Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
Phương pháp tích phân phụ PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍCH PHÂN PHỤ I) Lý thuyết: Giả sử ta phải tính tích phân I. + Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J và I - J thực hiện được dễ dàng. + Tính I + J và I - J Nếu I + J = a và I – J = b thì I = ½(a+b) ►Chú ý: Nếu I – J = b mà b = 0 thì I = J. Trường hợp này thay cho việc tính I – J ta có thể chứng minh I = J (Nếu việc tính I – J khó khăn) II) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1) Tính các tích phân sau: 2 6 0 cos cos2 xdx I x π = ∫ Giải: Xét thêm tích phân 2 6 0 sin cos 2 xdx M x π = ∫ Ta có: 2 2 6 6 6 0 0 0 cos sin cos2 cos2 cos 2 xdx xdx dx I M x x x π π π + = + = ∫ ∫ ∫ Đặt 2 2 2 t anx (1 tan ) (1 ) 1 dt t dt x dx t dx dx t = ⇒ = + = + ⇒ = + Khi 0 0 ; 3 / 3 6 x t x t π = → = = → = ; 2 2 1 os2 1 t c x t − = + Vậy I + M = 2 2 2 2 3/3 3/3 3/3 3/3 3/3 0 0 0 0 0 1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) . 1 1 1 2 (1 )(1 ) 2 1 1 t dt dt t t d t d t dt t t t t t t t + − + + + − ÷ = = = − ÷ − + − − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ( ) 3/3 3/3 0 0 1 1 1 1 3 3 ln 1 ln 1 ln ln 2 2 1 2 3 3 t t t t + + = + − − = = ÷ − − Mặt khác: 2 2 6 6 6 6 0 0 0 0 cos sin os2 cos2 cos 2 cos 2 6 xdx xdx c x I M dx dx x x x π π π π π − = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 3 ln 4 12 3 3 I π + ⇒ = + − Ví dụ 2) Tính các tích phân sau: 4 1 tan 0 dx J x π = ∫ + Giải: 1 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân phụ 4 4 cos . 1 tan cos sin 0 0 dx x dx J x x x π π = = ∫ ∫ + + . Xét thêm tích phân M = 4 sin . cos sin 0 x dx x x π ∫ + Ta có: 4 4 (cos sin ). cos sin 4 0 0 x x dx J M dx x x π π π + + = = = ∫ ∫ + Mặt khác: /4 0 4 4 (cos sin ). (cos sin ) ln cos sin ln 2 cos sin cos sin 0 0 x x dx d x x J M x x x x x x π π π − + − = = = + = ∫ ∫ + + 1 ln 2 2 8 J π ⇒ = + Ví dụ 3) Tính các tích phân sau: 4 3 2 cos sin cos xdx K x x π π = ∫ + Giải: Xét thêm tích phân 4 3 2 sin sin cos xdx M x x π π = ∫ + Ta có: 3 4 4 4 3 2 2 2 ( os sin ) 1 1 1 sin 2 sin 2 (2 ) sin cos 2 4 4 c x x dx K M x dx xd x x x π π π π π π π + + = = − = − = ∫ ∫ ∫ ÷ + /2 /4 1 1 os2 4 4 4 4 c x π π π π = + = − Mặt khác: 3 4 4 3 2 2 ( os sin ) ( os sin )(1 sin x cos ) sin cos sin cos c x x dx c x x x dx K M x x x x π π π π − − + − = = ∫ ∫ + + Đặt sinx cos (cos sinx)t x dt x dx= + ⇒ = − 2 2 2 1 1 2sin x cos 2(1 sin x cos ) 1 1 sin x cos 2 t t x x t x + = + ⇒ + = + ⇒ + = . Khi 2; 1 4 2 x t x t π π = → = = → = 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 2 2 2 2 4 2 4 4 t dt K M tdt dt t t t t + − = = + = + = − − ∫ ∫ ∫ Từ 1 1 1 4 4 ln 2 1 1 8 4 8 ln 2 4 4 K M K K M π π + = − ⇒ = − − − = − − Ví dụ 4) Tính các tích phân sau: 2 2 2 sinL x xdx π π − = ∫ 2 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân phụ Giải: Xét thêm tích phân 2 2 2 osM xc xdx π π − = ∫ Ta có: 2 2 2 2 2 /2 /2 2 2 1 (sin os ) 0 2 L M x x c x dx xdx x π π π π π π − − − + = + = = = ∫ ∫ Mặt khác 2 2 2 2 2 2 ( os sin ) os2M L x c x x dx xc xdx π π π π − − − = − = ∫ ∫ Đặt 1 os2 sin2 2 du dx u x dv c xdx v x = = ⇒ = = Vậy /2 /2 /2 /2 1 1 sin sin 2 (2 ) 0 2 4 M L x x xd x π π π π − − − = − = ∫ 0L = ► Chú ý: Tích phân L ở trên có hàm số dưới dấu tích phân là hàm số lẻ và có cận tích phân là hai số đối nhau, do vậy nếu dùng phép đổi biến t = - x thì cũng có kết quả L = 0 Nhớ lại: ( ) 0 ( ) a a f x dx khi f x − = ∫ là hàm số lẻ trên đoạn [-a; a] ► Chú ý: Tích phân L ở trên có thể giải trực tiếp bằng phương pháp tích phân từng phần Ví dụ 5) Tính các tích phân sau: 1 0 x e dx I x x e e = ∫ − + Giải: Xét thêm tích phân 1 0 x e dx M x x e e − = ∫ − + Ta có 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 x x x x e dx e dx e e dx I M dx x x x x x x x e e e e e e − − + + = + = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ − − − + + + Mặt khác: 2 1 0 1 1 1 1 ( ) 1 ln ( ) ln 2 0 0 0 0 x x x x x x e dx e dx e e dx d e e e x x I M e e x x x x x x x x e e e e e e e e e − − − − + + − − = − = = = + = ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − + + + + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln ln ln 2 2 2 2 2 2 e e e I e e e + + + ⇒ = + = + = ÷ ÷ 3 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân phụ Ví dụ 6) Tính các tích phân sau: 2 2 sin 0 x J e xdx π = ∫ Giải: Xét thêm tích phân 2 2 os 0 x M e c xdx π = ∫ Ta có: 2 2 2 2 2 /2 /2 0 0 0 0 sin os 1 x x x x J M e xdx e c xdx e dx e e π π π π π + = + = = = − ∫ ∫ ∫ Mặt khác M – J = 2 os2 0 x e c xdx N π = ∫ Tính N bằng phương pháp tích phân từng phần : Đặt 1 os2 sin2 2 x x du e dx u e dv c xdx v x = = ⇒ = = 1 /2 /2 0 0 1 1 1 sin 2 sin 2 0 2 2 2 x x N e x e xdx N π π = − = − ∫ ; với 1 /2 0 sin 2 x N e xdx π = ∫ Đặt 1 sin2 os2 2 x x du e dx u e dv xdx v c x = = ⇒ = = − ( ) /2 1 /2 /2 0 0 1 1 1 1 os2 os2 1 2 2 2 2 x x N e c x e c xdx e N π π π = − + = + + ∫ ( ) /2 1 1 6 M J e π ⇒ − = − + Từ ( ) /2 /2 /2 1 7 5 1 12 1 6 J M e e J M J e π π π + = − − ⇒ = − = − + ► Chú ý: Tích phân J có thể giải trực tiếp bằng phương pháp tích phân từng phần Ví dụ 7) Tính các tích phân sau: 3 3 3 2 cos cos sin 0 x K dx x x π = ∫ + Giải: Xét thêm tích phân 3 3 3 2 sin cos sin 0 x M dx x x π = ∫ + 4 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân phụ Ta có: K + M = 2 2 0 0 2 dx x π π π = = ∫ Mặt khác nếu đặt . 0 ; 0 2 2 2 x t dx dt Khi x t x t π π π = − ⇒ = − = → = = → = Khi đó 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 2 cos 2 2 2 sin sin cos sin cos sin 0 0 cos sin 2 2 t t x K dt dt dx M t t x x t t π π π π π π − ÷ = − = = = ∫ ∫ ∫ + + − + − ÷ ÷ Vậy 4 K π = Ví dụ 8) Tính các tích phân sau: 2 3cos 2sin cos sin x x L dx x x π π + = − ∫ Giải: Xét thêm tích phân 2 3sin 2 os cos sin x c x M dx x x π π + = − ∫ Ta có /2 /2 cos sin (cos sin ) 5 5 cos sin cos sin x x d x x L M dx x x x x π π π π + − + = = − − − ∫ ∫ = - /2 5ln cos sinx x− π π ( ) 5 ln1 ln1 0= − − = Mặt khác L – M = 2 2 /2 cos sin 1 cos sin 2 x x dx dx x x x π π π π π π π − = = = − ∫ ∫ Từ 0 4 2 L M L L M π π + = ⇒ = − = Ví dụ 9) Tính các tích phân sau: 2 sin cos sin 0 n xdx I n n x x π = ∫ + Giải: Xét thêm tích phân 2 2 os cos sin 2 0 0 n c xdx M I M dx n n x x π π π = ⇒ + = = ∫ ∫ + . Đặt . 0 ; 0 2 2 2 x t dx dt Khi x t x t π π π = − ⇒ = − = → = = → = 0 /2 /2 0 0 2 os os os sin os sin os sin os n n n n n n n n n c tdt c tdt c xdx I M t c t t c t x c x π π π = − = = = ∫ ∫ ∫ + + + . Vậy 4 I π = 5 Nguyễn Công Mậu Phương pháp tích phân phụ Ví dụ 10) Tính các tích phân sau: 3 2 1 sin sin 2 3 3 2 0 cos sin x xdx J x x π = ∫ + ( dạng tổng quát của tích phân là )(; 2 0 sincos cos 1 sin Zn x n x n xdxx n ∈ ∫ + + π ). Giải: Xét thêm tích phân 3 2 1 os sin 2 3 3 2 0 cos sin c x xdx M x x π = ∫ + 3 3 /2 0 2 2 2 2 1 sin sin 2 1 os sin 2 1 1 1 1 sin 2 sin 2 (2 ) os2 3 3 3 3 2 2 2 4 4 2 0 0 0 0 cos sin cos sin x xdx c x xdx J M xdx xd x c x x x x x π π π π π + = + = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ + + Mặt khác dùng phép đổi biến số: . 0 ; 0 2 2 2 x t dx dt Khi x t x t π π π = − ⇒ = − = → = = → = Ta được J = M 1 4 J⇒ = III) Bài tập rèn luyện Tính các tích phân sau: 1) ∫ + 2 0 sincos cos π x n x n xdx n . 2) 2 6 sin cos2 0 xdx x π ∫ 3) 2 3 4 sin sin cos 2 xdx x x π ∫ π + 4) 2 3 sin sin cos xdx x x π π ∫ − 5) 2 2 0 cosx xdx π ∫ 6) 6 0 1 tan dx x π ∫ − 7) 2 1 x e dx x x e e ∫ − − 8) ( ) 4 0 1 os2 x e c x dx π ∫ − 9) 5 4 4 2 sin cos cos sin 0 x xdx x x π ∫ + 6 Nguyễn Công Mậu