www.facebook.com/toihoctoan
20 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ II TOÁN 11 Đề I Phần chung cho hai ban Bài Tìm giới hạn sau: 1) − x − x2 x →1 x −1 lim 2) lim x→ − ∞ x − x + 12 3) lim+ x →3 7x − x −3 4) lim x →3 Bài 1) Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó: x − 5x + f (x) = x − 2 x + x ≤ Bài 1) Tìm đạo hàm hàm số sau: y = x x2 + 2) Cho hàm số y= − x2 x > 2) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm : a) x +1 − b) y= x3 − 5x + x + = (2 x + 5)2 x −1 x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = – b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y= x −2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a 1) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông 2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) 3) Tính góc SC mp (SAB) 4) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn lim Bài 5a Tính Bài 6a Cho x3 + x→ − y= x + 11x + 18 x − x − x − Giải bất phương trình y / ≤ Theo chương trình nâng cao Bài 5b Tính lim x − 2x −1 x →1 x − 12 x + 11 x − x + Giải bất phương trình / Bài 6b Cho y = y >0 x −1 Đề I Phần chung cho hai ban Bài Tìm giới hạn sau: 1) lim x→ − ∞ x − x − + x 2) lim (−2 x − x + 1) x→ + ∞ 2x + 3) lim+ x→ x − 11 5− x Bài x3 − x ≠ Xác định m để hàm số liên tục R 1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) = x − 2m + x = 2) Chứng minh phương trình: (1 − m ) x − x − = ln có nghiệm với m Bài 4) lim x→ x3 + − x2 + x 1) Tìm đạo hàm hàm số: a) 2) Cho hàm số y= − 2x + x2 b) x2 − y = + tan x y = x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại điểm có tung độ b) Vng góc với d: x + y − = Bài Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi vng góc OA = OB = OC = a, I trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC) 2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI) 3) Tính góc AB mặt phẳng (AOI) 4) Tính góc đường thẳng AI OB II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn lim( + + + n −1 ) n2 + n + n2 + Bài 6a Cho y = sin x − cos x Giải phương trình y / = Bài 5a Tính Theo chương trình nâng cao Bài 5b Cho // y = x − x Chứng minh rằng: y y + = Bài 6b Cho f( x ) = f (x) = 64 x − 60 − x + 16 Giải phương trình f ′ ( x ) = x Đề Bài Tính giới hạn sau: 1) 4) lim (− x + x − x + 1) 2) x →−∞ lim x − 5x − x − Bài Chứng minh phương trình Bài Tìm đạo hàm hàm số sau: 5x − x2 + x + 2) 3x + x +1 n 5) lim x →3 x y= x →−1 − 13 x + x − 3x + − x−2 Bài Cho hàm số: f ( x ) = ax + 1) lim − 3) lim x →2 x +2 −2 x +7 −3 n −5 2n + 3.5n x >2 Xác định a để hàm số liên tục điểm x = x ≤ x − x + x − = có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) y = ( x + 1) x + x + Bài Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng A, góc Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC) 1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC 3) Chứng minh: ∆BHK vng 4) Tính cosin góc tạo SA (BHK) 3) y = + tan x 4) y = sin(sin x ) µ = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) (SBC) vng góc với đáy; SB = a B x − x + (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến song song với x +1 đường thẳng d: y = −5 x − Bài Cho hàm số Bài Cho hàm số 1) Tính f (x) = y = cos2 x y′′ , y′′′ 2) Tính giá trị biểu thức: A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − Đề Bài Tính giới hạn sau: 1) 4) lim (−5 x + x − 3) x →−∞ 2) lim + x →−1 3x + x +1 ( x + 3)3 − 27 x →0 x 5) lim x →2 2− x x +7 −3 − +1 lim ÷ 2.4n + 2n ÷ n lim 3) n x −1 x > Bài Cho hàm số: f ( x ) = x − Xác định a để hàm số liên tục điểm x = 3ax x ≤ Bài Chứng minh phương trình sau có it nghiệm âm: x + 1000 x + 0,1 = Bài Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y= 2x2 − 6x + 2x + 2) y= x2 − 2x + 2x + 3) y= sin x + cos x sin x − cos x 4) y = sin(cos x ) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a 1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ (SAD ) 2) Tính góc SD (ABCD); SB (SAD) ; SB (SAC) 3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + : 1) Tại điểm M ( –1; –2) 2) Vng góc với đường thẳng d: Bài Cho hàm số: y = − x+2 x + x + Chứng minh rằng: y= y.y′′ − = y′2 Đề A PHẦN CHUNG: Bài 1: Tìm giới hạn sau: a) lim 2n3 − 2n + b) − 4n3 lim x +3 −2 x →1 Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó: x + 3x + f (x) = x + 3 x2 − x ≠ −2 x = −2 Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 2sin x + cos x − tan x b) y = sin(3 x + 1) c) y Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ·BAD a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) B PHẦN TỰ CHỌN: Theo chương trình chuẩn = cos(2 x + 1) y = f ( x ) = x − x + (1) a) Tính f '(−5) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm Mo(0; 1) c) Chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm nằm khoảng (–1; 1) sin x cos3 x + cos x − sin x + ÷ Giải phương trình f '( x ) = Bài 5b: Cho f (x) = Bài 6b: Cho hàm số f ( x ) = x − x + (C) y = + tan x = 60 SA = SB = SD = a Bài 5a: Cho hàm số Theo chương trình Nâng cao d) a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng ∆: y = 22 x + 2011 y = − x + 2011 Đề A PHẦN CHUNG Câu 1: Tìm giới hạn sau: a) 3x2 − x + lim x →1 x −1 b) x2 − lim x →−3 x + x2 − x − Câu 2: Cho hàm số f ( x ) = x −2 m c) x ≠ x −2 lim x →2 x + − d) lim x →−∞ x + − 3x 2x + x = a) Xét tính liên tục hàm số m = b) Với giá trị m f(x) liên tục x = ? Câu 3: Chứng minh phương trình x − x + x − = có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) Câu 4: Tính đạo hàm hàm số sau: b) y = ( x − 1)( x + 2) c) y= d) ( x + 1)2 y = x + 2x 2x2 + e) y = ÷ x2 − ÷ B.PHẦN TỰ CHỌN: Theo chương trình chuẩn Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân B, AB = BC= a , I trung điểm cạnh AC, AM đường cao ∆SAB Trên đường thẳng Ix vng góc với mp(ABC) I, lấy điểm S cho IS = a a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC) b) Xác định góc đường thẳng SB mp(ABC) c) Xác định góc đường thẳng SC mp(AMC) Theo chương trình nâng cao Câu 5b: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Gọi O tâm đáy ABCD a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD) b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) từ điểm O đến mp(SBC) c) Dựng đường vuông góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SC Đề I PHẦN BẮT BUỘC: Câu 1: Tính giới hạn sau: a) lim x →+∞ ( x2 + − x ) b) lim x →−3 x+3 x2 − 2x + 1 x ≠ − Câu (1 điểm): Cho hàm số f ( x ) = x + x + 1 A x = − Xét tính liên tục hàm số x = − Câu (1 điểm): Chứng minh phương trình sau có nghiệm [0; 1]: Câu (1,5 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ( x + 1)(2 x − 3) b) y = + cos2 x + 5x − = x Câu (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD a) Gọi K hình chiếu O lên BC Chứng minh rằng: BC ⊥ (SOK) b) Tính góc SK mp(ABCD) c) Tính khoảng cách AD SB II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y = x − x + (C) = 60 , đường cao SO = a a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k = –1 Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác đều, SA ·ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM ⊥ (ABC), SA= a M điểm cạnh AB, a) Tìm quỹ tích điểm H M di động đoạn AB b) Hạ AK ⊥ SH Tính SK AH theo a ϕ Theo chương trình nâng cao Câu 6b (1,5 điểm): Cho đồ thị (P): x (C): x2 x3 y = 1− x + y = 1− x + − 2 a) Chứng minh (P) tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (P) (C) tiếp điểm Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = a Gọi I J trung điểm BC AD a) Chứng minh rằng: SO ⊥ (ABCD) b) Chứng minh rằng: (SIJ) ⊥ (ABCD) Xác định góc (SIJ) (SBC) c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Đề I Phần chung Bài 1: 1) Tìm giới hạn sau: − x + x − 11 x −1 − lim a) b) lim x →+∞ x →5 x−5 x − x4 + x4 2) Cho hàm số : f ( x ) = + x − x + Tính f ′(1) c) lim − x2 x →2 2( x − x + 6) Bài 2: 1) Cho hàm số f (x) = x + x ax + 2) Cho hàm số f (x) = x < Hãy tìm a để f ( x ) liên tục x = x ≥ x − x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) điểm có hồnh độ x +1 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) DH = a 2) Chứng minh đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC II Phần tự chọn A Theo chương trình chuẩn Bài 4a: Tính giới hạn sau: 1) lim x →−∞ 9x2 + − x − 2x 2) lim + x →−2 x x + 5x + Bài 5a: 1) Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − 3x − x + = 2) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên a Tính chiều cao hình chóp B Theo chương trình nâng cao Bài 4b: Tính giới hạn: lim x →+∞ ( x +1 − x ) Bài 5b: 1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm: (m − 2m + 2) x + x − = 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) SA = a Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vng góc (SCD) Thiết diên cắt (P) hình chóp hình gì? Tính diện tích thiết diện Đề Bài 1: 1) Tính giới hạn sau: a) lim 2) Cho n + 2n + n2 + b) lim x →2 x3 − x −2 3x + x +1 c) lim+ x →−1 y = f ( x ) = x − x + Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm phân biệt x2 − x − 3) Cho f ( x ) = x − 5a − x Bài 2: Cho y = x ≠ Tìm a để hàm số liên tục x = x = y′ y < x − x − Giải bất phương trình: · · Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, · AOB = AOC = 60 , BOC = 900 a) Chứng minh ABC tam giác vng b) Chứng minh OA vng góc BC c) Gọi I, J trung điểm OA BC Chứng minh IJ đoạn vng góc chung OA BC Bài 4: Cho y = f ( x ) = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song song với d: y = 9x + 2011 Bài 5: Cho f ( x ) = x2 − Tính f ( n ) ( x ) , với n ≥ x Đề 10 A PHẦN BẮT BUỘC: Câu 1: Tính giới hạn sau: a) lim x →−3 x +3 b) x2 + 2x − ( x + 1)3 − lim x →0 x c) lim x →−2 Câu 2: a) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: b) Xét tính liên tục hàm số Câu 3: x+3 f (x) = x − 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thi hàm số b) Tính đạo hàm hàm số sau: x2 + − x+2 x − 10 x − = , x ≠ −1 , x = −1 tập xác định y = x điểm có hồnh độ x0 = −1 •y = x + x • y = (2 − x ) cos x + x sin x Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) ABCD hình thang vuông A, B AB = BC = a, ·ADC = 450 , SA = a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc (SBC) (ABCD) c) Tính khoảng cách AD SC B PHẦN TỰ CHỌN: Theo chương trình chuẩn 1 lim+ − ÷ x →2 x − x − b) Cho hàm số f ( x ) = Chứng minh: f ′(−2) = f ′(2) x Câu 6a: Cho y = x − x + Giải bất phương trình: y′ < uuu r uuu r uuu r r r r uu r Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c Gọi I trung điểm đoạn BG Hãy biểu thị vectơ AI qua r r r ba vectơ a , b , c Câu 5a: a) Tính Theo chương trình nâng cao Câu 5b: a) Tính gần giá trị b) Tính vi phân hàm số 4, 04 y = x.cot x Câu 6b: Tính lim+ x →3 x − 3x + x −3 Câu 7b 3: Cho tứ diện cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối tứ diện Đề 11 II Phần bắt buộc Câu 1: 1) Tính giới hạn sau: a) xlim →+∞ − 2x x + 2x − b) lim x →2 c) xlim ( x − x + + x ) →−∞ x + 3x − 9x − x3 − x − 2) Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm phân biệt Câu 2: 1) Tính đạo hàm hàm số sau: 2 x a) y = + x ÷( x − 1) b) y = x + sin x c) y = x2 − 2x x −1 2) Tính đạo hàm cấp hai hàm số y = tan x 3) Tính vi phân ham số y = sinx.cosx Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 3) Tính góc SC (ABCD) II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − giao điểm với trục hoành x 60 64 − + Giải phương trình f ′( x ) = x x3 uuu uuu r r Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG Câu 5a: Cho hàm số f ( x ) = x + Theo chương trình nâng cao Câu 4b: Tính vi phân đạo hàm cấp hai hàm số y = sin x.cos x Câu 5b: Cho y = x3 x2 + − x Với giá trị x y′ ( x ) = −2 Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD′ B′C Đề 12 Bài 1: Tính giới hạn sau: 3n +1 − n a) lim 4n −1 + b) lim x →3 x +1 − x2 − Bài 2: Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm thuộc Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x = −3 x2 − x ≠ −3 f (x) = x + 1 x = − Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (2 x + 1) x − x b) y = x cos x x +1 có đồ thị (H) x −1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (H) A(2; 3) Bài 5: Cho hàm số y = ( −2;2 ) b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với (ABCD) Gọi I, K hình chiếu vng góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK) c) Tính góc SC (SAB) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Đề 13 Bài 1: Tính giới hạn sau: x + 3x − x3 + x + a) lim b) lim x →1 x −1 x →1+ x2 − Bài 2: Chứng minh phương trình x − 2mx − x + m = ln có nghiệm với m Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục x = x3 − x + x − x ≠ f (x) = 3x + a 3 x + a x = Bài 4: Tính đạo hàm hàm số: cos x x a) y = + x + − + b) y = + x x sin x x x Bài 5: Cho đường cong (C): y = x − 3x + Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại điểm có hồnh độ b) Biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng y = − x + a SO ⊥ ( ABCD ) SB = a Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, OB = , , a) Chứng minh: ∆SAC vng SC vng góc với BD b) Chứng minh: (SAD ) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD ) c) Tính khoảng cách SA BD Đề 14 Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim x →−∞ ( x2 − x + − x ) b) lim x →+∞ ( x2 + x + − x ) Bài 2: Chứng minh phương trình x − 10 x − = có hai nghiệm Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục x = –1 x2 − f ( x ) = x + x < −1 mx + x ≥ −1 Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: 3x − a) y = b) y = ( x − x + 1).sin x 2x + Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = : x a) Tại điểm có tung độ b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA = a Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) Đề 15 Bài 1: Tính giới hạn sau: 2 x −3 a) lim b) lim x + x − x →+∞ − x x →+∞ x −2 Bài 2: Chứng minh phương trình x + x − x + x + = có nghiệm thuộc (−1;1) Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó: x + 3x + x ≠ −2 f (x) = x + 3 x = −2 Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: sin x + cos x a) y = b) y = (2 x − 3).cos(2 x − 3) sin x − cos x 2x2 + 2x + Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x +1 a) Tại giao điểm đồ thị trục tung b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011 Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 60 , SO ⊥ (ABCD), a 13 Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) c) Gọi ( α ) mặt phẳng qua AD vng góc (SBC) Xác định thiết diện hình chóp bị cắt ( α ) Tính góc ( α ) (ABCD) Đề 16 I Phần chung Bài 1: 1) Tìm giới hạn sau: − x + x − 11 − x2 x −1 − a) lim b) lim c) lim x →+∞ x →2 2( x − x + 6) x →5 x −5 x −x +2 x4 2) Cho hàm số : f ( x ) = + x − x + Tính f ′(1) Bài 2: x2 + x x < 1) Cho hàm số f ( x ) = Hãy tìm a để f ( x ) liên tục x = x ≥ ax + SB = SD = 2) Cho hàm số f ( x ) = x2 − 2x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x +1 f ( x ) điểm có hồnh độ Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) DH = a 2) Chứng minh đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC II Phần tự chọn A Theo chương trình chuẩn Bài 4a: Tính giới hạn sau: 1) lim x →−∞ 9x2 + − 4x − 2x 2) lim + x →−2 x x + 5x + Bài 5a: 1) Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − x − x + = 2) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên a Tính chiều cao hình chóp B Theo chương trình nâng cao Bài 4b: Tính giới hạn: lim x →+∞ ( x +1 − x ) Bài 5b: 1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm: (m − 2m + 2) x + x − = 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) SA = a Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vng góc (SCD) Thiết diên cắt (P) hình chóp hình gì? Tính diện tích thiết diện Đề 17 I Phần chung Bài 1: 3n +2 − 3.5n +1 x2 − x − 1) Tính giới hạn sau: a) lim b) lim x →−1 x + 4.5n + 5.3n +1 cos x + x 2) Tính đạo hàm hàm số: y = sin x − x Bài 2: 1) Cho hàm số: y = x + x + x − (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x − y + 2011 = 5 x − x + x ≥ f ( x) = 2) Tìm a để hàm số: liên tục x = x < ax + 3a Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB), (SAC) vng góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân C AC = a, SA = x a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC) b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB) d) Xác định đường vng góc chung SB AC II Phần tự chọn A Theo chương trình Chuẩn Bài 4a: 1) Cho f ( x ) = x sin( x − 2) Tìm f ′(2) 2) Viết thêm số vào hai số để cấp số cộng có số hạng Tính tổng số hạng cấp số cộng Bài 5a: 1) CMR phương trình sau có nghiệm: x − 10 x = 2) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 300 Tính chiều cao hình chóp B Theo chương trình Nâng cao Bài 4b: 1) Cho f ( x ) = sin x − 2sin x − Giải phương trình f ′( x ) = 2) Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân 10 • Phương trình cho phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực Câu 2: 1) ( 2 y = + 3x ÷ x ) ( a) ) 2 x −1 ⇒ y ' = − + ÷ x − + + x ÷ ÷ x x x 2 =− + +3 x −3+ + x= x− + −3 x x x2 x x x x x2 b) y = x + sin x ⇒ y ' = + cos x x2 − 2x x2 − 2x + y= ⇒ y' = c) x −1 ( x − 1) ( 2 2) y = tan x ⇒ y ' = + tan x ⇒ y " = tan x + tan x ) 3) y = sinx cosx ⇒ y = sin x ⇒ dy = cos xdx Câu 3: a) Chứng minh : BD ⊥ SC ,(SBD ) ⊥ (SAC ) • ABCD hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC • (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC) b) Tính d(A,(SBD)) • Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD) a • AO = , SA = a ( gt ) ∆SAO vuông A 1 1 13 = + = + = nên AH SA2 AO 6a2 a2 6a2 6a2 a 78 ⇒ AH = ⇒ AH = 13 13 c) Tính góc SC (ABCD) • Dế thấy SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu SC (ABCD) AC ⇒ góc SC (ABCD) ·SCA Vậy ta có: tan ·SCA = SA a = = ⇒ ·SCA = 600 AC a 1 ⇒ y′ = + x x • Các giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành A ( −1; ) , B ( 1; ) Câu 4a: y = x − • Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1 = nên PTTT: y = 2x +2 31 • Tại B(1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k2 = nên PTTT: y = 2x – Câu 5a: f ( x ) = x + 60 64 60 128 − + ⇒ f ′( x ) = − + x x3 x2 x4 x2 = 60 128 f ′( x ) = ⇔ − + = ⇔ x − 60 x + 128 = ⇔ 16 ⇔ x = ± PT x = x2 x4 x = ± Câu 6a: uuu u uuu uu uuu ur r r r r r u Đặt AB = e1 , AD = e2 , AE = e3 uuu uuu u uuu uuu r r r r r u u uu u u u uu r r r r r r r ⇒ AB.EG = e1 EF + EH = e1 e1 + e2 = e1.e1 + e1.e2 = a2 ( ) ( ) Cách khác: uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r uuu uuu r r AB.EG = EF EG = EF EG cos ( EF , EG ) = a.a 2.cos 450 = a Câu 4b: y = sin2x.cos2x • y = sin x ⇒ y ' = cos x ⇒ y " = −8sin x Câu 5b: y = x3 x2 + − 2x ⇒ y ' = x2 + x − x = • y′ = −2 ⇔ x + x − = −2 ⇔ x ( x + 1) = ⇔ x = −1 Câu 6b: Gọi M trung điểm B′C, G trọng tâm ∆AB′C Vì D′.AB′C hình chóp đều, có cạnh bên có độ dài a , nên BD’ đường cao chóp ⇒ BD′ ⊥ (AB′C) ⇒ BD′ ⊥ GM Mặt khác ∆AB′C nên GM ⊥ B′C ⇒ GM đoạn vng góc chung BD’ B’C 3 a •Tính độ dài GM = AC = a = 3 Đề 12 Bài 1: Tính giới hạn: a) n −1 lim b) lim x →3 x +1 − x2 − = lim x →3 ( x + 3) ( x +1 + 2) = 3n +1 − n 4n −1 + 24 32 = lim 9.3n−1 − 4.4n −1 n−1 + 3 ÷ = lim 1+ −4 4n−1 = −4 Bài 2: Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm thuộc Xem đề 11 ( −2;2 ) Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x = −3 x2 − x ≠ −3 f (x) = x + 1 x = − • Khi x ≠ −3 ⇒ f ( x ) = x − • lim x →−3 x−4 x−4 f ( x ) − f (3) x−4 = −∞; lim − = +∞ nên hàm số khơng có đạo hàm = lim mà lim + x →−3 x + x +3 x →−3 x + x →−3 x + x = –3 Chú ý: Có thể chứng minh hàm số f(x) không liên tục x = –3 ⇒ f(x) khơng có đạo hàm x = –3 Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: 2 a) y = (2 x + 1) x − x ⇒ y'=2 x − x + (2 x + 1) 1− x 2x − x2 ⇒ y' = −4 x + x + 2x − x2 b) y = x cos x ⇒ y ' = x.cos x − x sin x −2 x +1 ⇒ y′ = x −1 ( x − 1)2 a) Tại A(2; 3) ⇒ k = y′ (2) = −2 ⇒ PTTT : y = −2 x − Bài 5: y = 1 b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y = − x + nên hệ số góc tiếp tuyến k = − 8 x = −3 = − ⇔ ( x0 − 1)2 = 16 ⇔ Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ y′ ( x0 ) = k ⇔ − ( x − 1) x0 = 1 ⇒ PTTT : y = − ( x + 3) + 3 • Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ PTTT : y = − ( x − ) + • Với x0 = −3 ⇒ y0 = Bài 6: a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng • SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vng B • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vng D • SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ⇒ tam giác SAB SAD vuông A b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) • ∆SAB ∆SAD vuông cân A, AK ⊥ SA AI ⊥ SB nên I K trung điểm AB AD ⇒ IK//BD mà BD ⊥ (SAC) nên IK ⊥ (SAC) ⇒ (AIK) ⊥ (SAC) c) Tính góc SC (SAB) 33 • CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu SC (SAB) SB ⇒ SC ,(SAB) = SC , SB = ·CSB ( ) ( ) BC = • Tam giác SAB vng cân có AB = SA = a ⇒ SB = a ⇒ tan·CSB = SB d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD BD ⊥ (SAC) ⇒ AH ⊥ (SBD) 1 1 a ⇒ = + = + = ⇒ AH = AH SA2 AO a2 a2 a2 ( ) ⇒ d A, ( SBD ) = a 3 Đề 13 Bài 1: a) lim x + 3x − 2x + = x →1 x + = lim x −1 x + x +1 b) lim + x −1 x →1 lim ( x − 1) = x →1+ x3 + x + x −1 > ⇒ lim+ = +∞ Ta có x −1 x →1 lim ( x + x + 1) = > x →1+ x →1 Bài 2: Xét hàm số f ( x ) = x − 2mx − x + m ⇒ f(x) liên tục R • f (m) = −m3 , f (0) = m ⇒ f (0) f (m) = − m • Nếu m = phuơng trình có nghiệm x = • Nếu m ≠ f (0) f (m) < 0, ∀m ≠ ⇒ phương trình ln có nhát nghiệm thuộc (0; m) (m; 0) Vậy phương trình x − 2mx − x + m = ln có nghiệm x3 − x + x − f (x) = 3x + a 3 x + a Bài 3: x ≠ x = Đề 14 Bài 1: a) lim x →−∞ ( x2 − x + − x ) 3 = lim x − + − x ÷= lim − x + − + − 2x ÷ ÷ x →−∞x ÷ x →−∞ x x2 x x2 = lim (− x ) − + + ÷ = +∞ ÷ x →−∞ x x b) xlim →+∞ ( ) x + x + − x = lim x →+∞ x +1 4x + x + + 2x = lim x →+∞ 1 x = 1 4+ + +2 x x2 1+ Bài 2: Xét hàm số f ( x ) = x − 10 x − ⇒ f(x) liên tục R • f (−1) = 1, f (0) = −7 ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c1 ∈ (−1; 0) • f (0) = −7, f (3) = 17 ⇒ f (0) f (3) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ (0;3) • c1 ≠ c2 nên phương trình cho có hai nghiệm thực 34 Bài 3: Ta có: x2 − f ( x ) = x + x < −1 mx + x ≥ −1 • f (−1) = −m + • lim f ( x ) = lim − − x →−1 x →−1 x2 − = lim ( x − 1) = −2 x + x →−1− lim lim • x →−1+ f ( x ) = x →−1+ (mx + 2) = − m + Hàm số f ( x ) liên tục x = –1 ⇔ −m + = −2 ⇔ m = Bài 4: 2x + − 3x − x + 13 a) y = ⇒ y'= x + = 3(2 x + 5) − = 2x + 2x + (2 x + 5) x + (2 x + 5) x + b) y = ( x − x + 1).sin x ⇒ y ' = (2 x − 3)sin x + ( x − x + 1) cos x 1 ⇒ y′ = − ( x ≠ 0) x x 1 = ⇔ x0 = ; y′ (2) = − ⇒ PTTT: y = − x + a) Với y0 = ta có x0 2 4 b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4 Bài 5: y = x0 = Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp ⇒ y′ ( x0 ) = −4 ⇔ − = −4 ⇔ x0 x = − • Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ PTTT : y = −4 x + • Với x0 = − ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT : y = −4 x − Bài 6: a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) • SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Vẽ AH ⊥ SI (1) BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH 1 4 16 3a = + = + = ⇒ AH = • 2 2 2 AH AI SA 9a 3a 9a c) Tính góc (SBC) (ABC) • (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC , AI ⊥ BC , SI ⊥ BC · ⇒ ( (SBC ),( ABC ) ) = ¶ SIA a SA tan¶ = SIA = = ⇒¶ = 60 SIA • IA a Đề 15 Bài 1: 35 a) lim x −3 x →+∞ − b) lim x →+∞ x 2− = lim x →+∞ x = −3 2 −3 x x + 5x − = lim x →+∞ x −2 − x x =1 1− x 1+ Bài 2: Xét hàm số f ( x ) = x + x − x + x + ⇒ f ( x ) liên tục R • f (−1) = −3, f (1) = ⇒ f (−1) f (1) < nên PT f ( x ) = có nghiệm thuộc (–1; 1) Bài 3: x + 3x + f (x) = x + 3 x ≠ −2 x = −2 • Tập xác định: D = R ( x + 1)( x + 2) = x + ⇒ f ( x ) liên tục x ≠ –2 x+2 • Tại x = –2 ta có f (−2) = 3, xlim2 f ( x ) = xlim2( x + 1) = −1 ≠ f (−2) ⇒ f ( x ) không liên tục x = –2 →− →− • Tại x ≠ −2 ⇒ f ( x ) = Bài 4: sin x + cos x sin x − cos x (cos x − sin x )(sin x − cos x ) − (sin x + cos x )(cos x + sin x ) −2 ⇒ y′ = = (sin x − cos x ) (sin x − cos x )2 a) y = b) y = (2 x − 3).cos(2 x − 3) ⇒ y ' = [ cos(2 x − 3) − (2 x − 3)sin(2 x − 3)] Bài 5: y = 2x2 + 4x + 2x2 + 2x + ⇒ y′ = x +1 ( x + 1)2 a) Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 1); y′ (0) = ⇒ PTTT: y = x + b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = ′ Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ y ( x0 ) = ⇔ 2 x0 + x + ( x0 + 1) • Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ PTTT: y = x + • Với x0 = −2 ⇒ y0 = −5 ⇒ PTTT: y = x − 36 x = −2 = ⇔ x0 + x = ⇔ x0 = Bài 6: a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC) • ∆CBD đều, E trung điểm BC nên DE ⊥ BC • ∆BED có OF đường trung bình nên OF//DE, DE ⊥ BC ⇒ OF ⊥ BC (1) • SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (SOF) Mà BC ⊂ (SBC) nên (SOF) ⊥(SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) • Vẽ OH ⊥ SF; (SOF) ⊥ (SBC), (SOF ) ∩ (SBC ) = SF , OH ⊥ SF ⇒ OH ⊥ (SBC ) ⇒ d (O,(SBC )) = OH • OF a , a= 2 = SO = SB − OB2 ⇒ SO = ⇒ = + 3a ⇒ OH = OH SO OF d ( A,(SBC )) = AK • Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K ∈ CH ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ 3a 3a AK = 2OH ⇒ AK = ⇒ d ( A,(SBC )) = 4 AD ⊂ (α ), (α ) ⊥ (SBC ) ⇒ (α ) ≡ ( AKD ) c) • • Xác định thiết diện Dễ thấy K ∈ (α ), K ∈ (SBC ) ⇒ K ∈ (α) ∩ (SBC) Mặt khác AD // BC, AD ⊂ (SBC ) nên (α ) ∩ (SBC ) = ∆ ⇒ K ∈ ∆, ∆ P BC Gọi B ' = ∆ ∩ SB, C ' = ∆ ∩ SC ⇒ B′C′ // BC ⇒ B′C′ // AD Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD bị cắt bời (α) hình thang AB’C’D • SO ⊥ (ABCD), OF hình chiếu SF (ABCD) nên SF ⊥ BC ⇒ SF ⊥ AD • SF ⊥ OH , OH P AK ⇒ SF ⊥ AK (**) • Từ (*) (**) ta có SF ⊥ (α) • SF ⊥ (α), SO ⊥ (ABCD) ⇒· (α ),( ABCD ) ) =·(SF , SO) = ·OSF ( a OF = = • tan ·OSF = ⇒· (α ),( ABCD ) ) = 30 ( 3a SO Đề 16 Bài 1: − x + x − 11 = lim 1) a) lim x →+∞ x →+∞ x −x +2 b) lim x →5 c) lim −1 11 + − x2 x5 =− − + x x x −1 − x −5 1 = lim = lim = x →5 ( x − 5) ( x − + ) x →5 x − + x −5 4 − x2 x →2 2( x − x + 6) (2 − x )(2 + x ) −( x + 2) = lim =− x →2 2( x − 2)( x − 3) x →2 2( x + 3) = lim 37 3a (*) 2) f ( x ) = x4 1 + x − x + ⇒ f ′( x ) = x + x + ⇒ f ′(1) = + 2x 2 Bài 2: 1) f (x) = x + x ax + x < x ≥ • lim− f ( x ) = lim− ( x + x ) = 2, lim+ f ( x ) = a + = f (1) • f (1) = a + x →1 x →1 x →1 • f ( x ) liên tục x = ⇔ xlim− f ( x ) = xlim+ f ( x ) = f (1) ⇔ a + = ⇔ a = →1 →1 x2 − 2x + ′( x ) = x + x − 2) f ( x ) = ⇒ f x +1 ( x + 1)2 1 Với x0 = ⇒ y0 = , f ′(1) = − ⇒ PTTT: y = − x + 2 Bài 3: 1) CMR: BC ⊥ (ADH) DH = a ∆ABC đều, H trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI ⊥ (ABC) • AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân D, mặt khác I trung điểm AH nên DI ⊥ AH • BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI ⇒ DI ⊥ (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC • Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức HK ⊥ AD (1) Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2) d ( AD , BC ) = HK Từ (1) (2) ta suy • Xét ∆DIA vng I ta có: a 3 a2 a DI = AD − AI = a2 − = ÷ = ữ ã Xột ∆DAH ta có: S = a a 1 AH DI = AD.HK ⇒ AH DI a d ( AD, BC ) = HK = = 2= 2 AD a Bài 4a: 1) lim x →−∞ 2) lim + x →−2 9x + − 4x = lim x →−∞ − 2x x x + 5x + − x + x − 2x − 4x − 9+ = lim x →−∞ x2 −2 x −4 = lim x = −2 < x →−2+ x = −∞ Vì lim + ( x + x + 6) = ⇒ lim + x →−2 x + x + x →−2 x + x + > 0, ∀ x > −2 Bài 5a: 1) Xét hàm số f ( x ) = x − x − x + ⇒ f ( x ) liên tục R • f (−1) = −1, f (0) = ⇒ f (−1) f (0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c1 ∈ (−1; 0) • f (0) = 2, f (1) = −1 ⇒ f (0) f (1) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ (0;1) 38 • f (1) = −1, f (2) = 26 ⇒ f (1) f (2) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c3 ∈ (1;2) • Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 PT f ( x ) = phương trình bậc ba nên phương trình có ba nghiệm thực 2) =0 Bài 4b: lim ( x + − x ) = lim x →+∞ x →+∞ x + + x Bài 5b: 1) Xét hàm số f(x) = f ( x ) = (m − 2m + 2) x + x − ⇒ f ( x ) liên tục R • Có g(m) = m − 2m + = ( m − 1) + > 0, ∀m ∈ R f (0) = −3, f (1) = m − 2m + > ⇒ f (0) f (1) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm c ∈ (0;1) 2) • Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD (1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SA CD⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH (2) • Từ (1) (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ (ABH) ⊥ (SCD) ⇒ (P) (ABH) • Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩ (SCD) = HI ⇒ HI // CD ⇒ thiết diện hình thang AHIB Hơn AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ HA Vậy thiết diện hình thang vng AHIB • SD = SA2 + AD = 3a2 + a2 = 2a • ∆SAD có SA2 = SH SD ⇒ SH = 3a HI SH 3 3a (3) ⇒ = = = ⇒ HI = CD = CD SD 2a 4 1 1 a (4) = + = + = ⇒ AH = AH SA2 AD 3a2 a2 3a2 ( AB + HI ) AH 3a a 7a2 S AHIB = = a + ữ = ã T (3) (4) ta có: 2 16 SA2 3a2 3a = ⇒ SH = SD 2a Đề 17 Bài 1: x2 − x − ( x + 1)( x − 2) x −2 = lim = lim =− x →−1 x + x →−1 x →−1 2( x + 1) 1) a) lim n b) lim 3n +2 − 3.5n +1 4.5n + 5.3n +1 3 ÷ − 15 n n 9.3 − 15.5 15 = lim = lim =− n n n 4.5 + 15.3 3 + 15 ÷ 5 cos x + x sin x − x (1 − sin x )(sin x − x ) − (cos x − 1)(cos x + x ) (sin x + cos x ) + x (sin x − cos x ) − = ⇒ y' = (sin x − x )2 (sin x − x )2 Bài 2: 1) y = x + x + x − ⇒ y′ = x + x + 2) y = 39 • (d): x − y + 2011 = ⇔ y = x + 2011 • Vì tiếp tuyến song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc k = x0 = 2 ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ x0 + x0 + = ⇔ x0 + x0 − = ⇔ • Gọi x0 = − • Với x0 = ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT : y = x − 230 230 10 ⇒ PTTT : y = x + ÷− ⇔ y = 6x + • Với x0 = − ⇒ y0 = − 27 27 2) 5 x − x + x ≥ f ( x) = x < ax + 3a • xlim+ f ( x ) = 15 = f (2) →2 • lim− f ( x ) = lim− (ax + 3a) = 7a x →2 • f ( x ) liên tục x = ⇔ 7a = 15 ⇔ a = x →2 15 Bài 3: a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC) • (SAB) ⊥ (ABC) SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥(ABC) ⇒ AB hình chiếu SB (ABC) SA x · · ⇒ ( SB,( ABC ) ) = ( SB, AB ) = ·SBA ⇒ tan ·SBA = = AB a • BC ⊥ AC, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC) ⇒ SC hình chiếu SB (SAC) BC a · · · · = ⇒ ( SB,(SAC ) ) = ( SB, SC ) = BSC ⇒ tan BSC = SC a2 + x b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Theo chứng minh ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC) • Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAC) Vậy AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A,(SBC )) = AH 1 1 ax = + = + ⇒ AH = • AH SA2 AC x a2 x + a2 c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB) AH Gọi K trung điểm BH ⇒ OK // AH ⇒ OK ⊥ (SBC) OK = ax ⇒ d (O,(SBC ) = OK = x + a2 d) Xác định đường vng góc chung SB AC • Dựng mặt phẳng (α) qua AC vng góc với SB P ⇒ CP⊥ SB AP ⊥ SB • Trong tam giác PAC hạ PQ ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ SB SB ⊥ ( PAC) Như PQ đường vng góc chung SB AC 40 Bài 4a: 1) f ( x ) = x sin( x − 2) ⇒ f ′( x ) = x sin( x − 2) + x cos( x − 2) ⇒ f ′(2) = sin + cos = 2) Giả sử công sai cấp số cộng cần tìm d ta có cấp số cộng là: 1 1 15 15 , + d , + 2d , + 3d , + 4d = ⇒ 4d = ⇒ d = 2 2 2 19 34 49 Vậy cấp số cộng , , , ,8 8 Bài 5a: 1) Xét hàm số f ( x ) = x − 10 x − ⇒ f ( x ) liên tục R • f (−1) = 1, f (0) = −7 ⇒ f (−1) f (0) < nên PT f ( x ) = có nghiệm c1 ∈(–1; 0) • f (3) = −10, f (4) = 17 ⇒ f (3) f (4) < nên PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ ( 3; ) • mà c1 ≠ c2 nên phương trình cho có nghiệm thực 2) • S • • D C O A Hình chóp S.ABCD chóp tứ giác nên chân đường cao SO hình chóp O = AC ∩ BD a Đáy hình vuông cạnh a nên AC = a ⇒ OC = a · ∆SOC vuông O, có OC = , SCO = 30 a a ⇒ SO = OC.tan·SCO = = B Bài 4b: 1) f ( x ) = sin x − 2sin x − ⇒ f ′( x ) = cos x − cos x cos x = x = k 2π ⇔ 2π PT f ′( x ) = ⇔ cos2 x − cos x − = ⇔ + k 2π cos x = − x = ± 2) Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân • Gọi q công bội cấp số nhân ta có b = aq, c = aq2 • (a2 + b2 )(b2 + c2 ) = (a2 + a2 q2 )(a2 q2 + a2 q4 ) = a q2 (1 + q2 )2 (1) • (ab + bc)2 = (a.aq + aq.aq2 )2 = a4 q2 (1 + q2 )2 (2) • Từ (1) (2) ta suy (a2 + b2 )(b2 + c2 ) = (ab + bc)2 Bài 5b: 1) Xét hàm số f ( x ) = (m + 1) x − x − ⇒ f ( x ) liên tục R với m • f (−1) = m2 + 1, f (0) = −1 ⇒ f (−1) f (0) < nên PT f ( x ) = có it nghiệm c1 ∈ (−1; 0) • f (0) = −1, f (2) = 16m + ⇒ f (0) f (2) < nên PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ (0;2) • mà c1 ≠ c2 ⇒ phương trình cho có hai nghiệm thực 2) Tính góc mặt phẳng (A′BC) (ABC) khoảng cách từ A đến (A′BC) 41 • ∆ AA ' B = ∆ AA ' C ( c.g.c ) ⇒ A ' B = A ' C Gọi K trung điểm BC ⇒ AK ⊥ BC A’K ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AA’K ) ⇒ (A’BC) ⊥(AA’K), ( A ' BC ) ∩ ( AA ' K ) = A ' K , AH ⊥ A ' K ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ d ( A,( A′ BC )) = AH • AH = A ' A2 + AB = a2 ⇒ d ( A,( A ' BC )) = AH = + a2 = a2 ⇒ AH = a · ( a ) · • AK ⊥ BC A’K ⊥ BC ⇒ ( A′ BC ),( ABC ) = A′ KA a ′ · ′ AA = = • Trong ∆A′KA ta có tan A KA = ⇒ ·A′ KA = 300 AK a 3 Đề 18 Câu Nội dung ( x − 2)( x − 3) • lim 1.a x →2 x −2 (0.5đ) • = –1 1.b (0.5đ) 1.c (0.5đ) (1đ) ( x − 3) ( x + − ) x →3 x −3 •=4 −x 1+ − ÷ • x x2 ÷ lim x →−∞ x • = –1 • f(5) = A • lim 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 x − 25 = lim( x + 5) = 10 l x →5 x →5 x − x →5 • Hàm số liên tục x = ⇔ lim f ( x ) = f (5) • lim f ( x ) = lim 0.25 0.25 x →5 • A = 10 0.25 2 2 (3 x + x − 1)′ ( x − 1) − (3 x + x − 1)( x − 1)′ • y′ = ( x − 1)2 (6 x + 2)( x − 1) − (3 x + x − 1)2 x 3.a y′ = • (0.75đ) ( x − 1)2 • y′ = Điểm 0.25 0.25 −2 x − x − 0.25 ( x − 1)2 • y′ = ( x ) ′ cos3 x + x (cos3 x )′ 0.25 3.b cos3 x − x sin x(3 x )′ • y′ = x (0.75đ) cos3 x − x sin x • y′ = x • BC ⊥ AB (∆ABC vuông B) 0.25 0.25 0.25 42 4.b (1đ) • BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) • BC ⊥ (SAB) • AB hình chiếu SB (ABC) • ·SB,( ABC ) = (·SB, AB ) = ·SBA ( 0.25 0.50 0.25 ) • tan ·SBA = ( 0.25 SA a = = ⇒ ·SBA = 600 AB a 0.25 • Kết luận: ·SB,( ABC ) = 60 ) 0.25 4.c (1đ) • AM ⊥ SB (AM đường cao tam giác SAB) • AM ⊥ BC (BC ⊥ (SAB)) • AM ⊥ (SBC) • (AMN) ⊥ (SBC) 0.25 0.25 0.25 0.25 5a (1đ) • Đặt f ( x ) = x − x + x − ⇒ f(x) liên tục đoạn [–2; 5] • f(–2) = –92, f(1) = 1, f(2) = –8, f(5) = 1273 • f(–2).f(1) =–92 < 0, f(1).f(2) = –8 < 0, f(2).f(5) = –10184 < • Kết luận • y′ = x + x − 0.25 • y′ > ⇔ x + x − > • Lập bảng xét dấu ã x ; ữ ( 1; +∞ ) 4 0.25 • Đặt f ( x ) = x − x + ⇒ f(x) liên tục đoạn [–2; 1] • f(–2) = –3, f(–1) = 5, f(1) = –3 • f(–2).f(–1) = –15 < 0, f(–1).f(1) = –15 < • Kết luận • PTTT d: y − y0 = f ′( x0 ).( x − x0 ) ⇔ y − x0 − 62 + = 12 x0 − 12 x0 ( x − x0 ) 0.25 • A(–1; –9) ∈ d ⇒ −9 − x0 − 62 + = 12 x0 − 12 x0 (−1 − x0 ) 0.25 6a.a (1đ) 5b (1đ) 6b.b (1đ) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ( ) ( ( ) ) ( ) x = x0 + x0 − 12 x0 − 10 = ⇔ • x = −1 15 21 d2 : y = 24 x + 15 d1 : y = x − , • Kết luận: 4 0.25 Đề 19 x →1 x − 3x + − 3x − x 2) lim x →−∞ = lim x →−∞ ( ( x − 1)(2 x − 1) 2x −1 = lim = x →1 ( x − 1)(4 − x ) x →1 − x = lim ) x + x + − x − x + = lim 4− x 2 − 1+ + + 1− + ÷ x x2 x x2 ÷ x →−∞ 4x −1 2 x 1+ + + 1− + ÷ x x2 x x2 ÷ = −2 43 0.25 0.25 Câu 1: 1) lim 0.25 0.25 0.25 − x2 f (x) = x + − Câu II: 2 x − 20 • f(2) = –16 x > x ≤ • lim f ( x ) = −16, lim f ( x ) = lim − + + x →2 x →2 x →2 (2 − x )(2 + x ) ( x + + ) = lim −( x + 2) ( x + + ) = −16 x →2+ 2−x • Vậy hàm số liên tục x = Câu III: − 5x ′( x ) = x − x − ⇒f 1) f ( x ) = x − x +1 ( x − x + 1)2 2) f ( x ) = ( sin(tan( x + 1)) ) ( ) ⇒ f ′( x ) = x sin tan( x + 1) Câu IV: 1) CMR: (SAB) ⊥ (SBC) cos2 ( x + 1) ( ) cos tan( x + 1) = ( x sin tan( x + 1) cos2 ( x + 1) ) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SAB) ⊥(SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC • Trong tam giác SAC có AH ⊥ SC 1 2 = 2+ = 2+ = • d ( A, SC ) = AH ⇒ 2 AH SA OA 3a a 3a ⇒ AH = a 3) Tính góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD) • Vì ABCD hình vng nên AO ⊥ BD, SO ⊥ BD · • (SBD) ∩ ( ABCD ) = BD ⇒ ((SBD ),( ABCD)) = SOA • Tam giác SOA vuông A a SA · ⇒ tan SOA = = = ⇒ ( (SBD ),( ABCD ) ) = 60 OA a 2 Câu Va: y = x − 3x + x + ⇒ y ′= x − x + 1) BPT y ' ≥ ⇔ x − x ≥ ⇔ x ∈ (−∞; 0] ∪ [2; +∞ ) 2) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x + y + 50 = nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –1 2 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm Ta có: x0 − x0 + = −1 ⇔ x0 − x0 + = ⇔ x0 = Khi y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −( x − 1) + ⇔ y = − x + Câu Vb: 1) u3 = u5 = 27 • Gọi cơng bội cấp số nhân q ⇒ cấp số nhân gồm số hạng u1 , u1q, u1q , u1q , u1q u1q = q = ⇒ q2 = ⇒ • Theo giả thiết ta có hệ u1 q = −3 u1q = 27 1 • Với q = ta suy u1 = ⇒ cấp số nhân là: ; 1; 3; 9; 27 3 44 1 • Với q = –3 ta suy u1 = ⇒ cấp số nhân là: ; − 1; 3; − 9; 27 3 2) f ( x ) = a.cos x + 2sin x − x + ⇒ f ′( x ) = cos x − a.sin x − PT f ′( x ) = ⇔ cos x − a.sin x = (*) Phương trình (*) có nghiệm ⇔ 22 + (− a)2 ≥ 32 ⇔ a2 ≥ ⇔ a ∈ ( −∞; − ) ∪ ( 5; +∞ ) ĐỀ 20 Câu I: n 3 4÷ +2 n n + 2.4 =2 a) lim n n = lim n +3 3 1+ ÷ 4 b) lim ( ) n2 + 2n − n = lim 2n n + 2n + n = lim 2 1+ +1 n =1 x − 10 x + ( x − 3)(3 x − 1) 3x − = lim =8 ÷ = lim c) lim x →3 x − x + ÷ x →3 ( x − 2)( x − 3) x →3 x − 3x + − 3( x − 1) 3 = lim = ÷ = lim d) lim x →1 x − x →1 ( x − 1) ( x + + ) x →1 x + + Câu II: x + x − 18 x ≠ a) f ( x ) = x −3 a + x x = x + x − 18 ( x − 3)( x + 6) = lim = lim( x + 6) = x →3 x →3 x →3 x →3 x −3 x −3 • f(x) liên tục x = ⇔ a + = ⇔ a = b) Xét hàm số f ( x ) = x + x − x − ⇒ f ( x ) liên tục R • f(–3) = 5, f(0) = –7 ⇒ f (−3) f (0) < ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm thuộc ( –3 ; ) • (−3; 0) ⊂ (−4; 0) ⇒ PT f ( x ) = có nghiệm thuộc (–4; 0) Câu III: a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD) • SO ⊥ AC, SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA (1) • OP ⊥ SA, OP ⊂ (PBD) (2) Từ (1) (2) ta suy SA ⊥ (PBD) b) CMR: MN ⊥ AD • Đáy ABCD hình vng nên OB = OC, mà OB OC hình chiếu NB NC (ABCD) ⇒ NB = NC ⇒ ∆NBC cân N, lại có M trung điểm BC (gt) ⇒ MN ⊥ BC ⇒ MN ⊥ AD (vì AD // BC) c) Tính góc SA mp (ABCD) • SO ⊥ (ABCD) nên AO hình chiếu SA (ABCD) Vậy góc SA mặt phẳng (ABCD) ·SAO • f(3) = a+3 • lim f ( x ) = lim a AO cos·SAO = = = SA 2a 45 ... f ′( x0 ) = ⇒ PTTT: y = x − 4 b) y = sin(cos(5 x − x + 6 )201 1 ) ( ⇒ y ′= ? ?201 1(5 x − x + 6 )201 0 (15 x − 4)sin(5 x − x + 6 )201 1.cos cos(5 x − x + 6 )201 1 46 ) ... + cos x − tan x ⇒ y '' = cos x − sin x − − tan x b) y = sin(3 x + 1) ⇒ y '' = 3cos(3 x + 1) c) y = cos(2 x + 1) ⇒ y = −2sin(2 x + 1) a) d) y = + tan x ⇒ y '' = = cos2 x + tan x ( + tan2 x ) + tan... x + cos x sin x − cos x (cos x − sin x )(sin x − cos x ) − (sin x + cos x )(cos x + sin x ) −2 ⇒ y′ = = (sin x − cos x ) (sin x − cos x )2 a) y = b) y = (2 x − 3).cos(2 x − 3) ⇒ y '' = [ cos(2