin a, MB  2R sin(  a) A D  MC  2R.cos a, MD  2R cos(  a) Ta tìm hệ thức tương tự (2) nghĩa MA+MC=k(MB+MD) Thật M 2a O B a C MA2 n  R.sin( Khi ta có (2n  1)  a) 2n  ( n  1)    a)  MA1  MA3   MA2 n 1  R sin a  sin(  a )   sin( n n    (2n  1)   MA2  MA4   MA2 n  R sin(  a )   sin(  a)  2n 2n       ( n  1)   sin a  sin   a    sin   a   cos a  n n      2    2   sin a  sin   a   sin  sin   a   sin  n n n   n  ( n  1)  ( n  1)   sin   a   sin n n   sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em       (2 n  1)   sin   a    sin   a   cos(  a)  2n 2n      2n  2 n     (2 n  2)   sin   a    sin  sin   2a   s in  sin a  sin n n n 2n  2n    Vậy ta có tốn tổng qt Bài tốn 1.4 : Cho đa giác 2n-cạnh A1 A2 A2 n nội tiếp đường tròn (O,R)  ta có M di dộng cung nhỏ  A1 A2n đặt 2a  MOA   cos   a   2n  MA  MA   MA MA1  MA3   MA2 n 1   n  (*) cos a Nhận xét: Vậy kết (*) kiểm chứng Điều cho thấy trường hợp tổng quát khó giải đưa trường hợp đặc biệt để giải từ áp dụng tương tự giải toán tổng quát 11 2.3 Khái qt hóa tốn: * Tình gợi vấn đề 5: Từ tốn ta lập tốn khái qt nó: Bài tốn 1.5: Cho tam giác ABC M điểm di động góc A Chứng minh MB  MC  MA Chứng minh: Áp dụng phép đồng dạng cách Kẻ AD BD cho   CAM ,  BAD ABD   AMC MAC  BDA ta có MC MA CA   BD BA DA A B D (1) MB MA  (2) CD CA Từ (1) (2) ta có MC.BA  MA.BD, MB.CA  MA.CD từ MBA  CDA Vậy C M  MB  MC  a  MA  BD  CD  sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Mà BD  CD  BC  a nên MB  MC  MA Dấu xảy D nằm  đoạn BC  ABD   ABD   AMC  600 nghĩa M nằm cung nhỏ BC *Tình gợi vấn đề 6: Từ tốn khái qt hóa này đặt giả thuyết: liệu xảy điều với toán tương tự cho đa giác hay khơng hay nói cách khác tốn 1.1, 1.4 có tốn khái qt hóa hay khơng? Vấn đề đặt thân tơi học sinh tìm hướng giải 2.4 Lập tốn đảo: *Tình gợi vấn đề 7: Từ toán kết tốn khái qt ta lập tốn đảo nó: Bài tốn 1.6: Cho tam giác ABC M điểm di động góc A thõa mãn  đường tròn ngoại MB  MC  MA Chứng minh M nằm cung nhỏ BC tiếp tam giác ABC Từ toán đảo đặt giả thuyết: liệu xảy điều với tốn tương tự cho đa giác hay khơng hay nói cách khác tốn 1.1, 1.4 có tốn đảo hay khơng? 12 2.5 Thay đổi số yếu tố toán ban đầu : Khi thay đổi số yếu tố toán cho chăn tốn thay đổi Nhưng mục đích để làm ? Các bạn trả lời câu hỏi , học sinh thấy dễ làm tốn ban đầu , khó tổng hợp hơn, rộng *Tình gợi vấn đề 8: Chúng ta nhìn tốn với cách phát biểu khác: Bài toán 1’: Trong mặt phẳng cho tia phân biệt Mx, My, Mz biết   600 ,  xMy yMz  600 Một đường tròn qua M cắt tia tương ứng A, B, C Chứng minh MA+MB=MC M Bài toán 1.1’: Trong mặt phẳng cho 2n+1 tia Mx1 , Mx2 , , Mx2 n 1 biết   x Mx2  x1 Mx2   x2 n 1 Mx1   2n  A C z O x y sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Một đường tròn qua M cắt tia B tương ứng A1 , A2 , , A2 n 1 Chứng minh MA1  MA3   MA2 n 1  MA2  MA4   MA2 n A1 x1 M A2n+1 A2n A2 x2 Bài toán 1.4’: Trong mặt phẳng cho 2n tia x2n+1 x2n O A3 x3     Mx1 , Mx2 , , Mx2 n biết x Mx2  x1 Mx2   x2 n Mx2 n  x2 n Mx1  Một đường tròn qua M cắt tia tương ứng 2n  A1 , A2 , , A2n 2a  MOA   cos   a   2n  MA  MA   MA  Chứng minh MA1  MA3   MA2 n 1  2n  cos a Các cách chứng minh toán 1’, 1.1’, 1.4’ hoàn toàn tương tự khẳng định đa giác A1 A2 A2 n 1 , A1 A2 A2 n 13 *Tình gợi vấn đề 9: Với cách xây dựng liệu xây dựng tốn khơng gian hay khơng? Bài tốn 1.7: Trong khơng gian cho hình chóp đa giác S A1 A2 A2 n mặt cầu đí qua đỉnh S cắt tia SA1 , SA2 , , SA2 n B1 , B2 , , B2 n Chứng minh  SB2i   SB2 j 1 n n i 1 j 1 Giải: Sử dụng cơng cụ vectơ ta giải tốn sau: Gọi SS’ đường kính mặt cầu Khi i 1 i 1  n  SA SB  SS ' SB2 j 1  j 1 j 1 n j 1 sa  n  SA SB  SS ' SB2i  2i 2i n sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em SB1  S ' B1 , SB2  S ' B2 , , SB2 n  S ' B2 n   SS '.SA1  SA1.SB1   SS '.SA2  SA2 SB2   SS '.SA2 n  SA2 n SB2 n j 1 Nhưng A1 A3 A2 n 1 , A2 A4 A2 n đa giác nên  n     SA SA n  j 1  2i SO ta có điều phải chứng minh n j 1 i 1 Nhận xét: Trên số hướng khai thác thêm toán từ tốn gốc ban đầu Q trình tìm tịi lời giải toán tạo cho ta phương án xây dựng tốn tổng qt có phương án giải tương tự nhau… Nếu người giáo viên biết khơi dậy niềm đam mê tìm tịi sáng tạo học sinh kết dạy học ngày nâng cao hơn, kích thích tính tự học, tự nghiên cứu học sinh 14 Chúng ta tiếp tục khai thác thêm toán gốc khác phương án Bài toán gốc 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di động đường tròn chứng minh S  MA2  MB  MC khơng đổi HD: Đây tốn sách tập hình học 10 hướng dẫn học sinh giải công cụ vectơ cách đơn giản, yêu cầu học sinh làm theo phương án đặt góc tốn ta có kết S  MA2  MB  MC  R Từ tốn khai thác toán khác theo hướng - Hướng 1: Tổng quát theo số đỉnh đa giác - Hướng 2: Tổng quát theo số mũ Bài toán 2.1: Cho đa giác n-cạnh A1 A2 An nội tiếp đường tròn  O; R  điểm M di động đường tròn Chứng minh S2  M    MAi không n đổi ( Bài tốn sách tập Hình học nâng cao 11) i 1 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài toán dễ dàng giải phương pháp vectơ áp dụng cách đặt góc giải Sau hướng dẫn học sinh khám phá kết tương tự toán tổng quát theo số mũ Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  điểm M di động đường tròn Tìm giá trị tự nhiên k cho tổng Sk  M   MAk  MB k  MC k khơng phụ thuộc vị trí M Phân tích:   Rõ ràng k=1 khơng thoả (?) k=2 thoả Có thể cm tổng MA2  MB  MC không phụ thuộc M cách dùng công thức tâm tỉ cự Với k  việc tính tổng Sk  M  trở nên phức tạp, với k lẻ ta khơng cịn dùng cơng cụ vectơ để tính tổng Cịn với k chẵn k=4 ta cần tính tổng: S  M   MA4  MB  MC , S tính theo S cách dùng đẳng thức nhiên tính tốn dài cách mở rộng cho số mũ k lớn 15   2 Do tính đối xứng nên ta giả sử M   AC , Đặt MOA dùng định lý hàm sin ta tính được:     MA  R sin  , MB  R sin     , MC  R     3  3  M A D Khơng tính tổng qt ta cho R=1 Khi      Sk  M   2k sin k   sin k      sin k      3  3   toán trở thành: Tìm giá trị k cho tổng 2a O B a C     S 'k  sin k   sin k      sin k     không phụ thuộc  3  3  Để cho tiện ký hiệu S 'k Sk Ta nhận thấy     Sk  sin k   sin k      sin k     3  3   2     sin k   sin k      sin k     3    sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  2  xét góc t1   , t2       , t3    3  Dễ kiểm chứng sin 3ti  sin 3  i  1, 2,  đó: sin 3  sin 3ti  3sin ti  sin ti Suy số xi  sin ti nghiệm phương trình x3  x  sin 3  k k k Từ ta tính tổng: Tk  x1  x2  x3 Nhờ vào công thức truy hồi 4Tk  3Tk 2   sin 3  Tk 3 3  tổng đầu tiên: T0 , T1 , T2  T0  3, T1  0, T2   2  Tuy nhiên ý chưa phải tổng mà ta cần tính vì:   x2   sin     3    k Do với k chẵn Sk  Tk , cịn k lẻ S k  Tk  2sin    Ta xét số trường hợp : K=4: S4  T4  T2  sin 3 T1    3 16 Bài toán 3.1: Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O,R) điểm M di động đường trịn Tìm giá trị tự nhiên k cho tổng Sk  M   MAk  MB k  MC k  MD k khơng phụ thuộc vị trí M Với hướng giải tương tự ta   MA  2R.sin a, MB  2R sin   a  4    MC  2R.cos a, MD  2R cos   a  4  Khơng tính tổng qt ta cho R=1 Khi      S k  M   k sin k a  sin k   a   cos k a  cos k   a   4  4   tốn trở thành: Tìm giá trị k cho tổng sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em     S 'k  sin k a  sin k   a   cos k a  cos k   a  không phụ thuộc a 4  4  Đến phương án giải tương tự Đến việc tổng qt cho tốn n-giác có hy vọng giải quyết, tác giả xây dựng cách giải chưa có kết tốt 17 Một vài phương án khám phá toán chương I hình học 11 thơng qua việc đặt tình gợi vấn đề cho học sinh Thực tế giảng dạy trường Trung học phổ thông thực phần dạy học phép biến hình 11 chúng tơi luyện tập cho em số toán tiếng nhà tốn học từ đặt toán mở rộng theo hướng mặt phẳng không gian để học sinh nghiên cứu giải quyết: a Dạy tiết luyện tập phép vị tự: Bài toán 4: Bài toán đường thẳng đường tròn Ơle Cho tam giác ABC G, H, O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh G, H, O nằm đường thẳng ( Đường thẳng Ơle) b) Chứng minh trung điểm cạnh M,N,P, chân đường cao A’, B’ , C’, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh E, P, F điểm năm đường tròn (Đường trịn Ơle) A Đây tốn giới thiệu sách H tập 11 Bài toán có nhiều cách giải E C' phép biến hình Trong tiết luyện tập Phép N P H tịnh tiến, phép đối xứng tâm, trục, phép vị tự O H B' G I yêu cầu học sinh sử dụng phép Q F biến hình để giải toán C B A' M *Tình gợi vấn đề: Chúng tơi H thường đặt câu hỏi sau giải xong sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em tốn: Liệu mở rộng hay tổng quát toán hay khơng? Bài tốn giải mặt phẳng liệu cịn khơng gian, tam giác có đường thẳng Ơle, đường trịn Ơle liệu tứ diện có kết kết cịn mang tên Ơle hay mang tên khác? Và chúng tơi đề xuất tốn khơng gian tứ diện trực tâm ABCD cho em tự nghiên cứu Bài toán 4.1 Cho tứ diện trực tâm ABCD với H trực tâm, G, O trọng tâm , tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện a) Chứng minh H, G, O thẳng hàng G trung điểm HO b) Chắng minh rằng: Các trực tâm, trọng tâm mặt, điểm chia đoạn thẳng HA, HB, HC, HD theo tỉ số 1:2 nằm mặt cầu 18 b) Dạy luyên tập phép đối xứng tâm Bài toán 5: Bài toán Haruki hay tốn “con bướm” Cho đường trịn (S) dây cung MN I trung điểm MN Qua I vẽ dây cung AB CD AD cắt MN E, BC cắt MN F Chứng minh I trung điểm EF Bài toán em giới thiệu cấp hai q tiếng có nhiều lời giải Chúng yêu cầu học sinh khối 11 giải tốn tiếng phép biến hình mà cụ thể sử dụng phép đối xứng tâm có nhiều em tham gia giải tốn Lời giải tóm tắt: Qua phép đối xứng tâm I ta chứng minh ảnh E F D' C A M E F I A' O N B D Đ I : AID  A ' ID ' Đ I : (O)  (O ') ta có MN trục đẳng phương đường tròn (O) (O’) Lại có IA.IB  IC.ID  IC.ID '  IA '.IB nên C,D,B,A nằm đường tròn (O’’) CB trục đẳng phương (O) (O’’), D’A’ trục đẳng phương (O’) sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em (O’’) trục đẳng phương MN, CB, A’D’ đồng quy F hay I trung điểm EF sa Bài tốn mở rơng khơng gian: Bài tốn 5.1: Trong khơng gian cho mặt cầu tâm O dây cung MN có định Qua I trung điêm MN vẽ dây cung AA’, BB’, CC’ Mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) cắt đường thẳng MN E F Chứng minh I trung điểm EF ( Đây toán T12/346 báo Toán học tuổi trẻ năm 2006 toán chứng minh phương pháp vectơ) Ở giới thiệu cách giải phép biến hình Xét bổ đề: Cho mặt cầu (S) I điểm nằm (S), mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) M điểm di chuyển (C) đường thẳng IM cắt mặt cầu (S) điểm thứ M’ chứng minh M chạy đường trịn cố định ( Đây tính chất phép nghịch đảo không gian) Chứng minh bổ đề: Từ I kẻ đường thẳng d vng góc với (P) I’ d lấy J cho II '.IJ  IM IM '  IO  R Vì I cố định, (P) cố định nên I’ cố định J       cố định Từ hệ thức ta có II ' M  IM ' J  900 hay M’ ln nhìn IJ góc 19 vng tức M’ năm mặt cầu (S’)cố định nhận IJ làm đường kính Do M ln nằm giao điểm mặt cầu (S) (S’) hay M’ ln nằm đường trịn cố định Chứng minh định lý Haruki không gian Nối BE ké dài cắt mặt cầu P P thuộc đường trịn (ABC) Ta có ĐI: ( ABC )  ( A1 B1C1 ); P  P1 P1 nằm đường trịn ngoại tiếp A1B1C1 Và ta có IA '.IA1  IB '.IB1  IC '.IC1 điểm       A’,B’,C’, A1, B1, C1 thuộc mặt cầu (S1) đường tròn ( A1B1C1) thuộc (S1) Nối IP1 cắt mặt cầu (S1) điểm P’ P’ thuộc đường tròn ngoại tiếp (A’B’C’) (Theo bổ đề ) Và B, P, I, B’,P’, M, N nằm mặt phẳng sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em (Q), mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (K) F giao B’P’ MN ứng dụng định lí Haruki đường trịn (K) với I trung điểm dây cung MN: dây cung BB’, PP’ cắt MN E F I trung điểm EF Bài tốn khơng gian giải c) Dạy luyện tập phép quay Bài toán 6: Bài toán Napoleon “ Nếu cạnh hình tam giác bất kì, phía ngồi ta dựng tam giác tâm tam giác đỉnh tam giác ” Hướng dẫn giải: Sử dụng phép quay 120 : ECF  EAF ' Q120 : DBF  DAF ' , QE D 0 A F D C B E Rõ ràng ta chứng minh tam giác DEF tam giác từ suy điều phải chứng minh Từ tốn Napoléon ta suy kết đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy điểm điểm gọi điểm Toricelli Hướng đẫn học sinh giải toán Toricelli: 20 Bài toán 7: Cho tam giác nhọn ABC chứng minh điểm Toricelli điểm có tổng khoảng cách tới đỉnh tam giác ABC nhỏ Chúng hướng dẫn học sinh giải toán phép quay: D A Gọi M điểm Q : AMC  AND 600 A ACD tam giác M MA+MB+MC=BM+MN+ND tổng nhỏ C B, M, N, D thẳng hàng theo thứ tự đó, tương tự B với phép quay đỉnh B, C ta làm xuất tốn Napoléon tổng MA+MB+MC nhỏ M điểm Toricelli N Bài toán mở rộng toán Toricelli Bài tốn 7.1: Tìm điểm M tứ diện ABCD cho tổng MA+MB+MC+MD nhỏ Hướng dẫn: Gọi A1 ,A2 hình chiếu A lên mp(BCD) AM  MA2  AA  AA1 tương tự cho đỉnh lại Mặt khác tổng khoảng cách từ điểm tứ diện tới mặt độ dài đường cao tứ diện sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em MA  MB  MC  MD  3.AA1 dấu xảy M tâm tứ diện sa Bài tốn 7.2: Trong khơng gian cho tứ diện Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm đến đỉnh tứ diện nhỏ điểm trùng với tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện cho Bài toán 7.3: Cho tứ diện cân ABCD với AB=CD=a; BC=AD=b; AC=BD=c M điểm tùy ý khơng gian Tìm giá trị nhỏ biểu thức T=MA+MB+MC+MD HD: ABCD gần nên trọng tâm tứ diện tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Do OA  OB  OC  OD  OA=OB=OC=OD=R                 MA OA  MA.OA  MO  OA OA  MO.OA  R R R R R         Tương tự MB  MB OB  MO.OB  R MC  MO.OC  R , MD  MO.OD  R R R R R       Vậy MC  MB  MC  MD  MO OC  OC  OC  OC  R  R R Ta có: MA    T nhỏ M trùng với O T  R   a  b  c  21 Bài toán 7.4: Bài toán tổng quát cho tứ diện trực tâm.( Chứng minh tương tự) Cho tứ diện trực tâm ABCD M điểm nằm tứ diện chứng minh: MA.S BCD  MB.SCDA  MC S DAB  MD.S ABC  9.V d) Dạy luyện tập phép đối xứng trục Bài toán (Định lý Fagnano ) Trong tất tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC tam giác có đỉnh chân đường cao ABC (gọi tam giác trực tâm) có chu vi nhỏ trục: Hướng dẫn: Sử dụng phép đối xứng Đ AB : M  M Đ CD : M  M A M2 P N M1 B M C Khi MN  NP  PM  M 1P  PN  PM  M 1M dấu xảy M1, P, N, M2 thẳng hàng mặt khác tam giác AM1M2 tam giác cân có góc đỉnh A góc tù khơng đổi (= góc BAC) M1M2 nhỏ AM2 nhỏ hay AM nhỏ M chân đường cao hạ từ A Tương tự để chu vi MNP nhỏ N, P chân đường cao hạ từ B, C sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Bài toán mở rộng khơng gian: Bài tốn 8.1: Cho tứ diện ABCD Hãy tìm mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) điểm X, Y, Z, T cho tổng độ dài cạnh tứ diên XYZT nhỏ (Đây toán T10/255 báo Toán học&Tuổi trẻ) 22 PHẦN III KẾT LUẬN Kết đề tài:  Đây đề tài có tính mới, chưa thấy kết nghiên cứu tác giả khác tương tự  Đề tài phát huy tiềm phát triển tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi  Đề tài đồng nghiệp xem xét đánh giá cao tính mới, tính sáng tạo, góp ý kiến nhiều vận dụng thực tế dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi  Đề tài xây dựng số dạng tập gốc phần đầu hình học 11 để học sinh sáng tạo, khai thác toán khác thơng qua việc tạo tình gợi vấn đề dạy học  Đề tài trình bày số phương pháp nhằm kích thích hứng thú sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em tự chủ hoạt động học tập học sinh việc tạo toán tình khai thác kết hay hướng giải toán để tạo tốn làm cho việc học tốn khơng đơn điệu mà ln cần sáng tạo cho đa dạng Đằng sau toán vấn đề mà giáo viên học sinh cần phải khám phá, có thấy hay phong phú Phương pháp áp dụng giảng dạy đặc biệt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, em tự phát hiện, tự giải nhiều tốn hơn, khó từ tốn ban đầu Vì thời gian khn khổ không cho phép nên chưa nghiên cứu thêm toán phần khác Hẳn sáng kiến cịn nhiều sai sót chưa sâu sắc Tơi mong bạn đồng nghiệp bạn đọc đóng góp ý kiến để sáng kiến tơi hồn thiện Kiểm chứng kết thực hiện: + Qua số liệu thống kê làm học sinh giỏi cho thấy học sinh biết cách khai thác sáng tạo tốn khơng nội dung hình học mà cịn nội dung đại số lượng giác + Tôi nhận nhiều chuyên đề em học sinh tự đúc rút sau phổ biến sáng kiến cho vài lớp, có vài kết mang tính sáng tạo cao + Với lớp giỏi: Số liệu kết học tập lớp kiểm chứng 11A1 Trường THPT Hoàng Mai (đây lớp tập trung học sinh giỏi) từ 23 năm học 2011-2012 : lớp 11A2 lớp đối chứng Số liệu thống kê qua kiểm tra học có áp dụng chương trình tốn sau : + Kết kiểm tra đợt thực nghiệm cho lớp thực nghiệm lớp đối chứng Lớp thực nghiệm: 11A1: 20 em ngẫu nhiên Lớp đối chứng: 11A2: 20 em ngẫu nhiên Bảng thực nghiệm Học sinh Nhóm thực nghiệm KT đầu KT trước tác KT sau tác năm động động 7.5 5.5 6.5 6.5 6 6.5 6.5 6.5 10 9.5 12 7 11 13 14 15 9 7 7.5 9.5 7 8 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 7.5 9.5 Môt(mode) 7.00 Giá trị trung bình(average) 7.0 7.0 7.20 Độ lệch chuẩn(stdev) P(ttess) 8.5 8.5 7 6.5 7.5 7 Trung vị(median) 7 8.5 7.5 6.5 20 8.5 6.5 19 6.5 7 7.5 6.5 6.5 6.5 8.5 7.5 18 6.5 17 7.5 7.5 7.5 KT đầu KT trước tác KT sau tác năm động động 9.5 16 Nhóm đối chứng 7 7 6.5 7.5 8 7.5 8 7.5 7.5 7.0 7.0 8.0 7.0 8.0 7.0 7.35 8.10 7.13 7.33 7.55 1.06 0.83 1.02 0.79 0.92 0.0432 7.0 0.72 7.3 0.67 7.5 0.56 Điểm trung bình nhóm thực nghiệm: 8,10 điểm, lớp đối chứng: 7,55 điểm cho thấy: Điểm trung bình, tỷ lệ kiểm tra đạt loại khá, giỏi lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng 24 - Trong bảng thực nghiệm cho thấy kết kiểm tra nhóm đối chứng có độ lệch chuẩn khơng q cao sau có tác động chứng tỏ đồng kiểm tra có hiệu - Phép kiểm chứng t-test độc lập giúp xác định xem chênh lệch giá trị trung bình hai nhóm khác có khả xảy ngẫu nhiên hay không Trong phép kiểm chứng t-test độc lập, tính giá trị p, đó: p xác xuất xảy ngẫu nhiên Với mức ý nghĩa p = 0,0432< 0,05 giá trị p 0,0432 phép kiểm chứng t-test có ý nghĩa kết khơng có khả xảy ngẫu nhiên Vậy ta đưa giả thuyết kết điểm trung bình tỷ lệ đạt loại giỏi dạy phương pháp đưa tốt so với kết dạy phương pháp cũ Điều khẳng định thêm tiến tích cực tác động mang lại sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] 200 vơ địch tốn: Đào Tam NXB Giáo dục 1997 [2] GPƠLIA, Giải tốn nào, NXB Giáo dục 1997 [3] GPƠLIA, Sáng tạo tốn học, NXB Giáo dục 1997 [4] Sách giáo khoa sách tập hình học 11 [5] Báo tốn học tuổi trẻ [6] Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 25 ... em Các cách tạo tình gợi vấn đề: Để thực dạy học phát giải vấn đề, điểm xuất phát tạo tình có vấn đề, tốt tình gây cảm xúc làm cho học sinh ngạc nhiên Dưới số cách thường dùng để tạo tình gợi vấn. .. Những đường sáng tạo toán mới: ………… ……………… Khái niệm tình gợi vấn đề? ??…………………… Bài tốn có nhiều tình huống? ??…………………………… Xây dựng toán từ toán ban đầu………………… Một vài phương án khám phá toán chương... nhằm dẫn đến tình mới, tốn mới, phải tạo kích thích học sinh biết khám phá từ ban đầu để sáng tạo kết hay mang tầm cao rộng Đó lí tơi chọn đề tài: “ Khám phá tốn tình gợi vấn đề? ?? Đề tài mà tơi